应力与应变之间的关系
应力与应变间的关系
22
例题7-7 边长 a = 0.1m 的铜立方块, 无间隙地放入体积较
大, 变形可略去不计的钢凹槽中, 如图 所示。 已知铜的弹 性模量 E=100GPa, 泊松比 =0.34, 当受到P=300kN 的均布 压力作用时, 求该铜块的主应力. 体积应变以及最大剪应力。
P a
y
z
x
23
y
解：铜块上截面上的压应力为
9
3、 特例
（1）平面应力状态下(假设 Z = 0 )
x
1 E
(
x
y)
y
1 E
(
y
x)
z E ( x y)
xy
xy
G
10
（2） 广义胡克定律用主应力和主应变表示时 三向应力状态下：
1
1
E [ 1
(
2
3)]
2
1 E
[
2
(
3
1)]
3
1 E
[
3
( 1
2)]
(7-7-6)
11
平面应力状态下 设 3 = 0, 则
x y z x y y z z x
y
σy
上面
x y z x y y z z x
1、各向同性材料的广义胡克定律 （1）符号规定
τ yx
τ τ yz
xy
τ τ zy xz
τ zx
右侧面
σx
(a)三个正应力分量：拉应力为正
σz
x
o
压应力为负。 z
前面
3
(b)三个剪应力分量: 若正面(外法线与坐标轴
dxdydz
dxdydz(1 1 2 3) dxdydz
dxdydz
弹性体力学中的应变与应力关系
弹性体力学中的应变与应力关系弹性体力学是研究物体在力的作用下变形和恢复原状的力学分支学科，研究的对象主要是固体物质。
在弹性体力学中，应变与应力是两个重要的概念，它们描述了物体的变形和受力状态。
应变和应力之间的关系在弹性体力学中具有重要意义，它们可以通过材料力学模型来描述。
应变是物体在受力作用下发生形变的程度。
一般来说，我们可以将应变分为线性应变和非线性应变。
线性应变是指物体的形变与受力成正比。
例如，当我们拉伸一根弹簧时，弹簧的长度会发生变化，而这种形变与拉力之间是线性相关的。
用数学的语言来表达，线性应变可以用应变量ε表示，其与外力F之间存在着关系ε=ΔL/L，其中ΔL为物体长度的增量，L为物体的原始长度。
非线性应变则是指物体的形变与受力不成比例。
在高强度材料的情况下，非线性应变是不可忽视的。
非线性应变与材料的本构关系有关，常用的本构关系模型包括背应变率本构关系、黏弹性本构关系等。
这些模型可以更准确地描述材料的力学行为，使得我们能够更准确地计算应变。
与应变相对应的是应力。
应力可以看作是物体单位面积的受力情况。
一般来说，应力可以分为正应力和剪应力。
正应力是指垂直于物体内部某一面的力的作用情况。
例如，当我们用一把剪刀剪断一根木棍时，剪刀的受力情况可以被描述为正应力。
剪应力则是指平行于物体内部某一面的力的作用情况。
例如，当我们剪断一个绳索时，绳索的受力情况可以被描述为剪应力。
应变与应力之间的关系又可以通过应力-应变曲线来描述。
应力-应变曲线是弹性体力学研究中的一个重要工具，它可以体现材料的力学性质。
一般来说，应力-应变曲线可以分为弹性阶段、屈服阶段、塑性阶段和断裂阶段。
在弹性阶段，应力与应变成正比。
这个阶段的曲线是一个直线，斜率即为弹性模量，用来描述材料的刚度。
当应力超过一定值时，物体进入屈服阶段。
在屈服阶段，物体的应变不再与应力成正比，而是呈现出非线性关系。
此时物体会发生塑性变形，形成剩余应变。
当应力进一步增加时，物体可能发生断裂。
流体力学中应力应变关系
流体力学中应力应变关系
流体力学是研究流体运动和变形的学科，应力和应变是流体力学中关键的概念。
应力是流体内部各点受到的力，应变是流体形变程度的度量。
在流体力学中，应力和应变之间存在一定的关系，通常用应力张量和应变张量来描述。
