高考专题突破三(1)

高考专题突破三 高考中的数列问题

【考点自测】

1．(2017·苏北四市模拟)在公比为q 且各项均为正数的等比数列{a n }中，S n 为{a n }的前n 项和．若a 1＝1

q 2，且S 5＝S 2＋2，则q 的值为________．

答案

5－1

2

解析 由题意得a n ＝q n －3(q ＞0)，因为S n 为{a n }的前n 项和且S 5＝S 2＋2，所以S 5－S 2－2＝0，即a 3＋a 4＋a 5－2＝0，整理得q 2＋q －1＝0，解得q ＝

5－12⎝ ⎛⎭

⎪⎫

q ＝－5－12舍. 2．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 5＝5，S 5＝15，则数列⎩⎨⎧⎭

⎬⎫

1a n a n ＋1的前100项和为________．

答案

100101

解析 设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d .

∵a 5

＝5，S 5

＝15，∴⎩⎨⎧

a 1

＋4d ＝5，

5a 1

＋5×(5－1)

2

d ＝15，∴⎩

⎪⎨⎪⎧

a 1＝1，

d ＝1， ∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝n . ∴

1a n a n ＋1＝1n (n ＋1)＝1n －1

n ＋1

， ∴数列⎩

⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1a n a n ＋1的前100项和为⎝⎛⎭⎫1－12＋⎝⎛⎭⎫12－13＋…＋⎝⎛⎭⎫1100－1101＝1－1101＝100

101. 3．若a ，b 是函数f (x )＝x 2－px ＋q (p ＞0，q ＞0)的两个不同的零点，且a ，b ，－2这三个数适当排序后可成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p ＋q 的值为________． 答案 9

解析 由题意知，a ＋b ＝p ，ab ＝q ，∵p ＞0，q ＞0，∴a ＞0，b ＞0.在a ，b ，－2这三个数的6种排序中，成等差数列的情况有a ，b ，－2；b ，a ，－2；－2，a ，b ；－2，b ，a ；成等比数列的情况有a ，－2，b ；b ，－2，a .

∴⎩⎪⎨⎪⎧ ab ＝4，2b ＝a －2或⎩⎪⎨⎪⎧ ab ＝4，2a ＝b －2，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝4，b ＝1或⎩

⎪⎨⎪⎧

a ＝1，

b ＝4.

∴p ＝5，q ＝4，∴p ＋q ＝9.

4．已知数列{a n }是等比数列，数列{b n }是等差数列，若a 1·a 6·a 11＝33，b 1＋b 6＋b 11＝7π，则tan

b 3＋b 9

1－a 4·a 8

的值是________．

答案 － 3

解析 {a n }是等比数列，{b n }是等差数列，且a 1·a 6·a 11＝33，b 1＋b 6＋b 11＝7π， ∴a 36＝(3)3，3b 6＝7π，∴a 6＝3，b 6＝7π3

， ∴tan

b 3＋b 9

1－a 4·a 8

＝tan

2b 6

1－a 26

＝tan 2×

7π

3

1－(3)2 ＝tan ⎝⎛⎭⎫－7π3＝tan ⎝⎛⎭⎫－2π－π3 ＝－tan π

3

＝－ 3.

5．(2013·江苏)在正项等比数列{a n }中，a 5＝1

2，a 6＋a 7＝3.则满足a 1＋a 2＋…＋a n >a 1a 2…a n 的

最大正整数n 的值为________． 答案 12

解析 设{a n }的公比为q (q >0)，

则由已知可得⎩⎨⎧

a 1q 4＝12

，

1

2(q ＋q 2

)＝3，

解得⎩⎪⎨⎪⎧

a 1＝132，

q ＝2.

于是a 1＋a 2＋…＋a n ＝1

32(1－2n )1－2＝1

32(2n －1)，

a 1a 2…a n ＝(1)(1)2

21

1()232

n n n n n

n a q

--=. 由a 1＋a 2＋…＋a n >a 1a 2…a n ，可得1

32(2n －1)> (1)2

1()232

n n n -，

整理得211522

212.－

n n

n

-+>

由2n >211522

2

n n

-+，可得n >12n 2－11

2

n ＋5，

即n 2

－13n ＋10<0，解得13－1292

2

，

取n ＝12，可以验证当n ＝12时满足a 1＋a 2＋…＋a n >a 1a 2…a n ，n ≥13时不满足a 1＋a 2＋…＋a n >a 1a 2…a n ， 故n 的最大值为12.

题型一 数列的通项与求和

例1 已知等差数列{a n }的公差为2，前n 项和为S n ，且S 1，S 2，S 4成等比数列． (1)求数列{a n }的通项公式； (2)令b n ＝(－1)n

－1

4n

a n a n ＋1

(n ∈N *)，求数列{b n }的前n 项和T n . 解 (1)因为S 1＝a 1，S 2＝2a 1＋2×1

2×2＝2a 1＋2，

S 4＝4a 1＋4×3

2×2＝4a 1＋12，

由题意得(2a 1＋2)2＝a 1(4a 1＋12)， 解得a 1＝1，所以a n ＝2n －1(n ∈N *)． (2)b n ＝(－1)n －1

4n

a n a n ＋1

＝(－1)n －1

4n

(2n －1)(2n ＋1)

＝(－1)

n －1

⎝ ⎛⎭

⎪⎫12n －1＋12n ＋1. 当n 为偶数时，

T n ＝⎝⎛⎭⎫1＋13－⎝⎛⎭⎫13＋15＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －3＋12n －1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＋12n ＋1＝1－12n ＋1＝2n 2n ＋1.

当n 为奇数时，

T n ＝⎝⎛⎭⎫1＋13－⎝⎛⎭⎫13＋15＋…－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －3＋12n －1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＋12n ＋1＝1＋12n ＋1＝2n ＋22n ＋1

.