高中数学高一《余弦定理》公开课PPT课件
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6.4.3正弦定理余弦定理(第1课时)课件高一下学期数学人教A版
a2 b2 c2 cos C
2ab
应用：已知三条边求角度．
变形二
a2 (b c)2 2bc(1 cos A)
b2 （a c）2 2a（c 1- cos B）
c2 （a b）2 2a（b 1- cos C）
应用：配方法的使用
想一想： 余弦定理在直角三角 形中是否
仍然成立？
cosC=
例 2 在△ABC 中，已知 a＝ 3，b＝ 2，B＝45°，解此三角形．
解析 由余弦定理知 b2＝a2＋c2－2accos B.
∴2＝3＋c2－2 3·22c.即 c2－ 6c＋1＝0.
6＋ 2
6－ 2
6＋ 2
解得 c＝ 2 或 c＝ 2 ，当 c＝ 2 时，由余弦定理得
cos A＝b2＋2cb2c－a2＝2＋
一般地,把三角形的三个角A,B,C和它们的对边a,b,c叫做三角形的元素.已知 三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形.
在 ABC中，三个内角A、B、C的对边长分别记作a,b,c
二、余弦定理
在三角形ABC中，三个角A，B，C所对的边分别
为a，b，c，怎样用a，b和C表示c？
如图，设CB a,CA b, AB c,那么
3 2.
2.解析 ∵a∶b∶c＝2∶ 6∶( 3＋1)， 令 a＝2k，b＝ 6k，c＝( 3＋1)k(k>0)． 由余弦定理的变形得，
又∵0°<B<180°， ∴B＝150°.
cos
b2＋c2－a2 6k2＋ 3＋12k2－4k2 A＝ 2bc ＝ 2× 6k× 3＋1k ＝
22.
∴A＝45°.
题型二 已知两边及一角解三角形
和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍．
2ab
应用：已知三条边求角度．
变形二
a2 (b c)2 2bc(1 cos A)
b2 （a c）2 2a（c 1- cos B）
c2 （a b）2 2a（b 1- cos C）
应用：配方法的使用
想一想： 余弦定理在直角三角 形中是否
仍然成立？
cosC=
例 2 在△ABC 中，已知 a＝ 3，b＝ 2，B＝45°，解此三角形．
解析 由余弦定理知 b2＝a2＋c2－2accos B.
∴2＝3＋c2－2 3·22c.即 c2－ 6c＋1＝0.
6＋ 2
6－ 2
6＋ 2
解得 c＝ 2 或 c＝ 2 ，当 c＝ 2 时，由余弦定理得
cos A＝b2＋2cb2c－a2＝2＋
一般地,把三角形的三个角A,B,C和它们的对边a,b,c叫做三角形的元素.已知 三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形.
在 ABC中，三个内角A、B、C的对边长分别记作a,b,c
二、余弦定理
在三角形ABC中，三个角A，B，C所对的边分别
为a，b，c，怎样用a，b和C表示c？
如图，设CB a,CA b, AB c,那么
3 2.
2.解析 ∵a∶b∶c＝2∶ 6∶( 3＋1)， 令 a＝2k，b＝ 6k，c＝( 3＋1)k(k>0)． 由余弦定理的变形得，
又∵0°<B<180°， ∴B＝150°.
cos
b2＋c2－a2 6k2＋ 3＋12k2－4k2 A＝ 2bc ＝ 2× 6k× 3＋1k ＝
22.
∴A＝45°.
题型二 已知两边及一角解三角形
和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍．
余弦定理ppt课件
(1)求∠A(用角度制表示)； (2)当 a＝ 3，△ABC 的面积 S＝ 23时，求 b 和∠B.
❖ 分析：(1)由平面向量共线定理可得出关于各 角的一个关系式，化简之后便可求出∠A；(2) 分别利用三角形面积公式及余弦定理列出关 于b，c的方程，求出b，c的值，进而求出∠B.
解析：(1)∵m∥n，
3
2 3
＝12，
∴∠BAC＝30°，所求角为 30°＋45°＝75°.
∴甲船应沿北偏东 75°方向航行．
答：甲船应沿北偏东 75°方向航行半小时后才能
与乙船相遇．
[例 5] 在△ABC 中，a、b、c 分别是∠A、∠B、∠C
的对边，若 m＝(sin2B＋2 C，1)，n＝(cos2A＋72，4)，且 m∥n.
即(281)2＝9＋y2－3y，整理得： (y－185)(y－98)＝0， ∴y＝185或 y＝98(舍去)，∴AD 的长为185.
❖ [例3] 在△ABC中，a·cosA＝b·cosB，试确 定此三角形的外形．
解析：解法 1：由 a·cosA＝b·cosB 以及余弦定理得 a·b2＋2cb2c－a2＝b·a2＋2ca2c－b2， 得 a2(b2＋c2－a2)＝b2(a2＋c2－b2)， a2b2＋a2c2－a4－a2b2－b2c2＋b4＝0，即(a2－b2)(c2－a2 －b2)＝0. ∴a2＝b2 或 c2＝a2＋b2， ∴a＝b 或 c2＝a2＋b2.
❖ 二、余弦定理的运用
❖ 利用余弦定理可以处理两类斜三角形问题：
❖ 1．知三边，求⑪________. ❖ 2．知两边和它们的夹角，求⑫________
和⑬________.