应力张量包含了流体各点在各个方向上受到的应力大小和方向信息，应变张量则包含了流体在各个方向上的形变程度。
在牛顿流体中，应力张量和应变张量之间的关系是线性的，即应力与应变成比例关系，比例系数被称为粘度。
而在非牛顿流体中，应力与应变的关系则更加复杂。
流体力学中的应力应变关系是研究流体运动和变形的基础，对于工程应用和科学研究都具有重要意义。
在许多工程领域，如航空、水利、化工等，流体力学的应用广泛，深入研究应力应变关系可以为工程设计和实际应用提供更加准确和可靠的理论基础。
- 1 -。
应变和应力关系
新能源技术：利用应变和应力原理，优化风力发电机叶片设计，提高风能 利用率和发电效率。
机器人技术：通过研究应变和应力与机器人关节运动的关系，提高机器人 的灵活性和稳定性，拓展机器人的应用领域。
应变和应力对未来科技发展的影响
增强材料性能：通过深入研究应变和应力，可以开发出性能更强的新型材 料，为未来的科技发展提供物质基础。
智能制造：利用应变和应力的知识，可以优化制造过程中的材料性能，提 高生产效率和产品质量，推动智能制造的发展。
生物医学应用：在生物医学领域，应变和应力的研究有助于更好地理解和 控制人体生理机制，为未来的生物医学应用提供支持。
压痕法：利用压痕仪在物体表面压出一定形状的压痕，通过测量压痕的尺寸来计算应力
应变和应力的相互影响
应变和应力之间的关系：应变是应力作用下的物体形状变化，应力是抵抗变形的力。
应变和应力的测量方法：通过应变计和应力计进行测量，应变计测量物体变形，应力计测量物 体受到的力。
应变和应力的相互影响：应变和应力之间存在相互影响，例如在材料屈服点附近，应变和应力 之间会发生突变。
应力的概念
分类：正应力、剪应力、弯 曲应力等
定义：物体受到外力作用时， 内部产生的反作用力
单位：帕斯卡（Pa） 作用效果：使物体产生形变
应变和应力的关系
应变是物体形状 的改变，应力是 物体内部抵抗变
形的力
应变和应力之间 存在线性关系， 即应变正比于应
力
应变和应力之间 的关系可以用胡 克定律表示，即 应力=弹性模量
应变和应力关系
汇报人：XX
应变和应力的定义 应变和应力的测量方法 应变和应力的应用领域 应变和应力的研究进展 应变和应力的未来展望
应变和应力的概念
应变和应力的概念一、引言应变和应力是材料力学中重要的概念，在工程和科学研究中有着广泛的应用。
应变是描述物体形变程度的物理量，而应力则是描述物体内部受力状态的物理量。
本文将详细介绍应变和应力的概念，并深入探讨两者之间的关系。
二、应变的概念2.1 应变的定义应变是描述物体形变程度的物理量，通常用符号ε表示。
应变可分为线性应变和非线性应变两种情况。
线性应变发生在物体受到小的力引起的形变情况下，其应变与受力成正比。
非线性应变则发生在物体受到大的力引起的形变情况下，其应变与受力不成正比。
2.2 应变的分类1.纵向应变2.横向应变3.剪切应变4.体积应变三、应力的概念3.1 应力的定义应力是描述物体内部受力状态的物理量，通常用符号σ表示。
应力分为正应力和剪应力两种情况。
正应力是指垂直于物体截面的力在单位面积上的分布情况，剪应力是指平行于物体截面的力在单位面积上的分布情况。
3.2 应力的分类1.纵向应力2.横向应力3.剪切应力4.欧拉应力四、应变与应力的关系应变与应力之间存在着密切的关系，可以由材料的应力-应变曲线来描述。
应力-应变曲线显示了材料在受力下的变形和应力的关系，以此来研究材料的力学性质。
4.1 弹性阶段在弹性阶段，材料受力后会发生一定程度的形变，但当去除外力时，材料可以恢复到原先的形状。
此时应力与应变呈线性关系，称为胡克定律。
