近世代数课件--置换群
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近世代数课件--置换群
3
14
2 3
3 6
4 1
5 5
62 1
4 2
3
6
任一循环可以分解为若干个含有相同数字对换之
积，如
(1 2 3) (1 2)(2 3) (1 3)(1 2)
21
21
2 3
32
2 3
3 1
21 (1 2 3)
31
有两个一维与一个二维不可约表示.
2020/3/4
数学与计算科学学院
13
S4 有不变子群
H {pe, (1 2) (3 4), (1 3) (2 4), (1 4) (2 3)}
其商群为：
其中
S4 H {H, K1, K 2, K 3, K 4, K 5 } K1 (1 2) H {(1 2), (3 4), (1 3 2 4), (1 4 2 3)}
亦即 所以
5
li2 24
i1
12 12 22 l24 l52 24
故：
l24 l52 18
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l4 l5 3
所以 S4 的5个不可约表示分别为：两个一维表示、 一个二维表示及两个三维表示.
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4 1
2 3
3 6
62 1
42
3
6 (2
3
6)
1
4 32
3 6
6 2
1 4
4 1
而同一循环中的数字可作轮换而不改变该循环的结 果，如
2 3 6 (3 6 2) (6 2 3)
第7节 置换群 (2)
置换的表示
1 2 k i i i k 1 2
3、用循环置换的形式表示 4、用对换的形式表示
3/17
近世代数 1、用映射表示
置换的表示
例如: S={a1, a2, a3, a4, a5}, 下述5元置换
(a1 ) a5 , (a2 ) a3 , (a3 ) a2 , (a4 ) a1 , (a5 ) a4
9/17
近世代数
n元置换的性质
定义4 设(i1 i2 … ik)与 (j1 j2 … jr )是两个循环置换，如 果{i1,i2 ,… ,ik} ∩ (j1, j2 ,… ,jr )=Ф，则称这两个循环 置换是没有共同数字的循环置换(不相交). 置换乘法(合成)不满足交换律，但两个没有共同数字 的循环置换是可交换的. 性质4 设σ=(i1 i2 … ik)与 τ=(j1 j2 … jr )是两个没有共 同数字的循环置换，则σ与τ可交换，即στ =τσ.
15/17
近世代数
实例
例2 设 S = {1, 2, 3}， 3元对称群 S3={ (1), (1 2), (1 3), (2 3), (1 2 3), (1 3 2) }
(1) (1 2) (1 3) (2 3) (1 2 3) (1 3 2) (1) (1) (1 2) (1 3) (2 3) (1 2 3) (1 3 2) (1 2) (1 3) (1 2) (1 3) (1) (1 2 3) (1 3 2) (1) (1 2 3) (1 3 2) (2 3) (1 2) (1 3) (2 3) (2 3) (1 2 3) (2 3) (1 2 3) (1 3 2) (1 3) (1 2 3) (2 3) (1) (1 2) (1 3) (1 3 2) (1 2) (1) (1 3 2) (1 3 2) (2 3) (1 2) (1 3) (1) (1 2 3)
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即 f 是同构，故( G,◦) ≅ (Zn, +n) 。
（2）作映射 f : G → Z , f ( gk )=k ，
则 f 是同构，故 ( G,◦) ≅ (Z , + )。
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二、置换群
定义7.3.3 设 S为集合，称映射τ : S →S 为 S上的
一个变换。变换即为集合S到S自身的一个映射。
而 1 2 1 2 4 3 4 3 5 5 1 2 1 2 3 3 4 4 5 5 1 1 2 2 4 3 4 3 5 5 (1)( 2 3) 4 (3)( 4 1)2
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定理7.3.5 任意一个置换都等于若干个不含公共元 素的循环置换的复合。
例如， 1 32 63 44 18 52 65 77 8 (5)8 2 ()7 1 6 ()3 (1 4)3 2 ()4 5 6 ()8 7
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例7.3.9 利用循环置换的方法，我们有 3次对称群 S3的元素可以表示为: (1), (12), (13), (23), (123), (132)。 4次对称群 S4的元素可以表示为： (1); (12), (13), (14), (23), (23), (34); (123), (132), (124), (142), (134), (143), (234), (243); (1234), (1243), (1324), (1342), (1423), (1432); (12)∘(34), (13)∘(24), (14)∘(23)。
通常还是用
1 2
2 3
3 1
来表示。
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（2）作映射 f : G → Z , f ( gk )=k ，
则 f 是同构，故 ( G,◦) ≅ (Z , + )。
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二、置换群
定义7.3.3 设 S为集合，称映射τ : S →S 为 S上的
一个变换。变换即为集合S到S自身的一个映射。
而 1 2 1 2 4 3 4 3 5 5 1 2 1 2 3 3 4 4 5 5 1 1 2 2 4 3 4 3 5 5 (1)( 2 3) 4 (3)( 4 1)2
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定理7.3.5 任意一个置换都等于若干个不含公共元 素的循环置换的复合。
例如， 1 32 63 44 18 52 65 77 8 (5)8 2 ()7 1 6 ()3 (1 4)3 2 ()4 5 6 ()8 7
