近世代数课件--置换群
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1 2 n
1 2 n 1 2 n 1 2 n 1 2 n 1 2 n 1 2 n
其中(5)称为单循环，它代表5变为5. 即5不变. (1 4) 为二循环，它代表1变为4，而4又变为1. (2 3 6) 为 三循环，代表2变为3，3变为6，6又变为2. 一般用记号
p1, p2 , , pk
2013-8-7 数学与计算科学学院 2
代表一个k循环，并称k为循环的长度，两个数字的 循环(即循环长度k=2)又称为对换. 显然，两没有 公共数字的独立循环之间是相互对易的，如
p (1 2 3) (4 6) (5)
其配分为： 6=3+2+1 或简记为[3 2 1]. 由于相互共轭的元素具有相同的
2013-8-7 数学与计算科学学院 11
循环结构，所以互为共轭元素的配分是相同的. 也 就是说 Sn 的一个共轭类中的所有元素对应于n的同 一个配分，所以置换群 Sn 的共轭类数目等于n的不 同的配分数. 例1: S 2 有两个类 配分 [1 1]=[ 12 ] , 有一个元素: (1)(2)= pe . 配分 [2], 有一个元素: (1 2). S 3 有三个类 配分 [1 1 1]=[13 ], 有一个元素: (1)(2)(3)= pe . 配分 [2 1], 有三个元素: (1 2)、(1 3)、(2 3). 配分 [3], 有两个元素: (1 2 3)、(1 3 2).
n n
n
2013-8-7
数学与计算科学学院
7
都对应于－1.
2.
Sn
的共轭类
n
现在我们来讨论一下置换群的共轭元素和类. 设有两个置换 与 ，它们都是 S 的群元素， 其中
1 2 n 1 2 n
则 的共轭元素为：
1
1 2 n 1 2 n 1 2 n
1 21 3 1 3 2 (1 3)(1 2) (1 2
3)
由此可见，一个置换可分解为若干个没有相同数字的 独立循环之积，而一个循环又可分解为若干个含有相 同数字的对换之积. 因此，一个置换可分解为若干个 含有相同数字的对换之积. 由于一个循环分解为对换 乘积的形式不是唯一的，如(3)式示, 所以一个置换可 分解为对换之积的形式不是唯一的. 一个置换若能分解 为奇数个对换之积，则称为奇置换. 反之, 一个置换若 能分解为偶数个对换之积，则称为偶置换. 一个置换可 分解为对换乘积的形式虽然不是唯一的，但其奇偶性 5 2013-8-7
对 的上下两行数字同时施行置换 得：
1
6 5 1 4 2 3 1 6 5 2 4 3 615 4 2 3
若将置换分解为独立循环之积的形式，上述求 共轭元素的规则又可表述为：欲求置换 的共轭 置换 1 , 先将 与 写成独立的循环之积的形
2013-8-7 数学与计算科学学院
(1)
1
其中 pi 是1－n中的某一数字. (1)式所示的置换可以用一个更简洁的方式来 表示，这就是用若干个没有公共数字的独立循环之 积来表示，如
1 2 3 4 5 6 4 3 6 1 5 2 1 4 2 3 6 5 ( 2)
第三章 置换群
置换群的理论体系虽然很庞大，但其结果却简 单明了，从应用的角度来考虑，本章将主要介绍置 换群的有关结论.
