习题 第1章 水静力学
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P＝水g 0.255－油g 0.245＝218.05Pa
1-8 一容器内盛有密度为ρ =930kg/m3的液体，该容器长 L=1.5m，宽1.2m，液体深度h为0.9米。试计算下述情况下 液体作用于容器底部的总压力，并绘出容器侧壁及底部的 压强分布图？
（1）容器以等加速度9.8m/s2垂直向上运动； （2）容器以9.8m/s2的等加速度垂直向下运动。
0
2R2
2g
2H'
Z
即： 2gZ 2 9.8 0.3 48.5 rad / s
R
0.05
1-10 有一小车，内盛液体，车内纵横剖面均为矩 形，试证明当小车以等加速度a直线行驶后，液 面将成为与水平面相交成α角的倾斜面，导出α的
表达式以及静水压强的计算公式。若静止时原水 深为h，水箱高为H，长为L，问要使水不溢出水 箱，小车最大的加速度a为若干？
107.4kPa
（2）
Pc Pa gh
得 h Pc Pa 0.959m
g
1-2 盛有同种介质（容重 γA=γB=11.lkN／m3）的两容 器，其中心点A、B位于同一 高程，今用U形差压计测定A、 B点之压差（差压计内盛油， 容重γ0＝8.5kN／m3），A点 还装有一水银测压计。其它 有关数据如图题1-2所示。问：
解:
(h1)3当 0
AB 闸门上的压强分布图如AabB,
P 9.8 [1 (11.73)] 压力中心2 距闸底点B的距离
1.73 sin 60
3
109.66KN
1 1.73
e
3
sin 60
2 1.0 (1.0 1.73) 0.845 m 1.0 (1.0 1.73)
dp 0
integarating
z
pC
自由液面z z0, p 0
C 0
x
所以有：p 0,即液体失重。
故液体作用于容器底部的总压力等于零。
1-9 一圆柱形容器静止时盛水深度H=0.225m，筒深为 0.3m，内径D=0.1m，若把该圆筒绕中心轴作等角速度旋 转，试问：
（1）不使水溢出容器，最大角速度为多少？ （2）为不使容器中心露底，最大角速度为多少？
Pz rV1 rV2 862.4 9.8 三角形efg 1 862.4 9.8 0.5 3 6 1 950.6KN (竖直向下）
1-13 小型水电站前池
进入压力管道的进口
处装有一矩形平板闸 门，长L为1.8m，宽b 为2.5m，闸门重1860N， 倾角α为75°，闸门与 门槽之间摩擦系数f为 0.35，求启动闸门所需 的拉力？
（1）两种油的深度h1 及h2为多少？
（2）两测压管内油面 将上升至什么高度？
1－3解：
（1）由两种油的重量相同有
1gS1h1 2 gS2h2
即 1h1＝2h2
再由 h1 h2＝5m
解得 h1＝2.86m h2＝2.14m
（2）左侧测压管内油面与将上升至与油桶内轻油 油面等高，即油面与桶底的垂距喂5m
x0 z z
c p rz
p
r g
(ax
gz)
p
rz
p
r(z
z
a g
x)
故静水压强p p rh
1-11
1-12 如图示一混凝土重力坝，为了校核坝的稳定 性，试分别计算当下游有水和下游无水两种情况下， 作用于一米长坝体上水平方向的水压力及垂直水压 力。
1. A、B两点之压差为多少？
2. A、B两点中有无真空存 在，其值为多少？
1-2解：
（1） 由图知道A点喝B点得压差是由h1高度得两 种密度不同引起的，即密度差引起的
所以
PB PA (0 A )gh1
0.52kPa
（2）存在真空 由A点在的等压面知
对A点取矩
T ctg60 1.73 G
1 ctg60 1.73 2
1.73 P(sin 60
e)
拉T力 9.8 1 (2 0.845) .662 131.56KN 2
h(2)当 3
h2
1.73m 时, AB闸门上的压强分布如AacB,
P1
9.8 1
1－6解： 设当P1=P2时左边液面到交界面的垂距为h1，右
边液面到交界面的垂距为h2
得 水 gh1 油gh2
当交界面下降25cm后 因为粗细管面积比为50：1，当细管下降25cm时左
边粗管上升0.5cm，右边粗管下降0.5cm
得 水g（h1 0.255） P 油g（h2 0.245）
F2 sin G 1.7966KN
F拉 F2 （FP F1) f 142.897KN