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例7.3.9 利用循环置换的方法，我们有 3次对称群 S3的元素可以表示为: (1), (12), (13), (23), (123), (132)。 4次对称群 S4的元素可以表示为： (1); (12), (13), (14), (23), (23), (34); (123), (132), (124), (142), (134), (143), (234), (243); (1234), (1243), (1324), (1342), (1423), (1432); (12)∘(34), (13)∘(24), (14)∘(23)。
通常还是用
1 2
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3 1
来表示。
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2.6 置 换 群
2.6 置 换 群上一节：任何n 阶群都与n S 的一个子群同构。
n S 的每一个子群都叫一个次置换群。
n S 中的每个元素都叫一个置换。
σ如果把1i 变成2i ，2i 变成3i ， ， 1k i -变成k i ，k i 变成1i ，其余元素保持不变，则称σ是一个k - 循环，记成()121k k i i i i σ-= 。
注意：()121k k i i i i σ-= 也可以写成()()231112k k k k i i i i i i i i σ--=== 。
例如(123)(231)(312)==。
当1k =时叫做1-循环，也就是恒等置换，记作(1)(2)()n ε==== 。
当2k =时叫做对换。
一般形式()12i i 。
无公共元素的循环称为不相交循环。
例如(135)与(24)不相交。
3S 的6个置换可以写成：1123(1)123ϕ⎛⎫== ⎪⎝⎭， 2123(23)132ϕ⎛⎫== ⎪⎝⎭，3123(12)213ϕ⎛⎫== ⎪⎝⎭， 4123(123)231ϕ⎛⎫== ⎪⎝⎭， 5123(132)312ϕ⎛⎫== ⎪⎝⎭，6123(13)321ϕ⎛⎫== ⎪⎝⎭， 于是{}3(1),(12),(13),(14),(123),(132)S =，注意这样写的好处是避免了对置换编号。
4S 的24个置换可以写成：(1)— 1-循环，1个；(12),(13),(14),(23),(24),(34)—2-循环，共6个；(123),(132),(124),(142),(134),(143),(234),(243)—3-循环，共8个； (1234),(1243),(1324),(1342),(1423),(1432)—4-循环，共6个；(12)(34),(13)(24),(14)(23)—2-循环乘2-循环，共3个。
合起来正好24个。
（1）不相交循环与不相交循环可以交换相乘；例如，12345(123)(45)(45)(123)23154⎛⎫== ⎪⎝⎭。
近世代数_置换群_讲义学习ppt
jk jk(1)
jk1
j (2) k 1
jn jn(2)
证明 因为 1 是 a j1 , a j2 ,, a jn 这个元的一一变换，而在 1 之下，
a jk 1 , a jk 2 ,, a jn ，已经各是 a jk 1 , a jk 2 ,, a jn 的象，所以它们
不能再是 a ji (i k ) 的象，这就是说，
这是 因为,每个循环置换都可视为一 个首尾相接的圆环:
所以,循环中的每个文字都可以置于首位.一旦首位 确定后,整个循环置换的表达形式也就确定了.
但习惯上,总是将循环置换中出现的最小文字置 于首位. ③.S8 的单位(恒等置换) 0 1 2 3 同上,习惯写成
0 1.
定义 2 Sn 中的一个将i1变到i2 ，i2 变到i3,,ik 变回
假设 最多变动 r 1(r n) 个文字时，定理 成立。现考察 变动了 r 个元的情形：
首先在被 变动的文字中随意取一个文字 i1 ， 从 i1 出发找到 i1 在 下的象 i2 ,再找 i2 的象 i3 ,… , 直到找到 ik ，其中： ik i1 .于是
i1 i2 i3 ik i1
2 11 22 3313 21 2 3 13 21 2 3
注意:置换乘积中,是从左到右求变换值,这是与过去 的习惯方法不同的（也要看各书要求）。 例 2 设 A 1 , 2 , 3,那么 A 的全部一一变换构成的三次 对称群为 S3 0 ,1, 2 , 3 , 4 , 5.其中
当 i k 时，
这样，
j (1) i
jl ,l
k
当 i k 时，
a 12 ji
(aji1 )2
(a jl )2
a jl
第五章 4阿贝尔群 循环群 置换群
(3) (an)-1=(a-1)n（记为a-n）（n为整数）
5-5 阿贝尔群、循环群和置换群
例6 (1)令A={2i|i∈Z}，那么〈A,·〉(·为普通的数 乘)是循环群，2是生成元(2-1也是生成元)。 (2)〈Z8,+8〉为循环群，1,7是生成元。 (3) Klein四元群不是循环群。
eabc eeabc aaecb bbcea ccbae
练习：设
表示在平面
上几何图形绕形心顺时针旋转角度的六种可能，设
☆是R上的二元运算，a☆b表示平面图连续旋转a和 b得到的总旋转角度，并规定旋转360表示回到原来 状态。列出R上☆的运算表，并证明<R,☆>是循环 群。
5-5 阿贝尔群 循环群 置换群
幺元是0,60和300 是其生成元
5-5 阿贝尔群 循环群 置换群
ab = a-1b-1= (ba)-1 = ba， 所以〈G , 〉是一个阿贝尔群。
5-5 阿贝尔群 循环群 置换群
二、循环群(Cyclic Groups)
定义5-5.2 设 G, 是群，若G中存在元素a，使得 G中每个元素都由a的幂组成，则称 G, 为循环 群(Cyclic Groups) ，元素a称为该循环群的生成元 。
2 2
3 3
2
=
1 2
2 1
3 3
4
=
1 3
2 2
3 1
5
=
1 2
2 3
3 1
3
=
1 1
2 3
3 2
6
=
1 3
2 1
3
2
任意两个置换的运算 ，即两个可逆变换的 复合，从右往左计算，如：
S3
5-5 阿贝尔群、循环群和置换群
5-5 阿贝尔群、循环群和置换群
例6 (1)令A={2i|i∈Z}，那么〈A,·〉(·为普通的数 乘)是循环群，2是生成元(2-1也是生成元)。 (2)〈Z8,+8〉为循环群，1,7是生成元。 (3) Klein四元群不是循环群。