4.2 屈服阶段当外力超过了材料的弹性极限时，材料会进入屈服阶段。
此时材料会产生更大的形变，但仍能回复到非常接近原来形状的状态。
4.3 塑性阶段当外力超过了材料的屈服极限时，材料将进入塑性阶段，并发生不可逆的形变。
在这个阶段，应力与应变之间的关系不再是线性的，材料会呈现出时间依赖性和屈服后的流变行为。
4.4 断裂阶段当外力继续增加，超过了材料的断裂强度，材料将发生断裂并失去原有的结构完整性。
五、总结应变和应力是描述材料力学性质的重要概念。
应变是描述物体形变程度的物理量，而应力是描述物体内部受力状态的物理量。
深入解析材料力学中的应变应力关系
深入解析材料力学中的应变应力关系材料力学是研究物质在外力作用下的变形和破坏行为的学科，应变应力关系是材料力学中的重要概念。
本文将深入解析材料力学中的应变应力关系，从宏观和微观两个层面进行讨论。
一、宏观层面的应变应力关系在宏观层面，我们常常使用应变和应力来描述材料的力学性能。
应变是材料在外力作用下发生的变形程度，而应力则是材料单位面积上所受的力。
应变和应力之间的关系可以通过应力-应变曲线来描述。
应力-应变曲线通常包括弹性阶段、屈服阶段、塑性阶段和断裂阶段等不同阶段。
在弹性阶段，材料受到外力后会发生弹性变形，即在去除外力后能够恢复原状。
此时，应变与应力之间的关系符合胡克定律，即应力与应变成正比。
然而，在超过一定应力值后，材料会进入屈服阶段，此时应变不再与应力成正比，而是出现了非线性关系。
这是因为材料开始发生塑性变形，晶体内部的位错开始运动并滑移，导致材料的形状发生改变。
在塑性阶段，应变与应力之间的关系取决于材料的本构关系，不同材料具有不同的本构关系。
最终，当材料的应力达到其极限强度时，会发生断裂，即材料无法再承受更大的应力而发生破坏。
此时，材料的应力-应变曲线会突然下降。
二、微观层面的应变应力关系在微观层面，我们需要考虑材料的晶体结构和原子之间的相互作用。
晶体中的原子通过键结合在一起，形成了晶格结构。
当材料受到外力作用时，晶体内的原子会发生位移和滑移，从而导致材料的变形。
在弹性阶段，材料的变形主要是由原子之间的键的伸长和压缩引起的。
当外力去除后，原子会恢复到原来的位置，材料也会恢复到原来的形状。
然而，在塑性阶段，晶体内的位错开始运动并滑移，导致材料的形状发生改变。
位错是晶体结构中的缺陷，它们能够在晶体中传递应力和吸收应变。
位错的运动和滑移是材料发生塑性变形的基本机制。
位错运动和滑移导致了材料的塑性变形，同时也引起了材料的硬化现象。
在塑性变形过程中，位错会相互交互作用，形成更多的位错并堆积在晶体中。
这些位错的堆积会导致晶体的内部应力增大，从而使材料更难发生塑性变形。
应力与应变间的关系
τ xy
右侧面
σx τ xz
x
γ xy
γ yz
γ zx
O
∠ xOy ∠ yOz
∠zox 。
z
σz
前面
2、各向同性材料的广义胡克定 、 律
(1)线应变的推导 线应变的推导 分别单独存在时, 在σx σy σz 分别单独存在时 x 方 依次为: 向的线应变 εx 依次为
x σ
z
x
x σ
εx ' =
σx
τ = Gγ
或
γ=
τ
G
τ γ γ τ
为剪切弹性模量，单位为N/m G 为剪切弹性模量，单位为N/m2.
三、复杂应力状态下应力与应变的关系 σx σy σz τ x y τ y z τ z x εx ε y ε z γ x y γ y z γ z x
1、各向同性材料的广义胡克定律 （1）符号规定 ） (a)三个正应力分量 拉应力为正 (a)三个正应力分量 三个正应力分量：拉应力为正
因此, 该圆筒变形后的厚度并无变化, 因此 该圆筒变形后的厚度并无变化 仍然为 t =10mm .
