最短路问题在运输网络中的应用

第25卷第3期
Vol .25　No .3长春师范学院学报(自然科学版)Journal of Changchun Normal University (Natural Science )2006年6月Jun .2006
最短路问题在运输网络中的应用
李　玲
(陕西工业职业技术学院,陕西咸阳　712000)
[摘　要]最短路问题是在图的基础上衍生出来的,也是网络优化中的一个基本问题,许多选择优化
问题都可以转化为最短路问题来求解。

本文重在研究公路网络运输中的最短路问题。

[关键词]最短路;网络运输;网络优化;动态规划
[中图分类号]O221 [文献标识码]A [文章编号]1008-178X (2006)03-0058-04
[收稿日期]2006-02-01
[作者简介]李　玲(1977-),女,陕西商洛人,陕西工业职业技术学院教师,从事计算机专业基础课教学研究。

1　最短路的定义
对最短路问题的研究早在上个世纪60年代以前就卓有成效了,其中对赋权图(w ij ≥0)的有效算法是由荷兰著名计算机专家E .W .Dijkstra [1]在1959年首次提出的,该算法能够解决两指定点间的最短路,也可以求解
图G 中一特定点到其它各顶点的最短路。

后来海斯[2]在Dijkstra 算法的基础之上提出了海斯算法。

但这两种
算法都不能解决含有负权的图的最短路问题。

因此由Ford [3]提出了Ford 算法,它能有效地解决含有负权的最
短路问题。

但在现实生活中,我们所遇到的问题大都不含负权,所以我们在(w ij ≥0)的情况下选择Dijkstra 算法。

定义1[4]若图G =G (V ,E )中各边e 都赋有一个实数W (e ),称为边e 的权,则称这种图为赋权图,记为G =G (V ,E ,W )。

定义2[5]
若图G =G (V ,E )是赋权图且W (e )≥0,e ∈E (G ),若u 是v i 到v j 的路W (u )的权,则称W (u )为u 的长,长最小的v i 到v j 的路W (u )称为最短路。

若要找出从v 1到v n 的通路u ,使全长最短,即min W (u )=∑e ij ∈u W (e )。

2　最短路问题算法的基本思想及基本步骤
在诸多算法中(w ij ≥0)最经典的算法当属Dijkstra 算法,该算法的基本思想是动态规划[6]最优原理,即最短路线上任意两点间的路线也是最短。

因此,若v i 到v j 的最短路线经过v k ,则v i 到v k 以及v k 到v j 的部分都是相应的最短路线。

基本步骤:
令 s ={v 1},i =1, s ={v 2,v 3,…,v n }
并令 W (v 1)=0
T (v j )=∞,v j ∈ s
①对v j ∈ s ,求min {T (v j ),W (v i )+w ij }=T (v j )。

②求min v j ∈ s {T (v j )}得T (v k ),使T (v k )=min v j
∈ s {T (v j )}
令 W(v k)=T(v k)
③若v k=v n则已找到v1到v n的最短路距离W(v k),否则令i=k从s中删去v i转①
这样经过有限次迭代则可以求出v1到v n的最短路线,可以用一个流程图来表示:
第一步　先取W(v1)=0意即v1到v1的距离为0,而T(v j)是对W(v j)所赋的初值。

第二步　利用W(v1)已知,根据min{T(v j),W(v i)+w ij}对T(v j)进行修正。

第三步　对所有修正后的T(v j)求出其最小者T(v k)。

其对应的点v k是v1所能一步到达的点v j中最近的一个,由于所有W(u)≥0。

因此任何从其它点v j中转而到达v k的通路上的距离都大于v1直接到v k的距离T(v k),因此T(v k)就是v1到v k的最短距离,所以在算法中令W(v k)=T(v k)并从s中删去v k,若k=n则W (v k)=W(v n)就是v1到v n的最短路线,计算结束。

否则令v i=v k回到第二步,继续运算,直到k=n为止。

这样每一次迭代,得到v1到一点v k的最短距离,重复上述过程直到v k=v n。

3　一个应用的例子
设6个城市v1,v2,…,v6之间的一个公路网(图1)每条公路为图中的边,边上的权数表示该段公路的长度(单位:百公里),设你处在城市v1,那么从v1到v6应选择哪一路径使你的费用最省。