❖ 友谊提示：了解运用余弦定理应留意以下 四点：
❖ (1)余弦定理提示了恣意三角形边角之间的 客观规律，是解三角形的重要工具；
❖ 分析：(1)由平面向量共线定理可得出关于各 角的一个关系式，化简之后便可求出∠A；(2) 分别利用三角形面积公式及余弦定理列出关 于b，c的方程，求出b，c的值，进而求出∠B.
解析：(1)∵m∥n，
3
2 3
＝12，
∴∠BAC＝30°，所求角为 30°＋45°＝75°.
∴甲船应沿北偏东 75°方向航行．
答：甲船应沿北偏东 75°方向航行半小时后才能
与乙船相遇．
[例 5] 在△ABC 中，a、b、c 分别是∠A、∠B、∠C
的对边，若 m＝(sin2B＋2 C，1)，n＝(cos2A＋72，4)，且 m∥n.
即(281)2＝9＋y2－3y，整理得： (y－185)(y－98)＝0， ∴y＝185或 y＝98(舍去)，∴AD 的长为185.
❖ [例3] 在△ABC中，a·cosA＝b·cosB，试确 定此三角形的外形．
解析：解法 1：由 a·cosA＝b·cosB 以及余弦定理得 a·b2＋2cb2c－a2＝b·a2＋2ca2c－b2， 得 a2(b2＋c2－a2)＝b2(a2＋c2－b2)， a2b2＋a2c2－a4－a2b2－b2c2＋b4＝0，即(a2－b2)(c2－a2 －b2)＝0. ∴a2＝b2 或 c2＝a2＋b2， ∴a＝b 或 c2＝a2＋b2.
❖ 二、余弦定理的运用
❖ 利用余弦定理可以处理两类斜三角形问题：
❖ 1．知三边，求⑪________. ❖ 2．知两边和它们的夹角，求⑫________
和⑬________.
❖ 友谊提示：了解运用余弦定理应留意以下 四点：
❖ (1)余弦定理提示了恣意三角形边角之间的 客观规律，是解三角形的重要工具；
余弦定理(55张PPT)
2．在解三角形的过程中，求某一个角有时既可以用余 弦定理，也可以用正弦定理，两种方案有什么利弊呢？
提示：用余弦定理求角时，运算量较大，但角与余弦 值是一一对应的，无须讨论；而用正弦定理求角时，运算 量较小，但由于在区间(0，π)上角与正弦值不是一一对应 的，一般情况下一个正弦值可对应两个角，往往要依据角 的范围讨论解的情况．
新知初探
1．余弦定理 三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减 去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍．即
2．余弦定理的推论 余弦定理揭示了三角形中两边及其夹角与对边之间的 关系，它的另一种表达形式是 b2＋c2－a2 cosA＝_____________ ， 2bc
a2＋c2－b2 2ac cosB＝_____________ ， a2＋b2－c2 2ab cosC＝_____________.
类型二 [例2]
判断三角形的形状 在△ABC中，已知(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc且
sinA＝2sinBcosC，试确定△ABC的形状． [分析] 首先根据条件(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc，利
用余弦定理求出一个角，再利用另一个条件，得到另外两 个角的关系，即可判断．
[解]
∵(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc，
须知余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定
2 2 2 a > b ＋ c 理的特例．角A为钝角⇔_____________，角A为直角⇔ 2 2 2 2 2 2 a ＝ b ＋ c a < b ＋ c ____________，角A为锐角⇔____________.
3．利用余弦定理可解决的两类问题 余弦定理的每一个等式中都包含四个不同的量，它们 分别是三角形的三边和一个角，知道其中的三个量，代入 等式，便可求出第四个量来． 利用余弦定理可以解决以下两类解斜三角形的问题：
6.4.2余弦定理高一数学同步教学课件人教A版必修第二册课件共16张PPT
★ = ° ⇔ = + − ★ = ° ⇔ = + +
2
解三角形
1
解三角形
一般地，三角形的三个角A，B，C和它们的对边叫做三角形的元素.
已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形.
2
余弦定理在解三角形中的应用
【1】已知三角形的三边解三角形
如图，因为AC=AB+AC，
所以AC2=(AB+BC)2，即
AC2=AB2+BC2+2AB ·BC=AB2+BC2+2|AB||BC|(cos180°-B)
从而2 = 2 + 2 − 2
同理，根据AB=AC+CB，BC=BA+AC，可以得到
2 = 2 + 2 − 2
∴ = − 12 =
∵ =
+ −
6+ 2
4
6 − 2 2, ∴ = 6 − 2或−( 6 − 2)(舍)
=
3
,且0＜A＜180°，∴A=30°，B=180°-(A+C)=135°
2
∴ A=30°，B=135°， = 6 − 2
题⑤ ——判断三角形的形状
在ΔABC中，内角A，B，C所对的边分别是 , , ，且 + + ( +
− ) = 3, = 2, 判断ΔABC的形状.
【解】因为 + + + − = 3，化简得2 = 2 + 2 −
1
由余弦定理得2 = 2 + 2 − 2 ，所以 = 2
①连续用余弦定理求出两角
1.1.2 余弦定理 (共36张PPT)
当C为锐角时，a2 b2 c2 ; 当C为钝角时，a2 b2 c2 .
证明：当C为锐角时，cosC 0,由余弦定理，得 c2 a2 b2 2bccosC a2 b2，即 a2 b2 c2
同理可证， 当C为钝角时，a2 b2 c2 .
