(完整版)梁的内力计算
主梁内力计算
主梁的内力计算主梁的内力计算包括恒载内力计算和活载内力计算。
根据上述梁跨结构纵、横截面的布置，计算活载作用下的梁桥荷载横向分布系数，求出各主梁控制截面（取跨中、四分点、变化点截面及支点截面）的恒载和最大活载内力，然后再进行主梁内力组合。
一、恒载内力计算1、恒载集度⑴预制梁自重（第一期恒载）①．跨中截面段主梁自重（四分点截面至跨中截面，长7.25m ）(1)0.861625.07.25156.165g KN =⨯⨯=②．马蹄抬高与腹板变宽段梁的自重近似计算（长3.7m ） 主梁端部截面面积为A=1.176m 2()(2) 1.17600.8616 3.725.0/294.239g KN =+⨯⨯=③．支点段梁的自重（长3.55m ）(3) 1.1760 3.5525.0=104.37g KN =⨯⨯④．横隔梁的自重 中横隔梁体积为：()30.16 1.590.920.240.72/20.120.12/20.219072m ⨯⨯-⨯-⨯= 端横隔梁体积为：()30.25 1.840.80.20.6/20.353m ⨯⨯-⨯=故半跨内横隔梁重量()(4)20.21907210.3532519.7786g KN =⨯+⨯⨯=⑤．主梁永久作用集度()156.16594.239104.3719.7786/14.9825.00/g KN m KN m I =+++= （2）第二期恒载①翼缘板中间湿接缝集度()50.40.1625.0 1.6/g KN m =⨯⨯=②现浇部分横隔梁一片中横隔梁（现浇部分）体积：30.16 1.590.20.05088m ⨯⨯= 一片端横隔梁（现浇部分）体积：30.250.2 1.840.092m ⨯⨯= 故()()630.0508820.09225.0/29.960.2809/g KN m =⨯+⨯⨯=③桥面铺装层6cm 沥青混凝土铺装：0.0612.52317.25/KN m ⨯⨯=将桥面铺装重量均分给五片主梁，则()717.25/5 3.45/g KN m ==④防撞栏：两侧防撞栏均分给五片主梁，则()87.52/53/g KN m =⨯=⑤主梁二期永久作用集度II 1.60.2809 3.4538.3309/g KN m =+++=2、永久作用效用：下面进行永久作用效用计算（参照图1-4），设c 为计算截面至左侧支座的距离，并令/a c l =。
静定结构的内力计算图文
30 30
4m
4m
4m
4m
12kN
12kN 12kN
M 图（kN·m）
9kN
9kN
2kN/m
7kN
5kN
9kN
4.5kN
7.5kN
39
第40页/共76页
作业
习题3-5、3-6、3-9 习题3-10、3-12
40
第41页/共76页
§3-3 三铰拱
41
第42页/共76页
一、 概述
1、定义：
通常杆轴线为曲线，在竖向荷载作用下，支座产生水平反力的结构。
AC段受力图：
q
MC
t
C
FNC
FQC
n
x
FAY
FAYSinα
（2）求内力方程：
MC = 0 Ft = 0 Fn= 0
M = 1 qlx 1 qx2 (0 x l) 22
FN
=
q(1 l 2
x) sin
(0 x l)
FQ
=
q(1 2
l
x) cos
(0 x l)
FAYcosα
FAY
M中 =162 / 8 6.23/ 2 =1.385kN.m(下拉)
弯矩图见下图。
1kN/m
6.23 D
C 1.385
6.23 E
1.385kN A
4.5kN
M 图(kN.m)
B 1.385kN
1. 5kN
38
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例：主从刚架弯矩图。
12kN
2kN/m
36 36
6m
12 42 30
F
F
曲梁
拱
f / l : 高跨比（1～1/10）
主梁内力计算
二、 主梁内力计算[1][2][3][4][5]1．恒载集度（1）主梁：10.080.14[0.20 1.5()(2.00.2)]2512.45/2g KN m +=⨯+⨯-⨯= （2）横隔梁 对于边主梁：20.080.1420.20.150.16[(1.3)()525]/21.50.965/222g KN m +-+⎛⎫=-⨯⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭对于中主梁：'220.965 1.93/g KN m =⨯=（3）桥面铺装层：30.05 2.1210.08 2.123 6.069/g KN m =⨯⨯+⨯⨯=（4）栏杆和人行道：4 4.52/5 1.8/g KN m =⨯= 作用于边主梁的全部恒载强度：12.450.965 6.069 1.821.284/i g g KN m ==+++=∑作用于中主梁的全部恒载强度：12.03 2.27 6.069 1.822.245/i g g KN m ==+++=∑2．恒载内力的计算边跨弯矩剪力影响线1#及5#梁内力（边跨）跨中弯矩 21121.521.521.2841115.4152424l l M l g KN m =⨯⋅⨯=⨯⨯⨯=⋅ 跨中剪力 20l V =支点剪力 01121.521.284228.2032Q KN =⨯⨯⨯= 1/4跨处弯矩： 131321.521.521.284922.362216216M l l g KN m =⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=⋅ 1/4跨处剪力：/4131121.50.7521.28421.50.2521.284114.4022424l Q KN =⨯⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯=2#、3＃及4#梁内力（中间跨） 跨中弯矩 2121.50.521.522.2451285.344244l l M l g KN m =⨯⨯⨯=⨯⨯⨯= 跨中剪力 20l V =支点剪力 01121.522.245239.1342Q KN =⨯⨯⨯= 1/4跨处弯矩： '131321.521.522.245964.008216216M l l g KN m =⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=⋅ 1/4跨处剪力：/4131121.50.7520.38521.50.2522.245119.5672424l Q KN =⨯⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯=3．活载内力1 . 汽车荷载冲击系数主梁横截面图结构跨中处的单位长度量：321.284102169.623/9.81c G m kg m g ⨯===主梁截面形心到T 梁上缘的距离：(11*(200-20)*(11/2)+(150*20)*(150*(1/2)47.40.47411*(200-20)+150*20y cm m ===跨中截面惯性矩：323274*********(20020)11(20020)11(47.4)2015020150(47.4)1221221.14100.11410c I cm m =⨯-⨯+-⨯⨯-+⨯⨯+⨯⨯-=⨯=⨯查表 E 取102.810a p ⨯10223.142.8100.1144.122221.52169.623c c EI f Hz l m π⨯⨯===⨯1.514Hz f Hz ≤≤0.1767ln 0.01570.1767ln 4.120.01570.234f μ=-=⨯-= 所以冲击系数：110.234 1.234μ+=+=2. 汽车荷载作用公路—Ⅰ级均布荷载 10.5/k q KN m =对于集中荷载，当5l ≤时，180/k P KN m =；当50l ≥时，360/k P KN m = 当550l <<时，采用内插法 公路—Ⅱ为公路—Ⅰ级的0.75倍 则0.7510.57.875/k q KN m =⨯= ()21.550.75180360180184.5505k P KN -⎡⎤=⨯+⨯-=⎢⎥-⎣⎦当计算剪力时候 184.5 1.2221.4k PKN =⨯= 计算车道荷载的跨中弯矩、剪力的计算对于双车道，折减系数 1.0ξ= 跨中弯矩影响线如下图3. 跨中弯矩的设计，21121.521.557.782424l l m Ω=⨯⨯=⨯⨯=由于跨中弯矩横向分布系数1＃、5＃梁最大，所以只需计算1＃、5＃梁的弯矩，计算如下： 对于1#梁车道均布荷载作用下(1)1,2Mm q cq l kq kμξ=+Ω1.23410.667.87557.78370.584KN m =⨯⨯⨯⨯=⋅ 车道集中荷载作用下1,2(1)kcq lk k P M m P y μξ=+21.51.23410.66184.5807.6704KN m =⨯⨯⨯⨯=⋅ 则,,222370.584807.6701178.254kkl llq P M M M KN m =+=+=⋅跨中人群荷载最大弯矩人群荷载集度313or P KN =⨯=1,20.675357.78117.004l cr or rM m P KN m =Ω=⨯⨯=⋅对于2#和4#梁计算公路—Ⅱ级汽车活载的跨中弯矩：121,22(1)(1)k k Q k cq cq MmP y m q kμξμξ+=++Ω21.51.23410.53184.5 1.23410.537.87557.78946.1744KN m =⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯=⋅ 计算人群荷载的跨中弯矩：人群荷载集度： 313or P KN =⨯=122,20.4375357.7875.836cr or Q k Mm P KN m =Ω=⨯⨯=⋅对于3#梁计算公路—Ⅱ级汽车活载的跨中弯矩：12,233(1)(1)Q k k k cq cq MmP y mq kμξμξ+=++Ω21.51.23410.4184.5 1.23410.47.87557.78714.0944KN m =⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯=⋅ 计算人群荷载的跨中弯矩：人群荷载集度： 313or P KN =⨯=132,20.4357.7869.336cr or Q k Mm P KN m =Ω=⨯⨯=⋅4. 