初二数学复习讲义——-勾股定理汇编

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苏科版八年级数学勾股定理复习讲义

《勾股定理》复习讲义一、知识体系：二、知识点：1、直角三角形两边的平方和等于斜边的平方。

即：a2＋b2=c2（a、b为直角边，c为斜边）.注意：（1）勾股定理只有在直角三角形中才适用，如果不是直角三角形，三边就没有这种关系。

（2）勾股定理揭示的是直角三角形三边之间的数量关系：两直角边的平方和等于斜边的平方，不是任意两边的平方和都等于第三边的平方。

2、勾股定理的验证验证勾股定理的有效方法，一般遵循以下几个步3、勾股定理的逆定理：（重点）如果三角形的三边长a、b、c且a2＋b2=c2，那么这个三角形是直角三角形。

注意：（1）证明时不能说成“在直角三角形中”，因为还没有确定是直角三角形，当然也不能说成“斜边、直角边”（2）a2＋b2=c2它只是一种表现形式，不能因为a2＋b2≠c2就说这个三角形不是直角三角形。

如a =5，b=3,c=4. a2＋b2≠c2但此三角形是直角三角形。

a为斜边。

利用勾股定理判别一个三角形是不是直角三角形的方法：求出三角形中较小两边的平方和与较大边的平方进行比较，如果相等，可判断这个三角形是直角三角形，否则不是。

勾股数：满足a2＋b2=c2的3个正整数，且满足a2＋b2=c2。

三、应用举例：（基础题）利用勾股定理求三角形的边长1、已知△ABC中，∠C=90°，AB=c，AC=b（c为斜边、a、b为直角边），（1）如果a=7，b=24，求c；（2）如果a=15，c=17，求b。

2、已知直角三角形的一边和另外两边的关系，求另外两边的长填空：（1）直角三角形的一条直角边和斜边的比是3:5，已知这条直角边的长是12，则斜边长为（2）在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=60°，b=6（c为斜边，a、b为直角边）则c= ，a= 3、利用勾股定理说明边的关系如图，AD是△ABC的中线，试说明：AB2＋AC2=2（AD2＋CD2）方法总结：说明三角形各边之间的平方关系的方法：首先观察各边是否在直角三角形中，如果在，可直接利用勾股定理进行说明；否则需要作垂线，使所证明各边在直角三角形中，再利用勾股定理来说明。

初二数学--勾股定理讲义

初二数学勾股定理【知识点归纳】1已知直角三角形的两边，求第三边勾股定理$ 2、求直角三角形周长、面积等问题3、验证勾股定理成立1勾股数的应用勾股定理丿勾股定理的逆定理* 2、判断三角形的形状3、求最大、最小角的问题2、求长度问题3、最短距离问题勾股定理的应用」4、航海问题5、网格问题6、图形问题考点一：勾股定理（1 ）对于任意的直角三角形，如果它的两条直角边分别为a、b，斜边为c，那么一定有b2勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。

（2）结论：①有一个角是30°的直角三角形，30°角所对的直角边等于斜边的一半。

②有一个角是45°的直角三角形是等腰直角三角形。

③直角三角形斜边的中线等于斜边的一半。

（3）勾股定理的验证例题：例1已知直角三角形的两边，利用勾股定理求第三边。

(1) 在 Rt △ ABC 中，/ C=90°① 若 a=5, b=12，贝U c= _________ ; ② 若 a=15, c=25，则 b= _________ ; ③ 若 c=61, b=60,则 a= __________ ;④ 若a : b=3 : 4, c=10贝U Rt A ABC 的面积是= _______、2(2) 如果直角三角形的两直角边长分别为n -1 , 2n(n>1),那么它的斜边长是(2 2 2C. c b =aD.以上都有可能(4)已知一个直角三角形的两边长分别为 3和4，则第三边长的平方是() A 、25B 、14C 、7D 、7 或 25例2:已知直角三角形的一边以及另外两边的关系利用勾股定理求周长、面积等问题。

(1)直角三角形两直角边长分别为 ___________ 5和12,则它斜边上的高为。

(2)已知 Rt △ ABC 中，/ C=90 °，若 a+b=14cm , c=10cm ，贝U Rt △ ABC 的面积是()2 2 2 2A 、24 cmB 、36 cm c 、48 cm D 、60 cmA 、2nB 、 n+1D 、n 2(3)在 Rt △ ABC 中, a,b,c 为三边长，则下列关系中正确的是(2 丄.2A. a b c 2 丄 2.2B. a +c =b cbb(3)已知x、y为正数，且|X2-4 I + (y2-3) 2=0，如果以x、y的长为直角边作一个直角三角形，那么以这个直角三角形的斜边为边长的正方形的面积为( )A、5B、25C、7D、15例3:探索勾股定理的证明有四个斜边为C 、两直角边长为 a,b 的全等三角形，拼成如图所示的五边形，利用这个图形证明勾股定理。