eabc eeabc aaecb bbcea ccbae
练习：设
表示在平面
上几何图形绕形心顺时针旋转角度的六种可能，设
☆是R上的二元运算，a☆b表示平面图连续旋转a和 b得到的总旋转角度，并规定旋转360表示回到原来 状态。列出R上☆的运算表，并证明<R,☆>是循环 群。
5-5 阿贝尔群 循环群 置换群
幺元是0,60和300 是其生成元
5-5 阿贝尔群 循环群 置换群
ab = a-1b-1= (ba)-1 = ba， 所以〈G , 〉是一个阿贝尔群。
5-5 阿贝尔群 循环群 置换群
二、循环群(Cyclic Groups)
定义5-5.2 设 G, 是群，若G中存在元素a，使得 G中每个元素都由a的幂组成，则称 G, 为循环 群(Cyclic Groups) ，元素a称为该循环群的生成元 。
2 2
3 3
2
=
1 2
2 1
3 3
4
=
1 3
2 2
3 1
5
=
1 2
2 3
3 1
3
=
1 1
2 3
3 2
6
=
1 3
2 1
3
2
任意两个置换的运算 ，即两个可逆变换的 复合，从右往左计算，如：
S3
5-5 阿贝尔群、循环群和置换群
2.4近世代数
f a • f b ＝ f ab 。
易验证，G′对“• ”形成一个群。 作 G 到 G′的映射 ϕ ，∀ a,b∈G，有 ϕ : a 6 f a ∈ G ' 。可验证 ϕ 为 故 ϕ 为单射， 1－1 映上的 （由 ϕ (a) = ϕ (b) ⇒ f a = f b ⇒ ax = bx ⇒ a = b ， 而 ∀f c ∈ G ' ， 知 ϕ (c) = f c ， ϕ 为 满 射 。）。 ∀ a,b ∈ G ，
(1) G＝{e , (1,2,3), (1,3,2) }为 3 元置换群。 (2) G＝{e ,(1 3) ,(2 4), (1 2 3 4), (1 3 )(2 4), (1 4 3 2), (1 2)(3 4), (1 4)(2 3)}. ，则 定理 1 设 σ ∈ S n （ σ 为 n 次置换，n＞1） （1） σ 可分解为两两不交的轮换之积。
1<s≤n
λ1
λ2
ห้องสมุดไป่ตู้
λs
若将其中的 n 个文字任意换位而保留分解式各轮换直接的括号 线不变，这样就得出了 n! 个 1λ 2 λ ⋅ ⋅ ⋅ n λ 型的置换，他们包含了集
1 2
n
合 S λ ,λ ,...,λ 之中的全部置换。然而，如此产生的 n! 个置换是有重复
1 2
1 1
σ ( il ) = i k
1
1 2 l1
， 1 < k < l1 ， 与 σ (ik −1 ) = ik 矛 盾 。 ）于是得到轮换
1 1
σ 1 = σ |{i ,i ,...,i } = (i1 , i2 ,…, il ) 。 然 后 取 ji ∈ Ω \ {i1 , i2 ,..., il } ，造出新的轮换
易验证，G′对“• ”形成一个群。 作 G 到 G′的映射 ϕ ，∀ a,b∈G，有 ϕ : a 6 f a ∈ G ' 。可验证 ϕ 为 故 ϕ 为单射， 1－1 映上的 （由 ϕ (a) = ϕ (b) ⇒ f a = f b ⇒ ax = bx ⇒ a = b ， 而 ∀f c ∈ G ' ， 知 ϕ (c) = f c ， ϕ 为 满 射 。）。 ∀ a,b ∈ G ，
(1) G＝{e , (1,2,3), (1,3,2) }为 3 元置换群。 (2) G＝{e ,(1 3) ,(2 4), (1 2 3 4), (1 3 )(2 4), (1 4 3 2), (1 2)(3 4), (1 4)(2 3)}. ，则 定理 1 设 σ ∈ S n （ σ 为 n 次置换，n＞1） （1） σ 可分解为两两不交的轮换之积。
1<s≤n
λ1
λ2
ห้องสมุดไป่ตู้
λs
若将其中的 n 个文字任意换位而保留分解式各轮换直接的括号 线不变，这样就得出了 n! 个 1λ 2 λ ⋅ ⋅ ⋅ n λ 型的置换，他们包含了集
1 2
n
合 S λ ,λ ,...,λ 之中的全部置换。然而，如此产生的 n! 个置换是有重复
1 2
1 1
σ ( il ) = i k
1
1 2 l1
， 1 < k < l1 ， 与 σ (ik −1 ) = ik 矛 盾 。 ）于是得到轮换
1 1
σ 1 = σ |{i ,i ,...,i } = (i1 , i2 ,…, il ) 。 然 后 取 ji ∈ Ω \ {i1 , i2 ,..., il } ，造出新的轮换
近世代数课件(全)-2-5变换群
a (a) 1(a) 1(b) (b) b
，所以 是单射变换； (1(a)) (a) a ，所以 是满射变换.
2020/2/17
推论1：
G 是非空集合 M 的一个变换群，则 G
或者是一一变换群（单位元是恒等变换）， 或者是非一一变换群，即任何一个变换群都 不可能既含有一一变换又含有非一一变换.
当 | M | n 时，其上的对称群用 S n
表示，称为n 次对称群.
显然：（1）M 上任何一一变换群都是 M 上的对称群的一个子群，即 M 上的对称群 是 M 的最大的一一变换群；
（2）n次对称群 S n 是一个阶为 n!
的有限群.
2020/2/17
定理2
设 G 是非空集合 M 的一个变换群.则
导致矛盾，故 1 没有逆元.
因此 T (M ) 不能成为群.
2020/2/17
（2）非空、代数运算、结合律都满足，
有单位元 ， 3 的逆元是 3
的逆元是自身. 因此 S(M) 成为群.
例2 设 | M | 1，并取定 a M ，则易知
: x a,x M 是 M 的一个非一一变换，
12 (a) 1(2 (a)) ，称 12 为 1, 2
的乘法. 4 变换乘法是 T (M ) 的代数运算，也是
S(M) 的代数运算.
5 恒等变换 ：T(M) ， .
2020/2/17
二、变换群的概念
例1 设 M {1,2}．M 的全部变换如下
近世代数 第二章 群论 §5 变换群
2020/2/17
研究一种代数体系就是要解决这种代数体系 的下面三个问题：存在问题；数量问题以及 结构问题。关于数量问题，指的是彼此不同 构的代数体系的数量，因为同构的代数体系 抽象地看可以认为是相同的代数体系。
，所以 是单射变换； (1(a)) (a) a ，所以 是满射变换.
2020/2/17
推论1：
G 是非空集合 M 的一个变换群，则 G
或者是一一变换群（单位元是恒等变换）， 或者是非一一变换群，即任何一个变换群都 不可能既含有一一变换又含有非一一变换.
当 | M | n 时，其上的对称群用 S n
表示，称为n 次对称群.