数学应用：
例3.如图所示，有两条直线AB和CD 相交成80 °角，交点
数学建构
总结：利用余弦定理，可以解决以下两 类解斜三角形的问题：
(1)已知三边，求三个角 (2)已知两边和它们的夹角，
求第三边和其它两个角
数学应用：
例1. 如图，在△ABC中，已知a=5，b=4，
∠C=120°，求c.
A
c
解：由余弦定理，得
b 120
C
a
B
c2 a2 b2 2abcos120
因此 c 52 42 254(12) 61
B
80° P A 122 13.52 21213.5cos80
O
16.4(km)
D
数学应用：
例4.在长江某渡口处，江水以５km/h的速度 向东流。一渡船在江南岸的Ａ码头出发，预定
要在0.1h后到达江北岸Ｂ码头，设ＡＮ为正北 方向，已知Ｂ码头在Ａ码头的北偏东１５°，
并与Ａ码头相距1.2km．该渡船应按什么方向 航行？速度是多少千米／小时？（角度精确到
N
D
B
答：渡船按北偏西９．４ °的
方向，并以１１．７km/h的
速度航行．
15 A
C
数学应用：
例5.在ΔABC中，已知s inA 2sinBcosC,
试判断该三角形的形状. 解：由正弦定理和余弦定理，得
sin A a
a2 b2 c2
, cos C
证明：当C为锐角时，cosC 0,由余弦定理，得 c2 a2 b2 2bccosC a2 b2，即 a2 b2 c2
同理可证， 当C为钝角时，a2 b2 c2 .
数学应用：
例3.如图所示，有两条直线AB和CD 相交成80 °角，交点
数学建构
总结：利用余弦定理，可以解决以下两 类解斜三角形的问题：
(1)已知三边，求三个角 (2)已知两边和它们的夹角，
求第三边和其它两个角
数学应用：
例1. 如图，在△ABC中，已知a=5，b=4，
∠C=120°，求c.
A
c
解：由余弦定理，得
b 120
C
a
B
c2 a2 b2 2abcos120
因此 c 52 42 254(12) 61
B
80° P A 122 13.52 21213.5cos80
O
16.4(km)
D
数学应用：
例4.在长江某渡口处，江水以５km/h的速度 向东流。一渡船在江南岸的Ａ码头出发，预定
要在0.1h后到达江北岸Ｂ码头，设ＡＮ为正北 方向，已知Ｂ码头在Ａ码头的北偏东１５°，
并与Ａ码头相距1.2km．该渡船应按什么方向 航行？速度是多少千米／小时？（角度精确到
N
D
B
答：渡船按北偏西９．４ °的
方向，并以１１．７km/h的
速度航行．
15 A
C
数学应用：
例5.在ΔABC中，已知s inA 2sinBcosC,
试判断该三角形的形状. 解：由正弦定理和余弦定理，得
sin A a
a2 b2 c2
, cos C
余弦定理(公开课)PPT
习题一：证明余弦定理
总结词
通过已知的三角形边长和角度，证明 余弦定理的正确性。
详细描述
已知三角形ABC的三边长分别为a、b、c，对应 的角度分别为A、B、C。通过已知条件，我们 可以利用三角函数的基本性质，推导出余弦定 理的表达式，并证明其正确性。
习题二：利用余弦定理解三角形问题
总结词
利用余弦定理解三角形中的角度和边长问题。
几何学中的基础定理
余弦定理是几何学中的基础定理之一， 对于理解几何学中的其他定理和概念 有着重要的意义。
学习余弦定理的意义和收获
培养数学思维
学习余弦定理有助于培养数学 思维，提高分析和解决问题的
能力。
加深对三角形的理解
通过学习余弦定理，可以更深入地 理解三角形的性质和特点，更好地 掌握三角形的相关知识和应用。
在解决物理问题中的应用
力的合成与分解
在物理中，力可以视为向量，通过余弦定理，我们可以计算出力的合成或分解 后的结果。
运动学问题
在解决运动学问题时，我们经常需要计算速度、加速度等物理量，这些量可以 通过矢量运算得出，而余弦定理在矢量运算中有着重要的应用。
PART 05
习题和解答
REPORTING
WENKU DESIGN
04
在物理学中，余弦定理可以用于解决与力、运动和振 动相关的问题，如计算力的合成与分解、分析振动的 周期和频率等。
PART 03
余弦定理的证明
REPORTING
WENKU DESIGN
证明方法一：利用三角形的边长和余弦值关系
总结词
通过比较三角形边长和余弦值的平方，利用勾股定理和三角形的性质，推导出余 弦定理。
详细描述
给定三角形ABC的两边长a、b和夹角C，利用余弦定理可以求出第三边c的长度。同时，也可以利用余弦 定理求出三角形中的角度，如已知三边长a、b、c，可以求出角A、B、C的度数。
余弦定理PPT课件
c
C
aB
探索探究
联系已经学过的知识和方法，可用 什么途径来解决这个问题？
即：如图，在△ABC中，
设BC=a, AC=b, AB=c.
A
已知a, b和∠C，求边c？ b
c
C
aB
探索探究
联系已经学过的知识和方法，可用 什么途径来解决这个问题？
用向量来研究这问题. A
即：如图，在△C ABC中， B
设BC=a, AC=b, AB=c.
