信号与系统第5章-连续系统的复频域分析

f (t )e
t
e
( 3)t
(t )
3 f(t) e-σt收敛
应用电子系
在 s 平面上 以σ= σ0 为界将s 平 面分为两个区域。
σ= σ0 称收敛边界 σ >σ
0
为收敛域（不包含边界）
• 在收敛域内f(t)的拉普拉斯变换F(s)存在， 在收敛域外则不存在。 • F(s)的所有极点必须在收敛域外。
0 sin 0t (t ) 2 2 s 0
s 同理可得 cos0t (t ) 2 2 s 0
收敛域为 0
衰减的正弦、余弦、双曲函数等都可用同样的方法求出
应用电子系
5、t 的正幂函数 tnε(t) （n为正整数）
1 n st L[t (t )] t e dt t de 0 s 0 1 n st n n 1 st [t e n t e dt ] L[t n 1 (t )] 0 0 s s
应用电子系
常用函数的拉普拉斯变换
1、指数函数 et (t ) 为常数
F ( s)


0
f (t )e
st
dt


0
et e st dt


0
e
( s ) t
1 t dt s e (t )
t
1 s
收敛域为 σ > Re(α)
1、在电子技术中常用的有始函数一般都属于指数阶 函数，单边拉普拉斯变换存在，有收敛域。 2、能量有限的信号，单边拉普拉斯变换的收敛域为 整个复平面。 3、有始无终的单边函数，单边拉普拉斯变换的收敛 域总是在某一收敛轴的右边。 4、在收敛域中不包含极点。 5、凡符合绝对可积条件的函数不仅存在拉普拉斯变 换，而且存在傅里叶变换，收敛域必定包含虚轴； 反之，凡不符合绝对可积条件的函数，收敛域必不 包含虚轴，傅里叶变换不一定存在。
2、只能求零状态响应，求全响应困难
傅里叶变换的推广
拉普拉斯变换
可解决上述问题
应用电子系
§4.1 拉普拉斯变换
1、拉普拉斯变换的定义
函数f(t)不满足绝对可积条件往往是由于当︱t︱→∞ 时f(t) 不衰减造成的，因此若人为乘上一个衰减因子e-σt，就可能 符合绝对可积条件，因而其傅里叶变换存在：
F [ f (t )e ] [ f (t )e ]e
0
(t ) 1
应用电子系
4、单边正弦函数 sin 0t (t )
1 j0t j0t 1 L sin 0t (t ) L{ [e e ]} {L[e j0t ] L[e j0t ]} 2j 2j 0 1 1 1 [ ] 2 2 j s j0 s j0 s 0 2
st st
e st
一对 e , e 合成一个实信号，代表的是一个 t 按 e 变化的正弦分量
应用电子系
拉普拉斯变换的物理意义：
拉普拉斯变换：
将f(t) 沿σ-j∞→σ+j∞分解为无穷多个est分量
拉普拉斯反变换：
沿σ-j∞→σ+j∞积分路径，将无穷多个est分量迭加得f(t)
傅里叶变换：
拉普拉斯变换的特例
1 又如： t (t ) 2 s
1 (t ) (s )2
5、时域微分
df (t ) 若： f (t ) F ( s ) 则 sF ( s ) f (0 ) dt
df (t ) df ( t ) st st 证明： L e dt e df (t ) 0 0 dt dt
n n st
n n n 1 n! n 1 n 2 L [t (t )] L [t (t )] L [t (t )] n 1 s s s s
n
n! t (t ) n 1 s
n
1 2 2 由此可得： t (t ) 2 , t (t ) 3 等等。 s应用电子系 s
0
解： Q f (t ) (t ) (t T )
1 1 sT F ( s) L (t ) L (t T ) e s s 1 sT (1 e ) s 应用电子系
例2: 如图有始周期函数 f(t)， 若其第一个周期
要 lim e (t )e
t
t
t
lim e
t
( ) t
0
只要
应用电子系
0
4. 单边斜变信号 t (t )
容易看出，要 lim e t (t ) 0
t t
只要 0
所以收敛域与单位阶跃 信号 (t )相同。
应用电子系
结论：
n 0 nsT
F1 (s) 1 e sT
结论：
周期为T的有始周期函数 f (t ) ，其拉普拉斯变换为
F1 (s) f (t ) 1 e sT
F1 ( s ) 为 f (t )第一个周期的普拉斯变换
应用电子系
4、复频域平移
s0t f ( t ) F ( s ) 则 f ( t ) e F (s ms0 ) 若：
t t

j t
dt f (t )e( j )t dt


令 s j 则积分结果为s 的函数，所以上式表示 为：
F ( s) f (t )es tdt

拉普拉斯正变换
应用电子系
F ( s) f (t )es tdt

的函数记为f1(t)， 且 f1 (t ) F1 ( s)
求：F(s)。
解： f (t ) f1 (t ) f1 (t T ) f1 (t 2T ) ...
F (s) F1 (s) F (s)e
sT 应用电子系 1
F1 (s)e
2 sT
L
F (s) F1 (s) F1 (s)e sT F1 (s)e2 sT ... F1 (s) e
1 推论： e (t ) s
应用电子系
2、单位阶跃函数 (t )
Q e (t )
t
1 s
0 1 s
0 (t )
1 (t ) s
应用电子系
3、单位冲激函数 (t )
L[ (t )] (t )e st dt 1
1
F ( s)e ds
拉普拉斯反变换
应用电子系
双边拉普拉斯正变换 正变换：FD ( s)


