圆周率的近似计算

《圆周率的近似计算问题》

实验报告

实验项目：圆周率的近似计算问题

实验地点：三教机房实验室名称： 3105 学院：数学学院年级专业班：

学生姓名：学号：

完成时间： 2013/3/20

教师评语：

开课时间： 2012 至 2013 学年第 2 学期

圆周率的近似计算问题

1 问题重述

蒲丰是法国著名学者，于1977年提出了用随机投针试验求圆周率π的方法。该方法通过在平面上画有等距离为a 的一些平行直线，向平面上随机投掷一长为)(a l l <的针。设投针次数为n ，针与平行线相交次数为m ，通过求针与一平行线相交的概率p ，并结合计算机模拟，进而求出圆周率π近似值。

请结合蒲丰投针的方法另外设计一个随机试验，并通过该随机试验近似求解圆周率π的值。

2 模型的建立与求解

为了方便求解圆周率π，本文在直角坐标系下构造了一个半径1=r 的半圆，如图1所示：

图1

由上图可以看出，该半圆可以看成圆1)1(22=+-y x 的上半部分，故上述半圆可以表达为2)1(1--=x y 的形式。

本文的设计思路是在图1中矩形区域[0,2]×[0,1]上产生服从均匀分布的7

10=N 个随机点，并统计随机点落在半圆区域内的频数N ，则通过n 与N 的比值就可以近似求出圆周率π的值。

根据这个设计思路，结合计算机软件可以求出落在矩形区域[0,2]×[0,1]的随机点数为N ，落在半圆区域内的随机点数为n 。又因为

（1）矩形区域面积：21=S ；

（2）半圆区域面积：ππ2

1

2122==r S ；

所以π4112=S S 。又N n S S =12，故有N

n 4=π。

Matlab 软件编写的计算程序如附录所示，通过该程序计算生成的随机点，运行结果在3.1416附近,所以可以得出圆周率的近似计算，即1416.3≈π。

由于是随机模拟，所以每次的结果都是不一样的。

参考文献

[1] 司守奎，孙玺菁编著，数学建模算法与应用，北京：国防工业出版社，2013。

附录：

clc,clear N=10000000;

x=unifrnd(0,2,[1,N]); y=unifrnd(0,1,[1,N]); n1=sum(x<=2&y<=1);

n2=sum(y>=0&y<=sqrt(1-(x-1).^2)); pis=4*n2/n1