五年级数学社团课程

正

数和负数的争吵

大家一定都知道童话王国吧，那你们知道数学王国的事情么？就让我们一起去探索数学王国的秘密吧！

有一天，正数和负数走到了一起，它们可是一对冤家。这不，它们又吵了起来，这次是为了0归谁而争得不可开交。 正数说：

“0归我，数数都是从0123456789开始数的，我和0最近，所以0属于我这一边。” 听了正数的话，负数恼怒地说：“0应该属于我这一边，我和0才最近！”

它们就这样吵了起来。这时0走了过来，正数和负数都跑过去问0。正数说：“0，

你说，你是属于我呢，还是属于负数？” 0看到它们都这么生气，吓得不敢说话了，于是就胆怯地说：“你……你们去问最有知识的计算器爷爷吧！”说完便飞快地跑走了。

正数和负数都不服气，便跑去问计算器爷爷。计算机爷爷说：“哈哈，你们别争了，告诉你们吧，0既不属于正数，也不属于负数，你们得多学点知识了。” 正数和负数听了，都惭愧地低下了头。

小新最喜欢吃“上好佳”薯片了，爸爸出差回家，带来了两包薯片，小新一见开心极了。不过，爸爸提了个问题：“你能告诉我，你能吃到多少薯片吗？”

“这不简单，”小新一边想，一边查看了产品说明（如下），马上回答：“一包100克，两包我一共吃到200克。”

一辆公共汽车从起点站开出后，途中经过了5个停靠站，最后到达终点站。下表记录了这两公共汽车全程载客数量的变化情况：

1、说说中间5个站点上下车人数各是多少？

2、中间5个站点，哪些站点没有人下车，哪些站点没有人上车？

3、你还知道了些什么？

生活中的正负数

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100克（±5克） 同学们，你们说，小新说得对吗？你觉得应该是多少？

如果有兴趣的话，请再收集一些关于正、负数的有趣的题目，和小伙伴们交流交流。

同学们在学习中经常能碰到求最大最小或最多最少的问题，这一讲就来讲解这个问题。 例：两个自然数的和是15，要使两个整数的乘积最大，这两个整数各是多少？

分析与解：将两个自然数的和为15的所有情况都列出来，考虑到加法与乘法都符合交换律，有下面7种情况： 15=1+14，

1×14=14； 15=2+13，2×13=26； 15=3+12，3×12=36； 15=4+11，4×11=44； 15=5+10，5×10=50； 15=6+9，6×9=54； 15=7+8，7×8=56。

由此可知把15分成7与8之和，这两数的乘积最大。

结论1：如果两个整数的和一定，那么这两个整数的差越小，他们的乘积越大。特别地，当这两个数相等 时，他们的乘积最大。

例：比较下面两个乘积的大小：

a=57128463×87596512，b=57128460×87596515。

分析与解：对于a ，b 两个积，它们都是8位数乘以8位数，尽管两组对应因数很相似，但并不完全相同。直接计算出这两个8位数的乘积是很繁的。仔细观察两组对应因数的大小发现，因为57128463比57128460多3，87596512比87596515少3，所以它们的两因数之和相等，即

57128463+87596512=57128460+87596515。

因为a 的两个因数之差小于b 的两个因数之差，根据结论1可得a ＞b 。

1、用长36米的竹篱笆围成一个长方形菜园，围成菜园的最大面积是多少？

2、两个自然数的积是48，这两个自然数是什么值时，它们的和最小？

3、要砌一个面积为72米2的长方形猪圈，长方形的边长以米为单位都是自然数，这个猪圈的围墙最少长多少米？

最大最小

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用割补法求面积

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在组合图形中，除了多边形外，还有由圆、扇形、弓形与三角形、矩形、平行四边形、梯形等图形组合而成的不规则图形，为了计算它们的面积，常常需要变动图形的位置或对图形进行分割、旋转、拼补，使它变成可以计算出面积的规则图形。就是在多边形的组合图形中，为了计算面积，有时也要用到割补的方法。

例：在一个等腰三角形中，两条与底边平行的线段将三角形的两条边等分成三段（见右图），求图中阴影部分的面积占整个图形面积的几分之几。

分析与解：阴影部分是一个梯形。我们用三种方法解答。

（1）割补法

从顶点作底边上的高，得到两个相同的直角三角形。将这两个直角三角

（2）拼补法

将两个这样的三角形拼成一个平行四边形（下页左上图）。

积和平行四边行面积同时除以2，商不变。所以原题阴影部分占整个图形面

（3）等分法

将原图等分成9个小三角形（见右上图），阴影部分占3个小三角形，

注意，后两种方法对任意三角形都适用。也就是说，将例题中的等腰三角形换成任意三角形，其它条件不变，结论仍然成立。

例：如左下图所示，在一个等腰直角三角形中，削去一个三角形后，剩下一个上底长5厘米、下底长9厘米的等腰梯形（阴影部分）。求这个梯形的面积。

分析与解：因为不知道梯形的高，所以不能直接求出梯形的面积。可以从等腰直角三角形与正方形之间的联系上考虑。将四个同样的等腰直角三角形拼成一个正方形（上页右下图），图中阴影部分是边长9厘米与边长5厘米的两个正方形面积之差，也是所求梯形面积的4倍。所以所求梯形面积是（9×9-5×5）÷4=14（厘米2）。 例4在左下图的直角三角形中有一个矩形，求矩形的面积。

分析与解：题中给出了两个似乎毫无关联的数据，无法沟通与矩形的联系。我们给这个直角三角形再拼补上一个相同的直角三角形（见右上图）。因为A 与A ′，B 与B ′面积分别相等，所以甲、乙两个矩形的面积相等。乙的面积是4×6=24，所以甲的面积，即所求矩形的面积也是24。

例5下图中，甲、乙两个正方形的边长的和是20厘米，甲正方形比乙正方形的面积大40厘米2。求乙正方形的面积。

分析与解：如果从甲正方形中“挖掉”和乙正方形同样大的正方形丙，所剩的A ，B ，C 三部分之和就是40厘米2（见左下图）。

把C 割下，拼补到乙正方形的上面（见右上图），这样A ，B ，C 三块就合并成一个长20厘米的矩形，面积是40厘米2，宽是40÷20=2（厘米）。这个宽恰好是两个正方形的边长之差，由此可求出乙正方形的边长为（20-2）÷2=9（厘米），从而乙正方形的面积为9×9=81（厘米2）。

爱因斯坦说：“数学之所以比一切其它科学受到尊重，一个理由是因为他的命题是绝对可靠和无可争辩的，而其它的科学经常处于被新发现的事实推翻的危险。…。数学之所以有高声誉，另一个理由就是数学使得自然科学实现定理化，给予自然科学某种程度的可靠性。”

图形的分割与拼接

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