心理与教育统计学课件 张厚粲版 ch 卡方检验

为了努力使 2分布成为 2值合理准确的近似估计 ，每一个单元格中
的期望次数应该至少在 5个以上。
当自由度等于1时，在进行 2检验时，每一个单元格 的期望次数至少
不应低于10，这样才能保证检验的 准确性。 在理论次数较小的特殊 的四个表中，应运用一 个精确的多项检验来
避免使用近似的 2检验。
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第一节 2 检验 概述
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第二节 配合度检验
一、配合度检验的意义
配合度检验是应用 2 检验方法的一种，主要用
于检验实际观测次数与某理论次数是否有差别的情 况。它适用一个因素多项分类的计数资料，所以又
称做单因素分类 2检验或单向表的 2 检验。
进行配合度检验，应当注意自由度的确定和理论 次数的计算。
1. 配合度检验自由度确定与下列两个因素有关：一是 实验或调查中分类的项数；二是计算理论次数时， 用到的统计量的个数。自由度=资料分类的数目－计 算理论次数时所用的统计量的个数。
三、小期望次数的连续 性校正
运用 2检验时，要求各单元格 的理论次数不得小于 5，小于 5时可能违反基本假设， 导致统计检验高估的情 形出现。通常需要有 80% 以上的单元格理论值要 大于 5，否
则 2检验的结果偏差非常明 显。 当单元格的人数过少时 ，处理的方法有四种：
第一，单元格合并法。
配合研究目的，适当调 整变量分类方式，将部 分单元格予以合并。
第二，增加样本数。
如无法改变分类方式又 想获得有效样本，最佳 方法是直接增加样本数 。
第三，去除样本法。样 本无法增加，次数偏低 的类别又不具有分析与 研究价值时，
可将该类被试去除，但 研究的结论不能推论到 这些被去除的母总体中 。
第四，使用校正公式。 在2 2的列联表检验中，若单 元格的期望次数低于 10 但高
157- 158 110 3.38 0.67 .3187 .18858 104 .471
154- 155 124 0.38 .07 .3979 .23544 130 .277
151- 152 112 -2.62 -0.52 .3484 .20615 114 .035
148- 149 80 -5.62 -1.11 .2154 .12746 70 1.429
10
例10 的计算： 解：正态分布的基线上四等份，每等份= （3σ+3σ)/4=1.5σ
概率P
f0
fe
优 0.49870.4332 7 3.5
0.06550.07
良 0 .43 0 3 .42 322 21.5
f0 fe
3.5 0.5
f0 fe 2
fe
3.5
0.01
中
0.43
18 21.5 -3.5
0.57
差
0.07
3 3.5 -0.5
0.07
合计
50 50
4.15
11
例10的计算(续)
由上表得:
2 4.15 df 413,查表得 :230.05 7.81
4.157.81,P0.05 故50名学生的操行,其 评人 定数接近正态. 分
12
四、连续变量分布的吻合性检验
• 理论次数： fepiN
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一、独立性检验的一般问题
• 二维列联表的独立性检验的一般步骤：
1. 建立假设：H0：二因素之间是独立的或无关
联；H1：二因素之间是有关联的或者说差异
显著。（一般多用文字表述而很少用统计符
号）
2.