八年级数学下册《勾股定理》知识点总结

八年级数学下册《勾股定理》知识点总结八年级数学下册《勾股定理》知识点总结1.勾股定理：如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2＋b2=c2。

2.勾股定理逆定理：如果三角形三边长a,b,c满足a2＋b2=c2。

，那么这个三角形是直角三角形。

3.经过证明被确认正确的命题叫做定理。

我们把题设、结论正好相反的两个命题叫做互逆命题。

如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。

（例：勾股定理与勾股定理逆定理）4.直角三角形的性质（1）、直角三角形的两个锐角互余。

可表示如下：∠C=90°∠A+∠B=90°（2）、在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。

∠A=30°可表示如下：BC=AB∠C=90°（3）、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半∠ACB=90°可表示如下：CD=AB=BD=ADD为AB的中点5、摄影定理在直角三角形中，斜边上的高线是两直角边在斜边上的摄影的比例中项，每条直角边是它们在斜边上的摄影和斜边的比例中项∠ACB=90°CD⊥AB6、常用关系式由三角形面积公式可得：ABCD=ACBC7、直角三角形的判定1、有一个角是直角的三角形是直角三角形。

2、如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。

3、勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c有关系，那么这个三角形是直角三角形。

8、命题、定理、证明1、命题的概念判断一件事情的语句，叫做命题。

理解：命题的定义包括两层含义：（1）命题必须是个完整的句子；（2）这个句子必须对某件事情做出判断。

2、命题的分类（按正确、错误与否分）真命题（正确的命题）命题假命题（错误的命题）所谓正确的命题就是：如果题设成立，那么结论一定成立的命题。

所谓错误的命题就是：如果题设成立，不能证明结论总是成立的命题。

3、公理人们在长期实践中总结出来的得到人们公认的真命题，叫做公理。

勾股定理(讲义),勾股定理

A．24米2. B.36米2. C.48米2. D.72米2.
22．在一块平地上，李大爷家屋前9米远处有一棵大树．在一次强风中，这棵大树从离地面6米处折断倒下，量得倒下部分的长是10米．出门在外的李大爷担心自己的房子被倒下的大树砸到．大树倒下时能砸到李大爷的房子吗？请你通过计算、分析后给出正确的回答．（）
A．（3，3） B.（-3，3） C.（-3，-3） D.（3 ，3 ）
19．如图所示：数轴上点A所表示的数为a，则a的值是（）
A． +1 B．- +1 C． -1 D．
20．直角三角形的周长为24，斜边长为10，则其面积为（）．
A．96 B．49 C．24 D．48
21.老李家有一块草坪如图所示.已知AB=3米,BC=4米,CD=12米,DA=13米,且AB⊥BC,这块草坪的面积是( )
12．如图，如果以正方形ABCD的对角线AC为边作第二个正方形ACEF，再以对角线AE为边作第三个正方形AEGH，如此下去，…，已知正方形ABCD的面积为1，按上述方法所作的正方形的面积依次为，…，（n为正整数），那么第8个正方形的面积＝_______________
二、看准了再选
13．“数轴上的点并不都表示有理数，如图中数轴上的点所表示的数是 ”，这种利用图形直观说明问题的方式体现的数学思想方法叫（）
Ａ．一定不会Ｂ．可能会Ｃ．一定会Ｄ．以上答案都不对
23．如图，在直角坐标系中，将矩形OABC沿OB对折，使点A落在A1处，已知OA= ，AB=1，则点A1的坐标是（）。
A、( )B、( )C、( )D、( )
三、想好了再规范的写
24、已知：在四边形ABCD中，AB=3cm, BC=5cm，CD= ,AD=2cm,AC⊥AB

初二数学--勾股定理讲义

初二数学勾股定理【知识点归纳】考点一：勾股定理（1）对于任意的直角三角形，如果它的两条直角边分别为a 、b ，斜边为c ，那么一定有222c b a =+勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。

（2）结论：①有一个角是30°的直角三角形，30°角所对的直角边等于斜边的一半。

②有一个角是45°的直角三角形是等腰直角三角形。

③直角三角形斜边的中线等于斜边的一半。

（3）勾股定理的验证例题：例1：已知直角三角形的两边，利用勾股定理求第三边。

（1）在Rt △ABC 中，∠C=90°①若a=5，b=12，则c=___________；②若a=15，c=25，则b=___________；③若c=61，b=60，则a=__________；④若a ∶b=3∶4，c=10则Rt △ABC 的面积是=________。

（2）如果直角三角形的两直角边长分别为1n 2-，2n （n>1），那么它的斜边长是（） A 、2n B 、n+1 C 、n 2－1 D 、1n 2+（3）在Rt △ABC 中，a,b,c 为三边长，则下列关系中正确的是（）A.222a b c +=B. 222a c b +=C. 222c b a +=D.以上都有可能（4）已知一个直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是（）A 、25B 、14C 、7D 、7或25例2：已知直角三角形的一边以及另外两边的关系利用勾股定理求周长、面积等问题。

