初中数学中考几何题中的新定义型题集锦

初中数学中考几何题中的新定义型题集锦

在近年的中考试题中，涌现出了许多创意新颖、情境熟悉的几何新定义型试题，为了便于同学们了解掌握这方面的信息，现从近年的中考试题中精选数例，供同学们参考与借鉴。

一、定义一种新的几何体

例1（2001年泰州市）我们把相似形的概念推广到空间：如果两个几何体大小不一定相等，但形状完全相同，就把它们叫做相似体，如图1，甲、乙是两个不同的正方体，正方体都是相似体。

（1）下列几何体中，一定属于相似体的是（ ）

A. 两个球体

B. 两个圆锥体

C. 两个圆柱体

D. 两个长方体

（2）请猜想出相似体的主要性质：

①相似体的一切对应线段（或弧长）的比等于_______；

②相似体表面积的比等于_______；

③相似体体积的比等于_______。

（3）假定在完全正常发育的条件下，不同时期的同一个人的人体是相似体，一个小朋友上幼儿园时身高为1.1m ，体重为18kg ，到了初三，身高为1.65m ，问他的体重为多少？（不考虑不同时期人体平均密度的变化）

解：（1）由相似体的定义可知，应选A 。

（2）①相似比；②相似比的平方；③相似比的立方。

（3）设初三时体重为x kg ，则由题意，得

()31.1:65.118:x =，

解之，得()kg 75.60x ≈

故到了初三时，他的体重约为60.75kg 。

二、定义一种新的规则

例2 （2003年安徽省）如图2，这些等腰三角形与正三角形的形状有差异，我们把它与正三角形的接近程度称为“正度”，在研究“正度”时，应保证相似三角形的“正度”相等。

设等腰三角形的底和腰分别为a 、b ，底角和顶角分别为α、β，要求“正度”的值是

非负数。

同学甲认为：可用式子|b a |-来表示“正度”，|b a |-的值越小，表示等腰三角形越接近正三角形。

同学乙认为：可用式子||β-α来表示“正度”，||β-α的值越小，表示等腰三角形越接近于正三角形。

探究：（1）他们的方案哪个较为合理，为什么？

（2）对你认为不合理的方案，请加以改进（给出式子即可）。

（3）请再给出一种衡量“正度”的表达式。

解：（1）乙同学的方案较为合理。因为||β-α的值越小，α与β越接近︒60，因而该等腰三角形越接近于正三角形，且能保证相似三角形的“正度”相等。

同学甲的方案不合理。因为不能保证相似三角形的“正度”相等。如：边长为4、4、2和边长为8、8.4的两个等腰三角形相似，但4|84|2|42|=-≠=-。

（2）对同学甲的方案可改用ka /|b a |-、kb /|b a |-等（k 为正数）来表示“正度”。

（3）还可以用|60|︒-α、|60|︒-β、|120|︒-β+α、()()[]

3/6026022︒-β+︒-α等来表示“正度”。

说明：（2）、（3）的答案不惟一，只要符合要求的均可。

三、定义一种新的线段

例3（2003年安徽省附加题）如图3，在五边形54321A A A A A 中，1B 是1A 对边43A A 的中点，连结11B A ，我们称11B A 是这个五边形的一条中对线，如果五边形的每条中对线都将五边形的面积分成相等的两部分。

求证：五边形的每条边都有一条对角线和它平行。

证明：如图3，取51A A 的中点3B ，连结33B A 、31A A 、41A A 、53A A 。

因为4113A B B A =，

所以411131A B A B A A S S △△=。

又因为四边形1321B A A A 与四边形5411A A B A 的面积相等，所以541321A A A A A A S S △△= 同理543321A A A A A A S S △△=，

所以543541A A A A A A S S △△=，

所以543A A A △与541A A A △的边54A A 上的高相等，所以5431A A A A ∥。

同理可证：5321A A A A ∥，4132A A A A ∥，5243A A A A ∥，4251A A A A ∥。

例4（2007年连云港市）如图4（1），点C 将线段AB 分成两部分，如果AC ：AB=BC ：AC ，那么称点C 为线段AB 的黄金分割点。

某研究小组在进行课题学习时，由黄金分割点联想到“黄金分割线”，类似地给出“黄金分割线”的定义：直线l 将一个面积为S 的图形分成两部分，这两部分的面积分别为1S 、2S ，如果121S :S S :S =，那么称直线l 为该图形的黄金分割线。

（1）研究小组猜想：在△ABC 中，若点D 为AB 边上的黄金分割点，如图4（2），则直线CD 是△ABC 的黄金分割线。你认为对吗？为什么？

（2）请你说明：三角形的中线是否也是该三角形的黄金分割线？

（3）研究小组在进一步探究中发现：过点C 任作一条直线交AB 于点E ，再过点D 作直线DF ∥CE ，交AC 于点F ，连结EF ，如图4（3），则直线EF 也是△ABC 的黄金分割线。请你说明理由。

（4）如图4（4），点E 是平行四边形ABCD 的边AB 的黄金分割点，过点E 作EF ∥AD ，交DC 于点F ，显然直线EF 是平行四边形ABCD 的黄金分割线，请你画一条平行四边形ABCD 的黄金分割线，使它不经过平行四边形ABCD 各边的黄金分割点。

解：（1）直线CD 是△ABC 的黄金分割线，理由如下：

设AB 边上的高为h ，则由AD ：AB=DB ：AD ，

得2/ADh :2/DBh 2/ABh :2/ADh =，

即ADC CDB ABC ADC S :S S :S △△△△=，

由黄金分割线的定义知：CD 是△ABC 的黄金分割线。

（2）三角形的中线不可能是该三角形的黄金分割线。

（3）证明：设DC 与EF 的交点为O 。

因为DF ∥CE ，所以COF DOF S S △△=，

所以ADC AEF S S △△=，CFEB CDB S S 四边形△=。

因为ADC CDB ABC ADC S :S S :S △△△△=，

所以AEF CFEB ABC AEF S :S S :S △四边形△△=，所以直线EF 是△ABC 的黄金分割线。

（4）画法不唯一，如：

画法1 如图5（1）取EF 的中点G ，过点G 作一条直线分别交AB 、DC 于M 、N 点，则直线MN 就是平行四边形ABCD 的黄金分割线。

画法2 在DF 上取一点N ，连结EN ，过点F 作FM ∥EN 交AB 于点M ，连结MN ，则直线MN 就是平行四边形ABCD 的黄金分割线，如图5（2）。

四、定义一种新的点

例5（2006年安徽省实验区）如图6，凸四边形ABCD ，如果点P 满足∠APD=∠APB=α，且∠BPC=∠CPD=β，则称点P 为四边形ABCD 的一个半等角点。