f (t )est dt
1 j st F ( s ) e ds 反变换： f (t ) 2j j
更常用的是单边拉普拉斯变换，定义为：
F ( s) L [ f (t )] f (t )est dt
应用电子系
2、单边拉普拉斯变换收敛域的判别方法
若 0时 lim f (t )e t 0 则 f (t )e t 绝对可积
t
F ( s ) 存在， 0即为F ( s ) 的收敛域。
应用电子系
3、常用单边拉普拉斯变换的收敛域 1. 持续时间有限的单个脉冲信号
0

1 j st f (t ) L [ F (s)] F (s)e ds (t ) 2 j j
1
应用电子系
与傅里叶变换一样有时也记为
f (t ) F ( s )
S 称为复频率 F(s)称为复频谱（象函数）
应用电子系
2、拉普拉斯变换的物理意义
符合绝对可积条件的函数不仅存在拉普拉斯 变换，而且存在傅里叶变换。所以，其傅里叶变 换和拉普拉斯变换可以相互转化。
F ( j ) F ( s) j s
j s
应用电子系
不符合绝对可积条件的函数，其傅里叶变 换和拉普拉斯变换则不符合上面的转化关系。
应用电子系
常用函数的拉普拉斯变换：
1 jt j t F ( j ) e d 是将信号分解为无穷多个 F : f (t ) e 2 1 F ( j )d 分量，每个分量的幅度为 2
一对 e jt , e jt 合成一个实信号，代表的是一个 正弦分量
1 j st F ( s ) e ds 是将信号分解为无穷多个 L : f (t ) j 2j 1 F ( s )ds 分量，每个分量的幅度为 2j
0 sin(0t ) (t ) 2 s 0 2 可得： 例如：由 s cos(0t ) (t ) s 0 2
2
e
e
t
t
s cos(0t ) (t ) ( s ) 2 0 2
te
应用电子系
t
0 sin(0t ) (t ) 2 2 ( s ) 0
沿路径 -j∞→+j∞(虚轴)的分解与迭加
应用电子系
应用电子系
e
st
的含义 S平面 s j
C2
C1 B2 B1
A1
A2
C1* C2*
应用电子系
拉普拉斯变换的收敛域
1、收敛域定义： 使f(t) e-σt收敛，即F(s)存在的σ 的取值范围
例如：f (t ) e (t )
3t

拉普拉斯正变换
1 [ F ( s )] 2
反之：
f (t )e
t
F
1



F ( s )e j td
1 f (t ) 2
f (t )



F ( s )e
j
j
( j ) t
1 d Q s j d ds j
st
2 j
(t ) 1
1 (t ) s 1 t e (t ) s -
0 sin 0t (t ) 2 s 0 2 s cos 0t (t ) 2 s 0 2 1 t (t ) 2 s n! n t (t ) n 1 s 应用电子系
记住！
§4.2 拉普拉斯变换的性质

拉普拉斯变换和傅里叶变换变换的性质有些是 相似的，而有些是有区别的，要注意它们的相似 之处和不同之处不要混淆。 这些性质都是针对单边拉普拉斯变换的。

应用电子系
1、线性 若： f1 (t ) F1 (s), f2 (t ) F2 (s) 则： a1 f1 (t ) a2 f 2 (t ) a1F1 ( s) a2 F2 ( s)
a1 , a2 为常数
2、尺度变换 若： f (t ) F ( s )
1 s f ( at ) F ( ) 则： a a
应用电子系
a 为大于 0的常数
3、时间平移
若： f (t ) (t ) F ( s)
则：f (t t0 ) (t t0 ) F (s)e st 例1：f(t)如图，求F(s)。
f (t )e
st 0
Βιβλιοθήκη Baidu
s f (t )e dt sF (s) f (0 )
st 0

本性质可推广到n阶导数，即：
d n f (t ) n n 1 n2 ' n 3 '' s F ( s ) s f (0 ) s f (0 ) s f (0 ) n dt ( n 2) ( n 1) sf (0 ) f (0 ) 应用电子系
能量有限信号，因此不管σ 取何值总是满足
lim f (t )e
t
t
0
收敛域为整个s平面，拉斯变换无条件存在。
应用电子系
2. 单位阶跃信号 (t )
容易看出，要 lim e t (t ) 0
t
只要 0
收敛域为不包含虚轴的右半平面
应用电子系
t e 3. 单边指数信号 (t )
信号与系统 第四章 连续时间系统的复频域分析
• 拉普拉斯变换
• 拉普拉斯变换的主要性质
• 拉普拉斯反变换 • 系统的s域分析
应用电子系
第四章 连续时间系统的复频域分析
基于傅里叶变换的频域分析法引入了信号频 谱和系统频率响应的概念，具有清晰的物理意 义。但频域分析有其局限性： 1、要求函数绝对可积(狄里克雷条件)