高等渗流力学(2017)-第五章-黄世军

p f
Kf
第五章 多重介质渗流理论
第三节 双重介质简化渗流模型的无限大地层典型解
一、Km和φf=0简化模型的典型解
在含油气裂缝-孔隙介质中，如果满足条件：
f m
Km K f
f 和 K f —是裂缝系统的孔隙度和渗透率; m 和 Km —是基岩系统的孔隙度和渗透率;
则在双重介质渗流的微分方程中，有两项可以忽略：
o K m q pm p f
q—单位时间单位岩石体积流出的流体质量；α—形状因子。
第二节 双重介质单相渗流的数学模型
假设孔隙介质，裂缝介质和地层流体均被认为是微可压缩 的，则裂缝孔隙压缩特性公式是：
f f 0 C f p f pi
基岩孔隙度 m压缩特性公式是：
第一节 双重介质油藏模型
该模型除与Warren-Root模型 相似，只是基质岩块不是平行 六面体，而是圆球体。圆球体 仍按规则的正交分布方式排列。
裂缝由圆球体之间的空隙表示，圆球体由基质岩块表示。
第一节 双重介质油藏模型
部分与整体以某种形式相似的形，称为分形。裂缝性 油藏的分形模型认为裂缝的分布形态、基岩的孔隙结构属 于分形系统。分形的维数随油藏的非均质性不同而不同。
Km 0
p f K f 1 p f K m pm p f f C f r t o r r r C pm K m p p 0 m m m f t


裂缝系统的压力公式变为：
r 2 Q p (r , t ) pi Ei 4 Kh 4 t
当η =0，即有充分的窜流时，渗流过程中的压力变化与单一介 质中的压力变化完全相同。
第三节 双重介质简化渗流模型的无限大地层典型解 当η ≠0时，则公式(7)中的指数函数不是趋于零而是趋于某 一定数，即： a2 t exp exp t 0 2 1 a

Km div vm o div grad pm
第二节 双重介质单相渗流的数学模型
经过处理后，连续性方程变为：
Km f Cf div(grad p f ) ( pm p f ) 0 t pm K m Km mCm div(grad pm ) ( pm p f ) 0 t
m m 0 C m pm pi
对于其中的流体（如原油）则：
o 1 C p pi
第二节 双重介质单相渗流的数学模型
C f f f 0 o 1 C f 0
p pi
Kf
Km div(grad p f ) ( pm p f ) 0 pm K m mCm ( pm p f ) 0 t
对(1)式求导带入(2)式并消去压差pm-pf得裂缝系统压力变 化的偏微分方程：
Co div[ grad p f Co grad p f ] 0 t t
Km f Cf div(grad pf ) ( pm pf ) 0 t
忽略
pf
Kf
pm K m Km mCm div(grad pm ) ( pm p f ) 0 t
第三节 双重介质简化渗流模型的无限大地层典型解 上面两式化简为：
构成生产压差大小的主要部分 (即公式(7)中的方括号的值)不可能 等于 1 ，因而双重介质比单一的孔 隙介质中的生产压差要小。 由于窜流能力的不同，也即是 裂缝和孔隙间交换能力不相同时， 井底压力的变化不一样。
不同

