第二章地下水运动的基本微分方程及定解条件
第二章地下水运动的基本微分方程及定解条件
一、填空题
1．渗流连续方程是在地下水运动中的具体表现。
2．试写出在忽略含水层骨架压缩情况下的地下水连续方程。
3．地下水运动基本微分方程实际上是方程，方程的左端表示单位时间内从方向和方向进入单元含水层的净水量，右端表示单元含水层在单位时间。
4．地下水平面二维、三维流基本微分方向的数学意义分别表示渗流区内
的渗流规律，它们的物理意义分别表示任一、的水量均衡方程。 5．裘布依假设的要点是，实际上意味着是铅直的，流线以及没有。
6．单位面积（或单位柱体）含水层是指，高等于柱体含水层。
7．贮水率的物理意义是：当水头时，从含水层中由于水，以及介质骨架的，而释放（贮存）的水量。贮水系数与贮水率比较，主要差别有两点：一是含水层不同，前者是，后者是，二是释放出不同，前者有疏干重力水和弹性水量，后者则完全是水量。
8．在渗流场中边界类型主要分为、以及。
二、判断题
1．对含水层来说其压缩性主要表现在空隙和水的压缩上。（）
2．贮水率μt=ρg(α+nβ)也适用于潜水含水层。（）
3．贮水率只用于三维流微分方程。（）
4．贮水系数既适用承压含水层，也适用于潜水含水层。（）
5．在一定条件下，含水层的给水度可以是时间的函数，也可以是一个常数。（）
6．潜水含水层的给水度就是贮水系数。（）
7．在其它条件相同而只是岩性不同的两个潜水含水层中。在补给期时，给水度μ大，水位上升大，μ小，水位上升小，在蒸发期时，μ大，水位下降大，μ小，水位下降小。（）
8．地下水连续方程和基本微分方向实际上都是反映质量守恒定律。（ ）
9．地下水三维流基本微分方程div (K·gradH) =
/s H t μ=??既适用于承压水也适用
于潜水。（ ） 10．潜水和承压水含水层的平面二维流基本微分方向都是反映单位面积含水层的水量均衡方程。（ ）
11．在潜水含水层中当忽略其弹性释水量时，则所有描述潜水的非稳定流方程都怀其稳定流方程相同。（ ）
12．各向异性承压含水层中的二维非稳定流基本微分方程为（ ）。
（1）
（2）
13．描述地下水剖面二维流的微分方程为
（ ）
14．描述均质各向同性含水层中地下水部面二维流微分方程为
。（ ）
15．通常所指的布西涅斯克方程实际上就是具有源项的潜水运动的基本微分方程。（ ）
16．第二类边界的边界面有时可以是流面，也可以是等势面或者既不是流面也不是等势面。（ ）
17．在实际计算中，如果边界上的流量和水头均已知，则该边界既可做为第一类边界也可做为第二类边界处理。（ ）
18．凡是边界上存在着河渠或湖泊等地表水体时，都可以将该边界做为第一类边界处理。（ ）
19．同一时刻在潜水井流的观测孔中测得的平均水位降深值总是大于该处潜水面的降深值。（ ）
20．凡是承压含水层中剖面上的等水头线都是铅垂线。（ ）
21．在潜水含水层中，同一铅垂面上的地下水位启下而上是逐渐抬高，潜水面处的地下水位最高。（ ）
22．在水平分布的均质潜水含水层中任取两等水头面分别交于底板A 、B 和潜
水面A＇，、B＇，因为A＇B＇附近的渗透路径大于AB附近的渗透路径，故底板附近的水力坡度JAB>JA＇B＇因此根据达西定律v=KJ，可以说AB附近的渗透速度大于A＇B＇，附近的渗透速度。（）
23．贮水率和贮水系数一般是运用在地下水非稳定流理论中的水文地质参数。（）
三、分析问答题
1．解释下列各概念：贮水率、贮水系数。
2．试分析在相同条件下进行人工回灌时，承压含水层和潜水含水层的贮水能力的大小。
3．如图2-1所示，一观测孔打在湖下承压含水层中，试按下列两种情况分别讨论：当湖水位上升ΔH后，观测孔中的水位将怎样变化?为什么?（1）含水层的顶桩是隔水的，（2）含水层的顶板是弱透水的多；（3）如果湖水位保持不变，而由于天气变化，大气压力增加了ΔP，试问在前两种情况下观测孔中的水位又将怎样变化?
图1-1
四、分析计算题：
1．已知承压含水层的贮水率为2.0×10-5/m，在温度为10℃时，水的密度和弹性压缩系数分别为1000kg/m3和4.96×10-6cm2/N，含水层的给水度为0.25，而孔隙度为其给水度的1.2倍，试求含水层的压缩系数。
2．通常用公式q=α(P-P0)来估算降雨入渗补给量q。式中：α-有效入渗系数；P0-有效降雨量的最低值。试求当含水层的给水度为0.25，α为0.3，P0为20mm，季节降雨量为220mm时，潜水位的上升值。
运动微分方程
运动微分方程 弹性体体积V ，表面积S ，密度ρ,单位质量所受的体力为f,体力场为f(x,t),单位向量为n 的面元dS 的面力场为t(n,x,t),x 为原点到受力点的向量，t 为时间。弹性体在t 时刻的动量P （t) dV v dt d dV f dS t dt dP F f V f m F dV f dS t F F F dV v m v p V i V i s i i i V i s i i V i i ??????= += ?=?=+=+===ρρρρρ动量定理合力弹性体动量体体面 ******************************************************************************* 散度定理:散度定理是矢量场中体积分与面积分之间的一个转换。???=??s V S d F dV F 散度：表征矢量场A 产生的体积(三维)或面积(二维)的相对膨胀率，其表达式为▽·A 。 z R y Q x P R Q P z y x F ??+ ??+??=???????=??),,(),,( ，P,Q ，R 为F 在x,y,z 上的分量。 散度定理的证明：S d F dV F s V ?=???????。 令()R Q P F ,,= ，假设F =(0，0，R)，则需要证明 dS n R dV R s V z ?? ????=),0,0( 如下图，投影区为U 。 dxdy y x z y x R y x z y x R dxdy dz R dV R U y x Z y x Z z D z ))],(,,()),(,,([)() ,() ,(底顶 顶底????????-== S=S 底+S 顶+S 侧面