计算理论次数：
feij
fRi fCj 1 213
N
3. 确定自由度： d f R 1 C 1
因为3.903<12.6，所以P>0.05，差异不显著。 故这552名中学生的身高分布符合正态分布。
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五、两项分类且某类理论次数小于5的 连续性校正
• 当只有两项分类（自由度为1）并且某项的理 论次数小于5时，比率的检验不能用正态近似， 而应用二项分布概率计算。若用 检验 2，就 要运用耶茨（yetes）连续性校正法，即在每一 组实际频数与理论频数差数的绝对值平方之前， 各减去0.5，用公式表示：
2 3.905 14
例11 解（续）
• 如果两端的组中的理论次数均有小于5的，则 需要将相邻的理论次数合并至大于5。本题共 分11组，两端均有理论次数小于5，上端二组 合并为一组，下端二组合并为一组，然后将实 际次数也相应合并之后，再求 2 值，本题由上 面解得：2 3.905。
• df=9-3=6，查 2 值表得：26.0512.6
4. 计算统计量：具体方法下面逐一介绍之。 5. 统计决断
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二、2×2列联表（四格表）独立性检验
㈠独立样本四格表的 2检验：四格表独立样本，
即从总体中随机取样，然后按两个因素对个体 进行分类，将观测结果分别填入四个格内，便
得到独立样本四格表，当各格的理论次数 fe 5
时，可用基本公式（12-11），即：
2 f0 fe 2
fe 或可用下面简便算 公:式计
2 abNcaddabcc2bd1214
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例14 今随机抽取90人，按男女不同性别和 学生学习水平两个因素进行分类，结果如 下表所示，问男女学生学业水平有无显著 差异？或问性别与学业之间有无关联？
中等以上 中等以下
合计
男 23（a） 17（b）
18
一、独立性检验的一般问题
• 2检验主要研究两个因素或两个以上因素多项
分类的计数资料的独立性问题。如果两个因素 中的一个因素有R类，另一个因素有C类，这种 表称之为R×C表，即二维列联表。特殊的列联 表是2×2表。因素若是多于两个，这种表称为 多维表，多维列联表的分析较为复杂，本节从
略，这里仅介绍二维列联表的 2检验。
Z分 数
查表 p
Y
Y
i S
f e f0 fe 2
p N fe
3.03 0.004 .00237 1
.125
2.44 .00203 .01201 7
163- 164 22 9.38 1.85 .0720 .04260 24 .167
160- 161 57 6.38 1.26 .1840 .10888 60 .150
2f0fe 0.52
fe
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例12 有一学校共评出10名优秀学生班干部， 其中男生3名，女生7名，问优秀学生班干 部是否存在男女性别差异？
解：假设无性别差异，则p=q=0.5，那么男
女应各有5人，这时需要使用亚茨校正公
式。
2
35 0.52
75
源自文库
0.52
0.9
5
5
df 1查表得: 210.05 3.84
40（a+b）
女 28（c） 22（d）
对于这些计数资料的统计分析，不能用前几章的统计方
法，则需要使用本章2检 所介验绍的
2检。验应用
分析计数数据时，对计数数据总体的分布形态不作任何
假设，因此2检验
种。
被视为是非参数检验方法的一
1
第一节 2 检验 概述
一、 2 和 2检验的意义
2检验方法能处理一个因素两项或多项分类的实际观
察频数与理论频数分布是否相一致问题，或者说有无显著 差异问题。所谓实际频数简称实计数或实际数，是指在实 验或调查中得到的计数资料，又称为观察频数。理论次数 是指根据概率原理、某种理论、某种理论次数分布或经验 次数分布计算出来的次数，又称为期望次数。
2. 理论次数的计算，一般是根据某种理论，按一定的 概率通过样本即观测次数计算。通常用到无差假说、 正态分布、二项分布等理论模型。
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二、无差假说的检验
• 无差假说是指各项分类的次数没有差异，即假 设各项分类之间的机会均等，或概率相等。因 此，理论次数完全按概率相等的条件计算，其 公式为：
fe 总数分类 1 项数
145- 146 25 -8.62 -1.70 .0940 .05562 31 1.161
142- 143 139- 140
8 -11.62 -2.29 .0289 .01710 9 4 -14.62 -2.88 .0067 .00396 2
.090
N 5,X 5 1 2.6 5 ,S 2 4 5 .07 fe552
