第六章静电场-资料

: 线密度 : 面密度 : 体密度
例 求电偶极子在延长线上和中垂线上一点产生的电场强度。
解
E E 440(0x(qxq l l2)22)i 2i q
l
O
E E q P
x
E E 4 0E ( x2 2x pl424)02(qx22xl2l
4)2i令：电偶极矩pql E EP
20在2E 0/5中/ 30 垂2E 线上coEsE E404(rq P20 r3l24)
dEEdS
EdESEdS
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dS
E E
对闭合曲面 讨论
EdESE dS
(1)
S 方向的规定：
非闭合曲面
闭合曲面
(2) 电通量是代数量
0θ 2
θ 2
凸为正，凹为负 向外为正，向内为负
d E
为正
d E
为负
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高斯定理
+q
0
q
SEdS 0
q
以点电荷为例建立e——q 关系:
θ1 0 θ2
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Ex 0
Ey
λ 2ε
0a
y
dE
dE y
P
dEx
r
1
a
2
dq O
x
例 半径为R 的均匀带电细圆环，带电量为q
求 圆环轴线上任一点P 的电场强度
x dE
解 dqdl
dE
1
40
drq2 r0
dEx
P dE
EdE410
dqr0 r2
r
dE dEsiθn dExdEcoθs
r1 q 3 f1
对电荷连续分布的带电体
dF
q0dq
r0
40r2
FQ4q0d0qr2 r0
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r Q
dq
q1 r2
f2
dF q0
例 已知两杆电荷线密度为，长度为L，相距L
求 两带电直杆间的电场力。
解 dqdx
dq
dqdx
Ox
L
dF4d0(xxdxx)2
dq
2L x
F23L Ldx0L40(2xdxx)2
1. 正负性
2. 量子性
Qne e ( 1 .61 02 8 2 0 .0 90 06 0 ) 0 1 4 1 C 0 9
盖尔—曼提出夸克模型 : 1 e
2e
3
3
3. 守恒性
在一个孤立系统中总电荷量是不变的。即在任何时刻系统
中的正电荷与负电荷的代数和保持不变，这称为电荷守恒
定律。
4. 相对论不变性
检验电荷
F2
=E
q2
带电量足够小 点电荷
定义： 电场中某点的电场强度的大小等于单 位电荷在该点受力的大小，其方向为 正电荷在该点受力的方向。
E
F
q0
点电荷的场强
F
1
40
qr2q0 r0
E qF 0410rq2r 0
场强叠加原理 点电荷系的电场
点电荷系的电场
F k
Ek q0 k
E k
0 E E S 2 E S S Ex
根据高斯定理有
2ES 1 S 0
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E 2 0
x O
例 已知无限大板电荷体密度为，厚度为d
求 电场场强分布
解 选取圆柱面为高斯面
板外： 2ES Sd 0
E外
d 2 0
板内：
2ES S2x 0
E x 内
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0
Ex
O
x
例 已知“无限长”均匀带电直线的电荷线密度为+
是保守力，静电场是保守力场。
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在静电场中，沿闭合路径移动q0，电场力作功
W a bF d lq 0 E d l b
b a
a (L 1 )q 0 E d lb (L 2)q 0 E d l
L1
b b
L2
a (L 1 )q 0 E d la (L 2)q 0 E d l
第六章 静电场
图为1930年E.O.劳伦斯制成的世界上第一台回旋加速器
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我们从高中就知道，电磁场是物质存在的一种形式， 电磁运动是物质的基本运动形式之一。电磁运动的规律， 不仅是人类深入探索自然的理论武器，而且在工程技术 中有着广泛的应用。
在本章中主要研究静电场的基本性质和规律，为学 习比较系统的电磁场理论打下基础。
r
++
R
r' + +
EdSE4r2
S
14r31q'
03
0
E r
E
3 0
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r
O
R 电场分布曲线
例已知“无限大”均匀带电平面上电荷面密度为
求 电场强度分布
解 电场强度分布具有面对称性
选取一个圆柱形高斯面
eSEdS
侧 E d S 左 E 底 d S 右 E 底 d S
RO
dq
圆环上电荷分布关于x 轴对称 E 0
Ex
1
40
drq2 coθs
1
40
coθs r2
dq
1
40
q r2