（1）直角三角形两直角边长分别为5和12，则它斜边上的高为__________。

（2）已知Rt △ABC 中，∠C=90°，若a+b=14cm ，c=10cm ，则Rt △ABC 的面积是（） A 、242c m B 、36 2c m C 、482c m D 、602c m（3）已知x 、y 为正数，且│x 2-4│+（y 2-3）2=0，如果以x 、y 的长为直角边作一个直角三角形，那么以这个直角三角形的斜边为边长的正方形的面积为（）A 、5B 、25C 、7D 、15例3：探索勾股定理的证明有四个斜边为c 、两直角边长为a,b 的全等三角形，拼成如图所示的五边形，利用这个图形证明勾股定理。

初二数学复习讲义——-勾股定理

例３.如图中, , ， , ，求的长
例4。如图，，分别以各边为直径作半圆，求阴影部分面积
题型三：实际问题中应用勾股定理
例5.如图有两棵树，一棵高，另一棵高，两树相距，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵数的树梢，至少飞了
题型四:应用勾股定理逆定理，判定一个三角形是否是直角三角形
例6.已知三角形的三边长为，，，判定是否为
四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为
大正方形面积为
所以
方法三：， ,化简得证
３.勾股定理的适用范围
勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形
４。勾股定理的ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ用
常见图形：
题型一:直接考查勾股定理
例１.在中, ．
（1）已知 , ．求的长
（2）已知，，求的长
题型二：应用勾股定理建立方程
例２.
1在中，， , , 于，＝
2⑵已知直角三角形的两直角边长之比为，斜边长为 ,则这个三角形的面积为
3已知直角三角形的周长为 ,斜边长为，则这个三角形的面积为
②定理中，，及只是一种表现形式,不可认为是唯一的，如若三角形三边长，，满足，那么以，，为三边的三角形是直角三角形，但是为斜边
③勾股定理的逆定理在用问题描述时，不能说成：当斜边的平方等于两条直角边的平方和时,这个三角形是直角三角形
６。勾股数
①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即中，， , 为正整数时，称， , 为一组勾股数
８.．勾股定理逆定理的应用

八年级数学《勾股定理》章节复习讲义

6．已知：△ABC 中，AB＝15，AC＝13，BC 边上的高 AD＝12，BC＝_______． 7. 已知，如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，四边形 OABC 是矩形，点 A、C 的坐标分别为 A（10， 0）、C（0，4），点 D 是 OA 的中点，点 P 在 BC 边上运动，当△ODP 是腰长为 5 的等腰三角形时，点 P 的坐标为________．
则不是直角三角形. 3.勾股数
满足不定方程 x2 y2 z2 的三个正整数，称为勾股数（又称为高数或毕达哥拉斯数），显然，以 x、y、z
为三边长的三角形一定是直角三角形. 常见的勾股数：①3、4、5； ②5、12、13；③8、15、17；④7、24、25；⑤9、40、41.
如果( a、b、c )是勾股数，当 t 为正整数时，以 at、bt、ct 为三角形的三边长，此三角形必为直角三角形.
勾股定理的逆定理：
如果三角形的三边长 a、b、c ，满足 a2 b2 c2 ，那么这个三角形是直角三角形.
应用勾股定理的逆定理判定一个三角形是不是直角三角形的基本步骤：
（1）首先确定最大边，不妨设最大边长为 c ；（2）验证 c2 与 a2 b2 是否具有相等关系，若 a2 b2 c2 ，则△ABC 是以∠C 为直角的直角三角形，反之，
5、如图所示，△ABC 是等腰直角三角形，AB＝AC，D 是斜边 BC 的中点，E、F 分别是 AB、AC 边上的点，且 DE⊥DF，若 BE＝12，CF＝5．求线段 EF 的长.
2.方程的思想方法 6、如图所示，已知△ABC 中，∠C＝90°，∠A＝60°，
，求、、的值.
变式训练
【变式 1】如图所示，在△ABC 中，D 是 BC 边上的点，已知 AB＝13，AD＝12，AC＝15，BD＝5，求 DC 的长．

初二数学勾股定理讲义

第一章勾股定理复习：三角形（内角和、面积）、梯形面积公式、幂、完全平方公式思考：如何测量方桌对角线的长度？知识点总结：1、勾股定理：在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方。

2、常见勾股数：3 4 5；6 8 10；5 12 13；8 15 173、勾股定理的证明1876年美国总统的证明课本的证明4、勾股定理的逆定理：在三角形中，如果两条边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。