显然：（1）M 上任何一一变换群都是 M 上的对称群的一个子群，即 M 上的对称群 是 M 的最大的一一变换群；
（2）n次对称群 S n 是一个阶为 n!
的有限群.
2020/2/17
定理2
设 G 是非空集合 M 的一个变换群.则
导致矛盾，故 1 没有逆元.
因此 T (M ) 不能成为群.
2020/2/17
（2）非空、代数运算、结合律都满足，
有单位元 ， 3 的逆元是 3
的逆元是自身. 因此 S(M) 成为群.
例2 设 | M | 1，并取定 a M ，则易知
: x a,x M 是 M 的一个非一一变换，
12 (a) 1(2 (a)) ，称 12 为 1, 2
的乘法. 4 变换乘法是 T (M ) 的代数运算，也是
S(M) 的代数运算.
5 恒等变换 ：T(M) ， .
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二、变换群的概念
例1 设 M {1,2}．M 的全部变换如下
近世代数 第二章 群论 §5 变换群
2020/2/17
研究一种代数体系就是要解决这种代数体系 的下面三个问题：存在问题；数量问题以及 结构问题。关于数量问题，指的是彼此不同 构的代数体系的数量，因为同构的代数体系 抽象地看可以认为是相同的代数体系。
近世代数课件--2.6 置换群
• 作业 • P55:2,5
6.2 置换的表示方法:2-行法
现在我们要看一看表示一个置换的符号．这种 符号普通有两种，我们先说明第一种．我们看一个 置换
:
ai a k i 1, 2, ...n !
i
这样一个置换所发生的作用完全可以 ( ( 由 (1, k 1 ) ，2, k 2 ) ， …， n , k n ) 这 n 对整数来决定． 表示置换的第一个方法就是把以上这个置换写成
123 123 ?? 132 213
123 123 ? 213 132
(从右向左)
●
如何求逆?
123 132
1
=??
●
所以 S 3 不是交换群．
无限非交换群我们已经看到过，这是我们的第 一个有限非交换群的例子．S 3 可以说是一个最小的 有限非交换群，因为以后我们会知道，一个有限非 交换群至少要有六个元．
但 1 只使得 r k r 个元变动，照归纳法的假定，可 以写成不相连的循环置换的乘积：
1 1 2 m
在这些
里 i1 , i2 , ..., ik 不会出现.不然的话,
l i p iq , p k
那么 i p 同 iq 不会再在其余的 中出现, 也必使 a i 但我们知道, 1使得 a i 不动,这是一个矛盾.这样, 是 不相连的循环置换的乘积: i1i 2 i k 1 2 m
1
k+1
i
j1
(1)
jk
(1)
只 能 取 自 j1
jk
这样， 2 1 将 j1
jk
变成
第8讲 置换群
题例分析
EX12 （x,n）=1 iff 存在整数a,b 使得ax+bn=1
23
题例分析
EX15 设 G 为群，若∀x∈G x2 =e, 则 G 为 Abel 群。 为群， ∈ 证 ∀x,y∈G, ∈ 分析： 分析： xy = (xy)-1 = y-1x-1 =yx x2=e ⇔ x=x-1 幂运算规则
作业
P204，29-31
29
25
题例分析
EX18 若 G 为偶数阶群，则 G 中必存在 2 阶元 为偶数阶群， 阶元. 证 若∀x∈G，|x|>2，则 x≠x-1 ∈ ， ， ≠ 由于|x|=|x-1|, 大于 2 阶的元素成对出现，总数 阶的元素成对出现， 由于 有偶数个. 有偶数个 G 中 1 阶和 2 阶元也有偶数个 由于 1 阶元只有 阶元也有偶数个.由于 单位元， 阶元有奇数个，从而命题得证. 单位元，因此 2 阶元有奇数个，从而命题得证 分析：|x|=|x-1|, 分析： x2=e ⇔ x=x-1
13
置换群子群
{(1)}, S n， n 元交错群An 2元子群 元子群,…… 元子群
14
置换群子群
S3={(1),(12),(13),(23),(123),(132)} 子群6 个 <(1)>, S3, <(12)>, <(13)>,<(23)>, A3=<(123)>
15
置换群子群
S4={(1),(12),(13),(14),(23),(24),(34), (12)(34),(13)(24),(14)(23), (123),(132),(124),(142),(134),(143),(234) ,(243), (1234),(1243),(1324),(1342),(1423),(143 2)}
近世代数 置换群PPT
p q
p
把一个置换写成不相连的循环置换的乘积是我们表示置换的第 二种表示方法。
s 例5：4 的全体元用循环置换的方法写出来是
（1）； （12），（34），（13），（24），（14），（23）； （123），（132），（134），（143），（124）， （142），（234），（243）； （1234），（1243），（1324），（1342），（1423）， （1432）； (12）（34），（13）（24），（14） (23)。
1
a , a , a j
2
k 1
n
k 1
这n个 , , a j 的
n
n
i
1
2
1
2
2
(1 )
ji
ji
jl
1
2
1
2
2
jl
ji
i
i
i
i
定义: 定义： n 的一个把 a i 变到 a ， 变 s ai i a 到a ，…， 变到 a i ，而使得其余 的元，假如还有的话，不变的置换， 叫做一个k-循环置换，这样的一个 置换我们用符号
123 123 123 132 213 = 231
=
换群 . 无限的非交换群我们已经 看过,这是我们的第一个有限非 交换群.
123 312
所以z2不是交
例子3: 可以说是一 个最小的有限非交换 群,因为以后我们会知 道,一个有限非交换群 至少要有六个元.
