一类单自由度碰撞振动系统的混沌与最优碰撞

机械 动力系统 内部 或边界上 的间隙常使 系统 产生 碰撞 振 动， 参 数 的 变 化 将 引 起 系 统 响 应 的 本 质 变 化—— 产生 分岔 现象 和混 沌 运 动ｎ ］ ， 从 而 使 系统 出现 动态 失稳 ， 这 种失稳 若 得 不到 及 时 控制 将 会 极 大 地破 坏 系统 的动 力学 结构 。 因此 ， 如 何 优化 系统 内部 结构 已成 为非线 性科 学领域 的研究 热点 。 １ ９ ８ ９年 Ｈｕ ｂ ｌ ｅ ｒ发 表 了 第 一 篇 控 制 混 沌 的 文
Ｊ ｆ Ｏ
式（ ３ ） 中， Ｘ（ ￡ ） 是 含控 制 的 系统 方 程 ｄ ｘ ／ ｄ ｔ 一
厂 （ ｚ， ） 具 有初始 条 件 Ｘ（ ｔ ｏ ） ：． Ｔ ｏ的 解 。满足 上 述 问题 的解 “ （ ￡ ） 称为将 相点从 位置 勘 移动到 ｚ 的最 优控制 。
３ ． ２ 双侧 约 束 系统的 最优 碰 撞
其中： ｋ为属 于 区间 ［ 一。 。 ， 。 。 ］ 的 自变量 ； Ｄ（ ） 为 动 刚
度； Ｑ（ ｓ ） 为控制 器 的传 递 函数 。
从式（ ４ ） 和式 （ ５ ） 中可解 出碰撞前 的速 度 ：
＝ ～
（ ）＝ ｌ ｆ ｏ （ ｚ（ ￡ ） ， “ （ ） ， 口 ） ｄ ｔ。 ……… … （ ３ ）
大值 。
击能力 。
３ ． ３ 双侧 约束 系统的 最优 间隙
１ １ １ Ｏ Ｏ Ｏ Ｏ ０
当碰撞振 动 系统 受 到 固定 的激 励 作 用 时 ， 周期 Ｔ 为 固定 参数 。此时 ， 可 以 通过 调 节 间 隙来 增加 碰 撞 冲 击效果 。对 于单 自由度 碰 撞 振 动 系统 ， 可 以解 析地 分
给 出碰撞 的最优参 数条 件 ， 通过 数值仿 真 ， 验证 了该 方
法 的有效性 。 １ 单 自由度 含双侧 刚性 约束力 学模型
………… …… ……… … （ ２ ）
其中： ｘ斛 和ｘ 一 分别 表示振 子与 约束 Ａ 碰撞 前 、 后 的
瞬时速度 ； ． Ｐ为激振力 ； 为激振 频率 ； ｒ为相位 角 。
本 文 中， 选 取 无 量 纲 量 ｂ： ＢＫ ， ｚ
Ｌ
一
，
一
图ｌ 是一 类单 自由度含 双侧 刚性 约束碰 撞振 动系 统 的力 学模 型 。质 量为 Ｍ 的振 子 由刚 度 系数 为 Ｋ／ ２ 的线性 弹簧 和线 性 比例 阻 尼 系 数 为 ｃ ／ ｚ的阻 尼 器 相
（ “ ）＝ Ｊ一一 “ Ｉ ｚ （ ￡ 一ｓ ） （ ｓ ） ｄ ｓ 。 ………
… … … … … … … … … … … … … … … … … … … …
（ １ ６ ）
Ｓ — ｊ Ｊ ０ ｛ 一 Ｊ ｕ Ｔ ｚ （ — ｓ ） “ （ ） 十 厶 上 （ ｓ ） ］ ＋ ・
