高中数学高一《余弦定理》公开课PPT课件

Ａ、钝角三角形 Ｃ、锐角三角形
2 2 2 那a 呢? b c
Ｂ、直角三角形 Ｄ、不能确定
三角形三边长分别为4,6,8，则此三角形为（ ） Ａ、钝角三角形 Ｃ、锐角三角形 Ｂ、直角三角形 Ｄ、不能确定
小结:
余弦定理：
推论:
a b c 2bc cos A 2 2 2 b a c 2ac cos B 2 2 2 c a b 2ab cos C
由向量减法的三角形法则得
c a b 2 c c c ( a b) ( a b) aa b b 2 a b 2 2 a b 2 a b cos C
﹚
c a b 2ab cos C 2 2 2 a b c 2bc cos A
2

2
a 3
a b 由正弦定理 得 sin A sin B
1 3 bsin A 3 2 sin B a 2 3
b c , B 60


C b
C 180 A B 90 变式： A c

a
B
7 1 、若 b 3 , c 1 ,A 60 , 则 a _____
C b a
A c ab 1 2 2 2 a c b ab cos C C 60 2 ab 2
2 2 2 a b c 解析： cos C 2 ab
B
思考2：
由推论我们能判断三角形的角的情况吗? 推论： cos A b c a 2bc
2 2
C
2
A6 0 2 2 2 2 2 2 a c b ( 6 ) ( 3 1 ) 2 cos B 2 ac 2 6 ( 3 1 )
2 B4 5 2 C 1 8 0 A B 1 8 0 6 0 4 5 7 5
变式：
3 2 2 、在 ABC 中， AB 2 ， BC 1 ， cos C , 则 AC __ 4
二、已知三角函数的三边解三角形
例2、在△ABC中，已知a= 6 ,b=2,c= 3 ,1
解三角形(依次求解A、B、C).
解：由余弦定理得
2 2 2 2 ( 31 ) ( 6 ) b c a 1 c o s A 2 b c 2 22 ( 31 ) 2 2 2
可以解决两类有关三角形的问题?
（1）已知两角和任一边。
（2）已知两边和一边的对角。
余弦定理
教学目标
1、了解用向量法证明余弦定理的过程 2、能够从余弦定理得到它的推论
3、掌握用余弦定理及推论解三角形
探 究： 若△ABC为任意三角形，已知角C， a, b,求边 c. 设 CB a, CA b , AB c
思考1：
2 2
余弦定理
C b a B
2
已知三边,怎样求三个角呢？
a b c 2bc cos A 2 2 2 b a c 2ac cos B 2 2 2 c a b 2ab cos C
b c a 推论： cos A 2bc 2 2 2 a c b cos B 2ac 2 2 2 a b c cos C 2ab
60 1.在三角形ABC中，若a 3, b 1, c 2, 则A __________
2 2 2 A 2 . 在三角形 ABC 中， a c b ab , 则角 C 的大小为 ____ A . 60 B . 45 或 135 C . 120 D 30
2 2 2
A
c
一、已知三角形的两边及夹角求解三角形

例 1 、在 ABC 中，已知 b 3 , c 2 3 , A 30 , 求角 B 、 C 和边 a 的值
解：由余弦定理知， a b c 2bc cos A
2 2 2
C a
c
b
A
3 2 3 2 3 2 3 cos 30 3 B
a b 2ab cos C
2 2
﹚ 向量法
余弦定理
c a b 2ab cos C 2 2 2 a b c 2bc cos A 2 2 2 b a c 2ac cos B
2 2 2
归纳
余弦定理
C
2 2
三角形任何一边的平方等于其他两边平方的 和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。
a b c 2bc cos A 2 2 2 b a c 2ac cos B 2 2 2 c a b 2ab cos C
2
b A
a
利用余弦定理，可以解决：
c
B
（1）已知三边，求三个角； 利用余弦定 理可以解决什 （2）已知两边及夹角，求第三边和其他两个角。 么类型的三角 形问题？ （3）判断三角形的形状。
b A
2 2
a B
提炼：设a是最长的边，则
2
c
2
△ABC是钝角三角形 b c a 0
△ABC是锐角三角形 b c a 0 2 2 2 △ABC是直角三角形 b c a 0
2 2
三、判断三角形的形状
例3、在△ABC中，若a ， b c 则△ABC的形状为（ ）
2 2 2
复习回顾
a b c 2 R 正弦定理： sin A sin B sin C
2 R sin A , b 2 R sin B , c 2 R sin C 变型： a a : b : c sin A : sin B : sin C
A B a b sin A sin B
2 2 2
a b 2ab cos C
2 2
探 究： 若△ABC为任意三角形，已知角C， a, b,求边 c. 设 CB a, CA b , AB c
由向量减法的三角形法则得
c a b 2 c c c ( a b) ( a b) aa b2 b 2a b 2ຫໍສະໝຸດ Baidu a b 2 a b cos C