二:置换群的表示方法 1,
A {a 1 , a 2 , a n }
i ki
1:
我们来看它的一个置换 : a a , i 1, 2 , , n 这样我们看到一个置换所发生的作用 可以由这n对整数来决定,我们的第一 2 1 n 12 n 种表示方法为 或
p
把一个置换写成不相连的循环置换的乘积是我们表示置换的第 二种表示方法。
s 例5：4 的全体元用循环置换的方法写出来是
（1）； （12），（34），（13），（24），（14），（23）； （123），（132），（134），（143），（124）， （142），（234），（243）； （1234），（1243），（1324），（1342），（1423）， （1432）； (12）（34），（13）（24），（14） (23)。
1
a , a , a j
2
k 1
n
k 1
这n个 , , a j 的
n
n
i
1
2
1
2
2
(1 )
ji
ji
jl
1
2
1
2
2
jl
ji
i
i
i
i
定义: 定义： n 的一个把 a i 变到 a ， 变 s ai i a 到a ，…， 变到 a i ，而使得其余 的元，假如还有的话，不变的置换， 叫做一个k-循环置换，这样的一个 置换我们用符号
123 123 123 132 213 = 231
=
换群 . 无限的非交换群我们已经 看过,这是我们的第一个有限非 交换群.
123 312
所以z2不是交
例子3: 可以说是一 个最小的有限非交换 群,因为以后我们会知 道,一个有限非交换群 至少要有六个元.
二:置换群的表示方法 1,
A {a 1 , a 2 , a n }
i ki
1:
我们来看它的一个置换 : a a , i 1, 2 , , n 这样我们看到一个置换所发生的作用 可以由这n对整数来决定,我们的第一 2 1 n 12 n 种表示方法为 或
近世代数课件 第5节 变换群
14/16
近世代数
补充
不是满变换的单变换不能构成群。
f是单变换当且仅当f左可逆. (左可逆变换可 能很多，逆元不唯一，所以不能做成群) f是单变换，则f有左可逆变换g. (gf=I，g是满 变换，所以仅由单变换不能做成群) 不是单变换的满变换不能构成群。
“混搭”行不？
变换群：由一一变换作成 非变换群：只能由既不是单变换也不是满变换的变
换作成 15/16
近世代数
总结
主要内容： 变换群的定义 群的同构定义 群的Cayley定理
基本要求: 掌握变换群的定义及构造 能够证明群的Cayley定理
16/16
定义2’ 一个非空集合S的若干个一一变换关于变换的 合成“∘”作成的一个群称为S的一个变换群定义3 设(G1,∘)和( G2,)是两个群。如果存在一个双射 f: G1 G2 ，且x, y G1 有
f(x∘y) = f(x) f(y),
则称群G1 与G2 同构，记为G1 G2 . 而称f 是G1到G2的一个同构(映射). 定理1(群的Cayley定理) 任意一个群都同构于某个变
则称f 是G的一个自同构(映射).
例如: 群G上的恒等映射IG是G的一个自同构. 设(G,∘)是一个交换群。 x G，f(x) =x-1，
则f 是G的一个自同构(映射).
定理2 设(G,∘)是一个群。G 的所有自同构之集A(G) 对映射的合成运算构成一个群，称为G的自同构群。
6/16
近世代数
群的自同构
的. 例 令M={1，2，3，4}，G={f，g}，其中
f(1)=1
g(1)=1
f(2)=1
g(2)=1
f(3)=3
g(3)=4
f(4)=4
置换群
3 4 1 6 2
2 1 3 6 4
前页
2 1 6 5 3
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23
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前页 目录
(F4) 如果 是一个 r 轮换, 则 ord r
js )是两
个不相交的轮换， a是X 中的任意一个数. (1) 如果 a ik , jl (k 1,2, 所以 (a) (a).
14
前页 前页 后页 前页 目录 前页 返回
r; l 1,2, , s), 则
(a) (a) a, (a) (a) a
4
前页
1 k1
2 k2
3 k3
n (1.6.1) kn
其中第一行表示集合X 的 n 个元素, 第二行的元索 ki 表示第一行的元素 i 在映射 以我们也可把 表示成
的作用下所对应的
象. 由于集合X 的元素的次序与映射是无关的, 所
2 k2
1 k1
5
1 2 3 4 5 按(1.6.2)式, 我们还可以把 则 3 5 2 4 1
这个置换写成
2 1 4 3 5 5 3 1 4 2 3 5 4 2 1 1 2 3 4 5
8
前页 前页 后页 前页 目录 前页 返回
由置换的定义容易知道,在n阶置换中, 恒等置换
1 2 i1 i2 k 1 k ik 1 ik k 1 ik 1 n 1 n in1 n
由(1)所证, 可表为不相交轮换的乘积. 设
1 2
r , 这里, 1 , 2 , , r为互不相交的轮换.
近世代数课件 第6节 置换群
(2 3) (1 2 3)
(2 3) (1 2 3) (1 3 2) (1 3) (1 2 3) (2 3)
(1) (1 2) (1 3) (1 3 2) (1 2) (1)
(1 3 2)
(1 3 2) (2 3) (1 2) (1 3) (1)
(1 2 3)
17/20
近世 代数
Sn的子群
定理2 设An是所有的n元偶置换作成一个集合，则An 关于置换的合成作成一个群，称为n元交错群或n元
2-循环置换称为对换.
7/20
近世 代数
n元置换的循环置换表示
约定: n元恒等置换
I
11
2 2
3 3
n n
简记为(1), (2), …，(n)，并把(i)称为1-循环置换.
对k=1, 2, …, n， k-循环置换统称为循环置换.
8/20
近世 代数
n元置换的性质
性质1 (i1 i2 … ik)=(i2 i3 … ik i1)=(i3 i4 … ik i1 i2)=… = (ik i1 i2 … ik-1 )=( i1 i2) ( i1 i3)… ( i1 ik).
性质5 每个置换都能分解成若干个没有共同数字的 循环置换的乘积. 如果不计这些循环置换的顺序，这 个分解是唯一的.