cosθ
cosθ x r
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r(R2x2)1/2
E410(R2qxx2)3/2
讨论
x
(1) 当 x = 0（即P点在圆环中心处）时，
P
E0
(2) 当 x>>R 时
E
1
40
q x2
电荷系q1、q2、…的电场中，移动q0，有
bb
Waba(L F)dla(L)q0Edl
b
n
a(L)q0( Ei)dl
i1
a•
n b
a(L)q0Ei dl
i1
qiq0 (11)
i 40 rai rbi
结论
b •
L
q1 q2 q i qn1
qn
电场力作功只与始末位置有关，与路径无关，所以静电力
0
rR qi Q
i
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qi
E
i
4 0r 2
E4Q 0r2
对球面内一点:
rR qi 0
i
E=0
+ +R + ++
+
E
E0
E
1 r2
O
r
电场分布曲线
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例 已知球体半径为R，带电量为q（电荷体密度为）
求 均匀带电球体的电场强度分布
解 球外 (rR)
E
1
40
q r2
r0
3 0
R3 r2
r0
球内( rR)
r
++
R
r' + +
EdSE4r2
S
14r31q'
03
0
E r
E
3 0
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r
O
R 电场分布曲线
例 已知球体半径为R，带电量为q（电荷体密度为）
求 均匀带电球体的电场强度分布
解 球外 (rR)
E
1
40
q r2
r0
3 0
R3 r2
r0
球内( rR)
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6-1 电场强度 6-2 高斯定理 6-3 电势 6-4 静电场的导体和电介质 6-5 电容 电场的能量
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§6-1 电场强度
回顾：
１、物质的电结构、电荷的量子化和电荷守恒定律
２、真空中库仑定律
F
k
q1q2 r2
３、电场的概念和电场强度的定义
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电荷
-q
取球对称闭合曲面
EdS E dS
S
S
1
40
q r2
4r2
1q 0
取任意闭合曲面时
EdS
S
1 0
q
+q
结论: 电通量与曲面的形状及 q 在曲面内的位置无关。
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q在曲面外时：
EE1E20
当存在多个电荷时：
E E 1 E 2 . .E 5 .
E E d S ( E 1 E 2 . . E 5 ) . d S
电荷q1 对q2 的作用力F21
F21
k
q1q2 r2
F21kqr1q22 r201
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q1
r
r21
q2 F21
电荷q2对q1的作用力F12
F12
kqr1q22
r102
q1 F12
q2
r
r12
k 1
4 0
0 真空中的电容率（介电常数）
0 8 .85 14 8 8 7 1 2 1 0 2 F/m
2 4 0
ln
4 3
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3L x
电场
早期：电磁理论是超距作用理论 电荷 电荷
后来: 法拉第提出场的概念 电荷 场 电荷
电场的特点 (1) 对位于其中的带电体有力的作用 (2) 带电体在电场中运动,电场力要作功
电场强度
场源电荷 产生电场的电荷
在电场中任一位置处： F1 =
q1
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E d E
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dS
EA
+q
A
-q
(3) 电场线是非闭合曲线 (4) 电场线不相交
电场强度通量
在电场中穿过任意曲面S 的电场线条数称为穿过该面的电通
量。 e
1. 均匀场中
E
En
n
dEEndSEco dSs
定义 d ES dS d S n
dEEdS
E
dS
dS
n
2. 非均匀场中
讨论：
F
1
40
q1q2 r2
r0
(1) 库仑定律适用于真空中的点电荷；
(2) 库仑力满足牛顿第三定律；
(3) 一般 F电F万
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３、电场力的叠加
q3 受的力：
Ff1f2
q2
对n个点电荷：
F F 1 F 2 .. . F n ...