地下水动力学思考题
地下水动力学思考题 1、什么是渗流？渗流与实际水流相比有何异同？研究渗流有何意义？ 充满整个含 水层或含水系统（包括空隙和固体骨架）的一种假想水流，即渗流充满整个渗流场。 渗流与实际水流（即渗透水流）的异同： 相同点：1、渗流的性质如密度、粘滞性等和真实水流相同； 2、渗流运动时，在任意岩石体积内所受到的阻力等于真实水流所受到的阻力； 3、渗流通过任一断面的流量及任一点的压力或水头均和实际水流相同点处水头、压力相等 区别： 1、渗流充满了既包括含水层空隙的空间，也包括岩石颗粒所占据的空间，实际水流只存在于空隙中； 2、渗流流速与实际水流不同； 3、两种水流的运动轨迹、方向不同，渗流的方向代表了实际水流的总体流向 2、什么是过水断面？什么是流量？什么是渗透流速？渗透流速与实际水流速度的关系？ 渗流场中垂直于渗流方向的含水层断面称为过水断面，用A 表示，单位为m2。该断面既包括空隙也包括岩石骨架的面积。 单位时间内通过整个过水断面面积的渗流体积称为渗透流量，简称流量，用Q 表示，单位为m3/d 。 单位时间内通过单位过水断面面积的渗流的体积称为渗流速度（又称渗透流速），用v 表示，单位为m/d ，即 渗透流速与实际流速关系： Av —过水断面上空隙占据的面积 ne —有效空隙度 u —过水断面实际水流流速，即 3、什么是水头？什么是水力坡度？为什么地下水能从压力小处向压力大处运动？ 总水头——单位重量液体所具有的总的机械能，简称水头， 水力坡度——大小等于dH/dn （梯度），方向沿着等水头线的法线方向指向水头降低的方向的矢量定义为水力坡度，记为J 。 4、什么是地下水运动要素？根据地下水运动要素与坐标轴的关系，地下水运动分哪几种类型？ 地下水运动要素——反映地下水运动特征的物理量，如水头、压强、流速、流量等，它们都是空间坐标x 、y 、z 和时间t 的连续函数 按运动要素与坐标的关系 1、当地下水沿一个方向运动，将这个方向取为坐标轴，则地下水的渗流速度只要沿这一坐标轴的方向有分速度，其余坐标轴方向的分速度均为零。这类地下水运动称为一维运动，如等厚的承压含水层中的地下水运动。一维运动也称为单向运动。 2、如果地下水的渗流速度沿二个坐标轴方向都有分速度，仅在一个坐标轴方向分速度为零，则称为地下水的二维运动。如下图的渠道向河流渗漏时的地下水运动。直角坐标系中的二维运动也称为平面运动。 3、如果地下水的渗流速度沿空间三个坐标轴的分量均不等于零，则称为地下水的三维运动。多数地下水运动都是三维运动，也称为空间运动，如下图的河湾处的潜水运动。 5、什么是稳定运动？什么是非稳定运动？为什么说地下水运动均为非稳定运动？ 稳定流—地下水运动的所有基本要素（如压强p 、速度v 等）的大小和方向不随时间变化的地下水运动， 非稳定流—地下水运动的基本要素中的任一个或全部随时间变化的地下水运动， 6、什么是层流？什么是紊流？判别指标是什么？ 层流——流体质点运动轨迹成线状，彼此不相掺混，这种流态称之。流速小时出现。 u n v un A A u v Q uA v A e e v v =====v A Q u =
地下水动力学复习题
1、什么是渗流渗流与实际水流相比有何异同研究渗流有何意义 渗流 充满整个含水层或含水系统（包括空隙和固体骨架）的一种假想水流，即渗流充满整个渗流场。 渗流与实际水流（即渗透水流）的异同： 相同点： 渗流的性质如密度、粘滞性等和真实水流相同； 渗流运动时，在任意岩石体积内所受到的阻力等于真实水流所受到的阻力； 渗流通过任一断面的流量及任一点的压力或水头均和实际水流相同点处水头、压力相等 区别： 渗流充满了既包括含水层空隙的空间，也包括岩石颗粒所占据的空间，实际水流只存在于空隙中； … 渗流流速与实际水流不同； 两种水流的运动轨迹、方向不同，渗流的方向代表了实际水流的总体流向 2、什么是过水断面什么是流量什么是渗透流速渗透流速与实际水流速度的关系渗流场中垂直于渗流方向的含水层断面称为过水断面，用A表示，单位为m2 单位时间内通过整个过水断面面积的渗流体积称为渗透流量，简称流量用Q表示，单位为m3/d。 单位时间内通过单位过水断面面积的渗流的体积称为渗流速度（又称渗透流速），用v表示 渗透流速与实际流速关系 ~ Av—过水断面上空隙占据的面积
ne—有效空隙度 u—过水断面实际水流流速， 3、什么是水头什么是水力坡度为什么地下水能从压力小处向压力大处运动 总水头——单位重量液体所具有的总的机械能，简称水头， 水力坡度——大小等于dH/dn（梯度），方向沿着等水头线的法线方向指向水头降低的方向的矢量定义为水力坡度，记为J。 4、什么是地下水运动要素根据地下水运动要素与坐标轴的关系，地下水运动分哪几种类型 地下水运动要素——反映地下水运动特征的物理量，如水头、压强、流速、流量等，它们都是空间坐标x、y、z和时间t的连续函数 按运动要素与坐标的关系 ( 当地下水沿一个方向运动，将这个方向取为坐标轴，则地下水的渗流速度只要沿这一坐标轴的方向有分速度，其余坐标轴方向的分速度均为零。这类地下水运动称为一维运动，如等厚的承压含水层中的地下水运动。一维运动也称为单向运动。如果地下水的渗流速度沿二个坐标轴方向都有分速度，仅在一个坐标轴方向分速度为零，则称为地下水的二维运动。如下图的渠道向河流渗漏时的地下水运动。直角坐标系中的二维运动也称为平面运动。 如果地下水的渗流速度沿空间三个坐标轴的分量均不等于零，则称为地下水的三维运动。多数地下水运动都是三维运动，也称为空间运动，如下图的河湾处的潜水运动。 5、什么是稳定运动什么是非稳定运动为什么说地下水运动均为非稳定运动 稳定运动——地下水运动的所有基本要素（如压强p、速度v等）的大小和方向不随时间变化的地下水运动， 非稳定运动——地下水运动的基本要素中的任一个或全部随时间变化的地下水运动 由于地下水不断得到补给和排泄，严格地来说，地下水运动都是非稳定运动。稳定运动只是一种暂时的平衡状态。在变化不大时，可以将地下水运动当作稳定运动来研究，以便简化计算。