5、勾股定理的应用注意：勾股定理在复杂证明题中往往能发挥较大的作用练习一、选择题1. 直角三角形一直角边长为12，另两条边长均为自然数，则其周长为( ).（A ）30 （B ）28 （C ）56 （D ）不能确定2. 直角三角形的斜边比一直角边长2 cm ，另一直角边长为6 cm ，则它的斜边长（A ）4 cm （B ）8 cm （C ）10 cm （D ）12 cm3. 已知一个Rt △的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是（）（A ）25 （B ）14 （C ）7 （D ）7或254. 等腰三角形的腰长为10,底长为12,则其底边上的高为( )（A ）13 （B ）8 （C ）25 （D ）645. 将直角三角形的三条边长同时扩大同一倍数, 得到的三角形是( )（A ）钝角三角形（B ）锐角三角形（C ）直角三角形（D ）等腰三角形二、填空题1. 如图为某楼梯,测得楼梯的长为5米,高3米,计划在楼梯表面铺地毯,地毯的长度至少需要____________米.2. 在直角三角形ABC 中，斜边AB =2，则222AB AC BC ++=______.3. 直角三角形的三边长为连续偶数，则其周长为 .三、解答题1. 如图，在三角形中AB=AC=5，底边BC 上的高是4.求这个三角形的周长.2. 如图，一架2.5米长的梯子AB ，斜靠在一竖直的墙AC 上，这时梯足B 到墙底端C 的距离为0.7米，如果梯子的顶端沿墙下滑0.4米，那么梯足将向外移多少米？ C A 1B 1AB 5米 3米。

初二数学勾股定理讲义

初二数学勾股定理【知识点归纳】考点一：勾股定理（1）对于任意的直角三角形，如果它的两条直角边分别为a、b，斜边为c，那么一定有2c22+ba=勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。

（2）结论：①有一个角是30°的直角三角形，30°角所对的直角边等于斜边的一半。

②有一个角是45°的直角三角形是等腰直角三角形。

③直角三角形斜边的中线等于斜边的一半。

（3）勾股定理的验证例题：例1：已知直角三角形的两边，利用勾股定理求第三边。

（1）在Rt△ABC中，∠C=90°①若a=5，b=12，则c=___________；②若a=15，c=25，则b=___________；③若c=61，b=60，则a=__________；④若a∶b=3∶4，c=10则Rt△ABC的面积是=________。

（2）如果直角三角形的两直角边长分别为1n2-，2n（n>1），那么它的斜边长是（）A、2n B、n+1 C、n2－1 D、1n2+（3）在Rt△ABC中，a,b,c为三边长，则下列关系中正确的是（）A.222+=a c b+= B.222a b cC.222+= D.以上都有可能c b a（4）已知一个直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是（）A、25B、14C、7D、7或25例2：已知直角三角形的一边以及另外两边的关系利用勾股定理求周长、面积等问题。

（1）直角三角形两直角边长分别为5和12，则它斜边上的高为__________。

（2）已知Rt△ABC中，∠C=90°，若a+b=14cm，c=10cm，则Rt△ABC的面积是（）A、242c mc m D、602c m B、362c m C、482（3）已知x、y为正数，且│x2-4│+（y2-3）2=0，如果以x、y的长为直角边作一个直角三角形，那么以这个直角三角形的斜边为边长的正方形的面积为（）A、5B、25C、7D、15例3：探索勾股定理的证明有四个斜边为c 、两直角边长为a,b 的全等三角形，拼成如图所示的五边形，利用这个图形证明勾股定理。

(word完整版)初二数学--勾股定理讲义(经典)

第一章勾股定理【知识点归纳】123456⎧⎪⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎩1、已知直角三角形的两边，求第三边勾股定理2、求直角三角形周长、面积等问题3、验证勾股定理成立1、勾股数的应用勾股定理勾股定理的逆定理2、判断三角形的形状3、求最大、最小角的问题、面积问题、求长度问题、最短距离问题勾股定理的应用、航海问题、网格问题、图形问题考点一：勾股定理（1）对于任意的直角三角形，如果它的两条直角边分别为a 、b ，斜边为c ，那么一定有222c b a =+ 勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。

（2）结论：①有一个角是30°的直角三角形，30°角所对的直角边等于斜边的一半。

②有一个角是45°的直角三角形是等腰直角三角形。

③直角三角形斜边的中线等于斜边的一半。

（3）勾股定理的验证abcab cab cabcababa bba例题：例1：已知直角三角形的两边，利用勾股定理求第三边。

（1）在Rt △ABC 中，∠C=90°①若a=5，b=12，则c=___________； ②若a=15，c=25，则b=___________； ③若c=61，b=60，则a=__________；④若a ∶b=3∶4，c=10则Rt △ABC 的面积是=________。