G G G
在线弹性范围内, 小变形条件下, 在线弹性范围内 小变形条件下 各向同性材料。 各向同性材料。
1 εx = σx ν (σ y +σz ) E 1 E
[
]
公式的适用范围 : 在线弹性范围内,小 在线弹性范围内 小 变形条件下, 变形条件下 各向同性材 料。
ε y = [σ y ν (σz +σx )]
ν ν ε z = (σ x + σ y ) = (τmax + τmax ) = 0 E E
同理可得,圆筒中任一点 该点到圆筒横截面中心的距离为 该点到圆筒横截面中心的距离为ρ 同理可得 圆筒中任一点 (该点到圆筒横截面中心的距离为ρ) 处 的径向应变为
应力对应变求导
应力对应变求导
应力（σ）与应变（ε）之间的关系在材料力学中通常通过本构关系来描述，对于线弹性材料，应力与应变之间存在线性关系，可以用胡克定律表示：
Hooke's Law:
σ= E * ε
其中，σ代表应力，ε代表应变，E是材料的弹性模量。
求导时，我们对两边同时求关于应变ε的导数：
dσ/dε = d(E * ε)/dε
由于E是一个常数（对于同一种材料，在一定温度和压力范围内），根据乘法法则，我们可以得到：
dσ/dε = E * (dε/dε) = E
所以，应力对应变的导数等于材料的弹性模量E。
这意味着在材料的弹性范围内，应力与应变的变化率是恒定的。
应力与应变间的关系共31页
P a
y
z
x
y 解：铜块上截面上的压应力为
yP A30 0 .1 1 20 3 0
y x
3M 0 Pa
x
(b) Z z
1[ ( )]0
x Ex
y
z
由
1[ ( )]0
z Ez
x
y
解得
x
z
(1 1 2
)
y
0.314-(01.3042.34)(30)
-15.5MPa
铜块的主应力为
σ 1 σ 2 1 .5 M 5 σ P 3 3 a M 0 ,P
体积应变和最大剪应力分别为
1 E 2(123 ) 1 .9 5 1 4 0
max 1 2(13)7.25MPa
例题9-8 壁厚 t =10mm , 外径 D=60mm 的薄壁圆筒, 在表面上 k 点 处与其轴线成 45°和135° 角即 x, y 两方向分别贴上应变片,然后在 圆筒两端作用矩为 m 的扭转力偶,如图 所示已知圆筒材料的弹性模 量为 E = 200GPa 和 = 0.3 ,若该圆筒的变形在弹性范围内,且 max = 80MPa , 试求k点处的线应变 x ,y 以及变形后的筒壁厚度。
在x y z同时存在时, y,z方向的线应变为
y E 1[y (z x)] z E 1[z (x y)]
(2)剪应变的推导 剪应变 xy , yz ,zx与剪应力xy ,yz ,zx之间的关系为
xy
xy G
yz
yz G
zx
zx G
公式的适用范围 : 在线弹性范围内, 小变形条件下, 各向同性材料。
右侧面
σx
τ xz x
前面
2、各向同性材料的广义胡克定
应力与应变间的关系
210 × 10 9 = ( − 160 + 0 .3 × 240 ) × 10 − 6 = − 20 .3MPa 1 − 0 .3 2 6
∴σ 1 =44 .3 MPa ;σ 2 =0;σ 3 = − 20 .3MPa ;
0.3 ε 3 = − (σ 3 + σ 1 ) = − ( − 22.3 + 44.3) × 10 6 = − 34.3 × 10 − 6 E 210 × 10 9 实 际上 从排 序的 角度 来 看是 求得 ε 2
µ
注意:主应力和主应变的方向是相同的 注意 主应力和主应变的方向是相同的. 主应力和主应变的方向是相同的
2011-11-30
7
§7-4 应力与应变间的关系
一、单拉下的应力--应变关系 单拉下的应力--应变关系 -y
σx
εx=
σx
E
ε y =− σ x
E
γ ij ≈ 0 (i,j = x,y,z )
µ
ε z =− σ x
E
µ
z
x
y
二、纯剪的应力--应变关系 纯剪的应力--应变关系 --
γ xy =
2011-11-30
τ xy