巩经典固例知题识 典型例题
例 在△ABC中，a = 6，b = 7，c = 10，求△ABC 中的 最大角和最小角（精确到1°）.
解 由于a＜b＜c，所以C最大，A最小，由公式（1.12），有
cos C a2 b2 c2 62 72 102 0.1786，
2ab
267
所以 C ≈ 100°，
a2 b2 c2 2cbcos A． b2 a2 c2 2ac cos B，c2 a2 b2 2ab cosC．
可以证明，上述结论对于任意三角形都成立．于是得到余弦 定理．
思考2：
a2 b2 c2 2bc cos A b2 a2 c2 2ac cos B c2 a2 b2 2ab cos C
1.3.2余弦定理
复习引入
运用正弦定理能解怎样的三角形？
A C
B
复习引入
运用正弦定理能解怎样的三角形？
①已知三角形的任意两角及其一边；
②已知三角形的任意两边A 与其中一边
的对角.
C B
情境设置
问题1：
如果已知三角形的两边及其夹角， 根据三角形全等的判定方法，这个三
A
角形是大小、形状完全确定的三角形. C
《余弦定理》示范公开课教学PPT课件【高中数学】
•平面向量的应用
•余弦定理
情景引入
问题1：某隧道施工队为了开凿一条山地隧道，需要测算隧道通过这座山
的长度.工程技术人员先在地面上选一适当的位置C，量出C到山脚A，B的
距离，再利用经纬仪测出C对山脚AB（即线段AB）的张角，最后通过计
算求出山脚AB的长度.
A
B
C
情景引入
问题1：某隧道施工队为了开凿一条山地隧道，需要测算隧道通过这座山
A
B
三角形的边、角关系，得到了SSS，SAS，ASA，
AAS等判定三角形全等的方法.
现在已知三角形的两边及其夹角，三角形是唯一确定的，BC的长
度也是唯一确定的.
C
课堂探究
问题2：在△ABC中，当∠C=90°时，有c2=a2+b2 若a，b边的长短不变，变
B
换∠C的大小时，c2与a2+b2有什么大小关系呢？请大家思考
B
答：若∠C＜90°时，由于AC与BC的长度不变，所
以AB的长度变短，即c2＜a2+b2
A
若∠C＞90°时，由于AC与BC的长度不变，所以AB的
C
B B
长度变长，即c2＞a2+b2.
可以得到∠C≠90°时，c2≠a2+b2.
A
C
课堂探究
问题3：通过前面的研究我们知道，当∠C≠90°时，c2 ≠a2+b2.那么c2 与
从数量化的角度进行了刻画.
课堂探究
追问8：勾股定理指出了直角三角形中三边之间的关系，余弦定理则指出
了三角形的三条边与其中的一个角之间的关系，你能说说这两个定理之间
的关系吗？
答: 如果△ABC中有一个角是直角，例如，C=90°，这时cos C=0，由余弦
•余弦定理
情景引入
问题1：某隧道施工队为了开凿一条山地隧道，需要测算隧道通过这座山
的长度.工程技术人员先在地面上选一适当的位置C，量出C到山脚A，B的
距离，再利用经纬仪测出C对山脚AB（即线段AB）的张角，最后通过计
算求出山脚AB的长度.
A
B
C
情景引入
问题1：某隧道施工队为了开凿一条山地隧道，需要测算隧道通过这座山
A
B
三角形的边、角关系，得到了SSS，SAS，ASA，
AAS等判定三角形全等的方法.
现在已知三角形的两边及其夹角，三角形是唯一确定的，BC的长
度也是唯一确定的.
C
课堂探究
问题2：在△ABC中，当∠C=90°时，有c2=a2+b2 若a，b边的长短不变，变
B
换∠C的大小时，c2与a2+b2有什么大小关系呢？请大家思考
B
答：若∠C＜90°时，由于AC与BC的长度不变，所
以AB的长度变短，即c2＜a2+b2
A
若∠C＞90°时，由于AC与BC的长度不变，所以AB的
C
B B
长度变长，即c2＞a2+b2.
可以得到∠C≠90°时，c2≠a2+b2.
A
C
课堂探究
问题3：通过前面的研究我们知道，当∠C≠90°时，c2 ≠a2+b2.那么c2 与
从数量化的角度进行了刻画.
课堂探究
追问8：勾股定理指出了直角三角形中三边之间的关系，余弦定理则指出
了三角形的三条边与其中的一个角之间的关系，你能说说这两个定理之间
的关系吗？
答: 如果△ABC中有一个角是直角，例如，C=90°，这时cos C=0，由余弦
6.4.3 第1课时 余弦定理PPT课件(人教版)
课前篇自主预习
一
二
3.做一做
(1)在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,若 a=1,b= 7,c= 3,
则 B=
.
5π
答案: 6
解析:由已知 a=1,b= 7,c= 3,根据余弦定理,得 cos
1+3-7
3
=- .
2
2 3
5π
∵0<B<π,∴B= 6 .
2
2 +2 -
B= 2
=
课前篇自主预习
一
二
(2)判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误
的画“×”.
