直线与圆锥曲线位置关系(椭圆为例)

直线与圆锥曲线位置关系（椭圆为例）

【复习要点】直线与圆锥曲线问题常用知识点 1、两条直线111222:,:l y k x b l y k x b =+=+ 垂直：则12

1k k =-；

直线所在的向量1

20v v =

平行：斜率相等，截距不等。 2、韦达定理：若一元二次方程2

0(0)ax bx c a ++=≠有两个不同的根12,x x ，

则1212,b c x x x x a a

+=-

=。 3、中点坐标公式：

点1122(,)(,)A x y B x y ，的中点坐标M （x,y ）其中（1212

,y 22

x x y y x ++==，）。 4、弦长公式：

若点1122(,)(,)A x y B x y ，在直线(0)y kx b k =+≠上， 则1

122y kx b y kx b =+=+，，这是同点纵横坐标变换，是两大坐标变换技巧之一，

222222

1212121212()()()()(1)()AB x x y y x x kx kx k x x =-+-=-+-=+-221212(1)[()4]k x x x x =++-

或者

2222212121212122111()()()()(1)()AB x x y y x x y y y y k k k =-+-=-+-=+-2121221

(1)[()4]y y y y k

=++-。

【题型解析】直线和椭圆（圆锥曲线）常考题型 题型一：数形结合确定直线和圆锥曲线的位置关系

例题1、已知直线:1l y kx =+与椭圆22

:

14x y C m

+=始终有交点，求m 的取值范围 解：数形结合，直线恒过（0,1）点，即此点在椭圆内即可。 14m m ≤≠且。 题型二：弦的垂直平分线问题

例题2、过点T(-1,0)作直线l 与曲线N ：2

y

x =交于A 、B 两点，在x 轴上是否存在一点E(0x ,0)，

使得ABE ∆是等边三角形，若存在，求出0x ；若不存在，请说明理由。

解：依题意知，直线的斜率存在，且不等于0。

设直线:(1)l y k x =+，0k ≠，11(,)A x y ，22(,)B x y 。 由2

(1)y k x y x

=+⎧⎨

=⎩消y 整理，得2222

(21)0k x k x k +-+= ① 由直线和抛物线交于两点，得

2242(21)4410k k k ∆=--=-+>即2

1

04

k <<

② 由韦达定理，得：2122

21

,k x x k -+=-121x x =。 则线段AB 的中点为22211

(,)22k k k

--

。 线段的垂直平分线方程为：2

2

1112()22k y x k k k --=-- 令y=0,得021122x k =

-，则211

(,0)22

E k - ABE ∆为正三角形，

∴211(

,0)22E k -到直线AB 的距离d 为32

AB 。 2

2

1212()()AB x x y y =-+-22

2

141k k k -=

+ 2

12k d k

+=

22

2

2

3141122k k k k k

-+∴

+=

解得3913k =±

满足②式， 此时053

x =。 题型三：动弦过定点的问题

例题3、已知椭圆C ：22

221(0)x y a b a b

+=>>的离心率为32，且在x 轴上的顶点分别为

A 1(-2,0),A 2(2,0)。 （I ）求椭圆的方程；

（II ）若直线:(2)l x t t =>与x 轴交于点T,点P 为直线l 上异于点T 的任一点，直线PA 1,PA 2

分别与椭圆交于M 、N 点，试问直线MN 是否通过椭圆的焦点？并证明你的结论

解：（I ）由已知椭圆C 的离心率3

2

c e a ==，2a =, 则得3,1c b =

=。

从而椭圆的方程为2

214

x y += （II ）设11(,)M x y ，22(,)N x y ，直线1A M 的斜率为1k , 则直线1A M 的方程为

1(2)y k x =+，

由122

(2)44

y k x x y =+⎧⎨+=⎩消y 整理得222

121(14)161640k x k x k +++-= 12x -和是方程的两个根，

21121164214k x k -∴-=+ 则2

112

1

2814k x k -=+，1121414k y k =+， 即点M 的坐标为211

22

11

284(,)1414k k k k -++， 同理，设直线A 2N 的斜率为k 2，则得点N 的坐标为222

22

22

824(,)1414k k k k --++ 12(2),(2)p p y k t y k t =+=-

12122

k k k k t

-∴

=-+，

直线MN 的方程为：

121

121

y y y y x x x x --=--， ∴令y=0，得2112

12

x y x y x y y -=

-，