1-14 一矩形平板闸门AB，门的转轴位于A端，已
知门宽3m，门重9800N（门厚均匀），闸门与水平面 夹角a为60°，hl为1.0m，h2为1.73m，若不计门轴 摩擦，在门的B端用铅垂方向钢索起吊。试求：（1） 当下游无水，即h3为0时启动闸门所需的拉力T；（2） 当下游有水，h3为h2时启动所需的拉力T。
自由液面z z0, p 0
C 2gz0
x
所以有：p 2g(z0 z) 2gh
而容器底面积A 1.51.2 1.8 m 2
容器底部的总压力P p A 2 930 9.8 0.91.8 29.53KN
方向向下
解： 2）容器以9.8m/s2的等加速度垂直向下运动时， ∵X=0，Y=0，Z=-g+a=0带入平衡微分方程有：
等压面的条件有哪些：在重力作用 下，同一连续液体的水平面时一个 等压面。
1-5 一密闭水箱（如图）系用橡皮管从C点连通容器II，并 在A，B两点各接一测压管，问： （1）AB两测压管中水位是否相同？如相同时，问AB两点 的压强是否相等？ （2）把容器II提高一些后，p0比原来值增大还是减小？两 测压管中水位变化如何？
Z0
H
1 2
2R2
2g
0.225
1 2
24.32 0.052 2 9.8
0.15 0
所以，当容器底部恰好露出水面，即Z0 0，
则容器已经溢出了一些水了。
显然，这时圆筒静止时的水深H' H,
又由旋转抛物面的特点可知：H'
1 2
Z
令Z0
H' 1 2R 2
2 2g
试求M点的压强？
PM 6m gh 5 gh
750.68KN / m2
1-6 一U形差压计如图题1-6
所示，下端为横截面积等 于a的玻璃管，顶端为横截 面积A=50a的圆筒，左支内 盛水(γw=9800N／m3)，右 支内盛油（γ0 =9310N／ m3），左右支顶端与欲测 压差处相接。当p1=p2时， 右支管内的油水交界面在xx水平面处，试计算右支管 内油水交界面下降25cm时， （p2-p1）为若干？
压力中D心D距水面h的距离D8((82hh
解:当下游无水时: 水平分力
Px rhC1 Ax1 9.813 261 3312.4KN (水平向右） 垂直分力 Pz rV1 9.8 梯形abcd 1 9.8 0.5 (26 18) 41 862.4KN (竖直向下）
当下游有水时 水平分力
Px rhC1 Ax1 rhc2 Ax2 3312.4 9.8 3 6 1 3316KN (水平向右z \ z） 垂直分离
1.73 sin 60
58.8KN
对A点取矩
T ctg60 1.73
9.8 1 ctg60 1.73 2
58.8
1 2
1.73 sin 60
则T拉力9.8 1 58.5 63.7KN 2
1-15 有—直立的矩形 自动翻板闸门，门高H 为3m，如果要求水面 超过门顶h为lm时，翻
1-16 在渠道侧壁上，开有圆形放水孔，放水孔直
径d为0.5m，孔顶至水面的深度h为2m，试求放水孔 闸门上的水压力及作用点位置。
解: P rhC A
闸门上的静水总压力
9.8 (h d ) d 2
24
9.8 (2 0.25) 3.14 0.52 4
4.33KN
解：（1）当容器旋转时，边壁最高点水深比静止液面高 1 2R 2 ;
2 2g
中心最低点比静止液面低 1 2R 2 ，所以有：
2 2g
0.3 0.225 1 2R2 2D2
2 2g 16g
1 16 0.075g 34.3rad / s
D
（2）当 34.3rad / s 时，
荷载G作用在AB液面上
得
PA
PB
F S
G ＝7.8355KPa S
C点和D点的压强相等 由巴斯加原理有：
PC PD
PA gh
27.439KN / m2
1-5 今采用三组串联的U形水银测压计测量高压水 管中压强，测压计顶端盛水。当M点压强等于大 气压强时，各支水银面均位于0-0水平面上。今从 最末一组测压计右支测得水银面在0-0平面以上的 读数为h。
解：1）容器以等加速度9.8m/s2垂直向上运动时，液体所 受到的质量力为重力和惯性力；取如图所示的坐标系， 则单位质量力为：X=0，Y=0，Z=-g-a=2g带入平衡微分 方程有：
dp (Xdx Ydy Zdz)
2gdz
z
integarating
p 2gz C
1－13解：
设水体作用在闸门上的静水压力为FP
FP＝b
h1 10 Lsin 8.2613m
