直线的参数方程t的几何意义应用

0
x
M
|
M0M
||
t
|

t, 若M 0M 方向向上 t，若M 0M方向向下
先写成绝对值，再根据动点 与起点的相对位置去绝对值
直线标准参数方程的特征及”非标化标“
x m

y

n

At Bt
(t为参数)
为直 线标 准参 数方 程的 条件为 :①
A2

B2

____1______

25
．直线 l
的参数方程是

x y
t cos t sin
（t
为参数）， l
与
C
交于
A、B 两点， AB 10 ，求l 的斜率．
应用（二）利用t的几何意义求解与线段长（弦长）有关的问题
问题 2.（2016 年全国 II 改编）在直角坐标系 xOy 中，圆 C 的方程为
x

轨迹参数 方程
题 有 关 的
参化普
求圆的轨 迹方程
直化极
极化参
全国2卷
椭圆中点 弦的斜率
求三角形 面积最大 值
弦长问题
直线与圆 的切点坐 标
高 考
直线和圆 相交求倾 斜角范围
求双曲线 方程
参化普、 极化直
真 题
全国3卷
求圆的弦 中点的轨 迹方程
求直线与 双曲线交 点的极坐 标
椭圆上动 点到直线 距离的最 值

x
y
1 t
t s
cos
in

3
(t为参数)
，过原点作直线
C1
的垂线，垂足为

3
A，求点 A 的坐标。
变式 3.圆C3 ：x 12 y2 4，点 D 是圆C3 上一点，若圆C3 在 D 处的切线与直
线 y 3x 2 垂直，求点 D 的坐标。
及时总结：利用直线标准参数方程t的几何意义求 直线上某点坐标坐标的步骤：
你能利用t的几何意义解决以下问题吗？
变式
1.已知直线 C1
：
x

1 t cos
3
y t sin
(t为参数)
，圆 C3
：x
12

y2

4

3
求 C1 与 C3 的的交点坐标；
应用标准参数方程t的几何意义第一个关键点：观察 起点与其他点、线的关系。
变式
2.已知直线
C1
：
求 | PA| | PB |的取值范围.
y
解：设A, B两点对应的参数分别是 t1,t2
| PA| | PB | | t1 t2 |
A
x
P
O
B
变式2.若直线l的参数方程为x a

y

1
2t 2 (t为参数，a R),直线l交 2t 2
C1 : y2 4x于A, B两点,点P(a,1)在线段AB上，若| PA| 2 | PB |,求实数
一.考纲要求： 参数方程 1. 了解参数方程，了解参数的意义； 2. 能选择适当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参数方程。
2018年 2017年 2016年 2014年 2010年
求直线与
参化极 参化普 参化极
圆交点坐
与
全国1卷
椭圆上动
标 求直线上
本
直线与圆 点到直线 两圆的公
一动点的
课
交点个数 距离的最 共弦 值
问题
1.已知直线
C1
：

x
y
1 t
t s
cos
in

3
(t为参数)
，圆
C
2
：
x

y

cos sin
(为参数)
，

3
求 C1 与 C2 的的交点坐标；
【思维提升】直线上每一个点与参数方程中的参数t存在一一对应 关系。利用参数方程求直线上某一点的坐标，只需求出该点对应 的参数t.
由韦达定理得
t1 t2 12cos,t1t2 11
AB t1 t2 t1 t2 2 4t1t2 10
即 144cos2 44 10
cos2 3 从而sin2 5
8
8
直线l的斜率k tan 15
3Hale Waihona Puke Baidu
【及时总结】
当直线与曲线相交于两点，解决有关弦长或 以直线所过定点为起点的线段长的有关问题的步 骤：
1. 确定该点所在直线的标准参数方程；
2. 数形结合确定该点的参数t
应用标准参数方程t的几何意义第二个关键点： 注意起点与待求点的相对位置！
应用（二）利用t的几何意义求解与线段长（弦长）有关的问题
问题 2.（2016 年全国 II 改编）在直角坐标系 xOy 中，圆 C 的方程为
x

62

y2
y
A
你能在变式2的基础上提 出什么新变式？
P
B
x
四.小结 今天的课你有什么收获？请你尝试用思维导图（或 流程图）的方式做一下总结。
1.将线段长表示为参数t的表达式 2.联立直线的标准参数方程与曲线的普通方程， 得到关于参数t的一元二次方程，联系韦达定理 解决问题。
关键点是正确处理线段长与参数t的关系！
变式1.若直线l的参数方程为xy

4 t 2 t
c os sin
(t为参数)，
l交圆C : x 62 y2 25于A, B两点，定点P 4,2,
a的值.
y
解：设A, B两点对应的参数分别是 t1,t2
由| PA| 2 | PB | 得 | t1 | 2 | t2 |， 即t1 2t2
A
P
B
x

变式
2.若直线
l
的参数方程为

x

a


y

1

2t
2 2
t
(t为参数 , a

R)
，l
交 C1
:
y2

4x
于
2
A,B 两点，点 P(a,1) 在线段 AB 上，若| PA| 2 | PB | ,求实数 a 的值。
62

y2

25
．直线 l
的参数方程是

x y
t cos t sin
（t
为参数）， l
与
C
交于
A、B 两点， AB 10 ，求l 的斜率．
解：设A, B两点对应的参数分别是 t1,t2
将xy
t cos与(x t sin

6)2

y2

25联立，可得
t2 12t cos 11 0
②__B____>0 将直线l ：xy

2t （ 2 2t
t
为参数）的方程化为标准参数方程__y_x__22___2_555_5_tt_(_t为__参__数__) _
三.直线的标准参数方程t的几何意义应用
应用（一）利用t的几何意义求直线上特殊点坐标或动点轨迹方程
二.一轮知识课前回顾（反馈巩固）
直线标准参数方程及参数t的几何意 直线标准参数方程及参数t的几何意
义记忆
义应用
1.过点M 0 (x0, y0 )，倾斜角为的直线l标准参数方程为

x y

x0 y0
t cos t sin
(t为参数)
y
(0, )
e
M0
e (cos,sin)是直线l上的方向向量， M是直线上一个动点，则M0M te