①在△ABC中,若a2+b2<c2,则△ABC是钝角三角形.(
)
②在△ABC中,若△ABC是钝角三角形,则必有a2+b2<c2.(
)
③在△ABC中,若△ABC是锐角三角形,则必有a2+b2>c2.(
)
答案:①√ ②× ③√
B,BD=acos B,AD=AB-BD=c-acos B,b2=CD2+AD2=(asin B)2+(cacos B)2=a2+c2-2acos B;
同理可证:c2=a2+b2-2abcos C,a2=b2+c2-2bccos A.
图(2)
课堂篇探究学习
探究一
探究二
探究三
思维辨析
随堂演练
(3)在钝角△ABC中,如图(3),作CD⊥AB,交AB的延长线于点D,则
形.
课堂篇探究学习
探究一
探究二
探究三
思维辨析
随堂演练
反思感悟 1.利用三角形的边角关系判断三角形的形状时,需要从
《高一数学余弦定理》课件
《高一数学余弦定理》ppt课件
• 余弦定理的引入 • 余弦定理的证明 • 余弦定理的应用 • 余弦定理的拓展 • 习题与解答
01 余弦定理的引入
三角形的边角关系
三角形的基本性质
三角形有三条边和三个角，这些 边和角之间存在一定的关系，这 是三角形的基本性质。
边角关系的重要性
理解三角形的边角关系是解决三 角形问题的关键，对于后续学习 余弦定理等知识点至关重要。
基础习题2
在三角形ABC中，已知A=45°， B=60°，a=2，求b的值。
基础习题3
已知三角形ABC中，a=2, b=2√3, B=60°，求角A的大小
。
提升习题
提升习题1
在三角形ABC中，已知A=45°，a=3, c=√13，求 b的值。
提升习题2
已知三角形ABC中，a=4, b=5, C=120°，求边c 的大小。
推论三
若三角形ABC的两边AB、 AC与平面α所成的角相等 ，且三角形ABC的两角相 等，则三角形ABC的两边 AB、AC与平面α所成的角 相等。
余弦定理在空间几何中的应用
应用一
在空间几何中，余弦定理可以用来解 决与角度和距离有关的问题，例如计 算点到平面的距离、两平面之间的夹 角等。
应用二
应用三
详细描述
首先，我们知道三角形的面积公式为S=1/2ab*sinC，其中a、b为三角形两边， C为两边之间的夹角。然后，利用三角形的面积公式和余弦定理的关系，我们可 以推导出余弦定理的表达式。
利用勾股定理证明余弦定理
总结词
勾股定理证明余弦定理是通过勾股定理和余弦定理的关系来推导余弦定理的表达式。
详细描述
应用二
在工程学中，余弦定理可以用来解 决与结构工程和机械工程有关的问 题，例如计算结构的承载能力、判 断结构的稳定性等。
• 余弦定理的引入 • 余弦定理的证明 • 余弦定理的应用 • 余弦定理的拓展 • 习题与解答
01 余弦定理的引入
三角形的边角关系
三角形的基本性质
三角形有三条边和三个角，这些 边和角之间存在一定的关系，这 是三角形的基本性质。
边角关系的重要性
理解三角形的边角关系是解决三 角形问题的关键，对于后续学习 余弦定理等知识点至关重要。
基础习题2
在三角形ABC中，已知A=45°， B=60°，a=2，求b的值。
基础习题3
已知三角形ABC中，a=2, b=2√3, B=60°，求角A的大小
。
提升习题
提升习题1
在三角形ABC中，已知A=45°，a=3, c=√13，求 b的值。
提升习题2
已知三角形ABC中，a=4, b=5, C=120°，求边c 的大小。
推论三
若三角形ABC的两边AB、 AC与平面α所成的角相等 ，且三角形ABC的两角相 等，则三角形ABC的两边 AB、AC与平面α所成的角 相等。
余弦定理在空间几何中的应用
应用一
在空间几何中，余弦定理可以用来解 决与角度和距离有关的问题，例如计 算点到平面的距离、两平面之间的夹 角等。
应用二
应用三
详细描述
首先，我们知道三角形的面积公式为S=1/2ab*sinC，其中a、b为三角形两边， C为两边之间的夹角。然后，利用三角形的面积公式和余弦定理的关系，我们可 以推导出余弦定理的表达式。
利用勾股定理证明余弦定理
总结词
勾股定理证明余弦定理是通过勾股定理和余弦定理的关系来推导余弦定理的表达式。
详细描述
应用二
在工程学中，余弦定理可以用来解 决与结构工程和机械工程有关的问 题，例如计算结构的承载能力、判 断结构的稳定性等。
余弦定理课件-高一数学人教A版(2019)必修第二册
6.4.3余弦定理
— 1—
1.会用向量法证明余弦定理，进一步巩固用向量法研究平面
几何问题.
2.能够辨别余弦定理及其推论的结构特征，并会简单应用.
3.能用余弦定理及其推论解决简单的解三角形问题.
用向量的方法证明余弦定理，用余弦定理解三角形.
— 2—
我们研究向量的路径是什么？
— 3—
已知三角形的哪些元素，可以唯一确定这个三角形？
2
2
所以
c 2 = a 2 + b 2－2ab cos C
— 5—
a
B
— 6—在△ 中，(1已知a=5,b=2,C= ,求c；
3
(2)已知a=5,b=2,C= ,求c；
2
1
(3)已知a=5,b=2,cosC=− ,求c.
5
在(3)的条件下求cosA.
— 7—
在△ 中，已知a=7, = 3,c=5,求A.