h2 10m
1 2
(
gh1
gh2
)
161.065m2
FP＝b 402.662KN
设闸门重力分为对斜面的压力F1和沿斜面向下的 力F2
F1 cos G 0.4814KN
第一章思考题解答
1-2 试分析图中压强分布图错在哪里？
gH2 M
gH2 M
1-4 图示一密闭水箱，试分析水平面A-A，B-B，C-C是否 皆为等压面？何为等压面？等压面的条件有哪些？
答：A-A是等压面，B-B和C-C不是 等压面。
等压面：在静止液体中，压强相等 的各点连接成的面。
设右侧测压管内油面与桶底的垂距为h，则
1gh1 2 gh2＝ gh
h＝ 1gh1 2 gh2 ＝4.28m g
1-4 在盛满水的容器 盖上，加上6154N的 荷载G（包括盖重）， 若盖与容器侧壁完全 密合，
试求A、B、C、D各 点的相对静水压强 （尺寸见图）。
1－4解：
解：
作用在液体质点上的单位质量力有重力和惯性力， 其合力为f , 且液面为等压面，所以f 必与倾斜的 液面垂直，因此有：
tg
a g
(H L
h)
根据液体平衡微分方程
dp ( XdxYdy Zdz) (adx gdz)
r g
(adx
gdz)
边界条件p p
1-1 图示为一密闭容
器，两侧各装一测压
管，右管上端封闭，
其中水面高出容器水 面3m，管内液面压强 p0为78000Pa；左管与 大气相通。求：（1） 容器内液面压强pc； （2）左侧管内水面距 容器液面高度h？
1-1解：
（1） 通过容器自由表面的水平面位等压面
故
Pc P0 gh
PA Ags m gh
5.89KN / m2
PAK 5.89KN / m2
PBK PAK 0.52 5.37KPa
1-3 图示一圆柱形油 桶，内装轻油及重油。 轻油容重γ1为6.5kN／ m3，
重油容重γ2为8.7kN／ m3，当两种油重量相 等时，求：
板闸门即可自动打开，
若忽略门轴摩擦的影 响，问该门转动轴0-0 应放在什么位置？
1－15解：作用在闸门上的总压力P若作用在转动 轴0－0上，闸门不会翻转，若水位增高，总压力 增大，作用点将提高，这样翻转门就会自动打开， 所以求出作用点距闸底的距离，即为0－0转轴应 放的位置
e L(2h1 h2 ) 1.2m 3(h1 h2 )
1-8 一容器内盛有密度为ρ =930kg/m3的液体，该容器长 L=1.5m，宽1.2m，液体深度h为0.9米。试计算下述情况下 液体作用于容器底部的总压力，并绘出容器侧壁及底部的 压强分布图？
（1）容器以等加速度9.8m/s2垂直向上运动； （2）容器以9.8m/s2的等加速度垂直向下运动。
0
2R2
2g
2H'
Z
即： 2gZ 2 9.8 0.3 48.5 rad / s
R
0.05
1-10 有一小车，内盛液体，车内纵横剖面均为矩 形，试证明当小车以等加速度a直线行驶后，液 面将成为与水平面相交成α角的倾斜面，导出α的
表达式以及静水压强的计算公式。若静止时原水 深为h，水箱高为H，长为L，问要使水不溢出水 箱，小车最大的加速度a为若干？
107.4kPa
（2）
Pc Pa gh
得 h Pc Pa 0.959m
g
1-2 盛有同种介质（容重 γA=γB=11.lkN／m3）的两容 器，其中心点A、B位于同一 高程，今用U形差压计测定A、 B点之压差（差压计内盛油， 容重γ0＝8.5kN／m3），A点 还装有一水银测压计。其它 有关数据如图题1-2所示。问：
解:
(h1)3当 0
AB 闸门上的压强分布图如AabB,
P 9.8 [1 (11.73)] 压力中心2 距闸底点B的距离
1.73 sin 60
3
109.66KN
1 1.73
e
3
sin 60
2 1.0 (1.0 1.73) 0.845 m 1.0 (1.0 1.73)
dp 0
integarating
z
pC
自由液面z z0, p 0
C 0
x
所以有：p 0,即液体失重。
故液体作用于容器底部的总压力等于零。
1-9 一圆柱形容器静止时盛水深度H=0.225m，筒深为 0.3m，内径D=0.1m，若把该圆筒绕中心轴作等角速度旋 转，试问：
（1）不使水溢出容器，最大角速度为多少？ （2）为不使容器中心露底，最大角速度为多少？
Pz rV1 rV2 862.4 9.8 三角形efg 1 862.4 9.8 0.5 3 6 1 950.6KN (竖直向下）