地下水向河渠的运动
地下水动力学习题 2 地下水向河渠的运动 要点：本章主要介绍河渠间地下水运动,包括无入渗情况下地下水向河渠的稳定运动和河渠间地下水的非稳定运动。 本章要求学生掌握各类公式的适用条件，能应用相关公式进行计算，在此基础上分析解决水库区地下水迴水、农田排灌渠的合理间距计算以及灌溉条件下地下水位动态预报等问题，并能利用动态资料确定水文地质参数。 2.1 河渠间地下水的稳定运动 例题2-1-l ：在两河间距l=2000m 的均质水平分布的潜水含水层中，自左河起l 1=1000m 范围内有均匀的灌溉入渗，已知左右河水位（自含水层底板算起）均为80m,在距左河l 1十l 2=1500m 处有一观测孔，孔中水位为46.37m,试求入渗强度与渗透系数的比值。 解： 已知l ＝2000m ，l l =1000m ，l 2=500m ，在0—l 1段有均匀入渗（l 1＝1000m ），l 1一l 段无入渗。设l 1断面处的水头为h x ，左右河水位分别为h 1，h 2。所以0—l 1渗流段内的单宽流量为： 2 2)(22)(11221111221Wl l h h K Wl Wl l h h K q x x +-=+--= (2-1) 根据水流连续方程知，l 1一l 渗流段内的单宽流量为： ) (2)(1222l l h h K q x --= (2-2) 将（2-1）,(2—2)式联立得： ) (2)(22)(122211221l l h h K Wl l h h K x x --=+- 整理得： 2122111222)(l h h l l l h h K W x x ----= (2-3) 再利用观测孔水位（h ）资料求h x 值： 因为： )(2)(2) (21222222l l l h h K l h h K x ---=-
第五章 地下水
第五章地下水的结构与运动 ? ●地下水系统的组成与结构 ●地下水类型 ●地下水的补给与排泄 ●地下水运动 ●地下水的动态与平衡 §5.1 地下水系统的组成与结构 ?地下水的贮存空间 ?地下水流系统 ?地下水系统垂向结构 地下水是存在于地表以下岩(土)层空隙中的各种不同形式水的统称。 一、地下水的贮存空间 1.含水介质、含水层和隔水层 通常把既能透水，又饱含水的多孔介质称为含水介质，这是地下水存在的首要条件。所谓含水层是指贮存有地下水，并在自然状态或人为条件下，能够流出地下水来的岩体。对于那些虽然含水，但几乎不透水或透水能力很弱的岩体，称为隔水层。 2.含水介质的空隙性与水理性 含水介质的空隙性：裂隙率(KT)、岩溶率(Kk)与孔隙率(n) 。含水介质的水理性质：与水分的贮容、运移有关的岩石性质称为含水介质的水理性质，包括岩土的容水性、持水性、给水性、贮水性、透水性及毛细性等。 3.蓄水构造 指由透水岩层与隔水层相互结合而构成的能够富集和贮存地下水的地质构造体。主要有：单斜蓄水结构、背斜蓄水结构、向斜蓄水结构、断裂型蓄水结构、岩溶型蓄水结构等。 二、地下水流系统 地下水虽然埋藏于地下，难以用肉眼观察，但它象地表上河流湖泊一样，存在集水区域，在同一集水区域内的地下水流，构成相对独立的地下水流系统。
1.地下水流系统的基本特征 在一定的水文地质条件下，汇集于某一排泄区的全部水流，自成一个相对独立的地下水流系统，又称地下水流动系。与地表水系相比较具有如下的特征:空间上的立体性；流线组合的复杂性和不稳定性；流动方向上的下降与上升的并存性；区域范围一般比较小。 2.地下水域 地下水流系统的集水区域，为立体的集水空间。地下水域范围变化快，在地表上均存在相应的补给区与排泄区. 三、地下水系统垂向结构 1.地下水垂向层次结构的基本模式 包气带：土壤水带、中间过渡带及毛细水带等3个亚带；存在结合水(包括吸湿水和薄膜水)和毛管水； 饱和水带：潜水带和承压水带两个亚带；存在重力水(包括潜水和承压水)。 2.地下水不同层次的力学结构 分子力、毛细力和重力。 3.地下水体系作用势 重力势、静水压势、渗透压势、吸附势等分势组合为总水势。 §5.2 地下水类型 ?地下水基本类型的划分 ?包气带水 ?饱水带水(潜水和承压水) ?空隙水(孔隙水、裂隙水和岩溶水) 一、地下水基本类型的划分
4.2 理想流体的运动微分方程讲解
4.2 理想流体的运动微分方程 理想流体是指无粘性的且不可压缩流体，是一种假想的，不存在的流体。实际流体有粘性，粘性流体。 1. Enler 运动微分方程 H G 图 4-3 理想流体的作用力 取微六面体如图4-3所示；中心点为),,(z y x M ，M 处的压强为 ),,,(t z y x p 。作用在六面体的力有质量力z y x X d d d ρ，z y x Y d d d ρ，z y x Z d d d ρ；流体运动时的惯性力z y x d d d ρa ；由压强产生的表面力，在x 向分别为z y x x p p d d )d 21(??- 和z y x x p p d d )2 d (??+-。按牛顿第二定律不难列出x 向的力平衡方程如下： z y x a z y x x p p x x p p z y x X d d d d d )]2 d ()2d [(d d d x ρρ=??+-??-+ 列出y 、z 向力平衡方程。整理x 、y 、z 向力平衡方程（同除m z y x d d d d =ρ）如下