跨中剪力的计算 跨中剪力影响线如下图：21121.51 2.687522222l m Ω=⨯=⨯⨯=对于1＃和5#梁计算公路—Ⅱ级汽车活载的跨中剪力：1,011(1)(1)1.23410.66221.40.5 1.23410.667.875 2.6875107.395Q k cq k k cq k Q m P y m q KNμξμξ=+++Ω=⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯=计算人群荷载的跨中剪力：12,20.6753 2.6875 5.442lcr or Q k Qm P KN =Ω=⨯⨯=对于2＃和4#梁计算公路—Ⅱ级汽车活载的跨中剪力：1,022(1)(1)1.23410.53221.40.5 1.23410.537.875 2.687586.242Q k cq k k cq k Q m P y m q KNμξμξ=+++Ω=⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯=计算人群荷载的跨中剪力：22,20.43753 2.6875 3.528l cr or Q k Qm P KN =Ω=⨯⨯=对于3#梁计算公路—Ⅱ级汽车活载的跨中剪力：1,033(1)(1)1.23410.4221.40.5 1.23410.47.875 2.687565.088Q k cq k k cq k Q m P y m q KNμξμξ=+++Ω=⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯=计算人群荷载的跨中剪力：32,20.43 2.6875 3.225l cr or Q k Qm P KN =Ω=⨯⨯=5. 支点截面剪力的计算 剪力影响线如下图所示：211121.510.7522l m Ω=⨯⨯=⨯=横向分布系数变化区段的长度21.55.35 5.42a m =-= 对于1＃和5#梁附加三角形重心影响线坐标 ： 1121.5 5.4/21.50.9163y ⎛⎫=⨯-⨯= ⎪⎝⎭0.083y '=()11111,0(1) 5.41.23410.66221.41 1.23410.667.87510.75 1.2341(0.43750.66)7.875(0.9160.083)2244.376(1)(1)2cq k cq oq cq Q k k k k m q KNaQ m P y m m q yμξμξμξ++Ω+=⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯-⨯⨯+==++- 计算人群荷载的支点剪力：()1112,02or or cr or cr Q k aQ m P m m P y =⋅⋅Ω+⋅-⋅⋅()5.40.675310.75 1.3750.6753(0.9160.083)27.4392KN =⨯⨯+⨯-⨯⨯+= 对于2＃和4#梁计算公路—Ⅱ级汽车活载的支点剪力（如下图所示）：()22221,0(1) 5.41.2341.53221.41 1.23410.537.87510.75 1.2341(0.71250.53)7.875(0.9160.083)2204.951(1)(1)2cq k cq oq cq Q k k k k m q KNaQ m P y m m q yμξμξμξ++Ω+=⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯-⨯⨯+==++- 计算人群荷载的支点剪力： ()2222,02or or cr or cr Q k aQ m P m m P y =⋅⋅Ω+⋅-⋅⋅()5.40.4375310.7500.43753(0.9160.083)10.5652KN =⨯⨯+⨯-⨯⨯+= 对于3#梁计算公路—Ⅰ级汽车活载的支点剪力（如下图所示）：()33331,0(1) 5.41.23410.4221.41 1.23410.47.87510.75 1.2341(0.7250.4)7.875(0.9160.083)2159.588(1)(1)2cq k oq oq cq Q k k k k m q KNa Q m P y m m q yμξμξμξ++Ω+=⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯-⨯⨯+==++- 计算人群荷载的支点剪力：()3332,02or or cr or cr Q k aQ m P m m P y =⋅⋅Ω+⋅-⋅⋅()5.40.4310.7500.43(0.9160.083)9.9322KN =⨯⨯+⨯-⨯⨯+= 6. 1/4跨弯矩的计算 1/4跨弯矩的影响线如下图2131321.521.543.336216216l l m ⨯Ω=⨯⨯=⨯⨯=对于1#和5#梁计算公路—Ⅰ级汽车活载的1/4跨弯矩：141,11(1)(1)k k Q k cq cq MmP y mq kμξμξ+=++Ω1.23410.66184.5 4.031 1.3410.667.87543.336883.660KN m =⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯=⋅计算人群荷载的跨中弯矩：人群荷载集度： 313or P KN =⨯=112,40.675343.33687.756cr or Q k Mm P KN m =Ω=⨯⨯=⋅对于2#和4#梁计算公路—Ⅰ级汽车活载的1/4跨弯矩： 141,22(1)(1)k k Q k cq cq MmP y mq kμξμξ+=++Ω1.23410.53184.5 4.031 1.23410.537.87543.336709.605KN m =⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯=⋅ 计算人群荷载的跨中弯矩：人群荷载集度： 313or P KN =⨯= 122,40.4375343.33656.879cr or Q k M m P KN m =Ω=⨯⨯=⋅对于3#梁计算公路—Ⅰ级汽车活载的1/4跨弯矩：141,33(1)(1)k k Q k cq cq MmP y mq kμξμξ+=++Ω1.23410.4184.5 4.031 1.23410.47.87543.336535.551KN m =⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯=⋅计算人群荷载的跨中弯矩：人群荷载集度： 313or P KN =⨯= 122,40.4343.33652.003cr or Q k M m P KN m =Ω=⨯⨯=⋅7. 1/4跨剪力的计算 1/4跨剪力影响线如下图：公路-II级Q1/4影响线人群荷载Q1/4影响线187.5KN10.5.5KN/m3KN/m2131321.50.750.75 6.0472422l m ⨯Ω=⨯⨯=⨯⨯=对于1＃和5#梁 计算公路—Ⅰ级汽车活载的1/4跨剪力：1,011(1)(1)1.23410.66221.40.75 1.23410.667.875 6.047174.021Q k cq k k cq k Q m P y m q KNμξμξ=+++Ω=⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯=计算人群荷载的跨中剪力：12,20.6753 6.04712.245lcr or Q k Q m P KN =Ω=⨯⨯=对于2＃和4#梁计算公路—Ⅰ级汽车活载的1/4跨剪力：1,022(1)(1)1.23410.53221.40.75 1.23410.537.875 6.047139.745Q k cq k k cq k Q m P y m q KNμξμξ=+++Ω=⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯=计算人群荷载的跨中剪力：22,20.43753 6.0477.933l cr or Q k Q m P KN =Ω=⨯⨯=对于3#梁计算公路—Ⅰ级汽车活载的跨中剪力：1,033(1)(1)1.23410.4221.40.75 1.23410.47.875 6.047105.468Q k cq k k cq k Q m P y m q KNμξμξ=+++Ω=⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯=计算人群荷载的跨中剪力：32,20.43 6.0477.253l cr or Q k Q m P KN =Ω=⨯⨯=8. 荷载组合1112()nno ud o Gi Gik Q q k c Qj QJK i j r s r r s r s r s φ===++∑∑其中 1.2Gir =，1 1.4Q r =， 1.4Qj r =， 1.0o r =，0.8c φ=跨中弯矩组合：梁＃ 恒载（KN/m ）活载（KN/m ）组合值（KN/m ）汽车人群 1、5 1229.816 1178.254 117.004 3256.379 2、4 1285.344 946.174 75.836 2951.993 31285.344707.15069.6332610.412 跨中剪力组合：梁＃ 恒载（KN/m ）活载（KN/m ）组合值（KN/m ）汽车人群 1、5 0 107.395 5.442 156.448 2、4 0 86.242 3.528 124.6902 365.0883.22594.7352 支点剪力组合：梁＃ 恒载（KN/m ）活载（KN/m ）组合值（KN/m ）汽车人群 1、5 228.203 244.376 27.439 646.7017 2、4 239.134 204.951 10.565 585.725 3239.134159.5889.932521.5078 1/4跨弯矩组合：梁＃ 恒载（KN/m ）活载（KN/m ）组合值（KN/m ）汽车人群 1、5 922.362 883.660 87.756 2442.245 2、4 964.008 709.605 56.879 2213.961 3964.008535.55152.0021964.823 1/4跨剪力组合：梁＃ 恒载（KN/m ）活载（KN/m ）组合值（KN/m ）汽车人群 1、5 114.402 174.21 12.245 394.8908 2、4 119.567 139.754 7.933 348.021 3119.567105.4687.253299.259。
梁的计算简图3
1、悬臂梁：梁的一端自由， 另一端是固定支座。
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第 1 节 梁的计算简图
2、简支梁：梁的支座一端 是固定铰支座，另一端 是活动铰支座。
第五章 梁弯曲时内力
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第 1 节 梁的计算简图