§3.1 置换群 Sn 的共轭类 1. 置换的循环与对换分解
在§1.2节我们曾介绍过置换的概念, n个符号 的任意置换记为：
1 2 n p p p p 1 2 n
对 中的每个数字分别施行置换
(615)(42)(3) 1
得：
与前面所得结果相同. 由上面的讨论可见， 与它的共轭元素 1 有 相同的循环结构. 反之，有相同的循环结构的元素 2013-8-7 数学与计算科学学院
10
一定是相互共轭的，而群中所有相互共轭的元素组 成一个共轭类，为了确定 Sn 群中共轭类的数目, 人 们引入了配分的概念: 约定按循环长度递减来排列独立循环之积的次 序，而包括在n次循环中的循环总长度等于n，这 样n可分解为一些不增加的整数之和，称为n的一 个配分, 且每一个n次置换都对应于一个n的配分， 如置换
2013-8-7 数学与计算科学学院 12
S 4有五个类
配分 [1 1 1 1]=[ 14 ], 有一个元素: (1)(2)(3)(4)= pe . 配分 [2 1 1]=[2 12 ], 有六个元素: (1 2)、(1 3)、 (1 4)、(2 3)、(2 4)、(3 4). 配分 [2 2]=[ 22], 有三个元素: (1 2)(3 4)、 (1 3)(2 4)、(1 4)(2 3). 配分 [3 1]，有八个元素: (1 2 3)、(1 3 2)、 (1 2 4)、(1 4 2)、(1 3 4)、(1 4 3)、(2 3 4)、(2 4 3). 配分[4]，有6个元素：(1 2 3 4)、(1 2 4 3)、 (1 3 2 4)、(1 3 4 2)、(1 4 2 3)、(1 4 3 2). 由§1.3节的讨论知， S3与 D3 群同构，所以 S3 也 有两个一维与一个二维不可约表示.
2013-8-7 数学与计算科学学院 9
式，然后对 的每个循环因子中的数字分别施行 置换. 如在上例中，我们有
1 2 3 4 5 6 3 1 2 5 4 6 (132 )(45 )(6)
1 2 3 4 5 6 6 5 1 4 2 3 (163 )(25 )(4)
数学与计算科学学院
却是唯一的. 因为任一置换可分解为形式一定的循 环乘积，而每一循环长度k的奇偶性一定，若循环 长度k为偶数，则该循环可分解为奇数个对换之积, 如 1 2 3 4 1 22 33 4 1 41 31 2 . 反之，若长度k为 奇数，则该循环可分解为偶数个对换之积，如 1 2 3 1 22 3 1 31 2 . 任一置换 P 和它的逆 P -1 具 有相同的奇偶性. 如
而一般情况下可以证明：
p1 p2 pk p1 pk p1 pk1 p1 pk2 p1 p2 (3 ) p1 p 2 p 2 p 3 p 3 p 4 pk 1 pk
2013-8-7 数学与计算科学学院 4
当两个对换含有相同数字时，这两个对换是不可对易 的，如
所以
2 l2 l5 18 4
故：
2013-8-7 数学与计算科学学院 15
l 4 l5 3
所以 S 4 的5个不可约表示分别为：两个一维表示、 一个二维表示及两个三维表示.
2013-8-7
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16
§3.2 杨图与杨盘
由上节的讨论可以看出， S 群的类是和n的配 分联系在一起的，n的各种配分可以形象地用杨图 表示出来.
数学与计算科学学院
2013-8-7
14
显然 S H 与 S3 群同构，因此， S3 群的三个不可约 表示还是 S 4 的表示. 由于 S 4 有5个类(=5个不可 约表示)，它的阶数为4！=24. 所以由§2.6节(6) 式知，各不可约表示维数的平方和满足关系
4
li2 24
i1
5
亦即
2 12 12 22 l2 l5 24 4
数学与计算科学学院
6
等于个
n! 2
. 并且由于偶×偶=偶满足封闭, 单位元
n
(恒等置换—零个对换) pe A n，另 偶1 A n ，故 A 构成 S 的一个子群，且是一个不变子群. 因为对 于任意的 p A A n， pS Sn有
n
pSpApS1 An
1 显然商群 S A 是二阶群, 它有两个一维表示 Z1 与Z2 1, 1, 而任何一商群的表示也一定是其大群 的表示，所以 S 群一定有两个不等价的一维表示, 1 其中一个是 Z1 ，即 Sn中的所有置换都对应于单 位元1，此为恒等表示. 另一个一维表示是 Z2 1, 1 , 在该表示中所有偶置换都对应于1，而所有奇置换