（2）如果直角三角形的两直角边长分别为1n 2-，2n （n>1），那么它的斜边长是（） A 、2nB 、n+1C 、n 2－1D 、1n 2+（3）在Rt △ABC 中，a,b,c 为三边长，则下列关系中正确的是（）A.222a b c +=B. 222a c b +=C. 222c b a +=D.以上都有可能（4）已知一个直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是（）A 、25B 、14C 、7D 、7或25例2：已知直角三角形的一边以及另外两边的关系利用勾股定理求周长、面积等问题。

【初二】第三章勾股定理讲义

勾股定理1.1 勾股定理的内容：如果直角三角形的两直角边分别是a 、b ，斜边为c ，那么222a b c +=．即直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方。

1.2勾股定理的证明：如果三角形中两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。

即 222,,ABC AC BC AB ABC ∆+=∆在中如果那么是直角三角形。

1.4勾股数：满足222a b c +=的三个正整数，称为勾股数．勾股数扩大相同倍数后，仍为勾股数．常用勾股数：3、4、5； 5、12、13；7、24、25；8、15、17。

【例1】下列说法正确的是（）A. 若a b c ，，是ABC ∆的三边，则222a b c +=B. 若a b c ，，是Rt ABC ∆的三边，则222a b c +=C. 若 a b c ，，是Rt ABC ∆的三边，90A ∠=︒，则222a b c +=D. 若 a b c ，，是Rt ABC ∆的三边，90C ∠=︒，则222a b c +=【例2】若一个直角三角形三边的长分别是三个连续的自然数，则这个三角形的周长为（）CABcb aDCGFE Hcb a cba ED CBA【例3】一个直角三角形的三边为三个连续偶数，则它的三边长分别为．在直角三角形中，一条直角边为11cm ，另两边是两个连续自然数，则此直角三角形的周长为______．【例4】直角三角形中一直角边的长为9，另两边为连续自然数，则直角三角形的周长为（）A ．121B ．120C ．90D ．不能确定【例5】三角形的三边长分别为6,8,10，它的最短边上的高为( )A. 6B. 4.5 C【例6】如果把直角三角形的两条直角边同时扩大到原来的2倍，那么斜边扩大到原来的( )A. 1倍B. 2倍C. 3倍D. 4倍【例7】在Rt ABC ∆中， 90C ∠=︒，（1）如果34a b ==，，则c =_______；（2）如果68a b ==，，则c =_______；（3）如果512a b ==，，则c =________；（4）如果1520a b ==，，则c =________.(5)若c ＝41，a ＝40，则b ＝______； (6)若∠A ＝30°，a ＝1，则c ＝______；(7)若∠A ＝45°，a ＝1，则b ＝______．【例8】如图所示，在ABC ∆中，三边a b c ，，的大小关系是（）A. a b c <<B. c a b <<C. c b a <<D. b a c <<【例9】如图，学校有一块长方形花铺，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花铺内走出了一条“路”．他们仅仅少走了步路（假设2步为1米），却踩伤了花草．【例10】已知，如图所示，折叠长方形的一边AD ，使点D 落在BC 边的点F 处，•如果8cm AB =，10cm BC =，EC 的长为．【例11】一个矩形的抽屉长为24cm ，宽为7cm,在里面放一根铁条，那么铁条最长可以是．【例12】如图，将一根30㎝长的细木棒放入长、宽、高分别为8㎝、6㎝和24㎝的长方体无盖盒子中，求细木棒露在盒外面的最短长度是多少？CBA“路”4m3m【例13】将一根长为24cm 的筷子，置于底面直径为5cm ，高为12cm 的圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外边的长度为cm h ，则h 的取值范围为（）【例14】如图，以一个直角三角形的三边为边长分别向外作三个正方形，如果两个较大正方形的面积分别是576和676，那么最小的正方形的面积为（）【例15】在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ．(1)若a ∶b ＝3∶4，c ＝75cm ，求a 、b ； (2)若a ∶c ＝15∶17，b ＝24，求△ABC 的面积； (3)若c －a ＝4，b ＝16，求a 、c ； (4)若a 、b 、c 为连续整数，求a ＋b ＋c ．2 勾股定理的逆定理【例1】分别以下列四组数为一个三角形的边长：(1)6、8、10；(2)5、12、13；(3)8、15、17； (4)4、5、6，其中能构成直角三角形的有____________．(填序号)【例2】下列线段不能组成直角三角形的是( )．A ．a ＝6，b ＝8，c ＝10B ．3,2,1===c b aC ．43,1,45===c b a D ．6,3,2===c b a【例3】已知ABC △的三边长分别为5，13，12，则ABC △的面积为（）A ．30B ．60C ．78D ．