3、外伸梁：梁的支座与 简支梁相同，只是梁 的一端或两端伸出在 支座之外。
第五章 梁弯曲时内力
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第 1 节 梁的计算简图
通用机床都具有较宽的工艺范围；数控机床的工艺范 围比传统通用机床更宽，使其具有良好的柔性；专用机 床和专门化机床则应合理地缩小工艺范围。
第 1 节 Leabharlann 的计算简图第五章 梁弯曲时内力
2.柔 性
机床的柔性，是指其适应加工对象变化的能力，包括 空间上的柔性和时间上的柔性。
所谓空间柔性也就是功能柔性。包括机床的通用性和同 一时期的机床重构能力；例如：对加工控制软件进行调 整或修改，适应多种零件的加工要求。
加工精度 指加工后零件对理想尺寸、形状、位置的符 合程度。影响加工精度的因素很多，与机床本身的几何 精度、传动精度、运动精度、定位精度和低速平稳性、 动态刚度、热变形等有关。
第 1 节 梁的计算简图
第五章 梁弯曲时内力
5.生产率和自动化程度
生产率是指在单位时间内机床加工合格产品的数量。要提 高生产率，必须缩短单个零件的加工时间、装卸时间和分 摊的准备终了时间。
2.2.3 抗振性
指抵抗受迫振动的能力（即抗振性）和抵抗自激 振动的能力（即切削稳定性）。
1、受迫振动 2、自激振动
3、影响机床振动的因素：
（１）机床的静刚度 （２）机床的阻尼特征 （３）机床系统的固有频率
第 1 节 梁的计算简图
第五章 梁弯曲时内力
三角形荷载双向板肋的梁内力计算2(当0.50≤b除a≤1.25时)
AB肋梁内力计算：参照《水池结构设计指南》
内力公式 标准值 单位 14.73 kN/m 14.73 kN -20.03 kN.m 12.96 kN.mq 来自 0.045b q a
2
qb3 RA RB 0.0075 a
qb4 M A M B 0.0017 a
qb4 M max 0.0011 a
设计值（分项系数1.27见《水池结构设计指南》） 62.35 86.59 77.99
194.01 -238.76 3.00 135.23
设计值（分项系数1.27见《水池结构设计指南》） 62.35
86.59
98.16
154.44
-144.74
-166.92
92.97
BC肋梁内力计算：
内力公式 标准值 单位 49.09 kN/m 68.18 kN/m 61.41 kN
q1' 0.15
b q a
2
1 b ' q2 ( )qb 2 4a
RB 1qa2
RC 2qa2
M C 3qa3
y 4a
152.76 kN -188.00 kN.m 2.36 m 106.48 kN.m
77.29 kN
121.61 kN
-113.97 kN.m
-131.44 kN.m
M 0 10 qa3
73.21 kN.m
池壁高度方向尺寸 池壁宽度方向尺寸 当0.50≤b/a≤1.25时，采用设计手册表3.2.2-3
三角形荷载标准值 第二版）表3.2.2-3
构设计指南》
设计值（分项系数1.27见《水池结构设计指南》） 18.70 18.70 -25.44 16.46
结构力学第3章静定梁的内力计算
精品课件
简支梁在两支座端有外力偶作 用时，梁两端截面有等于该端 力偶的弯矩，无外力偶在端部 作用时端部截面的弯矩为零。 所以简支梁两端支座处的弯矩 值竖标可直接绘出。
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注意：
❖ 图的叠加是弯矩竖标的叠加，而 不是图形的简单叠加。 ❖ 每叠加一个弯矩图，都以紧前一 次弯矩图外包线为新基线，并由此 基线为所叠加的弯矩图的拉压分界 线。见图3-1-6。
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❖ 又由于区段AB两端的轴力在 弯曲小变形的假设下对弯矩不 产生影响
❖ 所以从弯矩图的角度说， (a)右、(b)右两受力图是相 同的。
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区段AB的弯矩图可以利用与简支 梁相同的叠加法制作。其步骤相 类似：
➢ 求出直杆区段两端的弯矩值， 在杆轴原始基线相应位置上画出 竖标，并将两端弯矩竖标连直线。
1)求支座反力
去掉支座约束，以整体为隔离 体，由静力平衡条件得
MB 0
MA 0
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F A y 7 1(1 4 4376)3k0N m(↑)
F B y7 1(1 44471)3k3N m (↑)
FAx=0 FAy=30kN
q=14kN/m
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(a) FBy=33kN
2)计算控制截面弯矩值
取D截面以左（下侧受拉）
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➢ 在新的基线上叠加相应简支 梁与区段相同荷载的弯矩图。 （相应简支梁，指与所考虑区段 等长且其上荷载也相同的，相应
于该区段的简支梁）
上述方法即为直杆区段弯矩图的 叠加法。
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例3-1-3 计算图示简支梁，并作 弯矩图和剪力图。
q=14kN/m
1m 1m
梁的内力
MA=0
MC=FA×2=30×2kN·m=60kN·m
CD段：没有均布荷载作用，弯矩图是一条斜直线，需确定MC和MD左 MD左=FA×4-F×2=(30×4-20×2)kN·m=80kN·m
D截面：有逆时针方向的集中力偶M作用，弯矩图向上突变M=40kN·m
MD右=MD左-M=(80-40)kN·m=40kN·m
截面上必有弯矩M，且M=FAC。当左段梁若平衡，横截面 上必有两个内力分量：平行于横截面的竖向内力Fs以及位 于荷载作用面的内力偶M。内力Fs称梁横截面内的剪力， 而内力偶M称为梁横截面内的弯矩。
Fs
C
A
M
FA
x
若以右段梁为研究对象，由作用力与反作用力定律可知，
右段梁横截面上的内力值仍为Fs和M，指向与左段梁横截面
MBF0
F 6 M q 4 2 F A 8 0
解之得：
FA 30kN FB 30kN
（2）画剪力图
从左向右作图，全梁分为A端、AC段、C端、CD段、DB段和B端。
31
FA=30kN AC段：没有均布荷载作用，剪力图为一条水平线：FC左=FA右=30kN C端：有向下的集中力F作用，剪力图向下突变F=20kN
Mx=FA x-qx2/2= 81/32qa2
BC段：没有均布荷载作用，弯矩图是一条斜直线，需确定MB和MC。
MC 0
29
剪力图与弯矩图
30
[例] 如图所示，试画出该梁的剪力图和弯矩图。
F=20kN M=40kN
FA
FB
解：（1）计算支座反力 以整梁为研究对象，由平衡方程得：
MAF0
F B 8 M F 2 q 4 6 0
M144 kNm
受静载荷梁的内力及变位计算公式
受静载荷梁的内力及变位计算公式1.集中力的作用下的受静载荷梁内力计算公式：(1)弯矩(M)的计算公式：M=F*x其中，M是梁的弯矩，F是集中力，x是集中力作用点到支点的距离。
(2)剪力(V)的计算公式：V=F其中，V是梁的剪力，F是集中力。
2.均布力的作用下的受静载荷梁内力计算公式：(1)弯矩(M)的计算公式：M=w*x^2/2其中，M是梁的弯矩，w是均布力的单位长度的大小，x是梁上的任意一点到支点的距离。
(2)剪力(V)的计算公式：V=w*x其中，V是梁的剪力，w是均布力的单位长度的大小，x是梁上的任意一点到支点的距离。
3.其他外力作用下的受静载荷梁内力计算公式：当存在多个外力作用在梁上时，我们可以将其分解为集中力和均布力的叠加。
然后可以使用前面提到的公式来计算相应的内力。
变位计算公式主要有两种方法，分别是力偏心法和位移法。
4.力偏心法：利用力偏心引起的弯矩和剪力，根据梁的弹性理论和材料的本构关系，可以计算出梁的变位。
其中，弯矩引起的变位可由以下公式计算：δ=M*l^2/(2*E*I)其中，δ是梁的变形，M是梁上弯矩的最大值，l是梁的长度，E是梁的弹性模量，I是梁的截面惯性矩。
剪力引起的变位可由以下公式计算：δ=V*l/(G*A)其中，δ是梁的变形，V是梁上剪力的最大值，l是梁的长度，G是梁的剪切模量，A是梁的截面面积。
5.位移法：利用位移函数法，将梁的各个节点的位移表示为节点位移和激励项的组合，可以通过解线性代数方程组得到梁的节点位移。
其中，节点位移可以用来计算梁的变位。
综上所述，受静载荷梁的内力和变位计算可以通过公式和方法进行求解。
具体的计算公式和方法取决于梁的受力情况和边界条件。
在实际工程中，通常会采用数值分析方法，如有限元法等，来计算受静载荷梁的内力和变位。
平面弯曲—梁的内力(建筑力学)
∑M1=0 M1＋FP×a=0 M1=－FP a= －100×1.5 =－150kN·m (负弯矩)
弯曲内力
（3）求2-2截面上的剪力和弯矩 ∑Fy=0 －FQ2－FP＋FAy =0 FQ2=25kN (正) ∑M2=0 M2＋FP×a=0 M2=－150kN·m (负)
弯曲内力
利用截面法求内力时应注意以下几点： １）为了简化计算，通常取外力比较少的一侧来研究。 ２）作所取隔离体的受力图时，在切开的截面上，未知 的剪力和弯矩通常均按正方向假定。 ３）在列梁段的静力平衡方程时，要把剪力、弯矩当作 隔离体上的外力来看待。因此，平衡方程中剪力、弯矩的 正负号应按静力计算的习惯而定，不要与剪力、弯矩本身 的正、负号相混淆。
=－15×1×2.5－30×3 =－127.5kN·m
计算结果为负，说明1-1截 面上弯矩的实际方向与图中 假定的方向相反，即1-1截面 上的弯矩为负值。
弯曲内力
（2）求2-2截面上的剪力和弯矩
取2-2截面的右侧为隔离体。
∑Fy =0 FQ2－FP－q×1=0 FQ2= FP＋q×1 =30＋15×1=45kN (正剪力)
弯曲内力
例10-3 直接用规律求图示简支梁指定截面上的剪力和弯矩。 已知：M=8kN·m，q=2kN/m
解 （1）求支座反力 FAy=1kN(↓) FBy=5kN(↑)
（2）求1-1截面上的剪力和弯矩。
取该截面的左侧为隔离体 FQ1=－FAy =－1kN
M1=8kN·m
弯曲内力
（3）求2-2截面上的剪力和弯矩。 取该截面的右侧为隔离体
FQ2=q×2－Fby =(2×2－5)kN=－1kN
工程力学梁的内力及其求法
取梁分析，受力如图b
? MC ? 0
解得
? MB ? 0
FB
l
?