A
c
b
C
— 4—
a
B
在△ 中，三个角, , 所对应的边分别为
, , ,怎样用, 和表示?
设CB = a, CA = b, AB = c
A
则c = a－b
2
c
b
| c |2 = c • c = (a－b) • (a－b)
2
= a + b －2a • b
C
=| a | + | b | －2 | a || b | cosC
— 8—
在△ 中，已知a=4
3,c=8,B= ,
6
求A,C,b.
一般地，三角形的三个角A,B,C和它们的边a,b,c叫作三角形的
元素.已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做
— 1—
1.会用向量法证明余弦定理，进一步巩固用向量法研究平面
几何问题.
2.能够辨别余弦定理及其推论的结构特征，并会简单应用.
3.能用余弦定理及其推论解决简单的解三角形问题.
用向量的方法证明余弦定理，用余弦定理解三角形.
— 2—
我们研究向量的路径是什么？
— 3—
已知三角形的哪些元素，可以唯一确定这个三角形？
2
2
所以
c 2 = a 2 + b 2－2ab cos C
— 5—
a
B
— 6—在△ 中，(1已知a=5,b=2,C= ,求c；
3
(2)已知a=5,b=2,C= ,求c；
2
1
(3)已知a=5,b=2,cosC=− ,求c.
5
在(3)的条件下求cosA.
— 7—
在△ 中，已知a=7, = 3,c=5,求A.
A
c
b
C
— 4—
a
B
在△ 中，三个角, , 所对应的边分别为
, , ,怎样用, 和表示?
设CB = a, CA = b, AB = c
A
则c = a－b
2
c
b
| c |2 = c • c = (a－b) • (a－b)
2
= a + b －2a • b
C
=| a | + | b | －2 | a || b | cosC
— 8—
在△ 中，已知a=4
3,c=8,B= ,
6
求A,C,b.
一般地，三角形的三个角A,B,C和它们的边a,b,c叫作三角形的
元素.已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做
高一数学余弦定理PPT课件
1.1.2 余弦定理
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1.复习回顾：
正弦定理： a b c 2R sin A sin B sinC
(1)正弦定理可以解决三角形中的问题：
① 已知两边和其中一边的对角，求另一边 的对角，进而可求其他的边和角
② 已知两角和一边，求其他角和边
第2页/共32页
(2) 三角形面积公式：
C
a2 CD2 BD2
(bsin A)2(cbcos A)2
b
a b2sin2Ac2b2cos2A2bccos A
A
c D
B b2c22bccos A
同理有： b2a2c22accosB
c2a2b22abcosC 第11页/共32页
a2 b2 c2 2bc cos A b2 a2 c2 2ac cos B c2 a2 b2 2ab cos C
4
…………8 分
故 a b sin A 2 6 1 3, c b sin C 2 sin 60 6. …………12 分
sin B
2
sin B sin 45
第28页/共32页
17（2009 年全国卷Ⅰ）（本小题满分 10 分）
在 ABC 中，内角 A、B、C 的对边长分别为 a 、 b 、 c ，已知 a2 c2 2b ，且
又通过 acos B 3知： cos B 0 ，则 cos B 3 ， sin B 4 ，则 a 5 ．
5
5
（2）由 S 1 ac sin B ，得到 c 5 ． 2
由 cos B a2 c2 b2 ，解得： b 2 5 ，最后 l 10 2 5 ． 2ac
第30页/共32页
设△ABC 的内角 A，B，C 所对的边长分别为 a，b，c ，且 acos B 3，bsin A 4 ． （Ⅰ）求边长 a ； （Ⅱ）若△ABC 的面积 S 10 ，求△ABC 的周长 l ．
第1页/共32页
1.复习回顾：
正弦定理： a b c 2R sin A sin B sinC
(1)正弦定理可以解决三角形中的问题：
① 已知两边和其中一边的对角，求另一边 的对角，进而可求其他的边和角
② 已知两角和一边，求其他角和边
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(2) 三角形面积公式：
C
a2 CD2 BD2
(bsin A)2(cbcos A)2
b
a b2sin2Ac2b2cos2A2bccos A
A
c D
B b2c22bccos A
同理有： b2a2c22accosB
c2a2b22abcosC 第11页/共32页
a2 b2 c2 2bc cos A b2 a2 c2 2ac cos B c2 a2 b2 2ab cos C
4
…………8 分
故 a b sin A 2 6 1 3, c b sin C 2 sin 60 6. …………12 分
sin B
2
sin B sin 45
第28页/共32页
17（2009 年全国卷Ⅰ）（本小题满分 10 分）
在 ABC 中，内角 A、B、C 的对边长分别为 a 、 b 、 c ，已知 a2 c2 2b ，且
又通过 acos B 3知： cos B 0 ，则 cos B 3 ， sin B 4 ，则 a 5 ．
5
5
（2）由 S 1 ac sin B ，得到 c 5 ． 2
由 cos B a2 c2 b2 ，解得： b 2 5 ，最后 l 10 2 5 ． 2ac
第30页/共32页
设△ABC 的内角 A，B，C 所对的边长分别为 a，b，c ，且 acos B 3，bsin A 4 ． （Ⅰ）求边长 a ； （Ⅱ）若△ABC 的面积 S 10 ，求△ABC 的周长 l ．
人教版高中数学必修2《余弦定理》PPT课件
[微思考] 勾股定理和余弦定理有什么关系？ 提示：余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例． 2．解三角形的定义：
一般地，三角形的三个角A，B，C和它们的对边a，b，c叫做三角形 的_元__素__．已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做_解__三__角__形__．
(二)基本知能小试
1．判断正误：
2×( 6＋ 2)×2 3×cos 45°＝8，
所以 b＝2 2. 由 cos A＝b2＋2cb2c－a2，
得 cos A＝2
22＋ 6＋ 2×2 2×
22－2 6＋ 2
32＝12.