某一 闭 区间Ｅ ｔ ｏ ， ｔ ］ 上， 在控 制 域 内取 值 的每 一个 函数
０ ０ ０ ０ ０
—
／ （ ｒ ａ ｄ・Ｓ － Ｉ ）
图２ ｃ ｕ 的 局 部 分 岔 图
一
—
－
０ Ｏ Ｏ ０
一
一
一
一
Ｏ． ５ ０． ４ ０ ．３ Ｏ． ２ ０． １ Ｏ ０． １ Ｏ． ２ Ｏ． ３ Ｏ． ４ ０．
或 一Ｂ） 时， 将 与刚性 约束 Ａ（ 或 一Ａ） 碰撞 ， 速度 反 向后
选 取无量 纲 系统 参 数 ： 一０ ． １ ， Ｒ一０ ． ８ ， ６ —０ ． ０ ５
取 Ｐ ｏ ｉ ｎ ｃ ａ ｒ ６截面 ， 数 值计 算系 统 的动态 响应 。图 ２为 在 区 间［ ４ ． ２ ５ ， ４ ． ３ ５ ］ 的局 部 分 岔 图 ， 可 以 明显 看 出 ，
周期 碰撞 条件借 助 Ｇｒ ｅ ｅ ｎ函数写成 等周 约束 的形
式， 即：
） 一 争 一 ０ 。…………． （ １ １ ）
将式（ １ １ ） 代入式 （ １ ０ ） 可得 最优极 值 问题 的泛 函 Ｓ
的 Ｌ ａ ｇ ｒ ａ ｎ ｇ形式 为 ： ．
析最 优间 隙。考虑式 （ １ Ｏ ） ， 该 问题 的泛 函表 示为 ：
以新 的初值运 动 ， 然后 再 次与约束 Ａ（ 或 一Ａ） 碰撞 ， 如
收 稿 日期 ：２ ０ １ ２ — １ ２ — １ ０ ；修 回 日期 ：２ ０ １ ３ ～ ０ １ － ２ ３
作 者 简介 ：韩 俊 福 （ １ ９ ８ ８ 一 ） ，男 ，甘肃 临夏 人 ，在 读 硕 士 研 究 生 ，研 究 方 向 ：非 线 性 系统 动 力 学 。
－
ｘ ｝ ｍ
ｘ ／ ｍ
∞ｔ ／ ｒ ａ ｄ
（ ａ）胸 相 图 （ ｔ ｏ ＝ ４ ． ２ ５ ｒ ａ ｄ ／ ｓ ）
（ ｂ ）胂ｇ 相图 （ ∞＝ ４ ． ２ １ ｒ ａ ｄ ／ ｓ ）
（ ｃ ）￣ Ｐ ｏ ｉ ｎ ｃ ａ ｒ ６ 投影图 （ ∞： ４ ． ２ １ ｒ ａ ｄ ／ ｓ ）
过 数 值 仿 真 ，研 究 了 系统 周 期 运 动 的逆 周 期 倍 化 分 岔及 其通 向混 沌 的 道路 。通 过 最 优 控 制 理 论 给 出了振 动 系
统 的最 优 碰 撞 条 件 ，数 值 仿 真 结 果 证 明 了该 方 法 的有 效 性 ，为 实 际 应用 中碰 撞 振 动 系统 的动 力 学 优 化设 计 提
∽ ＋ ［
出 。 … （ ８Fra Baidu bibliotek）
如图 １ 所示 ， 考 虑 碰撞 振 动 系统 的 碰 撞前 速 度 为
根据 碰 撞 振 动 的周 期 性 条 件 和 Ｇｒ ｅ ｅ ｎ函数 的性 质， 可将碰撞 冲量 表示 为 ：
Ｘ＾ ＋ ， 系统在 丁周期 控制 ｕ 作用 下碰 撞 引起 的冲量 可