11/20
近世 代数
实例
例1 设S = {1, 2, … , 8},
1 5
2 3
3 6
4 4
5 2
6 1
7 8
8 7
1 8
2 1
3 4
4 2
5 6
6 7
7 5
8 3
则 置换可分解为：
= (1 5 2 3 6) (4) (7 8) = (1 5 2 3 6) (7 8) = (1 8 3 4 2) (5 6 7)
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2013-8-7 数学与计算科学学院
(1)
1
其中 pi 是1－n中的某一数字. (1)式所示的置换可以用一个更简洁的方式来 表示，这就是用若干个没有公共数字的独立循环之 积来表示，如
1 2 3 4 5 6 4 3 6 1 5 2 1 4 2 3 6 5 ( 2)
p (1 2 3) (4 6) (5)
其配分为： 6=3+2+1 或简记为[3 2 1]. 由于相互共轭的元素具有相同的
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循环结构，所以互为共轭元素的配分是相同的. 也 就是说 Sn 的一个共轭类中的所有元素对应于n的同 一个配分，所以置换群 Sn 的共轭类数目等于n的不 同的配分数. 例1: S 2 有两个类 配分 [1 1]=[ 12 ] , 有一个元素: (1)(2)= pe . 配分 [2], 有一个元素: (1 2). S 3 有三个类 配分 [1 1 1]=[13 ], 有一个元素: (1)(2)(3)= pe . 配分 [2 1], 有三个元素: (1 2)、(1 3)、(2 3). 配分 [3], 有两个元素: (1 2 3)、(1 3 2).
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却是唯一的. 因为任一置换可分解为形式一定的循 环乘积，而每一循环长度k的奇偶性一定，若循环 长度k为偶数，则该循环可分解为奇数个对换之积, 如 1 2 3 4 1 22 33 4 1 41 31 2 . 反之，若长度k为 奇数，则该循环可分解为偶数个对换之积，如 1 2 3 1 22 3 1 31 2 . 任一置换 P 和它的逆 P -1 具 有相同的奇偶性. 如
对 的上下两行数字同时施行置换 得：
1
6 5 1 4 2 3 1 6 5 2 4 3 615 4 2 3
若将置换分解为独立循环之积的形式，上述求 共轭元素的规则又可表述为：欲求置换 的共轭 置换 1 , 先将 与 写成独立的循环之积的形
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式，然后对 的每个循环因子中的数字分别施行 置换. 如在上例中，我们有
1 2 3 4 5 6 3 1 2 5 4 6 (132 )(45 )(6)
1 2 3 4 5 6 6 5 1 4 2 3 (163 )(25 )(4)
n
1. 杨图
设n的某种配分为 [] 1 2 k ]，其中i i1 , k 且 i n ，该配分是由n个格子组成的方格图，其 i1 中第一行为 1 个格子，第二行为 2 个格子等等. 如图所示. 上面一行的方格数大于等于下面一行的 方格数，左侧一列的格子数大于等于右侧一列的格 子数合起来总共有n个方格. 此方格图即称为n次杨 2013-8-7 17 数学与计算科学学院 图.
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S 4 有不变子群
H {pe , (1 2) (3 4), (1 3) (2 4), (1 4) (2 3)}
其商群为：
其中
S4 H {H, K1, K 2 , K 3 , K 4 , K 5 } K1 (1 2) H {(1 2), (3 4), (1 3 2 4), (1 4 2 3)} K 2 (1 3) H {(1 3), (1 2 3 4), (2 4), (1 4 3 2)} K 3 (2 3) H {(2 3), (1 3 4 2), (1 2 4 3), (1 4)} K 4 (1 2 3) H {(1 2 3), (1 3 4), (2 4 3), (1 4 2)} K 5 (1 3 2) H {(1 3 2), (2 3 4), (1 2 4), (1 4 3)}
1 2 n 1 2 n
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这一结果表明，欲求置换 的共轭置换 1，只 需对置换 中的上下两行数字同时施行置换 , 例如
1 2 3 4 5 6 3 1 2 5 4 6
1 2 3 4 5 6 6 5 1 4 2 3
1 2 3 P 2 3 1 1 2 3
2 3 1 P 1 1 2 3 1 3 2
显然两个偶(奇)置换之积为偶置换，一个奇置换与 一个偶置换之积为奇置换. 记所有偶置换的全体为 A ，则 A 的数目正好
n n
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6
等于个
n! 2
. 并且由于偶×偶=偶满足封闭, 单位元
n
(恒等置换—零个对换) pe A n，另 偶1 A n ，故 A 构成 S 的一个子群，且是一个不变子群. 因为对 于任意的 p A A n， pS Sn有
n
pSpApS1 An
1 显然商群 S A 是二阶群, 它有两个一维表示 Z1 与Z2 1, 1, 而任何一商群的表示也一定是其大群 的表示，所以 S 群一定有两个不等价的一维表示, 1 其中一个是 Z1 ，即 Sn中的所有置换都对应于单 位元1，此为恒等表示. 另一个一维表示是 Z2 1, 1 , 在该表示中所有偶置换都对应于1，而所有奇置换
而一般情况下可以证明：
p1 p2 pk p1 pk p1 pk1 p1 pk2 p1 p2 (3 ) p1 p 2 p 2 p 3 p 3 p 4 pk 1 pk
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当两个对换含有相同数字时，这两个对换是不可对易 的，如
1 4 2 3 6 2 3 6 1 4 1 42 3 6 (2 3 6) 1 4 4 1 3 6 2 3 6 2 4 1
而同一循环中的数字可作轮换而不改变该循环的结
果，如
2 3 6 (3 6 2) (6 2 3)
所以
2 l2 l5 18 4
故：
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l 4 l5 3
所以 S 4 的5个不可约表示分别为：两个一维表示、 一个二维表示及两个三维表示.
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§3.2 杨图与杨盘
由上节的讨论可以看出， S 群的类是和n的配 分联系在一起的，n的各种配分可以形象地用杨图 表示出来.
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S 4有五个类
配分 [1 1 1 1]=[ 14 ], 有一个元素: (1)(2)(3)(4)= pe . 配分 [2 1 1]=[2 12 ], 有六个元素: (1 2)、(1 3)、 (1 4)、(2 3)、(2 4)、(3 4). 配分 [2 2]=[ 22], 有三个元素: (1 2)(3 4)、 (1 3)(2 4)、(1 4)(2 3). 配分 [3 1]，有八个元素: (1 2 3)、(1 3 2)、 (1 2 4)、(1 4 2)、(1 3 4)、(1 4 3)、(2 3 4)、(2 4 3). 配分[4]，有6个元素：(1 2 3 4)、(1 2 4 3)、 (1 3 2 4)、(1 3 4 2)、(1 4 2 3)、(1 4 3 2). 由§1.3节的讨论知， S3与 D3 群同构，所以 S3 也 有两个一维与一个二维不可约表示.