不能确定【例4】在ABC △中，a 、b 、c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边，①若a 2＋b 2＞c 2，则∠c 为____________； ②若a 2＋b 2＝c 2，则∠c 为____________； ③若a 2＋b 2＜c 2，则∠c 为____________．【例5】若ABC △中，()()2b a b a c -+=，则B ∠=____________；【例6】如图，正方形网格中，每个小正方形的边长为1，则网格上的ABC△是______三角形．【例7】下面各选项给出的是三角形中各边的长度的平方比，其中不是直角三角形的是( )．A ．1∶1∶2B ．1∶3∶4C ．9∶25∶26D ．25∶144∶169【例8】已知三角形的三边长为n 、n ＋1、m (其中m 2＝2n ＋1)，则此三角形( )．A ．一定是等边三角B ．一定是等腰三角形C ．一定是直角三角D ．形状无法确定【例9】若一个三角形的三边长分别为1、a 、8(其中a 为正整数)，则以22a a a -+、、为边的三角形的面积为______．【例10】 ABC △的两边a b ，分别为512，，另一边c 为奇数，且a b c ++是3的倍数，则c 应为______，此三角形为______．【例11】如图，ABC △中，90C ∠=︒，330AC B =∠=︒，，点P 是BC 边上的动点，则AP 长不可能是（）A ．B ．C ．D ．7【例12】如图，在△ABC 中，已知AB =AC =2a ，∠ABC =15°，CD 是腰AB 上的高，求CD 的长．DCBA【例13】如图所示，已知∠1=∠2，AD =BD =4，CE ⊥AD ，2CE =AC ，那么CD 的长是（）【例14】如图，在△ABC 中，D 为BC 边上的一点，已知AB ＝13，AD ＝12，AC ＝15，BD ＝5，求CD 的长．【例15】如图，在ABC △中，CD AB ⊥于D ，9435AC BC DB ===，，．（1）求CD AD ，的值；（2）判断ABC △的形状，并说明理由．【例16】已知：如图，四边形ABCD 中，AB ⊥BC ，AB ＝1，BC ＝2，CD ＝2，AD ＝3，求四边形ABCD 的面积．【例17】如图所示，在四边形ABCD 中，已知：AB ：BC ：CD ：DA =2：2：3：1，且∠B =90°，求∠DAB 的度数．【例18】如图，已知CA ⊥AB ，DB ⊥AB ，AC =BE ，AE =BD ．（1）试猜想线段CE 与DE 的大小与位置关系，并说明你的结论；（2）若AC =5，BD =12，求CE 的长．【例19】阅读理解题：（1）如图所示，在ABC △中，AD 是BC 边上的中线，且PBCA21EBDCADCBAABDCD CBACDBE AA12AD BC =．求证：90BAC ∠=︒（2）此题实际上是直角三角形的另一个判定定理，请你用文字语言叙述出来．（3）直接运用这个结论解答下列题目：一个三角形一边长为5，这边上的中线长为，另两边之和为7，求这个三角形的面积．【例20】已知：如图，在正方形ABCD 中，F 为DC 的中点，E 为CB 的四等分点且CE ＝CB 41，求证：AF ⊥FE ．【例21】已知∠MAN ，AC 平分∠MAN ．（1）在图1中，若∠MAN =120°，∠ABC =∠ADC =90°，求证：AB +AD =AC ；（2）在图2中，若∠MAN =120°，∠ABC +∠ADC =180°，则（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；BCDN AM MAND CB【例22】在B 港有甲、乙两艘渔船，若甲船沿北偏东60°方向以每小时8海里的速度前进，乙船沿南偏东某个角度以每小时15海里的速度前进，2小时后，甲船到M 岛，乙船到P 岛，两岛相距34海里，你知道乙船是沿哪个方向航行的吗?． 1.等腰直角三角形的斜边为10，则腰长为______，斜边上的高为______．2.如图，一根高8米的旗杆被风吹断倒地，旗杆顶端A 触地处到旗杆CB A底部B 的距离为6米，则折断点C 到旗杆底部B 的距离为3.如图，△ABC 中，AB ＝AC ＝10，BD 是AC 边上的高线，DC ＝2，则BD 等于．4. Rt △ABC 中，斜边BC ＝2，则222AB AC BC ++的值为( )．5.如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝30°，BD 是∠ABC 的平分线，AD ＝20，则CD 的长为．6.在△ABC 中，AB =6，AC =8，BC =10，则该三角形为（） A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．等腰直角三角形 7.如图，已知正方形ABED 与正方形BCFE ，现从A ，B ，C ，D ，E ，F 六个点中任取三个点，使得这三个点能作为直角三角形的三个顶点，则这样的直角三角形共有（）A ．10B ．12C ．14D ．168.如图，在Rt ABC △中，已知，90ACB ∠=︒，15B ∠=︒，AB 边的垂直平分线交AB 于E ，交BC 于D ，且13BD =，则AC 的长是．9. 如图所示，在ABC △中，::3:4:5AB BC CA =，且周长为36，点P 从点A 开始沿AB 边向B 点以每秒1cm 的速度移动；点Q 从点B 沿BC 边向点C 以每秒2cm 的速度移动，如果同时出发，则过3秒时，BPQ △的面积为（）2cm ．10. 如图所示的一块地，已知AD =4m ，CD =3m ，AD ⊥DC ，AB =13m ，BC =12m ，求这块地的面积．DCBAFECBDAE DBC AQCA。