３ 最优 碰撞
３ ． １ 基 本 思 想
＝“ （ ） 称 为一个 控 制 。
由于实 际 系统 的控 制 参 数 都 是 有 限 的量 ， 不 能 取
无 限大 的 值 ， 若将这些值看作点 ， 则 它 们 位 于 欧 式 空 间 的有 界 的闭集 称 之 为 控制 域 【 ， ， 将 定 义 在 时 间 ｔ的
图 ３ 振子的运动相图及 Ｐ ｏ ｉ ｎ ｃ ａ ｒ ６映 射 图
给定 含参 数 ａ之 函数 （ ｚ， ， ａ ） ， ｆ ｏ及 其偏 导数 ａ ｆ ｏ ｌ ａ ｘ （ 一１ ， ２ ， …， ） 在整 个 区间 上有 定 义且 是 连续 的， 此时 寻求 最优控 制 的基本 问题 可表 示 为 ： 在相 空 间 内给定 ｚ 。 和ｚ 两个 点 ， 如 果 能 寻找 到 控制 “ （ ） 将 所 有 相点从 。移到 ｚ ， 并且 能使 泛 函式 （ ３ ） 取最小 值 ：
２ ０ １ ３年 第 ３ 期
韩俊福 ： 一 类单 自由度 碰 撞 振 动 系统 的 混 沌 与 最优 碰 撞
・１ ２ ３・
随着激 振频 率 的增 加 ， 系统 出现 逆倍 化分 岔序 列 ， 并 产 生了不 希 望 看 到 的混 沌 行 为 ， 振 子 的 运 动 相 图 及 Ｐ ｏ ｉ ｎ ｅ ａ ｒ ６ 映射 图 如图 ３所示 。
在 任意连 续碰撞 之 间（ Ｉ Ｘｌ ＜Ｂ） ， 系统 的运 动微 分
方程 为 ：
Ｍ Ｘ ＋ＣＸ ＋ＫＸ＝ ＝ ＝ Ｐ ・ｓ ｉ ｎ（ ｔ ｏ ｔ ＋ｒ ）。
ＸＡ ＋一 — — Ｒ Ｘ＾ 一 。
…… （ １ ）
统， 以最优控 制理论 阐述 在一 些条件 下 的最优 碰撞 ，
章［ ， 随后 Ｏ ＧＹ 法 得 到 了广 泛 的 响应 ［ 。经 过 近 １ ０
图 ｌ 振 动 系 统 的 力学 模 型
年 的研究 ， 已经 涌现 出了许 多控 制混 沌系统 的方 法 ， 比 如参数 自调 节 控制 、 延 时反 馈 控 制 引、 混 沌 同步 引、 模糊控 制［ ７ 和 状态 预测反馈 控制 等 。 本文针 对单 自由度 含 双 侧 刚 性 约 束 碰 撞 振 动 系
一
类单 自由度 碰 撞振 动 系统 的混沌 与最优 碰 撞
韩 俊 福
（ 兰 州 交通 大 学 机 电７ ＿ － 程 学 院 ，甘 肃 ： Ｍ － 州 ７ ３ ０ ０ ７ ０ ）
摘 要 ：建 立 了一 类单 自由度 含 双 侧 刚性 约 束 碰 撞 振 动 系 统 的对 称 型周 期运 动方 程 ，基 于 Ｐ ｏ ｉ ｎ ｃ ａ ｒ ６映 射 方 法 通
表示 为 ：
Ｊ： Ｍ （ １ ＋Ｒ） Ｘ＾ ＋ 。 … …… …… …… …… … （ ４ ）
Ｊ 一 一 ｉ ＿ 』
（ ３ ） 中消去 冲量 ， 得：