对 中的每个数字分别施行置换
(615)(42)(3) 1
得：
与前面所得结果相同. 由上面的讨论可见， 与它的共轭元素 1 有 相同的循环结构. 反之，有相同的循环结构的元素 2013-8-7 数学与计算科学学院
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一定是相互共轭的，而群中所有相互共轭的元素组 成一个共轭类，为了确定 Sn 群中共轭类的数目, 人 们引入了配分的概念: 约定按循环长度递减来排列独立循环之积的次 序，而包括在n次循环中的循环总长度等于n，这 样n可分解为一些不增加的整数之和，称为n的一 个配分, 且每一个n次置换都对应于一个n的配分， 如置换
其中(5)称为单循环，它代表5变为5. 即5不变. (1 4) 为二循环，它代表1变为4，而4又变为1. (2 3 6) 为 三循环，代表2变为3，3变为6，6又变为2. 一般用记号
p1, p2 , , pk
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代表一个k循环，并称k为循环的长度，两个数字的 循环(即循环长度k=2)又称为对换. 显然，两没有 公共数字的独立循环之间是相互对易的，如
1 2 n
1 2 n 1 2 n 1 2 n 1 2 n 1 2 n 1 2 n
第三章 置换群
置换群的理论体系虽然很庞大，但其结果却简 单明了，从应用的角度来考虑，本章将主要介绍置 换群的有关结论.
§3.1 置换群 Sn 的共轭类 1. 置换的循环与对换分解
在§1.2节我们曾介绍过置换的概念, n个符号 的任意置换记为：
1 2 n p p p p 1 2 n
1 2 2 3 2 3 1 2 1 3 2 3 1 2 (1 2 3)
1 3 1 2 1 2 3 3 1 2 1 2 3 1 (1 2 3)
单循环往往省去不写，如(2)式可写成
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1 2 3 4 5 6 4 3 6 1 5 2 1 4 2 3 6
任一循环可以分解为若干个含有相同数字对换之 积，如
(1 2 3) (1 2)(2 3) (1 3)(1 2)
1 21 3 1 3 2 (1 3)(1 2) (1 2
3)
由此可见，一个置换可分解为若干个没有相同数字的 独立循环之积，而一个循环又可分解为若干个含有相 同数字的对换之积. 因此，一个置换可分解为若干个 含有相同数字的对换之积. 由于一个循环分解为对换 乘积的形式不是唯一的，如(3)式示, 所以一个置换可 分解为对换之积的形式不是唯一的. 一个置换若能分解 为奇数个对换之积，则称为奇置换. 反之, 一个置换若 能分解为偶数个对换之积，则称为偶置换. 一个置换可 分解为对换乘积的形式虽然不是唯一的，但其奇偶性 5 2013-8-7
(1)
1
其中 pi 是1－n中的某一数字. (1)式所示的置换可以用一个更简洁的方式来 表示，这就是用若干个没有公共数字的独立循环之 积来表示，如
1 2 3 4 5 6 4 3 6 1 5 2 1 4 2 3 6 5 ( 2)
p (1 2 3) (4 6) (5)
其配分为： 6=3+2+1 或简记为[3 2 1]. 由于相互共轭的元素具有相同的
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循环结构，所以互为共轭元素的配分是相同的. 也 就是说 Sn 的一个共轭类中的所有元素对应于n的同 一个配分，所以置换群 Sn 的共轭类数目等于n的不 同的配分数. 例1: S 2 有两个类 配分 [1 1]=[ 12 ] , 有一个元素: (1)(2)= pe . 配分 [2], 有一个元素: (1 2). S 3 有三个类 配分 [1 1 1]=[13 ], 有一个元素: (1)(2)(3)= pe . 配分 [2 1], 有三个元素: (1 2)、(1 3)、(2 3). 配分 [3], 有两个元素: (1 2 3)、(1 3 2).
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却是唯一的. 因为任一置换可分解为形式一定的循 环乘积，而每一循环长度k的奇偶性一定，若循环 长度k为偶数，则该循环可分解为奇数个对换之积, 如 1 2 3 4 1 22 33 4 1 41 31 2 . 反之，若长度k为 奇数，则该循环可分解为偶数个对换之积，如 1 2 3 1 22 3 1 31 2 . 任一置换 P 和它的逆 P -1 具 有相同的奇偶性. 如
对 的上下两行数字同时施行置换 得：
1
6 5 1 4 2 3 1 6 5 2 4 3 615 4 2 3
若将置换分解为独立循环之积的形式，上述求 共轭元素的规则又可表述为：欲求置换 的共轭 置换 1 , 先将 与 写成独立的循环之积的形
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式，然后对 的每个循环因子中的数字分别施行 置换. 如在上例中，我们有
1 2 3 4 5 6 3 1 2 5 4 6 (132 )(45 )(6)
1 2 3 4 5 6 6 5 1 4 2 3 (163 )(25 )(4)
n
1. 杨图
设n的某种配分为 [] 1 2 k ]，其中i i1 , k 且 i n ，该配分是由n个格子组成的方格图，其 i1 中第一行为 1 个格子，第二行为 2 个格子等等. 如图所示. 上面一行的方格数大于等于下面一行的 方格数，左侧一列的格子数大于等于右侧一列的格 子数合起来总共有n个方格. 此方格图即称为n次杨 2013-8-7 17 数学与计算科学学院 图.