单循环往往省去不写，如(2)式可写成
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1 2 3 4 5 6 4 3 6 1 5 2 1 4 2 3 6
任一循环可以分解为若干个含有相同数字对换之 积，如
(1 2 3) (1 2)(2 3) (1 3)(1 2)
1 4 2 3 6 2 3 6 1 4 1 42 3 6 (2 3 6) 1 4 4 1 3 6 2 3 6 2 4 1
而同一循环中的数字可作轮换而不改变该循环的结
பைடு நூலகம்
果，如
2 3 6 (3 6 2) (6 2 3)
1 2 n 1 2 n
2013-8-7
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8
这一结果表明，欲求置换 的共轭置换 1，只 需对置换 中的上下两行数字同时施行置换 , 例如
1 2 3 4 5 6 3 1 2 5 4 6
1 2 3 4 5 6 6 5 1 4 2 3
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S 4 有不变子群
H {pe , (1 2) (3 4), (1 3) (2 4), (1 4) (2 3)}
其商群为：
其中
S4 H {H, K1, K 2 , K 3 , K 4 , K 5 } K1 (1 2) H {(1 2), (3 4), (1 3 2 4), (1 4 2 3)} K 2 (1 3) H {(1 3), (1 2 3 4), (2 4), (1 4 3 2)} K 3 (2 3) H {(2 3), (1 3 4 2), (1 2 4 3), (1 4)} K 4 (1 2 3) H {(1 2 3), (1 3 4), (2 4 3), (1 4 2)} K 5 (1 3 2) H {(1 3 2), (2 3 4), (1 2 4), (1 4 3)}
1 2 3 P 2 3 1 1 2 3
2 3 1 P 1 1 2 3 1 3 2
显然两个偶(奇)置换之积为偶置换，一个奇置换与 一个偶置换之积为奇置换. 记所有偶置换的全体为 A ，则 A 的数目正好
n n
2013-8-7
n
1. 杨图
设n的某种配分为 [] 1 2 k ]，其中i i1 , k 且 i n ，该配分是由n个格子组成的方格图，其 i1 中第一行为 1 个格子，第二行为 2 个格子等等. 如图所示. 上面一行的方格数大于等于下面一行的 方格数，左侧一列的格子数大于等于右侧一列的格 子数合起来总共有n个方格. 此方格图即称为n次杨 2013-8-7 17 数学与计算科学学院 图.
1 2 2 3 2 3 1 2 1 3 2 3 1 2 (1 2 3)
1 3 1 2 1 2 3 3 1 2 1 2 3 1 (1 2 3)
1 2 n 1 2 n 1 2 n 1 2 n 1 2 n 1 2 n
其中(5)称为单循环，它代表5变为5. 即5不变. (1 4) 为二循环，它代表1变为4，而4又变为1. (2 3 6) 为 三循环，代表2变为3，3变为6，6又变为2. 一般用记号
p1, p2 , , pk
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代表一个k循环，并称k为循环的长度，两个数字的 循环(即循环长度k=2)又称为对换. 显然，两没有 公共数字的独立循环之间是相互对易的，如
p (1 2 3) (4 6) (5)
其配分为： 6=3+2+1 或简记为[3 2 1]. 由于相互共轭的元素具有相同的
2013-8-7 数学与计算科学学院 11
循环结构，所以互为共轭元素的配分是相同的. 也 就是说 Sn 的一个共轭类中的所有元素对应于n的同 一个配分，所以置换群 Sn 的共轭类数目等于n的不 同的配分数. 例1: S 2 有两个类 配分 [1 1]=[ 12 ] , 有一个元素: (1)(2)= pe . 配分 [2], 有一个元素: (1 2). S 3 有三个类 配分 [1 1 1]=[13 ], 有一个元素: (1)(2)(3)= pe . 配分 [2 1], 有三个元素: (1 2)、(1 3)、(2 3). 配分 [3], 有两个元素: (1 2 3)、(1 3 2).
n n
n
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都对应于－1.
2.