F
l 2
?
0
F FB ? ? 2
?? ?
3l , ? FC l ? F 2 ? 0
F (a) A
l/2
C l/2
F (b) A
C FC
D
B
l/2
B FB
解得
FC
?
3F 2
（2）计算D截面上的剪力 FSD和弯矩MD
? Fy ? 0 , FC ? F ? FSD ? 0
F
(a) A
CLeabharlann DB得FSD
?
FC
?
F
?
F 2
l/2
l/2
l/2
对截面D的形心O取矩
F (c) A
C
D
F SD MD
? MO ? 0,
?
FC
l 2
?
Fl
?
MD
?
0
FC
MD D
B
F SD
FB
l Fl
得
MD
? ? Fl ? FC
?? 2
4
（上侧纤维受拉）
简便法：
(1) 横截面上的剪力，在数值上等于该截面任意一侧（左侧或右侧）脱离体 上所有外力沿该截面投影的代数和。如果外力对截面有顺时针转动的趋势则为 正，反之为负。
§9-2 梁的内力及其求法
一、梁的剪力和弯矩
(a) A FA
F m
m x
l
(b) A
FS M
FA F
(c)
M
FS
梁在竖向荷载作用下，其横截面上的内力有剪 力和弯矩。
受静载荷梁的内力与变位计算公式
受静载荷梁的内力与变位计算公式受静载荷作用的梁是工程中常见的结构元素，它所受的静载荷会引起梁内力和变形。
在工程设计及分析过程中，需要通过计算来确定梁的内力和变位，以评估梁的安全性和可靠度。
静载荷作用下的梁内力和变位计算公式可以通过静力平衡和材料力学的基本原理推导得出。
下面，我们将分别介绍受集中力、均布载荷和弯矩作用下梁的内力和变位计算公式。
1.受集中力作用下的梁内力和变位计算公式：当在梁上施加一个集中力作用时，梁会发生弯曲变形，产生弯矩和剪力。
(1)弯矩(M)计算公式：弯矩是梁上各截面在弯曲过程中的力矩，可以通过以下公式计算：M=F*x其中，M为弯矩，单位为N·m；F为施加的集中力，单位为N；x为梁上距离集中力施加点的距离，单位为m。
(2)剪力(V)计算公式：剪力是沿梁截面的作用力，可以通过以下公式计算：V=F其中，V为剪力，单位为N。
(3)变位(δ)计算公式：变位是梁在受集中力作用下产生的位移量，可以通过以下公式计算：δ=F*L/(E*I)其中，δ为变位，单位为m；L为梁的长度，单位为m；E为梁的弹性模量，单位为Pa；I为梁的截面惯性矩，单位为m^42.受均布载荷作用下的梁内力和变位计算公式：当在梁上施加一个均布载荷时，梁会在横向受力的作用下产生弯曲变形，产生弯矩和剪力。
(1)弯矩(M)计算公式：弯矩可以通过以下公式计算：M=(q*L^2)/8其中，M为弯矩，单位为N·m；q为均布载荷的大小，单位为N/m；L 为梁的长度，单位为m。
(2)剪力(V)计算公式：剪力可以通过以下公式计算：V=(q*L)/2其中，V为剪力，单位为N；q为均布载荷的大小，单位为N/m；L为梁的长度，单位为m。
(3)变位(δ)计算公式：变位可以通过以下公式计算：δ=(5*q*L^4)/(384*E*I)其中，δ为变位，单位为m；q为均布载荷的大小，单位为N/m；L 为梁的长度，单位为m；E为梁的弹性模量，单位为Pa；I为梁的截面惯性矩，单位为m^43.受弯矩作用下的梁内力和变位计算公式：当在梁上施加一个弯矩时，梁会在截面处产生竖向力和剪力。
连续梁桥—内力计算
7.主梁最小自重负弯矩发生在鼻梁刚过 前方支点或鼻梁刚接近前方支点时。
（六）悬臂施工
1.悬臂施工的连续梁桥最终结构自重内 力与合龙次序、预应力、砼收缩徐变有关。
2.例：一3跨预应力砼连续梁桥，上部结 构采用挂篮对称平衡悬臂法施工，分为 5个施 工阶段，合龙次序为先边跨后中跨。
（4）阶段4：中跨合龙 现浇合龙段自重与挂篮施工机具重力之 和R0施加单悬臂的悬臂端， R0产生的内力如e （5）阶段5：拆除合龙段挂篮 跨中合龙段砼凝固与两边单悬臂梁形成
（5）阶段5：拆除合龙段挂篮 跨中合龙段砼凝固与两边单悬臂梁形成 连续梁后，拆除施工机具，相当于对连续梁 施加一对反向力 R0，跨中合龙段自重则作用 与连续梁上，内力如f 以上为每个阶段的内力分析，某个阶段 的累计内力为该阶段内力与前几个阶段内力 叠加值。
5.根据规范构造、施工要求，将估算的预 应力筋进行横、立、平面布置；
6.根据钢筋布置结果，考虑钢筋对主梁截 面几何特性的影响，重新模拟施工过程，进行 主梁真实作用效应计算，再次进行相应作用效 应组合即第二次效应组合；
7.据第二次效应组合值，进行规定状况下 极限状态的截面强度、应力、裂缝、变形等验 算；
该施工法无体系转换一期期恒载都按一次落架方式作用在连续梁上叠加两个施工阶段的内力即为结构重力作用的内力
普通高等学校土木工程专业精编力计算
连续梁桥内力计算
本节内容
一、桥梁设计步骤 二、结构重力计算
3
一、桥梁设计步骤
桥梁设计一般分 总体设计（初步设计） 、 结构设计（施工图设计） 两步。前者工作： 选定桥位、桥型方案；确定桥长、跨径、桥 宽、主梁截面形式、梁高等关键要素。后者 工作：细化构造、明确作用（汽车荷载、人 群、温度、基础变位等）、确定材料、施工 方法、完成内力计算、配筋设计、验算，最 终形成施工图。
第四章 梁的内力
q=2kN/m MC B
M C ( F ) 0
l ql 2 M C FB 4.5kN m 2 8
l/4 FSC
FSC
l/2
FB
图4.11
三、用直接法求剪力、弯矩 F=5kN
直接法：梁任一横
截面上的剪力在数 值上等于该截面一
(a)
q=2kN/m
F=5kN
A C l/4 FA l/4
F
A
B
x
例题：作悬臂梁的剪
x
l FS
x
力图和弯矩图。
解：建立坐标系，将坐 标原点取在梁的左端， 写出梁的剪力方程和弯 矩方程 ：
FS图
F
FS (x) F
x
(0 x l) (0 x l)
M(x) Fx
M
M图
x 0时，M(0) 0 x l时， M(l) Fl
FRA
A
x
q
FRB
例题：作如图简支梁
的剪力图和弯矩图。
解：先求两个支反力
FRA FRB ql 2
B
l
FRA
A
q
M(x) FS (x)
建立坐标系，梁的剪力
x
方程和弯矩方程为：
ql FS (x) FRA qx qx (0 x l) 2 x qlx qx 2 M(x) FRA x qx (0 x l) 2 2 2
FRA
A
x
q
FRB
由弯矩方程得弯矩图为一 条二次抛物线。
B
l
x 0,
M 0
ql 2
x =l ,
解：1、求截面C的剪力和弯矩
三跨连续梁 内力计算公式(一)
三跨连续梁 内力计算公式(一)三跨连续梁 内力计算公式1. 弯矩计算公式•综合法：根据对称轴原理，可以得到弯矩计算公式为：M =qL 28，其中q 为荷载值，L 为跨度。
• 悬臂法：对于三跨连续梁中两个悬臂梁的弯矩计算，可以使用悬臂法，其公式为：M =qL 212，其中q 为荷载值，L 为悬臂梁的长度。
2. 剪力计算公式• 剪力平衡法：根据剪力平衡原理，可以得到剪力计算公式为：V =qL 2，其中q 为荷载值，L 为跨度。
• 弯矩法：根据弯矩和剪力的关系，可以得到剪力计算公式为：V =−dM dx ，其中M 为弯矩，x 为跨度上的任意位置。
3. 梁的挠度计算公式• 三跨连续梁的挠度计算可以使用弹性力学理论，其中常用的公式是梁的挠度计算公式为：δ=5qL 4384EI ，其中q 为荷载值，L 为跨度，E 为梁的弹性模量，I 为梁的惯性矩。
• 对于三跨连续梁中两个悬臂梁的挠度计算，可以使用悬臂梁挠度计算公式为：δ=qL 4192EI ，其中q 为荷载值，L 为悬臂梁的长度，E 为梁的弹性模量，I 为梁的惯性矩。
举例解释假设有一根三跨连续梁，其总跨度为10米，其中两个悬臂梁的长度为2米，受到均匀分布荷载为10kN/m 的作用。
根据上述计算公式，可以得到以下结果：1. 弯矩计算：• 综合法：M =10×1028=125 kNm • 悬臂法：M =10×2212=103 kNm ，对应两个悬臂梁 2. 剪力计算：• 剪力平衡法：V =10×102=50 kN• 弯矩法：根据弯矩和剪力的关系，可以在弯矩计算的基础上求得剪力分布。
例如，在距离支座2米处的剪力为V =−dM dx =−1255=−25 kN 。
3. 梁的挠度计算：• 综合法：δ=5×10×104384×E×I ，需要进一步提供梁的弹性模量E 和惯性矩I 来计算。
• 悬臂法：δ=10×24192×E×I ，同样需要提供梁的弹性模量E 和惯性矩I 。
恒荷载内力计算