1-13 小型水电站前池
进入压力管道的进口
处装有一矩形平板闸 门，长L为1.8m，宽b 为2.5m，闸门重1860N， 倾角α为75°，闸门与 门槽之间摩擦系数f为 0.35，求启动闸门所需 的拉力？
（1）两种油的深度h1 及h2为多少？
（2）两测压管内油面 将上升至什么高度？
1－3解：
（1）由两种油的重量相同有
1gS1h1 2 gS2h2
即 1h1＝2h2
再由 h1 h2＝5m
解得 h1＝2.86m h2＝2.14m
（2）左侧测压管内油面与将上升至与油桶内轻油 油面等高，即油面与桶底的垂距喂5m
x0 z z
c p rz
p
r g
(ax
gz)
p
rz
p
r(z
z
a g
x)
故静水压强p p rh
1-11
1-12 如图示一混凝土重力坝，为了校核坝的稳定 性，试分别计算当下游有水和下游无水两种情况下， 作用于一米长坝体上水平方向的水压力及垂直水压 力。
1. A、B两点之压差为多少？
2. A、B两点中有无真空存 在，其值为多少？
1-2解：
（1） 由图知道A点喝B点得压差是由h1高度得两 种密度不同引起的，即密度差引起的
所以
PB PA (0 A )gh1
0.52kPa
（2）存在真空 由A点在的等压面知
对A点取矩
T ctg60 1.73 G
1 ctg60 1.73 2
1.73 P(sin 60
e)
拉T力 9.8 1 (2 0.845) .662 131.56KN 2
h(2)当 3
h2
1.73m 时, AB闸门上的压强分布如AacB,
P1
9.8 1
1－6解： 设当P1=P2时左边液面到交界面的垂距为h1，右
边液面到交界面的垂距为h2
得 水 gh1 油gh2
当交界面下降25cm后 因为粗细管面积比为50：1，当细管下降25cm时左
边粗管上升0.5cm，右边粗管下降0.5cm
得 水g（h1 0.255） P 油g（h2 0.245）
F2 sin G 1.7966KN
F拉 F2 （FP F1) f 142.897KN
1-14 一矩形平板闸门AB，门的转轴位于A端，已
知门宽3m，门重9800N（门厚均匀），闸门与水平面 夹角a为60°，hl为1.0m，h2为1.73m，若不计门轴 摩擦，在门的B端用铅垂方向钢索起吊。试求：（1） 当下游无水，即h3为0时启动闸门所需的拉力T；（2） 当下游有水，h3为h2时启动所需的拉力T。
自由液面z z0, p 0
C 2gz0
x
所以有：p 2g(z0 z) 2gh
而容器底面积A 1.51.2 1.8 m 2
容器底部的总压力P p A 2 930 9.8 0.91.8 29.53KN
方向向下
解： 2）容器以9.8m/s2的等加速度垂直向下运动时， ∵X=0，Y=0，Z=-g+a=0带入平衡微分方程有：
等压面的条件有哪些：在重力作用 下，同一连续液体的水平面时一个 等压面。
1-5 一密闭水箱（如图）系用橡皮管从C点连通容器II，并 在A，B两点各接一测压管，问： （1）AB两测压管中水位是否相同？如相同时，问AB两点 的压强是否相等？ （2）把容器II提高一些后，p0比原来值增大还是减小？两 测压管中水位变化如何？
Z0
H
1 2
2R2
2g
0.225
1 2
24.32 0.052 2 9.8
0.15 0
所以，当容器底部恰好露出水面，即Z0 0，
则容器已经溢出了一些水了。
显然，这时圆筒静止时的水深H' H,
又由旋转抛物面的特点可知：H'
1 2
Z
令Z0
H' 1 2R 2
2 2g
试求M点的压强？
PM 6m gh 5 gh
750.68KN / m2
1-6 一U形差压计如图题1-6
所示，下端为横截面积等 于a的玻璃管，顶端为横截 面积A=50a的圆筒，左支内 盛水(γw=9800N／m3)，右 支内盛油（γ0 =9310N／ m3），左右支顶端与欲测 压差处相接。当p1=p2时， 右支管内的油水交界面在xx水平面处，试计算右支管 内油水交界面下降25cm时， （p2-p1）为若干？
压力中D心D距水面h的距离D8((82hh
解:当下游无水时: 水平分力
Px rhC1 Ax1 9.813 261 3312.4KN (水平向右） 垂直分力 Pz rV1 9.8 梯形abcd 1 9.8 0.5 (26 18) 41 862.4KN (竖直向下）