??? ? ? ? ???==??-==??-==??-t u a z p Z t u a y p Y t u a x p X d d 1d d 1d d 1z z y y x x ρρρ (4.2-1a) 上式也可简记为 t u a x p X d d 1i i i i ==??- ρ 3,2,1=i (4.2-1b) 式(4.2-1a)也可写成矢量形式 t p d d 1 u a G = =?- ρ (4.2-1c) 式中 Z Y X k j i G ++=为单位质量的体积力。 式(4.2-1a)便是理想流体的运动微分方程，是Euler 1755年推导出来的，故又称Euler 运动微分方程。 4.3 理想的流体运动方程的积分－Bernoulli 方程 Bernoulli 方程在工程流体力学基本理论中占有重要地位，其形式简单、意义明确，在工程中有着广泛应用。Bernoulli 方程是Euler 方程或葛罗米柯方程的积分形式。 一 运动微分方程在流线上的积分形式 在流线上取质点，不论是否定常运动，经过时间t d ，质点沿流线的微位移z y x d d d d k j i s ++=；s d 的分量,d ,d ,d z y x 可表示为 t u z t u y t u x d d ,d d ,d d z y x === （4.3-1） 对式（4.2-1a ）的三式依次乘z y x d ,d ,d ，相加则有 )d d d (1d d d z z p y y p x x p z Z y Y x X ??+??+??- ++ρz t u y t u x t u d d d z y x ??+??+??= t u t u t u t u t u t u d d d z z y y x x ??+??+??= z z y y x x d d d u u u u u u ++= （4.3-2）
地下水动力学 复习提纲
第1章渗流理论基础 1、多孔介质的性质 孔隙性：孔隙度，有效孔隙，有效孔隙度，死端孔隙 压缩性：压缩系数（），固体颗粒压缩系数(),孔隙压缩系(), 2、贮水率()、贮水系数()与给水度() 定义，量纲，表达式：，，弹性释水与重力排水 3、渗流、典型单元体 渗流定义与性质(特点)，典型单元体(理解) 4、过水断面、渗流速度、实际平均流速：， 5、水头和水头坡度 测压管水头、总水头： 等水头面、等水头线、水力坡度：大小等于水头梯度值，方向沿着等水头面的法线指向水头降 低方向的矢量。 6、地下水运动特征的分类 稳定流和非稳定流，维数（1维、2维和3维运动）,流态(层流和紊流) Reynolds数:,临界水力坡度。 7、Darcy定律及其适用范围 Darcy定律：，或 微分表示：，，，矢量表示： Darcy定律适用范围：Reynolds数判别，起始水力坡度（） 8、渗透系数、渗透率和导水系数 渗透系数定义，影响渗透系数的因素，渗透系数与渗透率关系：，导水系数，单宽流量，量纲 9、非线性运动定律 Forchheimer公式、Chezy公式
10、岩层透水特征分类 均质、非均质岩层，各向同性和各向异性。 渗透系数张量：，主渗透方向 11、水流折射和等效渗透系数 渗流折射定律与分析，层状岩层等效渗透系数： 水平：，垂直： 12、流网 流线与迹线，流线方程： 流函数，流函数的全微分：，流函数性质流网与性质，流网的应用 13、渗流的连续性方程： 14、承压水运动的基本微分方程： 三维： 各向异性介质： 坐标轴方向与主渗透方向一致时： 有源汇项： 各向同性介质： 柱坐标： 轴对称问题： 二维：或 坐标轴方向与主渗透方向一致时： 或 稳定流：微分方程的右端项等于零。 15、越流含水层中地下水非稳定运动的基本微分方程 越流、越流含水层（半承压含水层）
第3章--振动系统的运动微分方程题解
习 题 3-1 复摆重P ，对质心的回转半径为C ρ，质心距转动轴的距离为a ，复摆由水平位置无初速地释放，列写复摆的运动微分方程。 解:系统具有一个自由度，选复摆转角?为广义坐标，原点及正方向如如题4-1图所示。 复摆在任意位置下，根据刚体绕定轴转动微分方程 O O M J =? 其中 )(22 a g P J C O += ρ 得到复摆运动微分方程为 ?? ρcos )(22 Pa a g P C =+ 或 0cos )(22 =-+?? ρga a C 3-2均质半圆柱体，质心为C ，与圆心O 1的距离为e ，柱体半径为R ，质量为m ，对质心的回转半径为C ρ，在固定平面上作无滑动滚动，如题3-2图所示，列写该系统的运动微分方程。 解：系统具有一个自由度，选θ为广义坐标。 半圆柱体在任意位置的动能为： 222 1 21ωC C J mv T += 用瞬心法求C v ： 2222*2)cos 2()(θθθ Re R e CC v C -+== θω = 2 C C m J ρ= 故 222222 1)cos 2(21θρθθ C m Re R e m T +-+= 系统具有理想约束，重力的元功为 题3-1图 题3-2图
θθδd mge W sin -= 应用动能定理的微分形式 W dT δ= θθθρθθd mge m Re R e m d C sin 21)cos 2(2122222-=?? ????+-+ θθθθθθθθθθ ρd m g e d m R e d m R e d R e m C s i n s i n c o s 2)(2222-=+-++ 等式两边同除dt ， θθθθθθθθθθ ρ s i n s i n c o s 2)(2222m g e m R e m R e R e m C -=+-++ 0≠θ ，等式两边同除θ 故微分方程为 0s i n s i n )c o s 2(2222=+++-+θθθθρθ m g e m R e Re R e m C ① 若为小摆动θθ≈sin ，1cos ≈θ，并略去二阶以上微量，上述非线性微分方程可线性化，系统微摆动的微分方程为 0])[(22=++-θθρge r R C 要点及讨论 （1）本题也可以用平面运动微分方程求解。系统的受力图与运动分析图如图（b ）所示。列写微分方程 ??? ??--=-=-=④③② θ θθρsin )cos (2Ne e R F m mg N y m F x m C C C 上述方程包含C x ，C y ，θ ，F ，N 五个未知量，必须补充运动学关系才能求解。建立质心坐标与广义坐标θ之间的关系 ?? ?-=-=θθ θcos sin e R y e R x C C ， ???=-=θθθθθ sin cos e y e R x C C 所以 ?????+=+-=⑥ ⑤22cos sin sin cos θθθθθθθθθ e e y e e R x C C 运动学方程式⑤⑥与方程②③④联立，消去未知约束力N ，F ，就可以得到与式①相同的系统运动微分方程。 因为在理想约束的情况下，未知约束力在动能定理的表达式中并不出现，所以用动能定理解决已知力求运动的问题更简便、直接。 （2）本题也可用机械能守恒定律求解。 系统的动能 222222 1)c o s 2(21θρθθ C m Re R e m T +-+=