四恒荷载内力计算（一）恒荷载计算1．屋面框架梁线荷载标准值20厚水泥混凝土找平0.02×20=0.46kN/m240～120厚（1%找坡）膨胀珍珠岩(0.08+0.16)÷2×7=0.546kN/m2四层作法防水层0.36kN/m2100mm厚钢筋混凝土楼板0.1×25=2.56kN/m220mm厚石灰砂浆抹底0.02×17=0.34kN/m2屋面恒荷载4.08 kN/m2边框架梁自重0.3×0.8×25=6kN/m边框架梁粉刷2×(0.8-0.1)×0.02×17=0.48kN/m中框架梁自重0.3×0.6×25=4.5kN/m2中框架梁粉刷2×(0.6-0.1)×0.03×17=0.34kN/m则作用于屋面框架梁上线荷载标准值为：g5AB1=6.48kN/mg5BC1=4.85kN/mg5AB2=4.08×3.9=15.91kN/mg5BC2=4.08×3=12.24kN/m2．楼面框架梁线荷载标准值20mm厚水泥砂浆找平0.02×20=0.46kN/m2100mm厚钢筋混凝土楼板0.1×25=2.5kN/m220mm厚石灰砂浆抹底0.02×17=0.34kN/m2水磨石面层0.65 kN/m2楼面恒荷载3.89 kN/m2边框架梁自重及粉刷 6.48kN/m中框架梁自重及粉刷 4.85kN/m边跨填充墙自重0.24×3.6×18=15.55kN/m填充墙粉刷2×0.02×2×17=2.45kN/m则作用于楼面框架梁上线荷载标准值为：g AB1=6.48+15.55+2.45=24.48kN/mg BC1=4.85kN/mg AB2=3.89×3.9=15.17kN/mg BC2=3.89×3=11.67kN/m3．屋面框架节点集中荷载标准值纵向框架梁自重0.3×0.8×7.8×25=46.8kN纵向框架梁粉刷2×(0.8-0.1)×0.02×7.8×17=3.71kN纵向框架梁传来的屋面恒荷载2×(3.9/2)2×4.08=31.02kN次梁自重及粉刷0.6×0.2×25×7.2/2+2×0.02×(0.6-0.1)×7.2/2=10.87kN次梁传来的屋面恒荷载(1-2×0.272+0.273)×4.08×3.9×7.2/2=50.06kN1m高女儿墙自重及粉刷1×7.8×0.24×18+2×1×7.8×0.02×17=39kN则顶层边节点集中荷载为：G5A=181.46kN纵向框架梁自重及粉刷46.8+3.71=50.51kN纵向框架梁传来的屋面恒荷载31.02+(1-2×0.192+0.193)×4.08×7.8×3/2=75.64kN 次梁自重、粉刷及传来的屋面恒荷载10.87+50.06=60.93kN则顶层中节点集中荷载为：G5B=187.08kN4．楼面框架节点集中荷载标准值纵向框架梁自重及粉刷51.51kN纵向框架梁传来的楼面恒荷载2×(3.9/2)2×3.89=29.44kN次梁自重及粉刷10.87kN次梁传来的楼面恒荷载(1-2×0.272+0.273)×3.89×3.9×7.2/2=47.73kN钢窗自重2×2.3×1.8×0.4=3.31kN墙体自重(3.6×7.8-2×2.3×1.8)×0.24×18=85.54kN墙面粉刷2×(3.6×7.8-2×2.3×1.8)×0.02×1.7=13.46kN框架柱自重0.602×3.6×25=32.4kN柱面粉刷4×0.6×0.02×17=0.82kN中间层边柱节点集中荷载为：G A=274.08kN纵向框架梁自重及粉刷50.51kN纵向框架梁传来的楼面恒荷载29.44+(1-2×0.192+0.1923)×3.89×7.8×3/2=71.98kN 次梁粉刷、自重及传来的楼面恒荷载10.87+47.73=58.6kN木门自重2×1.0×2.6×0.2=1.04Kn墙体自重(3.6×7.8-2×1.0×2.6)×0.24×18=98.84kN墙面粉刷2×0.02×()×17=15.56kN框架主自重及粉刷32.4+0.82=33.22kN中间层中柱节点集中荷载为：G B=329.75kN（二）恒荷载作用下内力计算1．计算简图计算简图2．荷载等效27.02.729.31=⨯=α 顶层边跨 m /38kN .2048.691.15)27.027.021('g 325=+⨯+⨯-=边顶层中跨 m /12.5kN 4.8512.2485'g 5=+⨯=中中间层边跨 m /37.74kN 48.2417.15)27.027.021('g 32=+⨯+⨯-=边中间层中跨 m /11.97kN 4.6867.1185'g =+⨯=中荷载等效后的计算简图如下GD3．固端弯矩计算顶层边跨 m 88.04kN 2.738.20121M 25AB ⋅=⨯⨯=顶层中跨 m 38kN .95.15.1231M 25BC ⋅=⨯⨯=中间层边跨 m 04kN .1632.774.37121M 2AB ⋅=⨯⨯=中间层中跨 m 98kN .85.197.1131M 25BC ⋅=⨯⨯=4．分层计算弯矩（取半结构计算） 1）顶层分配系数计算如下569.040.39.0456.3456.312=⨯⨯+⨯⨯=μ431.0569.0111214=-=-=μμ442.023.640.39.0456.3456.321=⨯+⨯⨯+⨯⨯=μ223.023.640.39.0456.326.323=⨯+⨯⨯+⨯⨯=μ335.0223.0442.011232125=--=--=μμμ内力计算过程如下（单位：kN ∙m ）1-4 1-2 2-1 2-5 2-3 0.431 0.569 0.442 0.335 0.223 -88.04 88.04 -9.38 37.95 50.09 → 25.05 -22.92 ← -45.84 -34.74 -23.13 9.88 13.04 → 6.52 -1.44 ← -2.88 -2.19 -1.45 0.62 0.82 → 0.41 -0.18 -0.14 -0.09 48.45 -48.4571.12-37.07-34.05M 图见下页（单位：kN ∙m ）2）中间层分配系数计算如下301.056.3420.39.040.39.043631=⨯+⨯⨯⨯⨯⨯==μμ398.0301.0301.011363134=--=--=μμμ251.03.6256.3420.39.040.39.044742=⨯+⨯+⨯⨯⨯⨯⨯==μμ331.03.6256.3420.39.0456.3443=⨯+⨯+⨯⨯⨯⨯=μ167.0331.0251.0251.01143474234=---=---=μμμμ内力计算过程如下（单位：kN ∙m ）3-6 3-1 3-4 4-3 4-2 4-7 4-5 0.301 0.301 0.398 0.331 0.251 0.251 0.167 -163.04 163.04 -8.98 49.08 49.08 64.88 → 32.44 -30.87 ← -61.73 -46.81 -46.81 -31.15 9.29 9.29 12.29 → 6.15 -1.02 ← -2.04 -1.54 -1.54 -1.03 0.31 0.31 0.40 → 0.20 -0.07 -0.05 -0.05 -0.03 58.68 58.68-117.36137.99-48.4-48.4-41.19M 图见下页（单位：kN ∙m ）37.0734.0571.1212.3616.1548.4548.45(1)(2)(3)(4)(5)3）底层分配系数计算如下307.056.342.8140.39.040.39.0431=⨯+⨯+⨯⨯⨯⨯=μ32.056.342.8140.39.0481.2436=⨯+⨯+⨯⨯⨯=μ373.032.0307.011363134=--=--=μμμ248.03.6256.342.8140.39.040.39.0442=⨯+⨯+⨯+⨯⨯⨯⨯=μ259.03.6256.342.8140.39.0481.2447=⨯+⨯+⨯+⨯⨯⨯=μ328.03.6256.342.8140.39.0456.3443=⨯+⨯+⨯+⨯⨯⨯=μ0.165328.0259.0248.01143474234=---=---=μμμμ内力计算过程如下（单位：kN ∙m ）3-6 3-1 3-4 4-3 4-2 4-7 4-5 0.32 0.307 0.373 0.328 0.248 0.259 0.165 -163.04 163.04 -8.98 52.17 50.05 60.82 → 30.41 -30.26 ← -60.51 -45.75 -47.78 -30.439.68 9.29 11.29 → 5.65 -0.93 ← -1,85 -1.40 -1.47 -0.93 0.30 0.29 0.34 → 0.17 -0.06 -0.04 -0.04 -0.03 62.1559.63121.78136.85-47.19-49.29-40.3748.4117.3619.5616.1348.4137.9941.1916.1319.5658.6858.68(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)M 图如下（单位：kN ∙m ）5．