1 − 2µ θ = (σ 1 + σ 2 + σ 3 ) E 1 − 2µ = (σ x + σ y + σ z ) E
2011-11-30
3(1 − 2 µ ) (σ 1 + σ 2 + σ 3 ) σ m θ = = E 3 k 体积胡克定律， k 为体积弹性模量，
σ m 是三个主应力的平均值
所以， 所以，该点处为平面应力状态
′ σ2
E [ε 1 + µε 2 ] ∴σ 1 = 2 1− µ 210 × 10 9 = ( 240 − 0 .3 × 160 ) × 10 − 6 = 44 .3MPa 1 − 0 .3 2
应力应变之间的关系
应力与应变的关系
你想啊，咱们每天上班下班，跟个陀螺似的转个不停，这不就是生活中的“应力”嘛！有时候，老板给的任务多了点，压力山大啊，感觉就像是被压得喘不过气来。
这时候，咱们不能硬扛，得学会“应变”。
比如，合理安排时间，提高工作效率，或者偶尔偷个闲，跟同事开个玩笑，放松放松心情，这不就是咱们应对压力的“应变”小妙招嘛！
再瞅瞅咱们身边的朋友圈，有时候也会遇到点小摩擦，比如意见不合啦，误会啥的。
这时候，如果都死磕着不放，那友谊的小船说翻就翻。
所以啊，咱们得学会变通，学会理解，学会包容，就像弹簧一样，压一下，弹回来，还能更加紧密。
这就是友情里的“应力与应变”，相互磨合，才能更加坚固。
还有啊，咱们对待自己的身体也得这样。
工作再忙，也不能忽视了健康。
不然，身体一出问题，那可就是大问题了。
这时候，咱们得赶紧调整作息，均衡饮食，适当运动，给身体减减压，让它也能“应变”过来，继续活力满满地陪咱们闯荡江湖。
说到底，应力与应变，就像是生活中的一场场小考，考验着咱们的智慧和心态。
咱们不能一味地逃避，也不能硬碰硬，得学会灵活应对，找到最适合自己的方式去化解压力，享受生活的乐趣。
毕竟，人生嘛，就是一场修行，一场关于如何在压力中成长，在变化中前行的修行。
所以啊，下次当你觉得压力山大的时候，不妨换个角度想想，这也许是个机会，让你学会更多，变得更加强大。
毕竟，没有压力，哪来的动力呢？咱们啊，就在这应力与应变的交织中，一步步成长，一步步走向更加美好的未来！。
应力分量应变分量关系公式
应力分量应变分量关系公式应力和应变是材料力学中重要的物理量，它们描述了材料在受力作用下的变形行为。
在材料力学中，存在着应力分量和应变分量之间的关系，可以用一些公式来表示。
下面将介绍一些常见的应力分量和应变分量关系公式。
1. 应力分量和应变分量的定义应力是单位面积上的力，用σ表示，其分量包括正应力（正向作用的应力）和剪应力（平行于应力面的应力）。
应变是物体变形程度的度量，用ε表示，其分量包括正应变（正向应变）和剪应变（平行于应变面的应变）。
2. 正应力和正应变的关系正应力和正应变之间的关系可以用胡克定律来描述。
胡克定律表明，在弹性范围内，正应力与正应变之间存在线性关系。
具体而言，正应力等于弹性模量乘以正应变。
即σ = Eε，其中E为杨氏模量，是材料的一种力学性质。
3. 剪应力和剪应变的关系剪应力和剪应变之间的关系也可以用胡克定律来描述。
胡克定律表明，在弹性范围内，剪应力与剪应变之间存在线性关系。
具体而言，剪应力等于剪切模量乘以剪应变。
即τ = Gγ，其中G为剪切模量，是材料的一种力学性质。
4. 主应力和主应变的关系主应力是在材料中存在的最大和最小应力，主应变是对应的最大和最小应变。
主应力和主应变之间的关系可以用材料的泊松比来描述。
泊松比表示材料在受力时沿一个方向的收缩相对于另一个方向的伸长的比值。
具体而言，主应变等于主应力乘以材料的泊松比的倒数。
即ε = νσ，其中ν为泊松比。
5. 应力切变和应变切变的关系应力切变是指剪应力在材料中的切向分量，应变切变是指剪应变在材料中的切向分量。
应力切变和应变切变之间的关系可以用应力切变模量来描述。
应力切变模量表示材料在受力时沿一个方向的切变应力相对于切变应变的比值。
具体而言，应变切变等于应力切变乘以应力切变模量的倒数。
即γ = ητ，其中η为应力切变模量。
以上就是一些常见的应力分量和应变分量关系公式的介绍。