值的无量纲井底压力 U (rw , t ) 随时间变化
第三节 双重介质简化渗流模型的无限大地层典型解
C f C f C f 0

Cm m m0 o C t m 0
p p C m0 o m t t
C m Cm C m0
第二节 双重介质单相渗流的数学模型
第一节 双重介质油藏模型
双重介质油藏基本参数：弹性储容比和窜流系数。
f Cf f C f m C m
基质系统孔隙体积 裂缝系统孔隙体积 m f 基质和裂缝系统总体积 基质和裂缝系统总体积
C f Cm
f m ——裂缝和基质系统的孔隙度。
第一节 双重介质油藏模型
流体在双重介质油藏渗流的过程中，基质与裂缝之间存在着 流体交换。窜流系数就是用来描述这种介质间流体交换的物理量， 它反映了基质中流体向裂缝窜流的能力。窜流系数定义为：
t
Co
p f
div[
Kf
grad p f Co
grad p f ] 0 t
在给定初始和边界条件时，方程(3)有解。
第三节 双重介质简化渗流模型的无限大地层典型解 实例：假设有一等厚无限大地层，被一完善井打开，并设井半 径为零，此处有一点源，其产量为Q，则流动为平面径向流， 流动模型如图所示，此时公式(3)就可以展开为：
C m m m 0 o 1 C p pi m 0
由此得到上二式对时间的导数：
C f f f 0 o C t 是零阶虚宗量贝塞尔函数。
对(6)式进行Laplace反演：
r i et U (r , t ) K0 r d r i 2 i (k ) k
积分
裂缝中压力变化公式 :
a2 t Q J 0 ( a, r ) p ( r , t ) pi da 1 exp 2 0 2 K f h a 1 a
p f 1 p f r t t r r r 1 1 p f r r r r
第三节 双重介质简化渗流模型的无限大地层典型解
注意到： t 0 可得新的边界条件为：
p f lim r r 0 r
裂缝网络可以是均匀分布，也可以是非均匀分布的，采 用非均匀的裂缝网格可研究裂缝网络的各向异性或在某一方 向上变化的情况。
第一节 双重介质油藏模型
该模型是把实际的双重介 质油藏简化为由一组平行层理 的裂缝分割基质岩块呈层状的 地质模型，即模型由水平裂缝 和水平基质层相间组成。
对于裂缝均匀分布、基质具有较高的窜流能力和高储存 能力的条件下，其结果与Warren-Root模型的结果相似。
0
p f Q t / lim r 1 e r 0 2 K f h r
第三节 双重介质简化渗流模型的无限大地层典型解
(5)
对式(5)及初边界条件进行Laplace变换得：
1 d dU r r dr dr
U 0 k
双重介质实际油藏模型 基岩 裂缝
基岩
双重介质
裂缝
第一节 双重介质油藏模型
裂缝-孔隙性双重介质结构油藏可抽象地简化成各 种不同地质模型。
1.Warren Root 2.Kazemi 3.De Swaan 4.Factal
模型 模型 模型 模型
第一节 双重介质油藏模型
将双重介质油藏简化为正交裂缝 切割基质岩块呈六面体的地质模 型，裂缝方向与主渗透率方向一 致，并假设裂缝的宽度为常数。
f div v f t q 0
裂缝系统
基岩系统
m div vm q 0 t
对于均质各向同性地层，上式中的对流项可以化简为：
div v f
Kf o div grad p f
高等渗流力学
黄世军 2017
第五章 多重介质渗流理论
第一节 双重介质油藏模型
具有裂缝和孔隙双重储油(气)和流 油(气)的介质我们称之为双重介质。 在一般情况下，裂缝所占的储集空间 大大小于基岩的储集空间，因此裂缝 孔隙度就小于基岩的孔隙度，而裂缝 的流油能力却大大高于基岩的流油能 力，因此裂缝渗透率就高于基岩的渗 透率，这种流油能力和供油能力的错 位的现象是裂缝-孔隙介质的基本特性。
Kazemi也提出计算α的公式：
1 1 1 4 2 2 2 Lx Ly Lz Lx、Ly、Lz——基质岩块在x、y、z方向上的长度，m。
第五章 多重介质渗流理论
第二节 双重介质单相渗流的数学模型
建立双重介质油藏的数学模型时，两种介质分别满足各自 的运动方程、状态方程和连续性方程，而两种连续介质间窜流 通过连续性方程中的一个源和汇函数来表示。
二、Km=0简化模型无限大地层典型解及其应用
p f K f Km div(grad p f ) ( pm p f ) 0 f C f t C pm K m div(grad p ) K m ( p p ) 0 m m m m f t
第三节 双重介质简化渗流模型的无限大地层典型解
Q J 0 ( a, r ) a t p f ( r , t ) pi 1 e da 0 2 K f h a
2




0
r 2 J 0 ( a, r ) 1 a2 t 1 e da Ei a 2 4 t
Km 2 rw Kf
K f Km
m2

窜流系数的大小，既取决于基质和裂缝渗透率的比值，又 取决于基质被裂缝切割的程度，基质与裂缝渗透率的比值越 大或者裂缝密度越大，窜流系数越大。
第一节 双重介质油藏模型
Warren-Root提出的计算α的关系式：
4n( n 2) L2 n ——正交裂缝组数，整数； L ——岩块的特征长度，m。
2 式中： Co mCm , K f / ( K m ) rw /
p f
Kf
第三节 双重介质简化渗流模型的无限大地层典型解
它相当于一个连续性方程,其中的渗流速度由两部分组成， 第一部分是纯裂缝中的渗流速度，第二部分是窜流速度引起的 附加渗流速度，即： Kf v grad p f C0 grad p f t
认为达西线性流公式对裂缝的基岩均是适用的，则有如下 渗流速度公式 ：
Kf vf grad p f
K vm m gradpm

第二节 双重介质单相渗流的数学模型
在基岩与裂缝之间存在着压力差异，因而存在流体交换，但 这种流体交换进行是较缓慢，可将其视为稳定过程。一般认为单位 时间内从基岩排至裂缝中的流量与以下因素有关： (1) 流体粘度； (2) 孔隙和裂缝之间的压差； (3) 基岩团块的特征量，如长度、面积和体积等； (4) 基岩的渗透率。 通过分析可以得出窜流速度q为：
dU U (, ) 0, r ,U ( , ) 0 ( ) dr r 0
第三节 双重介质简化渗流模型的无限大地层典型解
由边界条件上式方程可化为
U (r , ) K0 r (k ) k