不平衡弯矩分配计算过程见如下（单位：kN ∙m ），方框内为原不平衡弯矩7.13不平衡弯矩调整之后即可得出恒荷载作用下框架弯矩图，见第29页（单位：kN ∙m ，括号内为调幅后的弯矩值）15.7340.37136.8549.2947.1924.6531.0859.6362.15121.7819.88(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)6．跨中弯矩计算m 94kN .62225.7858.592.728.2081M 25AB ⋅=+-⨯⨯=m 81kN .1545.300.324.121210.385.481M 225BC ⋅-=-⨯⨯+⨯⨯=m 104.91kN 139.65-244.56272.14757.1312.737.7481M 24AB ⋅==+-⨯⨯=m 41kN .2243.3602.1436.430.311.671210.368.481M 224BC ⋅-=-=-⨯⨯+⨯⨯=m 77kN .103267.14892.13256.244M 3AB ⋅=+-=m 79kN .2181.3502.14M 3BC ⋅-=-=m 77kN .1032148.67133.0656.244M 2AB ⋅=+-=m 85kN .2187.3502.14M 2BC ⋅-=-=m 108.95kN 2142.14129.0856.244M 1AB ⋅=+-=m 23.69kN 37.7102.14M 1BC ⋅-=-=7．剪力计算5kN .62130.182159.221)]29.32.7(91.152.748.6[7.225.6858.59V 5AB =⨯+-=⨯-⨯+⨯+-=67.68kN 62.5-18.130V 5BA ==46kN .16)5.124.120.385.4(21V 5BC =⨯+⨯⨯=255.92124.221)]29.32.7(17.152.724.48[7.222.14757.131V 4AB ⨯+-=⨯-⨯+⨯+-=71kN .125=130.19kN 71.1259.255V 4BA =-=77kN .15)5.111.670.368.4(21V V V V 1BC 2BC 3BC 4BC =⨯+⨯⨯==== 125.76kN 255.9217.2148.67-132.92V 3AB =⨯+=130.14kN 76.1259.255V 3BA =-=125.8kN 255.9217.2148.52-133.06V 2AB =⨯+=130.1kN 8.1259.255V 2BA =-=M 图（单位：kN ∙m ）126.14kN 255.9217.2142.14-129.08V 1AB =⨯+=129.76kN 126.149.255V 1BA =-=8．轴力计算96kN .2435.6246.181N 5At =+= 18kN .27782.04.3296.243N 5Ab =++= 75kN .64371.12508.27496.243N 4At =++= 97kN .67633.2275.643N 4Ab =+=毕业设计精品59kN .104376.12508.274643.75N 3At =++= 81kN .107622.3359.1043N 3Ab =+= 1443.47kN 125.8274.081043.59N 2At =++= 69kN .147622.3347.1443N 2Ab =+=1843.69kN 126.14274.081443.47N 1At =++=56kN .190087.5669.18431702.03.5465.0253.565.0(69.1843N 21Ab =+=⨯⨯⨯⨯+⨯⨯+=271.22kN 16.4667.68187.08N 5Bt =++= 44kN .30422.3322.271N 5Bb =+=93kN .74615.77130.19329.7522.271N 4Bt =+++= 15kN .78022.3393.746N 4Bb =+=1222.59kN 130.14345.52746.93N 3Bt =++= 81kN .125522.3359.1222N 3Bb =+= 21kN .16981.13052.34559.1222N 2Bt =++= 43kN .173122.3321.1698N 2Bb =+=2173.49kN 129.76345.521698.21N 1Bt =++= 36kN .223087.5649.2173N 1Bb =+=框架结构的剪力图和轴力图如下（单位：kN ）V NV ，M 图（单位：kN ）9．弯矩调幅边跨：端部弯矩值乘以0.85，跨中弯矩值乘以1.2 中跨：端部弯矩值乘以0.85，跨中弯矩值乘以0.9 将调幅后的弯矩值表于框架弯矩图的（）内1443.471043.59643.751900.561843.691476.691076.81676.97227.18243.962230.362173.491731.431698.211255.811222.59780.15746.93304.44271.2215.7715.7715.7715.7716.46129.76126.14130.19130.14130.10125.80125.76125.7167.6862.5010．梁端柱边剪力与弯矩V (kN)M (kN∙m)60.19 -65.37 13.55。
静定梁的内力—单跨静定梁的内力计算(建筑力学)
MO 0 : M FA x 0
B FB
F
lx
c
FQ FA
M FA x
与横截面相切的内力，称为剪力FQ , 常用单位为N或kN 。
作用在外力作用平面内（纵向对称平面
B
内）的内力偶，其力偶矩称为弯矩M，
FB 常用单位为
N m或 k N m 。
注：不论是左段还是右段隔离体计算出的内力应该是同 一截面上的内力，在大小、性质上应该是相同的结果。
MB 0
FA 4 4 2 21 0 FA 2kN
（2）计算各截面上的剪力
FQ1 FQ2 FQ3 = 2kN FQ4 2+6=4kN FQ4 2 2=4kN
4kN m 2kN/m
12 3
Aபைடு நூலகம்
B4 C
FA
2m
FB
2m
2m
（2）计算各截面上的弯矩
M1 2 2 4kN m（上部受拉） M2 2 2 4 0
M1
qa
a 2
Fa
0
M1
qa
a 2
Fa
4
2
2 2
5
2
18kN
m
（上部受拉）
应用举例
[例2] 如图所示简支梁，已知：F1=F2=30kN, 求1-1横截面上的剪力和弯矩。
F1 1
A
1
FA 1m 1m
2m
F2 B
2m FB
F1 1 M1
1 FA 1m 1m FQ1
M11
F2
1 FS1 2m
2m FB
（2） 代替 留下一部分（脱离体），并以内力代替弃去部分对保留部分的作用。
（3） 平衡 对脱离体建立静力平衡方程，求解未知力。 注意： 取出的梁段上保留作用于该段上的所有外力（包括荷载和支座反力），在截开的 截面上画出未知的剪力和弯矩时，剪力和弯矩均假设为正向。
桥梁工程主梁内力计算详细过程
设计资料：一：1:桥面宽度：净7m+2*1.5m+2*0.25m2:设计荷载：公路一I级3:桥梁横截面布置334：桥面铺装：4cm厚沥青混僦土(23KN/m),6cm厚水泥混僦土(24KN/m),王梁混凝土为24KN/m3 5:主梁跨径及全长：标准跨径：l b=25.00m；净跨l=24.96m;计算跨径：l o=24.6m二：设计依据：《公路桥涵设计通用规范》(JTGD60—2004)《公路钢筋混凝土及预应力混凝土桥涵设计规范》(JTGD62—2004»三：设计内容：主梁布置及尺寸拟定桥梁横断面布置图单位：cm桥梁纵断面布置主梁内力计算一、恒载内力计算：1:桥面铺装和人行道重力；人行道和栏杆的重力作用取用5KN/m;桥面铺装为：(0.060.138)-x7x23+5*2=25.939KN/m;2为简化计算，将人行道、栏杆和桥面铺装的重力平均分配给各主梁，得：g2=25.939/5=5.188KN/m；2:横隔梁重力；根据结构尺寸，一块预制横隔梁的体积为：(1.47+439).0.18.0.96=0.247m3;2中主梁有12块横隔梁预制块，而边主梁有6块横隔梁预制块，可将其产生的重力沿主梁纵向均匀分摊，则：中主梁横隔梁产生的重力为：g[=12*0.247/24.96*24=2.85KN/m;边主梁横隔梁产生的重力为：g['=6*0.247/24.96*24=1.425KN/m；3:主梁重力；g01=A*24.96*24=0.5356*1*24=12.854KN/m4: 一期恒载作用下总重力为：中主梁：g恒中=2.85+12.854=15.704KN/m;边主梁：g恒边=1.425+12.854=14.279KN/m;二、活载内力计算:1:主梁横向分布系数计算：(1) 支点处采用杠杆法，由对称可知只需计算1,2,3号梁。
