《研究匀速圆周运动的规律》 教案

学案2 研究匀速圆周运动的规律

[学习目标定位] 1.理解向心加速度的概念，掌握向心加速度的公式并会进行有关计算.

2.理解向心力的概念及其表达式的含义.

3.能用向心力公式进行有关的计算．

知识储备区

一、向心加速度

1．定义：做匀速圆周运动的物体具有的沿半径指向圆心的加速度．

2．大小：a ＝v 2R 或a ＝ω2R .

3．方向：与速度方向垂直，沿半径指向圆心．

4．作用：使速度的方向发生改变．

二、向心力

1．定义：产生向心加速度的力．

2．大小：F ＝m v 2R 或F ＝m ω2R .

3．方向：与速度方向垂直，沿半径指向圆心．

4．作用：只改变速度的方向，不改变速度的大小.

学习探究区

一、向心加速度

[问题设计]

请利用所学的知识分析，做匀速圆周运动的物体有没有加速度？若有，则加速度有什么特点？

答案 如图所示，物体在圆周上从A 点经一段时间运动到B 点．物体在A 点时，其速度方向沿A 点的切线方向，如果没有力的作用(因而没有加速度)，物体将因惯性而沿着切线运动到B ′点，而实际上物体是运动到圆周上的B 点，且速度方向是B 点的切线方向．这说明物体有加速度．这个加速度只改变速度的方向，所以这个加速度应该总是跟该点的速度方向垂直，即沿着半径指向圆心．

[要点提炼]

1．向心加速度的大小：a ＝v 2R ＝ω2R ＝4π2T 2R ＝4π2n 2R ＝ωv .

2．向心加速度的作用 向心加速度的方向始终与速度方向垂直，只改变速度的方向，不改变速度的大小．

3．向心加速度的物理意义：描述线速度方向变化的快慢．

4．匀速圆周运动的性质

向心加速度的方向始终指向圆心，方向时刻改变，是一个变加速度，所以匀速圆周运动不是匀变速运动，而是非匀变速运动．

说明：向心加速度的公式也适用于非匀速圆周运动，且无论是匀速圆周运动还是非匀速圆周运动，向心加速度的方向都指向圆心．

[延伸思考]

甲同学认为由公式a ＝v 2R 知向心加速度a 与运动半径R 成反比；而乙同学认为由公式a ＝ω2R 知向心加速度a 与运动半径R 成正比，他们两人谁的观点正确？说一说你的观点．

答案 他们两人的观点都不正确．当v 一定时，a 与R 成反比；当ω一定时，a 与R 成正比．(a 与R 的关系图象如图所示)

二、向心力

[问题设计]

1．如图1所示，用手拉细绳使小球在光滑水平面内做匀速圆周运动，小球受力情况如何？是什么力提供向心力？

图1

答案 小球受重力、支持力、细绳的拉力；细绳的拉力提供向心力．

2．在旋转半径不变的条件下，减小旋转的角速度，感觉手拉绳的力怎样变化？在角速度不变的条件下增大旋转半径，手拉绳的力怎样变化？在旋转半径、角速度相同的情况下，换用不同质量的小球，手拉绳的力有什么不同．

答案 变小；变大；手对质量大的球的拉力比对质量小的球的拉力大．

3．向心力与什么因素有关？你能推导出向心力的表达式吗？

答案 向心力与做圆周运动物体的质量、圆周运动的半径和转动快慢有关．

由牛顿第二定律F ＝ma 及向心加速度的表达式a ＝v 2R 或a ＝ω2R 得向心力为F ＝m v 2R 或F ＝m ω2

R .

[要点提炼] 1．向心力的大小：F ＝ma ＝m v 2R ＝m ω2R ＝m ωv ＝m (2πT )2R .

2．向心力的方向

无论是否为匀速圆周运动，其向心力总是沿着半径指向圆心，方向时刻改变，故向心力是变力．

3．向心力的作用效果——改变线速度的方向．由于向心力始终指向圆心，其方向与物体运动方向始终垂直，故向心力不改变线速度的大小．

4．向心力来源：向心力是根据力的作用效果命名的，它可以是重力、弹力、摩擦力等各种性质的力，也可以是它们的合力，还可以是某个力的分力．

注意 向心力不是具有特定性质的某种力，任何性质的力都可以作为向心力，受力分析时不能添加向心力．

5．物体做匀速圆周运动的条件：合外力大小不变，方向始终与线速度方向垂直且指向圆心．

典例精析

一、向心加速度的理解及计算

例1 下列关于向心加速度的说法中正确的是( )

A ．向心加速度的方向始终指向圆心

B ．向心加速度的方向保持不变

C ．在匀速圆周运动中，向心加速度是恒定的

D ．在匀速圆周运动中，向心加速度的大小不断变化

解析 向心加速度的方向时刻指向圆心，A 正确；匀速圆周运动的向心加速度的大小不变，方向时刻变化，故B 、C 、D 错误．

答案 A

针对训练 A 、B 两小球都在水平面上做匀速圆周运动，A 球的轨道半径是B 球轨道半径的2倍，A 的转速为30 r/min ，B 的转速为15 r/min.则两球的向心加速度之比为( )

A ．1∶1 B．2∶1 C．4∶1 D．8∶1

答案 D

解析由题意知A、B两小球的角速度之比ωA∶ωB＝n A∶n B＝2∶1，所以两小球的向心加速度之比a A∶a B＝ω2A R A∶ω2B R B＝8∶1，D正确．

二、向心力的理解及来源分析

例2 关于做匀速圆周运动的物体所受的向心力，下列说法正确的是( )

A．因向心力总是沿半径指向圆心，且大小不变，故向心力是一个恒力

B．因向心力指向圆心，且与线速度方向垂直，所以它不能改变线速度的大小

C．它是物体所受的合外力

D．向心力和向心加速度的方向都是不变的

解析做匀速圆周运动的物体所受的向心力是物体所受的合外力，由于始终指向圆心，且与线速度垂直，故不能改变线速度的大小，只能改变线速度的方向，向心力虽大小不变，但方向时刻改变，不是恒力，由此产生的向心加速度也是变化的，所以A、D错误，B、C正确．答案BC

例3 如图2所示，有一个水平大圆盘绕过圆心的竖直轴匀速转动，小强站在距圆心为r 处的P点相对圆盘静止．关于小强的受力，下列说法正确的是( )

图2

A．小强在P点不动，因此不受摩擦力作用

B．若使圆盘以较小的转速转动，小强在P点受到的摩擦力为零

C．小强随圆盘做匀速圆周运动，圆盘对他的摩擦力充当向心力

D．如果小强随圆盘一起做变速圆周运动，那么其所受摩擦力仍指向圆心

解析由于小强随圆盘做匀速圆周运动，一定需要向心力，该力一定指向圆心方向，而重力和支持力在竖直方向上，它们不能充当向心力，因此他会受到摩擦力作用，且充当向心力，A、B错误，C正确；当小强随圆盘一起做变速圆周运动时，合力不再指向圆心，则其所受的摩擦力不再指向圆心．D错误．

答案 C

三、圆周运动中的动力学问题

例4 如图3所示，质量为1 kg的小球用细绳悬挂于O点，将小球拉离竖直位置释放后，到达最低点时的速度为2 m/s，已知球心到悬点的距离为1 m，重力加速度g＝10 m/s2，求小球在最低点时对绳的拉力的大小．