Sn
的共轭类
n
现在我们来讨论一下置换群的共轭元素和类. 设有两个置换 与 ，它们都是 S 的群元素， 其中
1 2 n 1 2 n
则 的共轭元素为：
1
1 2 n 1 2 n 1 2 n
1 21 3 1 3 2 (1 3)(1 2) (1 2
3)
由此可见，一个置换可分解为若干个没有相同数字的 独立循环之积，而一个循环又可分解为若干个含有相 同数字的对换之积. 因此，一个置换可分解为若干个 含有相同数字的对换之积. 由于一个循环分解为对换 乘积的形式不是唯一的，如(3)式示, 所以一个置换可 分解为对换之积的形式不是唯一的. 一个置换若能分解 为奇数个对换之积，则称为奇置换. 反之, 一个置换若 能分解为偶数个对换之积，则称为偶置换. 一个置换可 分解为对换乘积的形式虽然不是唯一的，但其奇偶性 5 2013-8-7
对 的上下两行数字同时施行置换 得：
1
6 5 1 4 2 3 1 6 5 2 4 3 615 4 2 3
若将置换分解为独立循环之积的形式，上述求 共轭元素的规则又可表述为：欲求置换 的共轭 置换 1 , 先将 与 写成独立的循环之积的形
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(1)
1
其中 pi 是1－n中的某一数字. (1)式所示的置换可以用一个更简洁的方式来 表示，这就是用若干个没有公共数字的独立循环之 积来表示，如
1 2 3 4 5 6 4 3 6 1 5 2 1 4 2 3 6 5 ( 2)
第三章 置换群
置换群的理论体系虽然很庞大，但其结果却简 单明了，从应用的角度来考虑，本章将主要介绍置 换群的有关结论.
§3.1 置换群 Sn 的共轭类 1. 置换的循环与对换分解
在§1.2节我们曾介绍过置换的概念, n个符号 的任意置换记为：
1 2 n p p p p 1 2 n
对 中的每个数字分别施行置换
(615)(42)(3) 1
得：
与前面所得结果相同. 由上面的讨论可见， 与它的共轭元素 1 有 相同的循环结构. 反之，有相同的循环结构的元素 2013-8-7 数学与计算科学学院
10
一定是相互共轭的，而群中所有相互共轭的元素组 成一个共轭类，为了确定 Sn 群中共轭类的数目, 人 们引入了配分的概念: 约定按循环长度递减来排列独立循环之积的次 序，而包括在n次循环中的循环总长度等于n，这 样n可分解为一些不增加的整数之和，称为n的一 个配分, 且每一个n次置换都对应于一个n的配分， 如置换
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S 4有五个类
配分 [1 1 1 1]=[ 14 ], 有一个元素: (1)(2)(3)(4)= pe . 配分 [2 1 1]=[2 12 ], 有六个元素: (1 2)、(1 3)、 (1 4)、(2 3)、(2 4)、(3 4). 配分 [2 2]=[ 22], 有三个元素: (1 2)(3 4)、 (1 3)(2 4)、(1 4)(2 3). 配分 [3 1]，有八个元素: (1 2 3)、(1 3 2)、 (1 2 4)、(1 4 2)、(1 3 4)、(1 4 3)、(2 3 4)、(2 4 3). 配分[4]，有6个元素：(1 2 3 4)、(1 2 4 3)、 (1 3 2 4)、(1 3 4 2)、(1 4 2 3)、(1 4 3 2). 由§1.3节的讨论知， S3与 D3 群同构，所以 S3 也 有两个一维与一个二维不可约表示.
2013-8-7 数学与计算科学学院 9
式，然后对 的每个循环因子中的数字分别施行 置换. 如在上例中，我们有
1 2 3 4 5 6 3 1 2 5 4 6 (132 )(45 )(6)
1 2 3 4 5 6 6 5 1 4 2 3 (163 )(25 )(4)
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却是唯一的. 因为任一置换可分解为形式一定的循 环乘积，而每一循环长度k的奇偶性一定，若循环 长度k为偶数，则该循环可分解为奇数个对换之积, 如 1 2 3 4 1 22 33 4 1 41 31 2 . 反之，若长度k为 奇数，则该循环可分解为偶数个对换之积，如 1 2 3 1 22 3 1 31 2 . 任一置换 P 和它的逆 P -1 具 有相同的奇偶性. 如
而一般情况下可以证明：
p1 p2 pk p1 pk p1 pk1 p1 pk2 p1 p2 (3 ) p1 p 2 p 2 p 3 p 3 p 4 pk 1 pk
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当两个对换含有相同数字时，这两个对换是不可对易 的，如
所以
2 l2 l5 18 4
故：
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l 4 l5 3
所以 S 4 的5个不可约表示分别为：两个一维表示、 一个二维表示及两个三维表示.
