弹性力学第十章 空间问题的解答(课堂PPT)

z
z
dφ
φ
ρ
ρ
φ
z
dρ
ρ
φ
应变分量：
径向正应变 环向正应变
z
位移分量： u 0 u
轴向正应变
环向位移 径向位移
剪应变：
z z
uz
轴向位移
基本未知量： , , z , z z , , , z , z z , u , uz
共10个
二、轴对称问题的平衡微分方程:
取图示微元体。由于 轴对称，在微元体的 z
z
E 2(1
)
r
其中： e z
例题：设有半空间体，其比重为p，在水平边
界面上受均布压力q的作用，试用位移法求位移分
量和应力分量。并假设在z = h处w =0。
q
解: 1、 由于任意铅直平 面都是对称面，假设
x
R
y
z
u 0,v 0, w w(z) (1)
z
e u v w d w x y z d z
ρ
z
d
d 2
z
z z
z
z
z
d
2
y
d
ρ
dφ
φ
ρ
ρ
dρ
φ
φ
ρ
根据ρ方向的平衡
利用 sin d d , cos d 1
22
2
可得:
d
(
d
)d
d
z
d
d
z
2
d
d
z
d
2
z
z
z
d
z
d
d
z
d
d
Fb
d
d
d
z
0
经约简并略去高阶微 z 量，得：
z
z
根据轴对称的特点，宜采用圆柱坐标 ,, z
表示。若取对称轴为 z 轴，则轴对称问题的应力 分量、形变分量和位移分量都将只是 和 z 的 函数，而与 坐标无关。
轴对称问题的弹性体的形状一般为圆柱体或 半空间体。
ρ
例如：受轴对称荷载的厚壁筒、回转圆盘、无限体 或半无限体受集中力等
柱坐标： 描述空间轴对称问题的应力、形变、位移宜用柱坐标
两个圆柱面上，只有
正应力和轴向剪应力
；在两个水平面上只
有正应力和径向剪应
力；在两个垂直面上
只有环向正应力，如
图示。
0
z
z z
z
z
z
z z
z
z
z
y
x 根据连续性假设，微元体的正面相对负面其应力分量
都有微小增量。
注意：此时环向正应力的增量为零。
x
dφ
φ
ρ
ρ
dρ
φ
z
0
φ φ
z
z z
z
z P
柱坐标系
x cos, y sin ,
zz
z 0
x
与直角坐标的关系：
x2 y2
cos x
y
sin y
一、轴对称问题的应力分量与体力分量的表示
从轴对称物体中取出图示的单元体
用相距 d 的两个圆柱面 ，互成 d 的两个铅垂面 及相距 dz 的两个水平面
z z
，从弹性体内取一个微小 六面体
第十章 空间问题的解答
目录
§10.1 基本方程的柱坐标和球坐标形式 §10.2 位移场的势函数分解 §10.3 拉梅应变势 §10.4 齐次拉梅方程的通解 §10.5 无限体内一点受集中力作用 §10.6 半无限体表面受法向集中力作用
§１０-1 空间问题的基本方程 轴对称问题
在空间问题中，若弹性体的几何形状、约 束情况以及所受的外部荷载，都对称于某一 轴（通过这个轴的任一平面都是对称面）， 则所有的应力、形变和位移也对称于这一轴。 这种问题称为空间轴对称问题。
Z p(z A)
(7)
xy yz zx 0
4、由应力边界条件确定A
在本问题的边界上:
l m 0, n 1, px py 0, pz q
q
x
R
y
z
应力边界条件为: 前二式自然满足，而第三式
l( x )s m( xy )s n( xz )s px 要求:
l( xy )s m( y )s n( yz )s py l( xz )s m( yz )s n( z )s pz
Fb
0
根据z方向的平衡，
可得:
0
x
z
z
d
(
d
)d
d
z
z
d
d
z
z
z
z
d
z
d
d
z d d Fbz d d d z 0
z
z z
z
z
z
z z
z
z
z
y
z
z
z
z
z z
z
z
z
化简后得到:
z
z
z
Fb z
0
空间轴对称问题的平衡方程为:
( z )z0 q
Aq/ p
w (1 )(1 2 ) p(z q )2 B
)
1
1
2
d2w dz 2
d 2w dz2
p0
(4)
即
d2 w d z2
(1 )(1 2 ) E(1 )
p
化简后，积分以后得：
e d w (1 )(1 2 ) p(z A)
dz
E(1 )
w (1 )(1 2 ) p(z A)2 B (5) 2E(1 )
上式中的A，B是任意常数，根据边界条件决定。
z
z
Fb
0
z
z
z
z
Fbz
0
三 、几何方程
通过与平面问题 及极坐标中同样的分 析，由径向位移引起 的形变分量为：
由于对称，各点
环向位移为零，由径
向位移产生的应变为
u
,
u
,
z
u z
由轴向位移w产生的 应变为
z
w z
,
z
w
迭加得到几何方程
u
,
u
z
w, z
z
u z
e 0, x
e 0, y
e d2 w z d z2
(2)
位移法求解空间问题的方
E 1
2(1 ) 1 2
e x
2u
Fb
x
0
程为：
E 1
2(1
)
1
2
e y
2v
Fb
y
0
(3)
E 1
2(1 ) 1 2
e z
2
w
Fb
z
0
2、 将(2)代入，
可见中的前二式自然满足，而第三式成为
E
2(1
z
径向正应力,
φρ
沿ρ方向的正应力
dφ dρ
z
环向正应力,沿方向的正应力 轴向正应力,沿z方向的正应力
z z
z 作用在圆柱面上而沿z方向作用的剪应力
z 作用在水平面上而沿ρ方向作用的剪应力
由于对称性，
zz z
0 z z 0
z
z
并且环向体力分量为零 φ ρ
dφ dρ
w
四 物理方程
由于圆柱坐标，是和直角坐标一样的正交坐标， 所以可直接根据虎克定律得物理方程：
1 E
[
(
z )]
1 E
[
( z
)]
z
1 E
[
z
(
)]
z
2(1 E
) z
应力分量用形变分量表示的物理方程：
E
1
1
2
e
E
1
1
2
e
zபைடு நூலகம்
E
1
1
2
e z
x
E (1
)
1 1 2
e
u x
y
E (1 )
1
1
2
e
v y
z
E1 (1 ) 1 2
e
w z
(6)
xy
E 2(1 )
u y
v x
yz
E 2(1 )
v z
w
y
zx
E 2(1
)
w x
u z
3、将(5)代入弹性方程(6)得：
x
y
1
p(z A)