因为 0°<A<180°，所以 A＝60°.
(2)由余弦定理，得 a2＝b2＋c2－2bccos A ＝(b＋c)2－2bc(1＋cos A)， 所以 49＝64－2bc1－12，即 bc＝15. 由bbc＋＝c1＝58， 解得bc＝＝53， 或cb＝＝35.，
二、应用性——强调学以致用 2. 在古希腊数学家海伦的著作《测地术》中记载了著名的海伦公式，利用
三角形的三边长求三角形的面积．若三角形的三边长分别为 a，b，c， 则其面积 S＝ pp－ap－bp－c，这里 p＝a＋2b＋c.已知在△ABC 中， BC＝6，AB＝2AC，求当△ABC 的面积最大时，sin A 的值． [析题建模] 由海伦公式，结合基本不等式，求出△ABC 的面积最大时 边 AB 及 AC 的长．再由余弦定理求出 cos A，进而求出 sin A.
6．4.3 余弦定理、正弦定理
明确目标
发展素养
1.借助向量的运算，探索三角 1.通过对余弦定理、正弦定理的学习及运
形边长与角度的关系，掌握 用，提升直观想象、数学抽象和逻辑推
余弦定理、正弦定理．
高中数学1.1.2余弦定理课件3新人教A必修5.ppt
问5：解决长度和角度问题的手段有什么？
C
baA源自cB余弦定理
问题解决
B
?
C
（精确到0.1米）
96°
B C 2 A B 2 A C 2 2 A B A C c o s A A
3 .6 2 4 .8 2 2 3 .6 4 .8 c o s 9 6
1 2 .9 6 2 3 .0 4 3 4 .5 6 0 .1 0 4 5
二.思想方法： 数形结合的思想，化归与转化的思想， 分类讨论的思想，特殊到一般的思想
• 作业 • 1.复习 • 2.必做题:书P8---P9 • 选做题：已知一钝角三角形的边长是三个
连续自然数，求该三角形的三边长。
• 3.预习
猜字谜游戏：
• 留得琴丝调宫商（打一数学名词）
39.6125
BC6.3
答：B,C两处的距离约为6.3米。
一、余弦定理：
问6：公式应该要如何记忆呢？ 问7：可将公式如何变形？ 问8：公式变形的目标是什么？
观察可能导致发现，观察将揭示 某种规则-------波利亚
定理应用 --------------类比的方法
----------请同学们自己编题---------解三角形问题：SSS SAS
情境引入
C B
A
情境引入
情境引入
C B
96° A
提出问题
B
?
C
96° A
问3：用正弦定理能否直接求出B,C两处的距离？
问4：如何解决这已知三角形两边c和b, 和两边的夹角A，求第三边a的问题？
公式推导 --------------特殊到一般的思想
如何由已知两边和它们的夹角求三角形的另一边？
6.4.3.1 余弦定理-高一数学课件(人教A版2019必修第二册)
由推论得： =
2 + 2 −2
2
=
(2 2)2 +( 6+ 2)2 −(2 3)2
2×2 2×( 6+ 2)
=
1
，所以
2
= 60°，所
以 = 180° − ( + ) = 75°.
一般地，三角形的三个角，，和它们的对边，，叫做三角形的元素.
已知三角形中的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形.
1，∴ 2来自= 60°.又 = ( + ) = + = 2 ，
∴ − = 0，
即( − ) = 0，∴ = .
又 + = 120°，∴ = = = 60°.
解：(1)由余弦定理得: 2 = 2 + 2 − 2 = 8，∴ = 2 2.
由 =
2 + 2 −2
2
=
(2 2)2 +( 6+ 2)2 −(2 3)2
2×2 2×( 6+ 2)
=
1
.
2
∵0° < < 180°，∴ = 60°.
(2)在∆中，若 = 120°， = 7， + = 8，求，.
解：(2)由余弦定理得:2 = 2 + 2 − 2 =( + )2 −2(1 + )，
∴49 = 64 − 2(1 −
由
1
)，即
2
= 15.
+ =8
=3
=5
，解得
或
.
= 15
=5
=3
习题演练
2、在∆中，已知 = 9， = 7， = 8，求边上的中线长.
2 + 2 −2
2
=
(2 2)2 +( 6+ 2)2 −(2 3)2
2×2 2×( 6+ 2)
=
1
，所以
2
= 60°，所
以 = 180° − ( + ) = 75°.
一般地，三角形的三个角，，和它们的对边，，叫做三角形的元素.
已知三角形中的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形.
1，∴ 2来自= 60°.又 = ( + ) = + = 2 ，
∴ − = 0，
即( − ) = 0，∴ = .
又 + = 120°，∴ = = = 60°.
解：(1)由余弦定理得: 2 = 2 + 2 − 2 = 8，∴ = 2 2.
由 =
2 + 2 −2
2
=
(2 2)2 +( 6+ 2)2 −(2 3)2
2×2 2×( 6+ 2)
=
1
.