运动微分方程推导
以应力表示的黏性流体运动微分方程的推导 1. 黏性流体的内应力 黏性流体在运动时，表面力不仅有法向应力，还有切向应力，因此黏性流体的表面力不垂直于作用面。 如在任一点取一微小的正六面体，如图所示，作用在平面ABCD 上的力 有法向应力 xx p ，与切向应力xy τ和xz τ。应力符号的第一个字母表示作 用面的外法线方向，第二个脚标表示应力方向。 流体场内任一点的应力状况，即该点流体微团在任一方向的作用面上的应力，都可以用通过该点的三个相互垂直的作用面上的九个应力分量来表示。 2. 以应力表示的运动微分方程 在黏性流体中取一边长为dx,dy,dz 的长方体。各表面应力的方向如图所示。为清晰起见，其中两个面上的应力符号未标。各应力的值均为代数值，正直表示应力沿相应坐标系的正向，反之亦然。由于流体不能承受拉力，因此，
xx p yy p ，zz p 必为负值。 由牛顿第二定律，x 方向的运动微分方程为： Xdxdydz ρ+xx p dydz +[-(xx p - xx p x ??dy )dydz ]+ yx τdxdz +[-(yx τ- yx y τ??dy )dxdz ]+ zx τdxdy +[-(zx τ- zx z τ??dz )]x du dxdy dxdydz dt ρ= 等式两边分别除以 ρ，然后分别对x,y,z 求偏导，得到： 1 1 ( )zx x XX du P yx X X y z dt τρρ τ??+ + +=???? （1） 同理，在y 方向，由牛顿第三定律得：
[()][)][()] yy yy yy xy xy xy zy zy zy y Ydxdydz dxdz dy dxdz y dydz dx dydz x dxdy dz dxdy z dxdydz dt p p p du ρρττ τ ττ τ + +-- + ?+-- + ?+ +-- ?=??? 等式两边同时除以 ρ，然后分别对x,y,z 求偏导得： 1 1 ( )yy zy xy y Y y z x dt p du ρρ ττ+ ++ = ?????? （2）
第五章地下水资源
第五章地下水资源计算 地下水是水资源的重要组成部分，在区域水资源分析计算中，查清地下水资源的数量、质量及时空分布特点，掌握地下水资源的循环补给规律，了解地下水与地表水之间的转化关系，不仅能为农业生产、水利规划提供科学根据，而且也能为城市规划、工业布局及国防建设等提供可靠的依据。 区域地下水资源分析计算的对象一般指浅层地下水，评价的重点是水量。多数地区以分析矿化度不大于2g/L的淡水资源为主，有些地区对矿化度2～5g/L的微咸水及大于5g/L的咸水也进行计算与评价。 地下水资源计算的基本方法主要有四大储量法、地下水动力学法、数理统计法及水均衡法等。水均衡法建立在地下水各补给项、各排泄项和地下含水层蓄变量等区域水平衡分析的基础上，是平原区地下水资源常用的计算方法，本章将主要介绍这种方法。 第一节概述 一、地下水的垂直分布 地面以下水分在垂直剖面上的分布可以按照岩石空隙中含水的相对比例，以地下水面为界，划分为两个带：饱和带和包气带。在包气带，岩石的空隙空间一部分被水所占据，还有一部分为空气所占据。在大多数情况下，饱和带的上部界限，或者是饱和水面，或者覆盖着不透水层，其下部界限则为下伏透水层，如粘土层。 包气带（充气带）从地下水面向上延伸至地面。它通常可进一步划分为3个带：土壤水带、中间带和毛细管带。土壤水带的水分形式主要有结合水、毛细水和一些过路性质的重力水。中间带的水为气态水、结合水和毛细水。毛细管带内的水分含量随着距潜水面高度的增加而逐渐减少，在毛细管带中，压力小于大气压力，水可以发生水平流动及垂直流动。 饱和带岩石的所有空隙空间均为水所充满，有重力水，也有结合水。重力水是开发利用的主要对象。 图5.1 地面以下水的分布
第三章地下水向河渠的稳定运动
第三章 地下水向河渠的稳定运动 一、填空题 1．当水流平行层面时，层状含水层的等效渗透系数为 ，各分层的水力坡度 为 ，水流垂直于岩层层面时，等效渗透系数为 ，各分层的水力坡 度。 2．等效含水层的单宽流量q与各分层单宽流量q i的关系：当水流平等界面时 ，当水流垂直于界面时 。 3．将 上的入渗补给量称为入渗强度。 4．在有垂直入渗补给的河渠间潜水含水层中，通过任一断面的流量 。 5．有入渗补给的河渠间含水层中，只要存在分水岭，且两河水位不相等时，则分水岭总是偏向 一侧。如果入渗补给强度W>0时则浸润曲线的形状为 ，当W<0时则为 ，当W=0时则为 。 6．双侧河渠引渗时，地下水的汇水点靠近河渠 一侧，汇水点处的地下水流速等 于 。 7．在河渠单侧引渗时，同一时刻不同断面处的引渗渗流速度 ，在起始断面x=0处的引渗渗流速度 ，其计算式为 ，随着远离河渠，则引渗渗流速 度 。 8．在河渠单侧引渗中，同一断面上的引渗渗流速度随时间的增大 ，当时间t→∞o 时，则引渗渗流速度 。 9．河渠单侧引渗时，同一断面上的引渗单宽流量随时间的变化规律与该断面上的引渗渗流速度的变化规律 。而同一时刻的引渗单宽流量最大值在 ，其单宽渗流量表达式为 。 二、判断选择题 1．可以把平行和垂直层面方向的等效渗透系数的计算方法直接类比串联和并联电阻的计算方法。（ ） 2．平行和垂直层面的等效渗透系数的大小，主要取决于各分层渗透系数的大小。（ ） 3．对同一层状含水层来说，水平方向的等效渗透系数大于垂直方向的等效渗透系数。（ ） 4．当河渠间含水层无入渗补给，但有蒸发排泄（设其蒸发强度为ε）时，则计算任一断面的单宽流量公式只要将式：中的W用（ ）代替即可。 （1）ε；（2）0；（3）-ε；（4）ε+W 5．在有入渗补给，且存在分水岭的河渠间含水层中，已知左河水位标高为H1，右河水位标高为H2，两河间距为l，当H1>H2时，分水岭（ ）；当H1=H2时，分水岭（ ）。