这些公式在材料力学的研究和工程实践中具有重要的意义，可以帮助人们更好地理解和应用材料的变形行为。
应力和应变关系
第四章应力和应变关系一. 内容介绍前两章分别从静力学和运动学的角度推导了静力平衡方程，几何方程和变形协调方程。
由于弹性体的静力平衡和几何变形是通过具体物体的材料性质相联系的，因此，必须建立了材料的应力和应变的内在联系。
应力和应变是相辅相成的，有应力就有应变；反之，有应变则必有应力。
对于每一种材料，在一定的温度下，应力和应变之间有着完全确定的关系。
这是材料的固有特性，因此称为物理方程或者本构关系。
对于复杂应力状态，应力应变关系的实验测试是有困难的，因此本章首先通过能量法讨论本构关系的一般形式。
分别讨论广义胡克定理；具有一个和两个弹性对称面的本构关系一般表达式；各向同性材料的本构关系等。
本章的任务就是建立弹性变形阶段的应力应变关系。
二. 重点1. 应变能函数和格林公式；2. 广义胡克定律的一般表达式；3. 具有一个和两个弹性对称面的本构关系；4. 各向同性材料的本构关系；3. 材料的弹性常数。
知识点应变能原理应力应变关系的一般表达式完全各向异性弹性体正交各向异性弹性体本构关系弹性常数各向同性弹性体应变能格林公式广义胡克定理一个弹性对称面的弹性体本构关系各向同性弹性体的应力和应变关系应变表示的各向同性本构关系§4.1 弹性体的应变能原理学习思路:弹性体在外力作用下产生变形，因此外力在变形过程中作功。
同时，弹性体内部的能量也要相应的发生变化。
借助于能量关系，可以使得弹性力学问题的求解方法和思路简化，因此能量原理是一个有效的分析工具。
本节根据热力学概念推导弹性体的应变能函数表达式，并且建立应变能函数表达的材料本构方程。
根据能量关系，容易得到由于变形而存储于物体内的单位体积的弹性势能，即应变能函数。
探讨应变能的全微分，可以得到格林公式，格林公式是以能量形式表达的本构关系。
如果材料的应力应变关系是线性弹性的，则单位体积的应变能必为应变分量的齐二次函数。
因此由齐次函数的欧拉定理，可以得到用应变或者应力表示的应变能函数。
应力和应变之间的关系
应力和应变的关系曲线
描述
应力和应变的关系曲线是描述应力与应变之间关系的图形表示。
形状
在弹性范围内，曲线呈直线上升；超过弹性极限后，曲线出现弯曲。
应用
通过应力和应变的关系曲线，可以确定材料的弹性模量、屈服点和 极限强度等机械性能参数。
04
应力和应变的应用
弹性力学
弹性力学是研究弹性物体在外力作用下 变形和内力的规律的科学。在弹性力学 中，应力和应变是描述物体变形和受力 状态的基本物理量。
公式
σ=Eεsigma = E varepsilonσ=Eε
解释
σ为应力，E为弹性模量，ε为应变。 当应力增加时，应变也相应增加， 且两者成正比关系。
非线性关系
描述
当材料受到超过其弹性极限的应力时 ，应力与应变之间的关系不再是线性 的，而是呈现非线性关系。
特征
在非线性阶段，应变随应力的增加而 急剧增加，可能导致材料发生屈服或 断裂。
设计优化
优化结构设计
通过对应力和应变的分析，优化结构设计，提高结构的承载能力 和稳定性。
考虑材料特性
在设计过程中，充分考虑材料的力学特性和性能，合理选择和使 用材料，以降低应力和应变对结构的影响。
引入减震和隔震措施
通过引入减震和隔震措施，降低地震等外部载荷对结构产生的应 力和应变，提高结构的抗震性能。
时间
蠕变
在长期恒定应力作用下，材料会发生 缓慢的塑性变形，即蠕变。蠕变会影 响材料的应力和应变关系，特别是在 高温和长期载荷作用下。
时间依赖性
某些材料的力学性能会随时间发生变 化，对应力和应变的关系产生影响。 例如，疲劳和时效等现象会导致材料 性能随时间发生变化。
07
应力和应变在工程实践中的 注意事项
应力与应变间的关系
一、单向应力状态下应力与应变旳关系
1
1
E
σ1
σ1
E 为材料旳弹性模量，单位为N/m2.
横向线应变2,3与纵向线应变 1 成
正比，比值为泊松比γ，而符号相反。
2
3
1
二、纯剪切应力状态下应力与应变旳关系
G 或
G
τ γ γτ
G 为剪切弹性模量，单位为N/m2.
