原子物理第三章 (2)

当n ，l ，m 都给定后，就给出了一个确定的状态；
所以我们经常说: （n ，l ，ml ）描述了一个确定的态。 对于氢原子，能量只与n 有关，n 给定后，有n 个l ， 每一个l 有2l+1 个ml ,所以氢原子的一个能级 En 对应 于 n2 个不同的状态，我们称这种现象为简并，相应的 状态数称为能级 En 的简并度。
e e 2 ( ) g s ( ) S 2m 2m
其中 gl 和
gs
分别是轨道和自旋 g 因子
引入 g 因子之后，任意角动量对应的磁矩 j 可以 统一表示为：

j j ( j 1) g j B
jz m j g j B
量子数 j 取定后 mj =j, j-1,……，-j 共2j+1个值.当取 j=l ,s 就可以分别得到轨道和自旋磁矩。



与此相类比，s 与相应的 s 之间也应有相应的对应 关系，有实验结果定出这个对应关系是
e s s m


其量值关系为
s 3B
e sz sz B m
2.朗德因子g 综合上面的讨论，我们得到磁矩和角动量的比值为：
l
s
e e 1 ( ) g l ( ) L 2m 2m
Bz Bz 0 x y
Bz 0 z
热平衡时原子速度满足下列关系
1 3 2 2 2 m(vx v y vz ) kT 2 2
即
mv 3kT
2
在磁场区域 x 方向：
d vt1
1 Fz 2 t1 2 m
z方向： z1
t1 时刻，原子沿
z 方向的速度为
如基态氢原子在磁场中速度v=104m/s，磁场纵向范围L=10cm。 求裂距S. 解:
1 2 1 Fz L 2 1 dB L 2 S at ( ) ( ) z 2 2M v 2 M dZ v 1 dB L 2 ( ) B 2 M dZ v 1 2 0.1 2 1.5 10 ( 4 ) 9.27411024 2 1.67 10 2Hale Waihona Puke 10 4.165105 (m)

d 的标量形式为 dt

d sin ( sin ) dt
另一方面，设 在dt时间内旋进角度 d 则把式

d sin d
代入上式得
d dt
2. 轨道磁矩的量子表达式 根据量子力学的计算，角动量 L 是量子化的， 这包括它的大小和空间取向都是量子化的。
相应的磁矩又是什么呢？
1925年，两位荷兰学生乌仑贝克与古兹米特根据史特恩-
盖拉赫实验、碱金属光谱的精细结构等许多实验事实，发展
了原子的行星模型，提出电子不仅有轨道运动，还有自旋运 动，它具有固有的自旋角动量S。
引入了自旋假设以后，人们成功地解释了碱金属 的精细结构，塞曼效应以及史特恩-盖拉赫实验等。
2
例 求下列原子态的g因子：(1) P1 (2) 解：
g 1
1
1
2
P3 / 2 (3)
4
D1 / 2
j ( j 1) l (l 1) s( s 1) 2 j ( j 1)
(1)
(2) (3)
P ： s 0 ， l 1 ， 1 1 2 P3 / 2 ： s l 1， 2 ， 4 D1 / 2 ：s 3 ， l 2， 2
1. 经典表达式
在电磁学中，闭合通电回路的磁距为
iSen

因此，原子中电子绕核转也必定与一个磁距相对应， 式中i是回路电流，S 是回路面积, en 为磁矩方向的单 位矢量。设电子绕核运动的线速度为v，轨道半径为r, 则
ev 2 e e iSen r en me vren L 2r 2me 2me
又由式 Lz ml 可得 在 Z 方向的投影表达式为
e 通常令 B 2me
e lz Lz ml 2me
，称之为玻尔磁子。
2. 理论推导 o 中有处于基态的原子，被加热成蒸汽，以水平 速度v 通过狭缝s1 ，s2 ，然后通过一个不均匀磁场， 磁场沿Z 方向是变化的，即
1.电子自旋假设
1925年，年龄不到25岁的两位荷兰学生乌仑贝 克和古兹米特根据大量的实验事实，提出一个极大 胆的假设，电子不仅有轨道运动，还有自旋运动， 它具有固有的自旋角动量 S ，具体内容是：
1)与轨道角动量进行类比，自旋角动量的大小
为
S s(s 1)
其中s 称为自旋量子数.
2） L 有2l +1个空间取向，则 s 也应该有2s+1个空间 取向
Fz d vz at1 mv
从出磁场到P点（设D表示磁场中点到P点的距离）
d D vt2 2
另一方面，磁矩
z2 z1 vz t2


在磁场 B 中受力为

Bz Fz z z
所以：
Bz dD z2 z z 3kT
2 例：已知斯特恩—盖拉赫实验中 dB / dZ 1.5 10 T /m,
dL B dt
将 L 代入得
d B dt
令

B
有
d dt

这就是拉莫尔进动的角速度公式，它表明在均匀外磁 场 B 中，高速旋转的磁矩并不向 方向靠拢，而是 B 以一定的角速度 绕 B 作进动， 方向与 B 一致。
第三节：电子的自旋 史特恩-盖拉赫实验证明了原子在磁场中的取向是量子 化的，按空间量子理论，当l 一定时，ml有2l+1个取向， 而l是整数， 2l+1一定是奇数。但史特恩-盖拉赫实验中， 对氢原子、锂、钠、钾、铜等都发现两个取向，出现偶数 分裂的事实启示人们，电子的轨道运动似乎不是全部的运 动。换句话说， 轨道磁矩应该只是原子总磁矩的一部分，那另一部分 的运动是什么呢？
记：
e 2me
称为旋磁比
e 则： iSen L L 2me
角动量 L 方向相反。