2
∵0° < < 180°，∴ = 60°.
(2)在∆中，若 = 120°， = 7， + = 8，求，.
解：(2)由余弦定理得:2 = 2 + 2 − 2 =( + )2 −2(1 + )，
∴49 = 64 − 2(1 −
由
1
)，即
2
= 15.
+ =8
=3
=5
，解得
或
.
= 15
=5
=3
习题演练
2、在∆中，已知 = 9， = 7， = 8，求边上的中线长.
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3 2 2 、在 ABC 中， AB 2 ， BC 1 ， cos C , 则 AC __ 4
二、已知三角函数的三边解三角形
例2、在△ABC中，已知a= 6 ,b=2,c= 3 ,1
解三角形(依次求解A、B、C).
解：由余弦定理得
2 2 2 2 ( 31 ) ( 6 ) b c a 1 c o s A 2 b c 2 22 ( 31 ) 2 2 2
由向量减法的三角形法则得
c a b 2 c c c ( a b) ( a b) aa b b 2 a b 2 2 a b 2 a b cos C
﹚
c a b 2ab cos C 2 2 2 a b c 2bc cos A
b A
2 2
a B
提炼：设a是最长的边，则
2
c
2
△ABC是钝角三角形 b c a 0
△ABC是锐角三角形 b c a 0 2 2 2 △ABC是直角三角形 b c a 0
2 2
三、判断三角形的形状
例3、在△ABC中，若a ， b c 则△ABC的形状为（ ）
2 2 2
A6 0 2 2 2 2 2 2 a c b ( 6 ) ( 3 1 ) 2 cos B 2 ac 2 6 ( 3 1 )
2 B4 5 2 C 1 8 0 A B 1 8 0 6 0 4 5 7 5
变式：
C b a
A c ab 1 2 2 2 a c b ab cos C C 60 2 ab 2
2 2 2 a b c 解析： cos C 2 ab
B
思考2：
由推论我们能判断三角形的角的情况吗? 推论： cos A b c a 2bc
2 2
C
2
Ａ、钝角三角形 Ｃ、锐角三角形
2 2 2 那a 呢? b c
Ｂ、直角三角形 Ｄ、不能确定
三角形三边长分别为4,6,8，则此三角形为（ ） Ａ、钝角三角形 Ｃ、锐角三角形 Ｂ、直角三角形 Ｄ、不能确定
小结:
余弦定理：
推论:
a b c 2bc cos A 2 2 2 b a c 2ac cos B 2 2 2 c a b 2ab cos C
2 2 2
a b 2ab cos C
2 2
探 究： 若△ABC为任意三角形，已知角C， a, b,求边 c. 设 CB a, CA b , AB c
由向量减法的三角形法则得
c a b 2 c c c ( a b) ( a b) aa b2 b 2a b 2 a b 2 a b cos C
a b c 2bc cos A 2 2 2 b a c 2ac cos B 2 2 2 c a b 2ab cos C
2
b A
a
利用余弦定理，可以解决：
c
B
（1）已知三边，求三个角； 利用余弦定 理可以解决什 （2）已知两边及夹角，求第三边和其他两个角。 么类型的三角 形问题？ （3）判断三角形的形状。
60 1.在三角形ABC中，若a 3, b 1, c 2, 则A __________
2 2 2 A 2 . 在三角形 ABC 中， a c b ab , 则角 C 的大小为 ____ A . 60 B . 45 或 135 C . 120 D 30
2
2
a 3
a b 由正弦定理 得 sin A sin B
1 3 bsin A 3 2 sin B a 2 3
b c , B 60
C b
C 180 A B 90 变式： A c
a
B
7 1 、若 b 3 , c 1 ,A 60 , 则 a _____
a b 2ab cos C
2 2
﹚ 向量法
余弦定理
c a b 2ab cos C 2 2 2 a b c 2bc cos A 2 2 2 b a c 2ac cos B
2 2 2
归纳
余弦定理
C
2 2
三角形任何一边的平方等于其他两边平方的 和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。
可以解决两类有关三角形的问题?
（1）已知两角和任一边。
（2）已知两边和一边的对角。
余弦定理
教学目标
1、了解用向量法证明余弦定理的过程 2、能够从余弦定理得到它的推论
3、掌握用余弦定理及推论解三角形
探 究： 若△ABC为任意三角形，已知角C， a, b,求边 c. 设 CB a, CA b , AB c
复习回顾
a b c 2 R 正弦定理： sin A sin B sin C
2 R sin A , b 2 R sin B , c 2 R sin C 变型： a a : b : c sin A : sin B : sin C
A B a b sin A sin B
2 2 2
A
c
一、已知三角形的两边及夹角求解三角形
例 1 、在 ABC 中，已知 b 3 , c 2 3 , A 30 , 求角 B 、 C 和边 a 的值
解：由余弦定理知， a b c 2bc cos A
2 2 2
C a
c
b
A
3 2 3 2 3 2 3 cos 30 3 B
思考1：
2 2
ห้องสมุดไป่ตู้
余弦定理
C b a B
2
已知三边,怎样求三个角呢？
a b c 2bc cos A 2 2 2 b a c 2ac cos B 2 2 2 c a b 2ab cos C
b c a 推论： cos A 2bc 2 2 2 a c b cos B 2ac 2 2 2 a b c cos C 2ab