三、复杂应力状态下应力与应变旳关系
x y z x y y z z x
y
σy
上面
x y z x y y z z x
1、各向同性材料旳广义胡克定律 （1）符号要求
τ yx
τ τ yz
xy
τ τ zy xz
τ zx
右侧面
σx
(a)三个正应力分量：拉应力为正
σz
x
o
压应力为负。 z
前面
(b)三个剪应力分量: 若正面(外法线与坐标轴
P a
y
z
x
y 解：铜块上截面上旳压应力为
y
P A
300 103 0.12
y x
30MPa
x
(b) Z z
1 [ ( )] 0
xE x
y
z
由
1 [ ( )] 0
zE z
x
y
解得
x
z
(1 1 2
)
y
0.34(1 0.34) 1- 0.342
(30)
-15.5MPa
特例
在平面纯剪切应力状态下：σ 1 σ 3 τ xy
代入得
1 2
E
(1
2
3)
1 2
应力与应变间的关系
压应力为负。 z
前面
(b)三个剪应力分量: 若正面(外法线与坐标轴
正向一致的平面)上剪应力矢 的指向与坐标轴正向一致, 或 负面(外法线与坐标轴负向一 致的平面)上剪应力矢的指向 与坐标轴负向一致，则该剪 应力为正, 反之为负。
y
o
z σz
σy
τ yx τ yz τ zy τ zx
上面
τ xy
右侧面
)
y
0.34(1 0.34) 1- 0.342
(30)
-15.5MPa
铜块的主应力为
σ1 σ2 15.5MPa , σ3 30MPa
体积应变和最大剪应力分别为
1 2
E
(1
2
3)
1.95 104
max
1 2
(1
3
)
7.25MPa
（1）概念:构件每单位体积的体积变化, 称为 体积应变用θ表示。
（2）各向同性材料在空间应力状态下的 体积应变
公式推导
2
设单元体的三对平面为主平面, 其 三个边长为d x, d y, d z 变形后的边 长分别为 d x(1+ , d y(1+2 , d z(1+3 , 因此变形后单元体的体 积为:
y
1 E
[ y
( z
x )]
z
1 E
[ z
( x
y )]
(2)剪应变的推导
剪应变 xy , yz ,zx与剪应力xy ,yz ,zx之间的关系为
xy
xy
G
yz
试说明弹性力学中应力,应变,位移三者之间的关系
试说明弹性力学中应力,应变,位移三者之间的关系.
应力和应变之间的关系是可以用弹性力学的材料模型来表示的，它们之间的关系可表示为受力的物体会产生一个应变，这个应变是受力强度和材料的模量来决定的，当应力变化时，物体产生的应变也会变化，关系可以用弹性力学方程来表示：应力= 应变× 模量。
另外，应力和位移之间也有关系，当施加力时，物体会产生一个位移，而位移又是一个受力强度和材料模量共同决定的参数，可用弹性力学方程来表示：应力 = 位移× 模量。
另外，弹性模量有时也称为弹性常数，它可用来衡量材料的弹性程度，以及材料在受力时所受到的影响，它是决定应力和应变、应力和位移关系的一个基本参数，物理现象中可以用来描述物体变形的程度，将应力与物体变形程度结合起来可以确定应力对物体变形的影响。
同时，这种参数也可以用来描述弹性体在受力作用下所产生的变形量。
由于弹性模量的作用，物体对于受力时大小的变形量可以用模量值来确定：弹性模量越大，物体几乎不变形，弹性模量越小，则物体的变形量越大；另外，弹性模量也能够描述物体在受力作用下所产生的力和位移关系，弹性模量越大，物体受到相同力量作用时，其所受到的变形量和位移量也会更小，反之，弹性模量越小，受到相同力量作用时，其所受到的变形量和位移量也会更大。
因此，弹性模量可以决定物体受力后的变形情况，以及材料的弹性程度。
应力应变关系
应力应变关系
应力应变关系是指在物体受到外力作用时，物体内部会产生应力，从而引起物体的变形，这种变形称为应变。
应力和应变之间的关系可以通过应力-应变曲线来描述。
在弹性区域内，应力和应变成正比，即应力与应变的比例关系为线性关系，弹性模量为比例系数。
弹性区域内，当外力去除后，物体能够恢复到原始形状和体积。
在超过弹性极限后，物体进入塑性变形区，此时应力和应变之间的关系不再是线性关系，物体会发生不可逆的塑性变形。
应力应变关系是材料力学的基本理论，对于材料的工程应用和设计具有重要的意义。
