微分几何大纲

《微分几何》教学大纲

课程名称：微分几何

课程编号：0641010

课程类别：专业必修课程

适用对象：数学与应用数学专业（4年制普通本科）

总学时数：54

学分：3

一、课程性质和教学目标

1．课程性质：本课程是数学与应用数学专业的专业必修课程；

2．教学目标：学习和掌握三维欧氏空间中曲线和曲面的基本知识、培养学生直观能力，以及运用分析、代数等工具来研究、解决几何问题的能力，熟悉三维欧氏空间中常见曲线和常见曲面的方程和形状；掌握三维欧氏空间中曲线和曲面的各种曲率的计算；理解三维欧氏空间中曲线和曲面微分几何的基本理论和基本方法；了解曲面内蕴微分几何的意义、基本概念和理论。

二、教学要求和教学内容

第一章曲线论（12学时）

【教学要求】

1. 掌握向量的运算法则及其性质：加法、减法、数乘、数量积、向量积；

2. 理解向量分析的基本内容；

3. 掌握曲线的概念及其参数表示、曲线的切线、法面和密切平面、弧长公式和弧长参数。

4. 掌握曲线的曲率、曲线的单位切向量、主法向量、副法向量、Frenet标架和曲线的挠率。

5. 能计算 Frenet公式、一般参数下的曲率、挠率和Frenet公式。

6. 掌握曲线论的基本定理。

7. 了解曲线在一点邻近的结构。

【教学内容】

●讲授内容

1. 向量分析的基本内容；

2. 曲线的概念及其参数表示、曲线的切线和法面、弧长公式和弧长参数；

※3. 曲线的曲率、单位切向量、主法向量，副法向量、Frenet标架、挠率、Frenet公式；※4. 曲线论的基本定理；

5．曲线在一点邻近的结构。

第二章曲面的第一基本形式 (10学时)

【教学要求】

1．掌握曲面的参数表示、曲纹坐标网、曲面在一点的切方向、曲面的切平面和法线；

2. 理解曲面上的曲线族和曲线网；

3．能计算曲面的第一基本形式、曲面上曲线的弧长、曲面上两个切方向的夹角、曲面域的面积；

4．掌握曲面间的保长变换和保角变换；

5. 了解可展曲面的例子、直纹面可展的条件、可展曲面的分类、可展曲面和平面间的保长变换。

【教学内容】

●讲授内容

1. 曲面的概念和参数表示、曲面的切平面和法线；

※2. 曲面的第一基本形式、曲面上两个切方向的夹角、曲面域的面积；

※3. 曲面间的保长变换和保角变换；

4．直纹面可展的条件、可展曲面和平面间的保长变换。

5．直纹面、可展曲面、可展曲面的分类。

第三章曲面的第二基本形式 (12学时)

【教学要求】

1. 能计算曲面的第二基本形式、曲面上曲线的曲率；

2. 掌握曲面上沿切方向的法曲率、Dupin指标线；

3. 理解曲面的渐近方向和共轭方向；

4. 理解曲面的主方向和曲率线、主方向的判别定理；

5. 能计算曲面的主曲率、平均曲率和Guass曲率；

6. 了解曲面在一点邻近的结构；

7. 了解Gauss曲率的几何意义。

【教学内容】

●讲授内容

※1. 曲面的第二基本形式、曲面上曲线的曲率；

2. 曲面上沿切方向的法截线和法曲率、Dupin指标线；

3. 曲面的渐近方向和共轭方向；

4. 曲面的主方向和曲率线、主方向的判别定理；

※5. 曲面的主曲率、平均曲率和Guass曲率；

6. 高斯曲率的几何意义。

7．曲面在一点邻近的结构；

8．常Gauss曲率曲面、常中曲率曲面、极小曲面。

第四章曲面论基本定理 (10学时)

【教学要求】

1．掌握曲面的活动标架及其运动方程；

2. 能计算曲面的Gauss方程、Codazzi方程和Christoffel符号；

3. 掌握曲面论的基本定理：存在性和唯一性；

4. 能对Gauss曲率为零的曲面进行分类。

【教学内容】

●讲授内容

※1. 曲面的活动标架及其运动方程；

2. 曲面的Gauss方程、Codazzi方程和Christonffel符号；

※3. 曲面论的基本定理；

4．Gauss定理；

5．对Gauss曲率为零的曲面进行分类。

第五章测地曲率和测地线（10学时）

【教学要求】

1. 能计算曲面上曲线的测地曲率、测地挠率、掌握测地曲率的Liouville公式；

2. 能计算曲面上测地线的微分方程、弧长的第一变分公式，理解测地线作为长度泛函的临界曲线；

3. 能建立测地平行坐标系、测地极坐标系、能计算常曲率曲面的第一基本形式；

4. 掌握Gauss-Bonnet公式及其应用；

5. 了解曲面上向量的平行移动。

【教学内容】

●讲授内容

1. 曲面上曲线的测地曲率、测地挠率及测地曲率的Liouville公式；

※2. 曲面上测地线的微分方程、弧长的第一变分公式；

3. 测地平行坐标系、测地极坐标系、常曲率曲面的第一基本形式；

※4. Gauss-Bonnet公式的证明和应用；

5. 曲面上向量的平行移动。

三、先修课程和后续课程

1．先修课程：数学分析、高等代数、解析几何、常微分方程；

2．后续课程：无。

四、教学方法和成绩考核

1．教学方法：课堂讲授；

2．成绩考核：闭卷考试，平时考核10%、期中考核20%、期末考核70%。

五、推荐教材及参考资料

1．推荐教材

《微分几何》，梅向明、黄敬之主编，高等教育出版社，1988年出版

2．参考资料

[1]《微分几何》，彭家贵、陈卿主编，高等教育出版社；

[2]《微分几何初步》，陈维桓主编，北京大学出版社；

[3]《微分几何》，孟道骥、梁科主编，科学出版社；

[4]《Differential Geometry of Curves and Surfaces》，M. P. do Carmo主编，Prentice-Hall出版社；

[5]《微分几何200例》，姜国英，黄宣国主编，高等教育出版社；

[6]《微分几何》，苏步青、胡和生等主编，高等教育出版社；

[7]《微分几何讲义》，吴大任主编，高等教育出版社；

[8]《微分几何讲义》，虞言林、郝凤歧主编，高等教育出版社。