一道高考填空题的解法探究

一道高考填空题的解法探究-中学数学论文

一道高考填空题的解法探究

贾周德

（赣榆中等专业学校，江苏连云港222100）

摘要：本文探究了一道高考填空题的多种解法，开扩了学生的解题思路，培养了学生的创新思维.教学实践证明，在数学教学中开展一题多解训练，有利于学生掌握数学基础知识和基本方法，提高解题能力。

关键词：基本不等式；判别式；三角换元；几何；导数

中图分类号：G633文献标识码：A文章编号：1005-6351(2013)-11-0020-01 在数学教学中，笔者引导学生对下面一道高考填空题的解法作了一番探究，得到了多种不同的解法，现总结如下，供解题参考。

题目：设x,y,z为正实数，满足x－2y+3z=0，则y2xz的最小值是。

(2008年江苏高考数学卷第11题)

一、基本不等式法

解法1：由x－2y+3z=0,得y=x+3z2.将此式代入y2xz中,整理得y2xz=x4z+9z4x+32.由题设知,x4z,9z4x均为正实数,由基本不等式,得x4z+9z4x+32≥2x4z.9z4x+32=3,即y2xz≥3(当x=y=3z时,取“=”)，所以y2xz的最小值是3.

点评：上述解法1是用基本不等式ab≤a+b2（a≥0, b≥0）求解的。本题也可以这样解,将已知等式化为y=x+3z2，由基本不等式,得y≥3xz0，即y2xz≥3,从而得解。利用基本不等式求最值时,要注意满足“一正数、二定值、三相等”的条件。

二、判别式法

解法2：设y2xz=t (t0)，则y2=txz.由已知等式,得y=x+3z2.将此式代入y2=txz 中,整理得(xz)2+(6－4t)xz+9=0.因为这个关于xz的二次方程有正实数根，所以判别式Δ＝(6－4t)2－36≥0,解得t≥3或t≤0(舍去），即y2xz≥3（当x=y=3z 时，取“＝”）.所以y2xz的最小值是3.

点评：上述解法2是将y2xz用新变量t表示，结合已知等式，用代入法消去y，整理得关于xz的二次方程，从而利用“判别式法”得解.利用判别式法求函数的最值时,要注意检验其结论的正确性，防止出现“误判”或“漏判”的情形. 三、三角换元法

解法3：将x－2y+3z=0化为x2y+3z2y=1.令x2y=cos2θ,3z2y=sin2θ,θ∈(0,π2).两式相乘并整理，得y2xz=3sin22θ.因为2θ∈(0,π),所以1sin22θ≥1,于是y2xz≥3.当θ=π4时, 1sin22θ取最小值1,从而y2xz取最小值3,此时x=y=3z.所以y2xz的最小值是3.

点评：上述解法3是将已知等式化为x2y+3z2y=1，利用三角换元法把问题转化为求三角函数的最值问题而得解的。这里得出x2y+3z2y=1后,也可以利用基本不等式求解。

四、几何法

解法4：作线段AP=x，延长AP至点B,使PB=3z，则AB=x+3z=2y(x,y,z为正实数).

以线段AB为直径作圆O (如图),作半径OC,使OC⊥AB,则OC=y.过点P作PE⊥AB,交圆O于点E,则3xz=PE2≤OC2,即3xz≤y2,所以y2xz≥3.显然,当点P 与圆心O重合时,此不等式取“＝”，此时x=y=3z.所以y2xz的最小值是3.

点评：上述解法4是通过作圆,在圆中创造条件,利用几何平均值ab的几何意义,得3xz=PE2,再根据“半弦不大于半径”而得解。

五、导数法

解法5：设y2xz=t (t0),由上述解法1知，t=x4z+9z4x+32.令xz=u(u0),则t=u4+94u+32(u0).将此函数记为t=g(u),u∈(0,+∞).求导数g′(u),由g′(u)=14－94u2=0,解得u1=3,u2=－3(舍). 当u∈(0,3)时, g′(u)0；当u∈(3,+∞)时，g′(u)0.所以函数t=g(u)在u=3处取得极小值3(唯一),也是最小值.所以y2xz的最小值是3.

点评：上述解法5是通过换元，将问题转化为求一元函数的最值问题，从而利用“导数法”得解。应用导数法求函数的最值时,要注意检验,正确判断函数的最值。通过此题多种解法的探究,开扩了学生的解题思路,培养了学生的创新思维，收到了良好的教学效果。教学实践证明,在数学教学中开展一题多解训练,有利于学生掌握数学基础知识和基本方法,有利于培养学生的解题能力和探索精神。

参考文献：

［1］单墫.普通高中课程标准实验教科书数学5(必修)［M］.江苏教育出版社,2005.

［2］徐小伍.利用平均值不等式解题的误区［J］.中学数学教学,2000,(2). ［3］单墫. 普通高中课程标准实验教科书数学(选修1-1)［M］.江苏教育出版

社,2005.