i
Fi
i
410qr0iq 2i r i0
k
4 10q rk2 kr k0
点电荷系在某点P 产生的电场强度等于各点电荷单独在该 点产生的电场强度的矢量和。这称为电场强度叠加原理。
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任意带电体电场的场强
dE
1
40
drq2 r0
E
dq
40r2
r0
dE r P
dq
dq
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dl （线分） 布
dS （面分布） dV （体分布）
a
0
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LEdl 0
环路定理
E d l( E )d S
L
s
E的旋度
Edl 0
L
E 0静电场是保守力场
讨论
(1) 环路定理是静电场的另一重要定理，可用环路定理检验 一个电场是不是静电场。
b c d a
E d l a E d l b E d l c E d l d E d l
dEx 40acosd
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dEy
sind 40a
Ex
dEx
θ2 θ1
coθsdθ
40a
40a(sθ in 2siθn1)
Ey
dEy
θ2 θ1
40asinθdθ
40a(cθ o1 scoθ2s)
讨论
(1) a >> L 杆可以看成点电荷
Ex 0
Ey
λL
40a2
(2) 无限长直导线
求 距直线r 处一点P 的电场强度 解 电场分布具有轴对称性
过P点作一个以带电直线为轴， 以l 为高的圆柱形闭合曲面S 作 为高斯面
eSEdS
侧 E d S 上 E d 底 S 下 E d 底 S
侧 E d S E 侧 d S E 2 r l
根据高斯定理得
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E
r
q l
q
例 长为L的均匀带电直杆，电荷线密度为
求 它在空间一点P产生的电场强度（P点到杆的垂直距离为a)
解 dqdx
dE
1
40
dx
r2
dExdEcosdEydEsin
y
dE
dE y
P
dEx
由图上的几何关系
xataθn ()aco θt 2
r
1
a
2
dq O
x
d xac2 sθd c θ
r2 a 2 x 2 a 2 c2 sc
电荷的电量与它的运动状态无关
2020/5/30
库仑定律
1. 点电荷 当带电体的大小、形状 与带电体间的距离相比可以忽略时, 就可把带电体视为一个带电的几何点。 (一种理想模型)
2. 库仑定律 处在静止状态的两个点电荷，在真空（空气）中的相互作用 力的大小，与每个点电荷的电量成正比，与两个点电荷间距 离的平方成反比，作用力的方向沿着两个点电荷的连线。
数值上等于该曲面内包围的电量的代数和乘以 1 0
意义
反映静电场的性质—— 有源场
应用高斯定理计算场强
2020/5/30
例 均匀带电球面，总电量为Q，半径为R
求 电场强度分布
解 对球面外一点P :
取过场点 P 的同心球面为高斯面
E dS
EdS
E dS
E4r2
S
S
S
根据高斯定理
qi
E4r i
E2rl 1l
E
E 0
20r
电场分布曲线
总结
O
r
用高斯定理求电场强度的步骤：
(1) 分析电荷对称性；
(2) 根据对称性取高斯面；
高斯面必须是闭合曲面
高斯面必须通过所求的点
高斯面的选取使通过该面的电通量易于计算
(3) 根据高斯定理求电场强度。
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2020/5/30
§6-3 电势
回顾：
1、静电场中电场力做功有何特点？ ２、电势差和电势的定义是什么？
E 1 d S E 2 d S . . E 5 . d S
q1 q2 q3
0 0 0
结论: E是所有电荷产生的，电通量 只与内部电荷有关。
2020/5/30
高斯定理
EdS
1
S
0
iቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
qi(内)（不连续分布的源电荷）
EdS
1
dV（连续分布的源电荷）
S
V 0
真空中的任何静电场中，穿过任一闭合曲面的电通量，在
可以把带电圆环视为一个点电荷
r
RO dq
2020/5/30
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§6-2 高斯定理
回顾：
１、电场线的定义是什么？电场线有哪些性质？
２、电通量的概念？
2020/5/30
电场线
电场线的特点:
(1) 由正电荷指向负电荷 或无穷远处
(2) 反映电场强度的分布 电场线上每一点的 切线方向反映该点 的场强方向 ,电场 线的疏密反映场强 大小。
2020/5/30
静电场的环路定理
• 单个点电荷产生的电场中
b
Wab
Fdl
a(L)
b O
a(L)q0Edl
q ra
ab(L)q0Edlcos
b
rb
r
dl
q0
E
a L dr
2020/5/30
qq0
40
rb ra
r12dr
qq0 (1 1)
40 ra rb
(与路径无关)
• 任意带电体系产生的电场中