八年级数学勾股定理专题讲义及强化练习

八年级数学勾股定理专题讲义及强化练习1. 勾股定理的内容：如果直角三角形的两直角边分别是a 、b ，斜边为c ，那么222a b c +=．即直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方。

注：勾——最短的边、股——较长的直角边、弦——斜边。

2. 勾股定理的证明：（1）方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图所示的正方形：()22222142.ABCD S a b c aba b c =+=+⨯∴+=正方形（2）方法二:将四个全等的直角三角形拼成如图所示的正方形：()22222142.S c a b aba b c =-+⨯∴+=正方形EFGH（3）方法三：“总统”法.如图所示将两个直角三角形拼成直角梯形：2()()112222ABCD a b a b S ab c +-==⨯+梯形222.a b c ∴+=CAB cba DC B AGFEH新知学习3. 勾股定理的逆定理：如果三角形中两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。

即 222,,ABC AC BC AB ABC ∆+=∆在中如果那么是直角三角形。

4. 勾股数：满足222a b c +=的三个正整数，称为勾股数．勾股数扩大相同倍数后，仍为勾股数．常用勾股数：3、4、5； 5、12、13；7、24、25；8、15、17。

一勾股定理【例1】下列说法正确的是（）A. 若a b c ，，是ABC ∆的三边，则222a b c += B. 若a b c ，，是Rt ABC ∆的三边，则222a b c += C. 若 a b c ，，是Rt ABC ∆的三边，90A ∠=︒，则222a b c += D. 若 a b c ，，是Rt ABC ∆的三边，90C ∠=︒，则222a b c +=【例2】一个直角三角形的三边为三个连续偶数，则它的三边长分别为______．【练一练】在直角三角形中，一条直角边为11cm ，另两边是两个连续自然数，则此直角三角形的周长为______．【例3】在Rt ABC ∆中， 90C ∠=︒，c bacba ED CBA 基础演练（1）如果34a b ==，，则c =_______；（2）如果68a b ==，，则c =_______；（3）如果512a b ==，，则c =_______；（4）如果1520a b ==，，则c =_______。

初二勾股定理讲义

c b a D C A B第一讲勾股定理复习讲义知识点一、勾股定理1、勾股定理：直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。

在ABC Rt ∆中，,,,90B A C ∠∠︒=∠C ∠的对边分别为c b a ,,，则有：①222b a c +=；②222b c a -=；③222a c b -=.2、勾股数：满足a 2+b 2=c 2的三个，称为勾股数.常见勾股数如下（必须熟记）：3、常见平方数（必须熟记）：121112=； 144122=； 169132=； 196142=； 225152=；256162=； 289172=； 324182=； 361192=； 400202=；441212=； 484222=； 529232=； 576242=； 625252=4、勾股定理证明（等面积法）（1）已知：在△ABC 中，∠C=90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边为a 、b 、c 。

求证：222c b a =+。

（2）已知：在△ABC 中，∠C=90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边为a 、b 、c 。