由下图可知各号梁在支点截面处的横向分布系数：对于1号梁：m01q=0.429/2=0.215;m01r=1.024;对于2号梁：m02q=(0.571+0.571)/2=0.571;m01r=-0.024m01r=0.0对于3号梁：md q=(0.143+0.381+1.0)/2=0.762;I :I ^.2：1T3号梁(2) 跨中采用偏心压力法进行计算横向分布系数；分别计算各号梁的横向分布系数，得到其影响线如下：1号梁2号梁m 01r =0.604; m 01r =0.402・II ।1--i---:rJ'Liih IIJ iuri由上图可得到跨中及,1/4跨处的横向分布系数：对于1号梁：m 01q =(0.771+0.429+0.181-0.162)/2=0.505; 对于2号梁：m 02q =(0.486+0.314+0.191+0.02)/2=0.453;(4)冲击系数N的计算选取；20车道荷载的冲击系数为：2==0.190；8025车辆荷载的冲击系数为：」=0.6686-0.30321g25=0.245(5)各号主梁活载内里计算表：本桥采用公路一I级荷载，由于跨径为25m；内插后得到q k=10.5KN/m;Pk=260KN;人群荷载：4.5KN/M 考虑冲击系数后：(说明：计算剪力效应时，需要乘系数1.2)荷载类型梁号①②③截面位置x弯距(kN*m)剪力(kN) 弯距(kN*m) 剪力(kN) 弯距(kN*m) 剪力(kN)汽车荷载x=0 0.00 119.48 0.00 317.31 0.00 407.33 x=l/4 1078.68 193.01 967.61 173.14 854.40 152.88x=l/2 1438.24 117.03 1290.14 104.98 1139.20 92.70人群荷载x=0 0.00 56.68 0.00 9.24 0.00 0.00 x=l/4 154.46 18.84 106.46 12.98 102.12 12.45x=l/2 205.94 8.37 141.95 5.77 136.16 5.54(6)荷载内力组合:梁号内力弯距(kN*m) 剪力(kN)截面位置L/4 跨中支点L/4 跨中m01r=0.4对于3号梁：md q=(0.2+0.2+0.2+0.2)/2=0.4;其中4号和2号，5号和1号的横向分布系数相同(3)荷载横向分布系数沿桥跨方向的变化；①承载能力极限状态3008.464011.28 516.94 434.41173.22 正常使用极限状态短期组合1915.472553.97:367.89 255.57:79.611 长期组合1541.412055.21 302.72193.9244.06②承载能力极限状态2799.23732.28 740.77 400.03|153.44 正常使用极限状态短期组合1799.872399.83 440.88 237.6269.67长期组合1483.571978.10 352.56184.6638.82③承载能力极限状态2635.853514.471856.45 371.08:135.98]正常使用极限状态短期组合1726.622302.17 486.43 224.76'61.96,长期组合1442.461923.29 380.17177.4134.46三、横隔梁内力计算；在计算时可假设荷载在相邻横隔梁之间按照杠杆原理法传布，鉴于具有多根内横隔梁的桥梁，跨中处的横隔梁受力最大，通常只计算跨中横隔梁的内力，其余横隔梁可依据中横隔梁偏安全地选用相同的截面尺寸和配筋。
(完整版)梁的内力计算
第四章梁的内力第一节工程实际中的受弯杆受弯杆件是工程实际中最常见的一种变形杆，通常把以弯曲为主的杆件称为梁。
图 4 —i中列举了例子并画出了它们的计算简图。
如图（a表示的是房屋建筑中的板、梁、柱结构，其中支撑楼板的大梁AB受到由楼板传递来的均布荷载口；图（b）表示的是一种简易挡水结构，其支持面板的斜梁AC受到由面板传递来的不均匀分布水压力；图（c）表示的是- 小型公路桥，桥面荷载通过横梁以集中荷载的形式作用到纵梁上；图（d）表示的是机械中的一种蜗轮杆传动装置，蜗杆受到蜗轮传递来的集中力偶矩m的作用。
1.1 梁的受力与变形特点综合上述杆件受力可以看出：当杆件受到垂直于其轴线的外力即横向力或受到位于轴线平面内的外力偶作用时，杆的轴线将由直线变为曲线，这种变形形式称为弯曲.。
在工程实际中受弯杆件的弯曲变形较为复杂，其中最简单的弯曲为平面弯曲。
1.2 平面弯曲的概念工程中常见梁的横截面往往至少有一根纵向对称轴，该对称轴与梁轴线组成一全梁的纵向对..称面（如图4 —2）,当梁上所有外力（包括荷载和反力）均作用在此纵向对称面内时，梁轴线变形后的曲线也在此纵向对称面内，这种弯曲称为平面弯曲.。
它是工程中最常见也最基本的弯曲问题。
1.3 梁的简化一一计算简图的选取工程实际中梁的截面、支座与荷载形式多种多样，较为复杂。
为计算方便，必须对实际梁进行简化，抽象出代表梁几何与受力特征的力学模型，即梁的计算简图...。
选取梁的计算简图时，应注意遵循下列两个原则：（1）尽可能地反映梁的真实受力情况；（2）尽可能使力学计算简便。
a房屋建筑中的大梁c小跨度公路桥地纵梁图4-1b简易挡水结构中的斜梁图4-2 梁的平面弯曲一般从梁本身、支座及荷载等三方面进行简化：（1） 梁本身简化一一以轴线代替梁，梁的长度称为跨度； （2） 荷载简化一一将荷载简化为集中力、线分布力或力偶等； （3） 支座简化——主要简化为以下三种典型支座：（a ） 活动铰支座（或辊轴支座），其构造图及支座简图如图4— 3 （a ）所示。
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第四章梁的内力第一节工程实际中的受弯杆受弯杆件是工程实际中最常见的一种变形杆，通常把以弯曲为主的杆件称为梁。
图 4 —i中列举了例子并画出了它们的计算简图。
如图（a表示的是房屋建筑中的板、梁、柱结构，其中支撑楼板的大梁AB受到由楼板传递来的均布荷载口；图（b）表示的是一种简易挡水结构，其支持面板的斜梁AC受到由面板传递来的不均匀分布水压力；图（c）表示的是- 小型公路桥，桥面荷载通过横梁以集中荷载的形式作用到纵梁上；图（d）表示的是机械中的一种蜗轮杆传动装置，蜗杆受到蜗轮传递来的集中力偶矩m的作用。
1.1 梁的受力与变形特点综合上述杆件受力可以看出：当杆件受到垂直于其轴线的外力即横向力或受到位于轴线平面内的外力偶作用时，杆的轴线将由直线变为曲线，这种变形形式称为弯曲.。
在工程实际中受弯杆件的弯曲变形较为复杂，其中最简单的弯曲为平面弯曲。
1.2 平面弯曲的概念工程中常见梁的横截面往往至少有一根纵向对称轴，该对称轴与梁轴线组成一全梁的纵向对..称面（如图4 —2）,当梁上所有外力（包括荷载和反力）均作用在此纵向对称面内时，梁轴线变形后的曲线也在此纵向对称面内，这种弯曲称为平面弯曲.。
它是工程中最常见也最基本的弯曲问题。
1.3 梁的简化一一计算简图的选取工程实际中梁的截面、支座与荷载形式多种多样，较为复杂。
为计算方便，必须对实际梁进行简化，抽象出代表梁几何与受力特征的力学模型，即梁的计算简图...。
选取梁的计算简图时，应注意遵循下列两个原则：（1）尽可能地反映梁的真实受力情况；（2）尽可能使力学计算简便。
a房屋建筑中的大梁c小跨度公路桥地纵梁图4-1b简易挡水结构中的斜梁图4-2 梁的平面弯曲一般从梁本身、支座及荷载等三方面进行简化：（1） 梁本身简化一一以轴线代替梁，梁的长度称为跨度； （2） 荷载简化一一将荷载简化为集中力、线分布力或力偶等； （3） 支座简化——主要简化为以下三种典型支座：（a ） 活动铰支座（或辊轴支座），其构造图及支座简图如图4— 3 （a ）所示。
这 种支座只限制梁在沿垂直于支承平面方向的位移， 其支座反力过铰心且垂直于支 承面，用Y A 表示。