图1
解:首先设每百公里所用费用相同,求v1到v6的费用最少,既求v1到v6的最短路线。

为了方便计算,先作出该网络的距离矩阵,如下:
L =v 1v 2v 3v 4v 5v 6
v 1052∞∞∞
v 250159∞
v 3210810∞
v 4∞58025
v 5∞910202
v 6∞∞∞520
(0)设W (v 1)=0,T (v )=∞,v j ∈ s ={v 2,v 3,v 4,v 5,v 6},
(1)第一次迭代
①计算T (v j ),j =2,3,4,5,6如下
T (v 2)=min {T (v 2),W (v 1)+w 12}=min {∞,0+5}=5
T (v 3)=min {T (v 3),W (v 1)+w 13}=min {∞,0+2}=2
T (v 4)=min {T (v 4),W (v 1)+w 14}=min {∞,0+∞}=∞
T (v 5)=∞,T (v 6)=∞
②取min v j ∈ s {T (v j )}=2=T (v 3),令W (v 3)=T (v 3)
=2
③由于k =3≠(n =6),令 s ={v 2,v 4,v 5,v 6},i =3转(1)
第二次迭代:
①算T (v j ),j =2,4,5,6如下
T (v 2)=min {T (v 2),W (v 3)+w 23}=min {5,2+1}=3
T (v 4)=min {T (v 4),W (v 3)+w 34}=min {8,2+8}=8
T (v 5)=min {T (v 5),W (v 3)+w 35}=min {10,2+10}=10
T (v 6)=min {T (v 6),W (v 3)+w 36}=min {∞,2+∞}=∞
②取min v j ∈ s {T (v j )}=3=T (v 2)令W (v
2)=T (v 2)=3
③由于k =2≠(n =6),令 s ={v 4,v 5,v 6}i =2转(1)
第三次迭代:
①算T (v j ),j =4,5,6如下
T (v 4)=min {T (v 4),W (v 2)+w 24}=min {8,3+5}=8
T (v 5)=min {T (v 5),W (v 2)+w 25}=min {10,3+9}=10
T (v 6)=∞
②min v j ∈ s {T (v j )}=8=T (v 4),W (v 4)=T (v 4)
=8
③由于k =4≠(n =6),令 s ={v 5,v 6}i =4转(1)
第四次迭代:
①算T (v j ),j =5,6如下
T (v 5)=min {T (v 5),W (v 4)+w 45}=min {10,2+8}=10
T (v 6)=min {T (v 6),W (v 4)+w 46}=min {∞,8+5}=13
②取min v j
∈ s {T (v j )}=10=T (v 5),令W (v 5)=T (v 5)=10③由于k =5≠(n =6),令 s ={v 6}转(1)
第五次迭代:
①算T (v j ),j =6如下
T (v 6)=min {T (v 6),W (v 5)+w 56}=min {13,10+2}=12
②由于k =6=n 。

因此已找到v 1到v 6的最短距离为12。

计算结束。

找最短路线:逆向追踪得v 1※v 3※v 2※v 4※v 5※v 6
最短距离为12,即从城市v 1到城市v 6的距离最短,即费用最省。

[参考文献]
[1]朱建青,张国梁.数学建模方法[M ].郑州大学出版社.
[2]杨民助,运筹学[M ].西安交通大学出版社.
[3]殷剑宏,吴开亚.图论及其算法[M ].中国科学技术出版社.
[4]王朝瑞.图论[M ].国防工业出版社.
[5]姚思瑜.数学规划与组合优化[M ].浙江大学出版社.
[6]秦裕瑗,秦明复.运筹学简明教材[M ].高等教育出版社.
The Application of Shortest Path Problem in Transport Network
LI Ling
(Shanxi Polytechnic Institute ,Xianyang 712000,China )
A bstract :With the development of our society ,the application field of shortest path pr oblem is wider and wider .The appli -cation of shortest path problem in the transport network is mainly studied in the paper .
Key words :shortest path problem ;network optimization ;network transports ;dynamic pr ogramming。