求证：222c b a =+。

例题1.例题1.已知直角三角形的两边长分别为3和4，则斜边长为（）A ．4B ．5C ．4或5D ．5或变式练习：在△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝3，BC ＝4，则以AB 为边的正方形的面积为（）A ．9B ．16C ．25D ．53, 4, 56, 8, 10 9, 12, 15 12, 16, 20 15, 20, 25 5, 12, 1310, 24, 26 7, 24, 25 8 ,15 , 17 9, 40, 41例题2.两个边长分别为a ，b ，c 的直角三角形和一个两条直角边都是c 的直角三角形拼成如图所示的图形，用两种不同的计算方法计算这个图形的面积，则可得等式为（）A ．（a +b ）2＝c 2B ．（a ﹣b ）2＝c 2C ．a 2﹣b 2＝c 2D ．a 2+b 2＝c 2 变式练习：“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为a ，较短直角边长为b ，若ab ＝8，小正方形的面积为9，则大正方形的边长为（）A ．9B ．6C ．5D ．4例题3.如图1-1-1，在Rt ABC ∆中，ACB B A ABC ∠∠∠︒=∠,,,90所对的边分别为a,b,c.（1）若;,15,4:3:b c b a 求==（2）若.8,6的长及斜边上的高，求c b a ==变式练习：如图，△ABC 中，∠ACB=90°，AC=7，BC=24，CD ⊥AB 于D ．（1）求AB 的长；（2）求CD 的长．知识点二、勾股定理的逆定理勾股定理的概念(1)语言表述：在一个直角三角形中，的平方和等于的平方．(2)公式表述：已知：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c．则有.2．勾股定理的应用在直角三角形中，知道其中任意的都可以求出第三边．即：c＝，a＝，b＝.例题1.Rt△ABC中，斜边BC＝2，则AB2＋AC2＋BC2的值为( )A．8 B．4 C．6 D．无法计算变式练习：1.若直角三角形的两边为3和4，则第三边的长为2.若已知一个直角三角形的周长为30 cm，其中一个直角边长为12 cm，则它的斜边为cm．例题2.如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形a、b、c、d的边长分别是3、5、2、3，则最大正方形e的面积是()A．13 B．26C．47 D．94图1 图2变式练习：1.在直线上依次摆着7个正方形(如图6)，已知倾斜放置的3个正方形的面积分别为1，2，3，水平放置的4个正方形的面积是S1，S2，S3，S4，则S1＋S2＋S3＋S4＝_____．2.如图，直线l经过正方形ABCD的顶点B，点A、C到直线l的距离分别是1、2，则正方形的面积是．知识点三、折叠问题【例题】1．如图7，Rt△ABC中，AB=9，BC=6，∠B=90°，将△ABC折叠，使A点与BC的中点D重合，折痕为MN，则线段BN的长为( )A．53B．52C．4 D．5 图7 图82．某同学在制作手工作品的前两个步骤是：①先裁下了一张长BC＝20cm，宽AB＝16cm的长方形纸片ABCD；②将纸片沿着直线AE折叠，点D恰好落在BC 边上的点F处，请你根据①②步骤计算EC的长为．变式练习：1．如图，将长方形ABCD沿EF折叠，使顶点C恰好落在AB边的中点C′上，若AB＝6，BC＝9，则BF的长为()A．4 B．3 2 C．4.5 D．52．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3，AC＝5，点E在BC上，将△ABC 沿AE折叠，使点B落在AC边上的点B′处，求BE的长．知识点四、勾股定理中最短路径问题例题1.如图，两个村庄A、B在河CD的同侧，A、B两村到河的距离分别为AC=1千米，BD=3千米，CD=3千米，现在要在河边CD上建造一水厂，向A、B两村送自来水，铺设水管的工程费用为每千米20000元，请你在CD上选择水厂的位置O，使铺设水管的费用最省，并求出铺设水管的总费用W.例题2.如图，有一个圆柱体，它的高为20，底面半径为5，如果一直蚂蚁要从圆柱体的底面的A点，沿圆柱体表面爬到与A相对的上底面B点，则蚂蚁爬的最短路线长越为_______(л取3)例题3.如图①，一只蚂蚁在长方体的一个顶点A处，食物在这个长方体上和蚂蚁相对的顶点B处，蚂蚁急于吃到食物，所以沿长方体的表面向上爬，请你计算它从A处爬到B处的最短路线长为多少米？例题4.如图，︒AOB,点M、N分别在边OA、OB上，且OM=1,ON=3,点P、=∠30Q分别在边OB、OA上，则MP+PQ+QN的最小值是_________变式练习：1.如图，长方体的底面边长分别为1cm,3cm,高为6cm。

八年级勾股定理讲义

勾股定理一．知识点拨勾股定理是数学史上一颗璀璨的明珠，在西方数学史上称之为“毕达哥拉斯定理”1、勾股定理定义：如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2＋b2＝c2. 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方ABCabc弦股勾勾：直角三角形较短的直角边股：直角三角形较长的直角边弦：斜边勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c有下面关系：a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形。

2. 勾股数：满足a2＋b2＝c2的三个正整数叫做勾股数（注意：若a，b，c、为勾股数，那么ka，kb，kc同样也是勾股数组。

）*附：常见勾股数：3,4,5；5,12,13；6,8,10；7,24,25；8,15,17；9，40,41；9,12,15；3. 判断直角三角形：如果三角形的三边长a、b、c满足a2+b2=c2 ，那么这个三角形是直角三角形。

（经典直角三角形：勾三、股四、弦五）其他方法：（1）有一个角为90°的三角形是直角三角形。

（2）有两个角互余的三角形是直角三角形。

用它判断三角形是否为直角三角形的一般步骤是：（1）确定最大边（不妨设为c）；（2）若c2＝a2＋b2，则△ABC是以∠C为直角的三角形；若a2＋b2＜c2，则此三角形为钝角三角形（其中c为最大边）；若a2＋b2＞c2，则此三角形为锐角三角形（其中c为最大边）4.注意：（1）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半（2）在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。

（3）在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30°。

5. 勾股定理的作用：（1）已知直角三角形的两边求第三边。

（2）已知直角三角形的一边，求另两边的关系。

（3）用于证明线段平方关系的问题。

（4）利用勾股定理，作出长为n 的线段二．题型精析题型一直角三角形中已知两边，求第三边。