（b ） 固定铰支座，其构造与支座简图如图 4 — 3 （b ）所示。
这种支座限制梁在 支承处沿任何方向的线位移，但不限制角位移，其支座反力过铰心两互相垂直分 力，用X A 、Y A 表示。
（c ） 固定端支座，其构造与支座简图如图 4 — 3 （c ）所示。
这种支座限制梁端 的线位移（移动）及角位移（转动），其反力可用三个分量 X Y A 及 m A 来表示。
图4—1中所示几种工程实际中梁的计算简图就是采用上述简化方法得出来的。
向对称面 纵冋梁轴线梁轴变形曲线 1与外力在同一平面内对称轴辊轴枢轴a活动铰支座Y A支承垫板I[R|Y Ab固定铰支座m AA X A A1飞—Y Ac固定端支座图4-3三种典型支座1.4 梁的基本形式根椐梁的支座形式和支承位置不同，简单形式的梁有如下三种形式：(1)简支梁。
梁的支座为一端固定铰，一端活动铰(如图 4 — 4 (a))；(2)外伸梁。
简支梁两端或一端伸出支座之外(如图 4 — 4 (b), (c)); 席自由(如图 4 — 4 (d))。
qH I U{<TTT(i )两端外伸梁PI________ J(i)悬臂梁(3) 梁的支座为一端固定,()一端外伸梁悬臂梁()简支梁图4-4 梁的类型这三种梁的共同特点是支座反力仅有三个，可由静力平衡条件全部求得，故也称为静定梁。
第二节梁的内力——剪力和弯矩2.1截面法求梁的内力为进行梁的设计，需求梁的内力，求梁任一截面内力仍采用截面法，以图4—5 (a)为例，梁在外力(荷载P和反力W、Y B)作用下处于平衡状态。
在需求梁的内力x处用一假想截面m-n将梁截开分为两段。
取任意一段，如左段为脱离体。
由于梁原来处于平衡状态，取出的任一部分也应保持平衡。
从图4-5 (b)可知，左脱离体A端原作用有一向上的支座反力X,要使它保持平衡，由丫0和M 0，在切开的截面m-n上必然存在两个内力分量：内力Q和内力偶矩M 内力分量Q位于横截面上，称为剪力.；内力偶矩M位于纵向对称平面内，称为弯矩则得由M c0，有Y A X M 0则得M Y A X对左脱离体列平衡方程：由Y 0,有Y A— Q= 0B图4-5用截面法求梁的内力注意此处是对截面形心C取矩，因剪力Q通过截面形心C点，故在力矩方程中为零。
同样可取右脱离体，由平衡方程求出梁截面m-n上的内力Q和M,其结果与左脱离体求得的Q M大小相等，方向(或转向)相反，互为作用力与反作用力关系。
为使梁同一截面内力符号一致，必须联系到变形状态规定它们的正负号。
若从梁m-n处取一微段梁dx，由于剪力Q作用会使微段发生下错动的剪切变形。
我们规定：使微段梁发生左端向上而右端向下相对错动的剪力Q为正(如图4 —6(a))，反之为负(如图4— 6 (b));使微段梁弯曲为向下凸时的弯矩M为正，反之为负(如图4— 6 (c)、(d))。
根据如上符号规定，图4—5中m-n截面内力符号均为正。
下面举例说明怎样用截面法求梁任一截面的内力。
例4—1外伸梁如图4—7( a)，已知均布荷载q和集中力偶m qa2,求指定1-1、2-2、3-3截面内力。
所求反力无误。
(2) 求1-1截面内力由1-1截面将梁分为两段，取左段梁为脱离体，并假设截面剪力 为正，如图4-7 (b )所示Y A Q 1■1L一 Lik(Y AY Bm 一 M 1 M 2十｛丫 A—I Q图4-7 例题牛1图解(1 )求支座反力设支座反力“、Y B 如图所示5由平衡方程 M A 0 Y B 2a m qa a 0得 Y B 7 qa4由 丫 0Y A Y B qa 03得 Y A qa4 由 M 0校核支座反力Y A 2aa m qa — 2 qa 2a qa 242qa 2Q 和弯矩M 均图4-6 剪力，弯矩的正负号规定之一3132m=qa * C 2q(a)(c)M a q「Q3丄 (d) Q a3得Q i Y A qa4由M j 0 Y A a M 1 m 02 3 2 q 2得M r m Y A a qa qa a4 4求得的Q结果为负值，说明剪力实际方向与假设相反，且为负剪力；M结果为正值，说明弯矩实际转向与假设相同，且为正弯矩。
（3）求2-2截面（B截面右侧一点）内力由2-2截面将梁分为两段，取右段梁为脱离体，截面上剪力Q和弯矩M均设为正，如图4-7 （c）o由Y 0Q2qa0得Q2 qa由M20M2a 小qa 02得M22 qa2（4）求3-3截面（D截面左侧边一点）内力取右端为脱离体，3-3截面无限靠近D点，线分布力q的分布长度趋于0,则3-3截面上Q = 0，M= 0o2.2截面法直接由外力求截面内力的法则上例说明了运用截面法求任一截面内力的方法。
因脱离体的平衡条件丫0的含义为：脱离体上所有外力和内力在丫轴方向投影的代数和为零。
其中只有剪力Q为未知量，移到方程式右边即得直接由外力求任一截面剪力的法则：（1）某截面的剪力等于该截面一侧所有外力在截面上投影的代数和，即(4-2-1 )丫左侧外力（或丫右侧外力）代数和中的符号为截面左侧向上的外力 （或右侧向下的外力）使截面产生正的剪 力，反之产生负剪力，如图4-8 （a ）所示，截面上的剪力为正。
同样，脱离体平衡条件M e 0的含义为：脱离体上所有外力和内力对截面形图4-8剪力，弯矩的正负号规定之（2）某截面的弯矩等于该截面一侧所有外力对截面形心力矩的代数和，即（4-4-2 ）代数和中的符号为截面的左边绕截面顺时针转的力矩或力偶矩 （或右边绕截面逆 时针转的力矩或力偶矩）使截面产生正的弯矩，反之产生负弯矩。
如图 4-8 （b ） 所示，截面上的弯矩为正。
这样，运用上述两法则就不必取脱离体，可用式（4-2-1 ）和（4-2-2 ）直接由截 面左侧（或右侧）外力计算任一截面剪力和弯矩。
此两法则是由截面法推出的， 但比截面法用起来更方便快捷，对于求梁的内力极为有用，必须熟练掌握。
读者 可用此方法验证例4-1的结果是否正确。
第三节 剪力图与弯矩图在一般情况下，梁截面上的内力（剪力和弯矩）随截面位置 x 的不同而变化，故 横截面的剪力和弯矩都可表示为截面位置 X 的函数，即心取力矩的代数和为零。
其中只有弯矩M 为未知量，移到方程右边即得直接由外 力求任一截面弯矩的法则:P 外 m 「P外'P外|左上右下Q （+）剪力为正(a)(b)、m序卜左顺右逆 弯矩为正M（左侧外力 （或 M C 右侧外力）M(+)Q Q(x), M M (x)通常把它们分别叫做剪力方程.和弯矩方程。
在写这些方程时，一般是以梁左端为x 坐标原点，但为计算方便，有时也可将原点取在梁右端或梁上任意点。
由剪力方程和弯矩方程，我们可以了解剪力和弯矩沿全梁各截面上的变化情况，从而找出最大内力截面即危险截面作为将来设计的依据。
为了形象地表示剪力、弯矩沿梁长的变化情况，可根据剪力方程和弯矩方程分别绘制剪力图..和弯矩图0 根据剪力方程和弯矩方程作剪力图和弯矩图的方法与前面轴力图及扭矩图作法类似，即以梁横截面沿轴线的位置为横坐标X，以横截面上的剪力或弯矩为纵坐标，按照适当的比例绘出Q= Q(x)或M= M(x)的曲线。
绘制剪力图时，一般规定正号剪力画在x 轴上侧，负号剪力画在x轴下侧，并注上正负号；绘制弯矩图时则规定正弯矩画在x 轴的下侧，负弯矩画在x轴的上侧，这也就是把弯矩图画在梁受拉的一侧，以便钢筋混凝土梁根据弯矩图配置钢筋。
弯矩图可以不注正负号。
由剪力图和弯矩图可直观确定梁剪力、弯矩的最大值及其所在截面位置。
例4-2作图4-9 (a)所示简支梁受均布荷载的剪力图和弯矩图。
qi2伍）.图 制Ml 山山L 」,ql/2的指向是朝上的，它将使梁的任一截面上产生正号的2的qx 项和式（b ）中的坐项都带负号。
2（3）作剪力图和弯矩图从式（a ）中可知，Q （x ）是x 的一次函数，说明剪力图是一条直线。
故以 x 二0图4-9 例题4-2图解 （1）求支座反力由 Y 0和对称条件知Y A Y Bqi 2（2）列出剪力方程和弯矩方程：以左端 A 为原点，并将x 表示在图上 Q(x) Y A qxqi2qx 0 x Y Ax qa 2(a )(b )注意，由于反力Y A剪力和弯矩，因此在式（a）和式（b）中它们的符号均为正；由于均布荷载q的指向是朝下的，它将使左段梁的任一截面上产生负号的剪力和弯矩，分布力q 的合力为分布力图的面积qx,且作用在分布力图的形心-处，而分布力对截面形2x心的力矩的大小为其合力乘以合力到截面形心的距离即qx -，因此在式（a）中和x l 分别代人，就可得到梁的左端和右端截面上的剪力分别为QA x 0 丫Aql ~2Q BX I学q i 2 Y B由这两个控制数值可画出一条直线，即为梁的剪力图，如图4-9 （b ）所示。