当下游有水时 水平分力
Px rhC1 Ax1 rhc2 Ax2 3312.4 9.8 3 6 1 3316KN (水平向右z \ z） 垂直分离
1.73 sin 60
58.8KN
对A点取矩
T ctg60 1.73
9.8 1 ctg60 1.73 2
58.8
1 2
1.73 sin 60
则T拉力9.8 1 58.5 63.7KN 2
1-15 有—直立的矩形 自动翻板闸门，门高H 为3m，如果要求水面 超过门顶h为lm时，翻
1-16 在渠道侧壁上，开有圆形放水孔，放水孔直
径d为0.5m，孔顶至水面的深度h为2m，试求放水孔 闸门上的水压力及作用点位置。
解: P rhC A
闸门上的静水总压力
9.8 (h d ) d 2
24
9.8 (2 0.25) 3.14 0.52 4
4.33KN
解：（1）当容器旋转时，边壁最高点水深比静止液面高 1 2R 2 ;
2 2g
中心最低点比静止液面低 1 2R 2 ，所以有：
2 2g
0.3 0.225 1 2R2 2D2
2 2g 16g
1 16 0.075g 34.3rad / s
D
（2）当 34.3rad / s 时，
荷载G作用在AB液面上
得
PA
PB
F S
G ＝7.8355KPa S
C点和D点的压强相等 由巴斯加原理有：
PC PD
PA gh
27.439KN / m2
1-5 今采用三组串联的U形水银测压计测量高压水 管中压强，测压计顶端盛水。当M点压强等于大 气压强时，各支水银面均位于0-0水平面上。今从 最末一组测压计右支测得水银面在0-0平面以上的 读数为h。
解：1）容器以等加速度9.8m/s2垂直向上运动时，液体所 受到的质量力为重力和惯性力；取如图所示的坐标系， 则单位质量力为：X=0，Y=0，Z=-g-a=2g带入平衡微分 方程有：
dp (Xdx Ydy Zdz)
2gdz
z
integarating
p 2gz C
1－13解：
设水体作用在闸门上的静水压力为FP
FP＝b
h1 10 Lsin 8.2613m
h2 10m
1 2
(
gh1
gh2
)
161.065m2
FP＝b 402.662KN
设闸门重力分为对斜面的压力F1和沿斜面向下的 力F2
F1 cos G 0.4814KN
第一章思考题解答
1-2 试分析图中压强分布图错在哪里？
gH2 M
gH2 M
1-4 图示一密闭水箱，试分析水平面A-A，B-B，C-C是否 皆为等压面？何为等压面？等压面的条件有哪些？
答：A-A是等压面，B-B和C-C不是 等压面。
等压面：在静止液体中，压强相等 的各点连接成的面。
设右侧测压管内油面与桶底的垂距为h，则
1gh1 2 gh2＝ gh
h＝ 1gh1 2 gh2 ＝4.28m g
1-4 在盛满水的容器 盖上，加上6154N的 荷载G（包括盖重）， 若盖与容器侧壁完全 密合，
试求A、B、C、D各 点的相对静水压强 （尺寸见图）。
1－4解：
解：
作用在液体质点上的单位质量力有重力和惯性力， 其合力为f , 且液面为等压面，所以f 必与倾斜的 液面垂直，因此有：
tg
a g
(H L
h)
根据液体平衡微分方程
dp ( XdxYdy Zdz) (adx gdz)
r g
(adx
gdz)
边界条件p p
1-1 图示为一密闭容
器，两侧各装一测压
管，右管上端封闭，
其中水面高出容器水 面3m，管内液面压强 p0为78000Pa；左管与 大气相通。求：（1） 容器内液面压强pc； （2）左侧管内水面距 容器液面高度h？
1-1解：
（1） 通过容器自由表面的水平面位等压面
故
Pc P0 gh
PA Ags m gh
5.89KN / m2
PAK 5.89KN / m2
PBK PAK 0.52 5.37KPa
1-3 图示一圆柱形油 桶，内装轻油及重油。 轻油容重γ1为6.5kN／ m3，
重油容重γ2为8.7kN／ m3，当两种油重量相 等时，求：
板闸门即可自动打开，
若忽略门轴摩擦的影 响，问该门转动轴0-0 应放在什么位置？
1－15解：作用在闸门上的总压力P若作用在转动 轴0－0上，闸门不会翻转，若水位增高，总压力 增大，作用点将提高，这样翻转门就会自动打开， 所以求出作用点距闸底的距离，即为0－0转轴应 放的位置
e L(2h1 h2 ) 1.2m 3(h1 h2 )