“ （ ｓ ） ｄ 。… … … … （ ９ ）
其中： “ 一Ｅ Ｍ（ １ ＋Ｒ） ］ － １ ＋ＸＡ 一（ Ｏ ） 。将 式 （ ９ ） 代 入 式
供 了理 论 参 考 。
关 键 词 ：混 沌 ； 最优 碰 撞 ；振 动 系 统 ； 单 自 由度 中 图 分 类 号 ：ＴＰ ３ ９ Ｌ ７ 文 献 标 识 码 ：Ａ
０ 引 言
此往 复 ， 碰撞 过程 由恢复 系数 尺 决定 。
尸・ ｓ ｉ ｎ （ ∞ｔ ＋１ － ）
第３ 期（ 总第 １ ７ ８期 ）
２ ０ １ ３年 ６ 月
机 械 工 程 与 自 动 化
ＭＥ ＣＨ ＡＮＩ ＣＡＬ ＥＮＧＩ ＮＥＥ ＲＩ ＮＧ ＆ ＡＵＴ（ ） Ｍ ＡＴＩ （ ） Ｎ
Ｎｏ ．３
Ｊ Ｈ Ｉ １ ．
文章编号 ： １ ６ ７ ２ — ６ ４ ｌ ３ （ ２ ０ ｌ ３ ） Ｏ ３ — ０ １ ２ ２ — ０ ４
—
ｚ，
／ － ｇ － ￣ －， 选 择振 子 与刚性 约束 Ａ ｆ ￣ Ｉ ｇＮ ａ － ， ｔ Ｎ Ｐ ｏ ｉ ｎ ｃ ａ ｒ ６
截面进 行分 布。
２ 混 沌 碰 撞 振 动
连接 ， 并 受到 简谐激 振力 Ｐ ・ ｓ ｉ ｎ （ ｏ ｔ ｔ ＋ｒ ） 的作 用 ， 振 子 只作水 平方 向的运 动 。当振子 的位 移 Ｘ 等 于位 移 Ｂ（
ｒ ｔ ，
其中： ５ 为积 分微 面积 ； （ ￡ ） 为 系统在无 碰撞 条件 下 的 Ｇｒ ｅ ｅ ｎ函数 ； （ ￡ ） 为控制 系统 的周期 Ｇｒ ｅ ｅ ｎ函数 。
ｚ （ ￡ ） 一专∑ 矿 （ ） ｅ 。 …………“（ ６ ）
ｚ （ ） 一毒∑ （ ｓ ） Ｑ （ ｓ ） ｅ 。 ……… （ ７ ）
∞ｔ ／ ｒ ａ ｄ
Ｄｔ ｌ ｒ ａ ｄ
（ ｄ ）／ ｄ ￣ Ｊ Ｐ ｏ ｉ ｎ ｃ ａ ｒ ｉ ｆ 投 影图 （ ｔ ｏ ＝ ２ ． １ ｔ ａ ｄ ／ ｓ ）
（ ｅ ）／ ｄ ￣ ３ Ｐ ｏ ｉ ｎ ｃ ａ ｒ ｉ ｆ 投影 图 （ ＝ １ ． ５ ｒ ａ ｄ ／ ｓ ）
… … … … … … … … … … … … … … … … … … … …
（ 】 ０）
・
ｌ ２ ４ ・
机 械 工 程 与 自 动 化
２ ０ １ ３年 第 ３期
至此 ， 问 题 就 归 结 为 在 周 期 碰 撞 条 件 （ 丁） 一 ｚ （ Ｏ ） ＝６下确 定控制 ｎ （ ￡ ） 使得 式（ １ ０ ） 定义 的泛 函取最
碰 撞期 间系 统 的响应 由冲 量和控 制输 入决 定 。借
助Ｇ ｒ ｅ ｅ ｎ函数 ， 系统 的 响应 可 以表示 为 ：
ｒｒ
（ ￡ ）一一 ｌ （ ￡ ） ＋Ｉ ｚ （ 一 ） ｕ ｄ ｓ。 …… （ ５ ）
（ ） ＝ 一 ｊ ［ “ （ 一 ｓ ） “ （ ｓ ） ＋ 。 （ ｓ ） ３ ｄ ｓ 。