第二章 地下水运动的基本微分方程及求解条件
第二章地下水运动的基本微分方程及求解 条件 一、填空题 1. 渗流连续方程是质量守恒定律在地下水运动中的具体表现。 2. 地下水运动基本微分方程实际上是地下水水量均衡方程，方程的左端表示单位时间内从水平方向和垂直方向进入单元含水层内的净水量，右端表示单元含水层在单位时间内质量变化量。 3. 越流因素Ｂ越大，则说明弱透水层的厚度越大，其渗透系数越小，越流量就越小。 4. 单位面积(或单位柱体)含水层是指底面积为一个单位，高等于含水层厚度柱体含水层。 5. 在渗流场中边界类型主要分为水头边界、流量边界以及混合边界。 二、判断题 1. 地下水连续方程和基本微分方程实际上都是反映质量守恒定律。(√) 2. 潜水和承压水含水层的平面二维流基本微分方程都是反映单位面积含水层的水量均方程。(√ ) 3. 在潜水含水层中当忽略其弹性释放水量时，则所有描述潜水的非稳定流方程都与其稳定流方程相同。(×) 4. 越流因素B和越流系数σ都是描述越流能力的参数。(√) 5. 在实际计算中，如果边界上的流量和水头均已知，则该边界既可作为第一类边界，也可作为第二类边界处理。(√) 6. 凡是边界上存在着河渠或湖泊等地表水体时，都可以将该边界作为第一类边界处理。(×)
7. 同一时刻在潜水井流的观测孔中，测得的平均水位降深值总是大于该处潜水面的降深值。(√) 三、分析建模题 1. 一口井位于无限分布的均质、各向同性潜水含水层中，初始时刻潜水水位在水平不透水底板以上高度为H 0（x ，y ），试写出下列两种情况下地下水流向井的非稳定流数学模型（已知水流为二维非稳定流）。 （1）井的抽水量Q w 保持不变； 解：数学模型如下 t H K K Q y H H y x H H x W ??=-?? ????????+??????????μ；（x,y ）∈D,t ≥0 ① H （x,y ，0）=H 0（x ，y ）；（x,y ）∈D ，t=0 ② H （x,y ，t ）|Γ1=H 0（x ，y ）；（x,y ）∈Γ1,t>0 ③ W r Q n H T W π2- =??Γ；（x,y ）∈Γw,t>0（Γw 为井壁） （2）井中水位H w 保持不变。 解：数学模型如下 t H K y H H y x H H x ??=??????????+??????????μ；（x,y ）∈D,t ≥0 ① H （x,y ，0）=H 0（x ，y ）；（x,y ）∈D ，t=0 ② H （x,y ，t ）|Γ1=H 0（x ，y ）；（x,y ）∈Γ1,t>0 ③ H （x,y ，t ）|ΓW =H w ；（x,y ）∈ΓW ,t>0（Γw 为井中） 2. 图2-1为某地供水水源地的平面图和水文地质剖面图，已知其开采强度为ε，试根据图示写出开采过程中地下水非稳定流的数学模型。
第二章地下水运动的基本微分方程及定解条件
第二章
一、填空题 1．渗流连续方程是 现。
地下水运动的基本微分方程及定解条件
在地下水运动中的具体表 。
2．试写出在忽略含水层骨架压缩情况下的地下水连续方程 3．地下水运动基本微分方程实际上是 时间内从 层在单位时间 方向和 。 、
方程，方程的左端表示单位
方向进入单元含水层的净水量， 右端表示单元含水
4．地下水平面二维、三维流基本微分方向的数学意义分别表示渗流区内 的渗流规律， 它们的物理意义分别表示任一 5．裘布依假设的要点是 直的，流线 体含水层。 7．贮水率的物理意义是：当水头 中由于水 是 ，后者是 ，以及介质骨架的 ，二是释放出 水量。 、 以及 。 时，从 ，而释放（贮存）的 含水层 水 不同，前者 以及没有 。 ，高等于 柱 的水量均衡方程。 是铅 ，实际上意味着
6．单位面积（或单位柱体）含水层是指
量。贮水系数与贮水率比较，主要差别有两点：一是含水层 水量，后者则完全是 二、判断题 1．对含水层来说其压缩性主要表现在空隙和水的压缩上。（ 2．贮水率 μt=ρg (α+nβ)也适用于潜水含水层。（ 3．贮水率只用于三维流微分方程。（ ） ）
不同，前者有疏干重力水和弹性
8．在渗流场中边界类型主要分为
）
4．贮水系数既适用承压含水层，也适用于潜水含水层。（ （ ） 6．潜水含水层的给水度就是贮水系数。（ ）
）
5．在一定条件下，含水层的给水度可以是时间的函数，也可以是一个常数。
7．在其它条件相同而只是岩性不同的两个潜水含水层中。在补给期时，给水 度 μ 大，水位上升大，μ 小，水位上升小，在蒸发期时，μ 大，水位下降大，μ 小，水位下降小。（ ）
地下水动力学
◆考试大纲模版： 中国地质大学研究生院 硕士研究生入学考试《地下水动力学》考试大纲 一、试卷结构 （一）内容比例 地下水动力学 100% （二）题型比例 填空题和判断对错题约40% 分析作图题约20％ 计算题约40% 二、其他
地下水动力学 一、地下水运动的基本概念与基本定律 考试内容 1、地下水运动的基本概念：渗流与典型体元；渗流的运动要素；孔(空)隙平均流速(地下 水实际流速)与渗透流速(达西流速)；压强水头和水力坡度。 2、渗流基本定律：线性渗流定律及渗透系数；线性渗流定律；各向异性岩层中地下水的 运动规律；地下水通过非均质岩层突变界面的折射现象。 3、流网：各向同性岩层地下水的流网特征；各向异性岩层地下水的流网特征。 重难提示 典型体元的概念和地下水运动基本定律；流网的应用。 考试要求 掌握渗流基本概念、流网的特征及其在实际中的应用，详细叙述研究地下水运动规律所遵循的基本定律－达西定律。掌握典型体元、非均质各向异性、非均质各向同性、均质各向异性、均质各向同性的概念，正确区分地下水质点实际流速、空隙平均流速和渗透流速。 二、地下水运动的基本微分方程及定解条件 考试内容 渗流连续性方程；水和多孔介质的压缩性；渗流基本微分方程基本形式和各种条件下（非均质各向异性、非均质各向同性、均质各向异性、均质各向同性、非稳定流、稳定流）的基本微分方程；潜水流动的布西涅斯克微分方程：裘布依假定，布西涅斯克微分方程；定解条件及数学模型。 重难提示