通过研究应力应变关系，可以了解材料的强度、刚度等力学性质，从而指导工程实践中的设计和施工。
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2
2
1
1
3
1
1
E
2
E
1
1 E
1
2
3
3
3
E
11
2
1
1 E
1
2
3
1
2
1 E
2
3
1
3
3
1 E
3
1
2
12
3、广义胡克定律的一般形式
x
1 E
[ x
(
y
z )]
x
z
zx zy
xz yz
xy
yx
y
y
1 E
[
y
(
z
x
)]
z
1 E
[
z
(
x
y )]
xy
xy
G
yz
yz
G
zx
zx
G
13
4.单元体体积变化：
V abc
V1 a(1 1) b(1 2 ) c(1 3 ) 2 a b c (1 1 2 3 )
单位体积的体积改变为:
V1 V
V
1 2 3
b 1
3
c
a
也称为体积应变。 14
1
2
3
1
2
E
(
1
2
3)
3(1 2) 1 2 3
E
3
m
K
式中：
K
E
体积弹性模量
3(1 2)
m
1
2
3
3
1
1 E
1
（
2
）
3
2
1 E
2
（
3
）
1
3
1 E
3 （ 1 2 ）
15
谢谢！
16
正负号规定：正应力分量同前，拉为正、压
为负；切应力分量重新规定，正面（外法线与坐
标轴指向一致）上切应力矢与坐标轴正向一致或
负面上切应力矢与坐标轴负向一致时，切应力为
正，反之为负。
对应的六个应变分量，
x , y , z , xy, yz , zx
2
正负号规定：正应变分量同前，拉为正、压为 负；切应变分量以使直角减小为正，反之为负。
z
x
y
对切应力分量与切应变的关系，有：
xy
xy
G
yz
yz
G
zx
zx
G
4
上述六个关系式即为空间应力状态下，线弹性 和小变形条件下各向同性材料的广义胡克定律。
对平面应力状态：设z=0，xz=0，yz=0，有：
x
1 E
x
y
y
1 E
y
x
z
E
x
y
xy
1 G
xy
5
若用主应力和主应变来表示广义胡克定律，有：
1 2
3
1
E 1
E 1
E
1 2 3
2 1 1
3 3 2
二向应力状态：
设 3 0, 有
1
2
3
1 E
1
2
1 E
2
1
E
1
2
6
可见，即使3 =0，但3 0
而且各向同性材料有
G
E
21
7
例7-5 已知一受力构件自由表面上某点处的
两 主 应 变 值 为 1=240×10-6 ， 3=–160×10-6 。 材料的弹性模量E =210GPa，泊松比 =0.3。 求该点处的主应力值数，并求另一应变2的
§10-5 应力与应变之间的关系
1、各向同性材料的广义胡克定律
1）单向应力状态：
P
时，
x
E
s
横向线应变：
2）纯剪应力状态：
y
E
P 时，
z
E
tx
xy
x
G
gxy
1
3）空间应力状态：
y
dy
x xy
dxzxzyxxyyzzzxxyyzzyyxzxdzxyzx
对图示空间应力状态： 六个应力分量，
x , y , z ; xy , yz , zx
对各向同性材料，在线弹性、小变形条件下， 正应力只引起线应变，切应力只引起切应变，应力 分量和应变分量的关系可由叠加原理求得：
三个正应力分量单独作用时，x方向的线应变为：
x
x
E
x
y
E
x
z
E
3
则可得：
x
x
x x
1 E
x
y
z
同理可得：
y
1 E
y
x
z
z
1 E
数值和方向。
解：因主应力和主应变相对应，则由题意可得：
2 0
即为平面应力状态，有
1
1 E
1
3
3
1 E
3
1
8
联立两式可解得：
1
E
1
2
1
3
210109 1 0.32
240
0.3160106
44.3MPa
3
E
1
2
3
1
210109 1 0.32
160
0.3 240106
20.3MPa
主应变2为：
2
E
1
3
0.3 210109
44.3
20.3106
34.3106
其方向必与1和3垂直，沿构件表面的法线方向。
9
§10-5 广义胡克定律
1. 基本变形时的胡克定律
1）轴向拉压胡克定律
x E x
横向变形
y x
x
E
2）纯剪切胡克定律
G
y
x x
10
2、三向应力状态的广义胡克定律－叠加法