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S 4 有不变子群
H {pe , (1 2) (3 4), (1 3) (2 4), (1 4) (2 3)}
其商群为：
其中
S4 H {H, K1, K 2 , K 3 , K 4 , K 5 } K1 (1 2) H {(1 2), (3 4), (1 3 2 4), (1 4 2 3)} K 2 (1 3) H {(1 3), (1 2 3 4), (2 4), (1 4 3 2)} K 3 (2 3) H {(2 3), (1 3 4 2), (1 2 4 3), (1 4)} K 4 (1 2 3) H {(1 2 3), (1 3 4), (2 4 3), (1 4 2)} K 5 (1 3 2) H {(1 3 2), (2 3 4), (1 2 4), (1 4 3)}
1 2 n 1 2 n
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这一结果表明，欲求置换 的共轭置换 1，只 需对置换 中的上下两行数字同时施行置换 , 例如
1 2 3 4 5 6 3 1 2 5 4 6
1 2 3 4 5 6 6 5 1 4 2 3
1 2 3 P 2 3 1 1 2 3
2 3 1 P 1 1 2 3 1 3 2
显然两个偶(奇)置换之积为偶置换，一个奇置换与 一个偶置换之积为奇置换. 记所有偶置换的全体为 A ，则 A 的数目正好
n n
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等于个
n! 2
. 并且由于偶×偶=偶满足封闭, 单位元
n
(恒等置换—零个对换) pe A n，另 偶1 A n ，故 A 构成 S 的一个子群，且是一个不变子群. 因为对 于任意的 p A A n， pS Sn有
n
pSpApS1 An
1 显然商群 S A 是二阶群, 它有两个一维表示 Z1 与Z2 1, 1, 而任何一商群的表示也一定是其大群 的表示，所以 S 群一定有两个不等价的一维表示, 1 其中一个是 Z1 ，即 Sn中的所有置换都对应于单 位元1，此为恒等表示. 另一个一维表示是 Z2 1, 1 , 在该表示中所有偶置换都对应于1，而所有奇置换
而一般情况下可以证明：
p1 p2 pk p1 pk p1 pk1 p1 pk2 p1 p2 (3 ) p1 p 2 p 2 p 3 p 3 p 4 pk 1 pk
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当两个对换含有相同数字时，这两个对换是不可对易 的，如
1 4 2 3 6 2 3 6 1 4 1 42 3 6 (2 3 6) 1 4 4 1 3 6 2 3 6 2 4 1
而同一循环中的数字可作轮换而不改变该循环的结
果，如
2 3 6 (3 6 2) (6 2 3)
所以
2 l2 l5 18 4
故：
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l 4 l5 3
所以 S 4 的5个不可约表示分别为：两个一维表示、 一个二维表示及两个三维表示.
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§3.2 杨图与杨盘
由上节的讨论可以看出， S 群的类是和n的配 分联系在一起的，n的各种配分可以形象地用杨图 表示出来.
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S 4有五个类
配分 [1 1 1 1]=[ 14 ], 有一个元素: (1)(2)(3)(4)= pe . 配分 [2 1 1]=[2 12 ], 有六个元素: (1 2)、(1 3)、 (1 4)、(2 3)、(2 4)、(3 4). 配分 [2 2]=[ 22], 有三个元素: (1 2)(3 4)、 (1 3)(2 4)、(1 4)(2 3). 配分 [3 1]，有八个元素: (1 2 3)、(1 3 2)、 (1 2 4)、(1 4 2)、(1 3 4)、(1 4 3)、(2 3 4)、(2 4 3). 配分[4]，有6个元素：(1 2 3 4)、(1 2 4 3)、 (1 3 2 4)、(1 3 4 2)、(1 4 2 3)、(1 4 3 2). 由§1.3节的讨论知， S3与 D3 群同构，所以 S3 也 有两个一维与一个二维不可约表示.
对 中的每个数字分别施行置换
(615)(42)(3) 1
得：
与前面所得结果相同. 由上面的讨论可见， 与它的共轭元素 1 有 相同的循环结构. 反之，有相同的循环结构的元素 2013-8-7 数学与计算科学学院
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一定是相互共轭的，而群中所有相互共轭的元素组 成一个共轭类，为了确定 Sn 群中共轭类的数目, 人 们引入了配分的概念: 约定按循环长度递减来排列独立循环之积的次 序，而包括在n次循环中的循环总长度等于n，这 样n可分解为一些不增加的整数之和，称为n的一 个配分, 且每一个n次置换都对应于一个n的配分， 如置换
其中(5)称为单循环，它代表5变为5. 即5不变. (1 4) 为二循环，它代表1变为4，而4又变为1. (2 3 6) 为 三循环，代表2变为3，3变为6，6又变为2. 一般用记号
p1, p2 , , pk
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代表一个k循环，并称k为循环的长度，两个数字的 循环(即循环长度k=2)又称为对换. 显然，两没有 公共数字的独立循环之间是相互对易的，如
1 2 n
1 2 n 1 2 n 1 2 n 1 2 n 1 2 n 1 2 n
第三章 置换群
置换群的理论体系虽然很庞大，但其结果却简 单明了，从应用的角度来考虑，本章将主要介绍置 换群的有关结论.
§3.1 置换群 Sn 的共轭类 1. 置换的循环与对换分解
在§1.2节我们曾介绍过置换的概念, n个符号 的任意置换记为：
1 2 n p p p p 1 2 n
1 2 2 3 2 3 1 2 1 3 2 3 1 2 (1 2 3)
1 3 1 2 1 2 3 3 1 2 1 2 3 1 (1 2 3)
单循环往往省去不写，如(2)式可写成
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1 2 3 4 5 6 4 3 6 1 5 2 1 4 2 3 6
任一循环可以分解为若干个含有相同数字对换之 积，如
(1 2 3) (1 2)(2 3) (1 3)(1 2)
1 21 3 1 3 2 (1 3)(1 2) (1 2
3)
由此可见，一个置换可分解为若干个没有相同数字的 独立循环之积，而一个循环又可分解为若干个含有相 同数字的对换之积. 因此，一个置换可分解为若干个 含有相同数字的对换之积. 由于一个循环分解为对换 乘积的形式不是唯一的，如(3)式示, 所以一个置换可 分解为对换之积的形式不是唯一的. 一个置换若能分解 为奇数个对换之积，则称为奇置换. 反之, 一个置换若 能分解为偶数个对换之积，则称为偶置换. 一个置换可 分解为对换乘积的形式虽然不是唯一的，但其奇偶性 5 2013-8-7