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16
§3.2 杨图与杨盘
由上节的讨论可以看出， S 群的类是和n的配 分联系在一起的，n的各种配分可以形象地用杨图 表示出来.
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显然 S H 与 S3 群同构，因此， S3 群的三个不可约 表示还是 S 4 的表示. 由于 S 4 有5个类(=5个不可 约表示)，它的阶数为4！=24. 所以由§2.6节(6) 式知，各不可约表示维数的平方和满足关系
4
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亦即
2 12 12 22 l2 l5 24 4
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6
等于个
n! 2
. 并且由于偶×偶=偶满足封闭, 单位元
n
(恒等置换—零个对换) pe A n，另 偶1 A n ，故 A 构成 S 的一个子群，且是一个不变子群. 因为对 于任意的 p A A n， pS Sn有
n
pSpApS1 An
1 显然商群 S A 是二阶群, 它有两个一维表示 Z1 与Z2 1, 1, 而任何一商群的表示也一定是其大群 的表示，所以 S 群一定有两个不等价的一维表示, 1 其中一个是 Z1 ，即 Sn中的所有置换都对应于单 位元1，此为恒等表示. 另一个一维表示是 Z2 1, 1 , 在该表示中所有偶置换都对应于1，而所有奇置换
单循环往往省去不写，如(2)式可写成
2013-8-7 数学与计算科学学院 3
1 2 3 4 5 6 4 3 6 1 5 2 1 4 2 3 6
任一循环可以分解为若干个含有相同数字对换之 积，如
(1 2 3) (1 2)(2 3) (1 3)(1 2)
1 4 2 3 6 2 3 6 1 4 1 42 3 6 (2 3 6) 1 4 4 1 3 6 2 3 6 2 4 1
而同一循环中的数字可作轮换而不改变该循环的结
பைடு நூலகம்
果，如
2 3 6 (3 6 2) (6 2 3)
1 2 n 1 2 n
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这一结果表明，欲求置换 的共轭置换 1，只 需对置换 中的上下两行数字同时施行置换 , 例如
1 2 3 4 5 6 3 1 2 5 4 6
1 2 3 4 5 6 6 5 1 4 2 3
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S 4 有不变子群
H {pe , (1 2) (3 4), (1 3) (2 4), (1 4) (2 3)}
其商群为：
其中
S4 H {H, K1, K 2 , K 3 , K 4 , K 5 } K1 (1 2) H {(1 2), (3 4), (1 3 2 4), (1 4 2 3)} K 2 (1 3) H {(1 3), (1 2 3 4), (2 4), (1 4 3 2)} K 3 (2 3) H {(2 3), (1 3 4 2), (1 2 4 3), (1 4)} K 4 (1 2 3) H {(1 2 3), (1 3 4), (2 4 3), (1 4 2)} K 5 (1 3 2) H {(1 3 2), (2 3 4), (1 2 4), (1 4 3)}
1 2 3 P 2 3 1 1 2 3
2 3 1 P 1 1 2 3 1 3 2
显然两个偶(奇)置换之积为偶置换，一个奇置换与 一个偶置换之积为奇置换. 记所有偶置换的全体为 A ，则 A 的数目正好
n n
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n
1. 杨图
设n的某种配分为 [] 1 2 k ]，其中i i1 , k 且 i n ，该配分是由n个格子组成的方格图，其 i1 中第一行为 1 个格子，第二行为 2 个格子等等. 如图所示. 上面一行的方格数大于等于下面一行的 方格数，左侧一列的格子数大于等于右侧一列的格 子数合起来总共有n个方格. 此方格图即称为n次杨 2013-8-7 17 数学与计算科学学院 图.
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