可见，原子中电子绕核运动的磁矩 与电子轨道
由电磁学知
在均匀外磁场 B 中受到的力矩

作用，这一力矩的大小为
B
而力矩的存在将引起角动量的变化，即
Bz dD B z 3kT
代入常数：
k 8.617105 eV / k , B 0.5788104 eV / T
得：
z2 1.12cm
例. 在斯特恩－盖拉赫实验中，极不均匀的横向磁场 Bz 梯度为 10 T / cm ，磁极的纵向长度d=10cm, 磁极中心 . z 到屏的长度D=30cm(如图所示), 使用的原子束是处于基态 3P 的氧原子，原子的动能E =20meV, 试求屏上线束边缘 2 k 成分之间的距离。
z
解:氧原子的基态3P2,
D
s = 1, j 2, mj 0,1, 2,

d
x
3 s( s 1) l (l 1) 3 1 (1 1) 1 (1 1) 3 gj 2 2l (l 1) 2 2 2 (2 1) 2
Bz Bz Fz z mj g jB , z z
e e L cos( L, J ) S cos( S , J ) 2m m 2 2 2 余弦定理： L J S 2JS cos(S , J ) 2 2 2 S J L 2JL cos(L, J )
j
e 1 e 1 ( J 2 L2 S 2 ) ( J 2 S 2 L2 ) 2m 2 J m 2J e J 2 L2 S 2 J (1 ) 2 2m 2J
,所以其基态
的状态为 2S1/ 2 可以求得 g j 2 ,而
m j j, j 1,， j
所以
m j 1/ 2,1/ 2 从而
m j g j 1
故
Bz dD Bz dD z2 z m j g j B z 3kT z 3kT
若
Bz 10T / m, d 1m, D 2m, T 400 K z
由于
2
1 j l , 2
2
所以双重原子态分别表示为
n Ll 1/ 2和n Ll 1/ 2 .
1 仅当l =0时， j s ，双重态只有一个原子态表示。 2
比如nS，nP，nD 态的双重态表示为：
nS n S 1
2 2
nP

n P1
2
2
n2 P3
2
nD

n D3
2
2
n 2 D5
e s S m
gl 1
gs 2
4. 原子态的表示
上一章原子态表示为n L；引入自旋后，对于给 定的 n 和 L ，除l =0 之外，j 都有两个值，所以 现在的原子态表示为
n
2 s 1
Lj
对于单电子体系，s=1/2,故2s+1=2（碱金属原子实的 总角动量是0 ，最终对角动量有贡献的，只是哪个单 电子），所以单电子和一个价电子原子的能级都属于 双重态系列。
e j g j J 2m
g j ：朗德因子
J 2 L2 S 2 j ( j 1) l (l 1) s( s 1) g j 1 1 2 2J 2 j ( j 1) 3 S 2 L2 2 2J 2
比较： 得：
e l L 2m
对于碱金属原子，能量与n，l 有关，可见相应的 简并度比氢原子要低。 此外，三个量子数（n ，l ，ml ）表示一个状态， 正好与经典物理中用（x ，y ，z）描述一个质点的 状态相对应。
把式 L l (l 1) 代入式 L
得


的数值表示为
e l l (l 1) l (l 1) 2me
j 1， g 1
3 j 2 1 j 2
4 ，g3
，g 0
5.Stern-Gerlach 实验的理论解释 由前面的推导，我们得到单电子原子总磁矩，以 及其分量的表达式:
j j ( j 1) g j B
jz m j g j B
这样，我们就可以计算不同状态的 j 以及 jz ， 从而得到原子经过磁场后，分裂情况的表达式。
入射原子的状态通常表示为 n 2 s 1L ，即告诉了我们 j 该状态的各量子数n, l , j, s 由方程：
J 2 S 2 J 2 3 1 S 2 L2 g j 1 ( ) 2 2 2J 2 2 J
可以求出相应状态的 g 因子.
1 n 如氢原子处于基态时， 1, l 0, j s 2


S z ms
ms s, s 1,…-s
1 实验表明，对于电子来说 s 2

1 1 ms ， 2 2
即

1 Sz 2
s
有两个空间取向。

3)与 s 对应的磁矩，由 L 知，轨道磁矩 l 与轨道角动量 之间的对应关系是 L
e l L 2m

L l (l 1)
Lz ml
式中l 称为角量子数，它的取值范围为
l 0,1, 2,…, n 1
ml
称为轨道磁量子数, 当l 取定后，其可能取值为
ml 0, 1, 2,… l
即完整的微观模型是： 给定的n，有l 个不同形状的轨道（l ）； 确定的轨道有2l +1个不同的取向（ml ）；
3.角动量的合成 在原子内部，有两种角动 量 L 和 S ,必然存在一个总 角动量以及相应的磁矩。


s 与 s ， l 与 l



分别共线，合成后
j ls

l s


j l cos(L, J ) s cos(S , J )