重点掌握地下水弹性储存的含义，理解弹性给水度的定义；了解地下水三维流动基本微分方程的基本形式以及几种简单条件下的流动微分方程。掌握裘布依假定的内涵。 考试要求 重点理解地下水弹性储存的含义，掌握弹性释水系数和重力给水度的概念；掌握渗流的连续性方程，潜水、承压水和越流含水层中地下水非稳定运动的基本微分方程的推导过程；熟悉定解条件，并能够正确建立数学模型。要求在此理解地下水非稳定运动基本微分方程形式的基础上，掌握如何在水文地质实体概化为水文地质模型后，建立与水文地质模型相对应的数学模型方法。 三、地下水向河渠的运动 考试内容 主要有均质和非均质含水层中地下水向河渠的稳定运动。 1、均质含水层中地下水向河渠的运动：承压含水层中地下水向河渠一维稳定流动；无入渗 潜水含水层中地下水向河渠二维稳定运动；隔水底板水平的潜水运动；隔水底板倾斜的潜水运动；均匀稳定入渗的潜水向河渠二维稳定运动。 2、非均质含水层中地下水向河渠的运动：分段法；等效厚度法；吉林斯基势函数法。 重点和难点 重点掌握无入渗潜水含水层中隔水底板水平时地下水向河渠二维稳定运动；均匀稳定入渗的潜水向河渠二维稳定运动；灵活运用分段法和等效厚度法求解非均质问题。 考试要求 总结各种简单条件下地下水向河渠运动的流量方程（承压、无压、底板水平或倾斜、无入渗或有入渗）。对于均质问题，要求理解各种条件下流量方程和水头线方程的推导过程，掌握无入渗承压和无压含水层中隔水底板水平时地下水向河渠二维稳定运动条件下的流量方程和水头线特征；掌握存在均匀稳定入渗的潜水向河渠二维稳定运动时的流量方程，学会运用简单解析公式求解河间地段实际问题。对于非均质问题，掌握分段法和等效厚度法的
第三章 地下水向完整井的稳定运动
第三章地下水向完整井的稳定运动 §3-1 概述 一、水井的类型 根据水井井径的大小和开凿方法，分为管井和筒井两类。 管井：直径通常小于0.5m，深度大，常用钻机开凿。 筒井：直径大于1m，深度浅，通常用人工开挖。 根据水井揭露的地下水类型，水井分为潜水井和承压水井两类。 根据揭露含水层的程度和进水条件不同，可分为完整井和不完整井两类。 完整井：水井贯穿整个含水层，在全部含水层厚度上都安装有过滤器，并能全面进水的井。 不完整井：水井没有贯穿整个含水层，只有井底和含水层的部分厚度上能进水的井。如图。 二、井附近的水位降深 1. 水位降深 水位降深：初始水头减去抽水t时间后的水头，也简称降深。用s表示。 降落漏斗：抽水时，井中心降深最大，离井越远，降深越小，总体上形成的漏斗状水头下降区。 2. 抽水时，地下水能达到稳定运动的水文地质条件 (1) 在有侧向补给的有限含水层中，当降落漏斗扩展到补给边界后，侧向补给量和抽水量平衡时，地下水向井的运动便可达到稳定状态。 (2) 在有垂向补给的无限含水层中，随着降落漏斗的扩大，垂向补给量不断增大。当它增大到与抽水量相等时，将形成稳定的降落漏斗，地下水向井的运动也进入稳是状态。 (3) 在没有补给的无限含水层中，随着抽水时间的延长，水位降深的速率会越来越小，降落漏斗的扩展越来越慢，在短时间内观测不到明显的水位下降，这种情况称为似稳定状态，也称似稳定。 3. 井径和水井内外的水位降深 一般抽水井有三种类型：未下过滤器、下过滤器和下过滤器并在过滤器外填砾。如图。 (1) 未下过滤器的井：井的半径就是钻孔的半径，井壁和井中的水位降深一致。 (2) 下过滤器的井：井的直径为过滤器的直径，井内水位比井壁水位低。 井损：水流流经过滤器的水头损失和在井内部水向上运动至水泵吸水口时的水头损失统称为井损。 (3) 过滤器周围填砾的井：井周围的渗透性增大，水力坡度变小，所以降深变小。但是，井损还存在。这种条件下，井的半径应用有效井半径。 有效井半径：是由井轴到井管外壁某一点的水平距离。在该点，按稳定流计算的理论降深正好等于过滤器外壁的实际降深。 4. 假设条件 本章以后几节中共有的假设条件：
第二章地下水运动的基本微分方程及定解条件
第二章地下水运动的基本微分方程及定解条件 一、填空题 1．渗流连续方程是在地下水运动中的具体表现。 2．试写出在忽略含水层骨架压缩情况下的地下水连续方程。 3．地下水运动基本微分方程实际上是方程，方程的左端表示单位时间内从方向和方向进入单元含水层的净水量，右端表示单元含水层在单位时间。 4．地下水平面二维、三维流基本微分方向的数学意义分别表示渗流区内 的渗流规律，它们的物理意义分别表示任一、的水量均衡方程。 5．裘布依假设的要点是，实际上意味着是铅直的，流线以及没有。 6．单位面积（或单位柱体）含水层是指，高等于柱体含水层。 7．贮水率的物理意义是：当水头时，从含水层中由于水，以及介质骨架的，而释放（贮存）的水量。贮水系数与贮水率比较，主要差别有两点：一是含水层不同，前者是，后者是，二是释放出不同，前者有疏干重力水和弹性水量，后者则完全是水量。 8．在渗流场中边界类型主要分为、以及。 二、判断题 1．对含水层来说其压缩性主要表现在空隙和水的压缩上。（） 2．贮水率μt=ρg(α+nβ)也适用于潜水含水层。（） 3．贮水率只用于三维流微分方程。（） 4．贮水系数既适用承压含水层，也适用于潜水含水层。（） 5．在一定条件下，含水层的给水度可以是时间的函数，也可以是一个常数。（） 6．潜水含水层的给水度就是贮水系数。（） 7．在其它条件相同而只是岩性不同的两个潜水含水层中。在补给期时，给水度μ大，水位上升大，μ小，水位上升小，在蒸发期时，μ大，水位下降大，μ小，水位下降小。（）
8．地下水连续方程和基本微分方向实际上都是反映质量守恒定律。（ ） 9．地下水三维流基本微分方程div (K·gradH) = /s H t μ=??既适用于承压水也适用 于潜水。（ ） 10．潜水和承压水含水层的平面二维流基本微分方向都是反映单位面积含水层的水量均衡方程。（ ） 11．在潜水含水层中当忽略其弹性释水量时，则所有描述潜水的非稳定流方程都怀其稳定流方程相同。（ ） 12．各向异性承压含水层中的二维非稳定流基本微分方程为（ ）。 （1） （2） 13．描述地下水剖面二维流的微分方程为 （ ） 14．描述均质各向同性含水层中地下水部面二维流微分方程为 。（ ） 15．通常所指的布西涅斯克方程实际上就是具有源项的潜水运动的基本微分方程。（ ） 16．第二类边界的边界面有时可以是流面，也可以是等势面或者既不是流面也不是等势面。（ ） 17．在实际计算中，如果边界上的流量和水头均已知，则该边界既可做为第一类边界也可做为第二类边界处理。（ ） 18．凡是边界上存在着河渠或湖泊等地表水体时，都可以将该边界做为第一类边界处理。（ ） 19．同一时刻在潜水井流的观测孔中测得的平均水位降深值总是大于该处潜水面的降深值。（ ） 20．凡是承压含水层中剖面上的等水头线都是铅垂线。（ ） 21．在潜水含水层中，同一铅垂面上的地下水位启下而上是逐渐抬高，潜水面处的地下水位最高。（ ） 22．在水平分布的均质潜水含水层中任取两等水头面分别交于底板A 、B 和潜
质点运动微分方程
第3篇 动力学 第10章 质点运动微分方程 一、目的要求 1．对质点动力学的基本概念（如惯性、质量等）和动力学基本定律要在物理课程的基础上进一步理解其实质。 2．深刻理解力和加速度的关系，能正确地建立质点的运动微分方程，掌握质点动力学第一类基本问题的解法。 3．掌握质点动力学第二类基本问题的解法，特别是当作用力分别为常力、时间函数、位置函数和速度函数时，质点直线运动微分方程的积分求解方法。对运动的初始条件的力学意义及其在确定质点运动中的作用有清晰的认识，并会根据题目的已知条件正确提出运动的初始条件。 二、基本内容 1．基本概念： 动力学的基本定律，质点的运动微分方程；质点动力学的两类基本问题。 2．主要公式： （1）牛顿第二定律：a m F =（式中，质点的质量为m ，所受合力为F ，其加速度为a 。） （2）质点运动微分方程 1）矢径形式：22dt r d m F =或F r m =，∑=i F F 2）直角坐标形式：∑=x F dt x d m 22，∑=y F dt y d m 22，∑=z F dt z d m 22 3）自然坐标形式：2n m F υρ=∑，d m F dt τυ =∑，∑ = b F 0 强调：动力学基本定律仅在惯性参考系中成立，因此，公式中的速度、加速度指的是绝对速度和绝对加速度。 三、重点和难点 1．重点： （1）建立质点运动微分方程。 （2）求解质点动力学的两类基本问题。 2．难点： 在质点动力学第二类问题中，根据题目所要求的问题对质点运动微分方程进行变量交换后再积分的方法。 四、教学提示 1．建议 （1）在复习物理课程有关内容的基础上，进一步理解动力学各定律的实质，了解古典力学的适用范围。 （2）复习和运用静力学中的合力投影定理与点的运动学知识，学习如何建立不同形式的质点运动微分方程。 （3）注意区分质点动力学的两类基本问题及其解题特点，归纳动力学问题的解题步骤。 2.建议学时 课内（2学时）课外（3学时） 3．作业 10-5，10-12，10-14
地下水动力学习地的题目标准详解
一、解释术语1. 渗透速度2. 实际速度3. 水力坡度4. 贮水系数5. 贮水6. 渗透系数7. 渗透率8. 尺度效应9. 导水系数 1．地下水动力学是研究地下水在孔隙岩石、裂隙岩石和岩溶岩石中运动规律的科学。通常把具有连通性的孔隙岩石称为多孔介质，而其中的岩石颗粒称为骨架。多孔介质的特点是多相性、孔隙性、连通性和压缩性。 2．地下水在多孔介质中存在的主要形式有吸着水、薄膜水、毛管水和重力水，而地下水动力学主要研究 重力水的运动规律。 3．在多孔介质中，不连通的或一端封闭的孔隙对地下水运动来说是无效的，但对贮水来说却是 有效的。 4. 地下水过水断面包括_空隙_和_固体颗粒_所占据的面积.渗透流速是_过水断面_上的平均速度，而实际速度是_空隙面积上__的平均速度。 在渗流中，水头一般是指 测压管水头 ，不同数值的等水头面(线)永远 不会相交。 在渗流场中，把大小等于_水头梯度值_，方向沿着_等水头面_的法线，并指向水头_降低_ 方向的矢量，称为水力坡度。水力坡度在空间直角坐标系中的三个分量分别为_H x ?- ?_、 H y ?- ?_和_H z ?- ?_。 6. 渗流运动要素包括_流量Q_、_渗流速度v_、_压强p_和_水头H_等等。 7. 根据地下水渗透速度_矢量方向_与_空间坐标轴__的关系，将地下水运动分为一维、二维和三维运动。 8. 达西定律反映了渗流场中的_能量守恒与转换_定律。 9. 渗透率只取决于多孔介质的性质，而与液体的性质无关，渗透率的单位为cm2或da 。 10. 渗透率是表征岩石渗透性能的参数，而渗透系数是表征岩层 透水能力 的参数，影响渗透系数大小的主要是岩层颗粒大小以及 水的物理性质 ，随着地下水温度的升高，渗透系数增大 。 11. 导水系数是描述含水层 出水能力 的参数，它是定义在 平面一、二 维流中的水文地质参数。 12. 均质与非均质岩层是根据_岩石透水性与空间坐标_的关系划分的，各向同性和各向异性岩层是根据__岩石透水性与水流方向__关系划分的。 13. 渗透系数在各向同性岩层中是_标量_，在各向异性岩层是__张量_。在三维空间中它由_9个分量_组成，在二维流中则由_4个分量_组成。 14. 在各向异性岩层中，水力坡度与渗透速度的方向是_不一致_。 15. 当地下水流斜向通过透水性突变界面时，介质的渗透系数越大，则折射角就越_大_。 16. 地下水流发生折射时必须满足方程_11 22tan tan K K θθ= _， 而水流平行和垂直于突变界面时则 _均不发生折射_。 17. 等效含水层的单宽流量q 与各分层单宽流量qi 的关系：当水流平行界面时_1 n i i q q ==∑_， 当水流垂直于界面时_ 12n q q q q ====L _。