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例8 随机抽取60名学生，问他们高中要不 要文理分科，回答赞成的39人，反对的21 人，问对分科的意见有无显著差异？
解： fe 600.530
1建立假:设H0 : f0 fe 30;H1: f0 fe
2计算2值:2 f0 fe 2 39302 21302 5.4
fe
30
30
3统计决:断 df211;查表得 :21.05 3.84,21.016.63
• 检验还可以检验某些实得次数是否合乎正 态分布。不过，在计算时，要注意把常态分布 的概率，转换为理论次数的数值。即要用常态 分布的概率乘以总次数得出理论次数的分配。
• 例10 对50名学生进行操行评定，分优、良、 中、差四等，评定的结果是：优7人，良22人， 中18人，差3人，试检验其分布的形式是否合 乎正态分布？
3.845.46.63,0.01P0.05
故对高中文理分度 科有 的差 态.异
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例9大学某系54位老年教师中，健康状况属 于好的有15人，中等的有23人，差的有16 人，问该校老年教师中三种健康状况的人 数是否一样？
解：1建立假设: H0 : 健康状况好,中,差三种人数相同
H1 : 健康状况好,中,差三种人数不相同
2是实计数据与理偏论离数程据度的. 指标
其基本公:式 2为 f0fefe2
2
第一节 2 检验 概述
二、 2检验的假设
（一）分类相互排斥， 互不包容 （二）观测值相互独立
在实验研究中，让观测 值的总数等于实验中不 同被试的总数，要求 每个被试只有一个观测 值，这是确保观测值相 互独立最安全的做法。 （三）期望次数的大小
• 自由度：
df组数 计算理论次数 计时 量所 的用 数
例11 表12-5所列资料是552名中学生的身高次数 分。问这些学生的身高是否符合正态分布？
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例11解:表12-5 理论曲线的配合度检验
身高 组中 实际 分组 值XC 次数
169- 170 2 166- 167 7
离差
15.38 12.38
于5，可用耶茨校正公式加 以校正。若期望次数小 于5时，或样本总人数低于 20时，
则应使用费舍精确概率 检验法。当单元格内容 牵涉到重复测量设计时
（如前后测设计），则 可使用麦内玛检验。
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第三节 2 检验 概述
三、 2检验的类别 2检验因研究的问题不同 ，可以细分为多种类型 ，如配合度检验、独立 性检验、同质性检验等 等。 配合度检验主要用来检 验一个因素多项分类的 实际观察数与某理论次 数 是否接近，这种 2检验方法有时也称为无 差假说检验。当对连续 数据的 正态性进行检验时，这 种检验又可称为正态吻 合性检验。 独立性检验是用来检验 两个或两个以上因素各 种分类之间是否有关联 或 是否具有独立性的问题 。所谓的两个因素是指 所要研究的两个不同事 物。 例如性别与对某个问题 的态度是否有关系。 同质性检验主要目的在 于鉴定不同人群母总体 在某一个变量的反应是 否 具有显著差异。当用同 质性检验检测双样本在 单一变量的分布情形， 如 果两样本没有差异，就 可以说两个母总体是同 质的，反之，则说这两 个 母总体是异质的。
第十章 2检验
前面几章所讲的总体平均数、方差的统计推断等内
容，均是针对连续性数据的。但在教育和心理研究中，
有时需研究的问题是按一定的性质划分为不同的类别，
然后统计各类别中的人数或个数，即需要用到计数资料。
例如，将人按照性别划分为“男”、“女”；将学生按
照学习成绩的优劣划分为“优”、“良”、“中”、
“差”等，然后对各类别分别有多少，占多大的比例等。
2计算
2值: 根据零假设,其理论频数为:
fe
54 3
18
2 15182 23182 16182 2.11
18
18
18
3统计决断: df 31 2,查表得, 220.05 5.99
2.11 5.99,P 0.05
故该校老教师中, 健康状况好,中, 差三种人数无显著差异.
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三、频数分布是否符合正态性的 2 检验
0.9 3.84,P 0.05
故优秀学生班干,部不中存在男女性别差 . 异
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第三节 独立性检验
• 独立性检验也是 2 检验的又一重要应用，它
主要用于两个或两个以上因素多项分类的计数 资料分析。如果想研究两个（或两个以上因素）
之间是否具有独立性或有无关联，就要用 2
检验独立性检验。
• 如果两个因素是独立的，即无关联，就意味着 当其中一个因素变化时，另一个因素的变化是 在取样误差的范围之内；反之，如果两个因素 是非独立，即有关联或称有交互作用存在，当 其中的一个自变量（因素）变化时，另一个因 素的变化就超过了取样误差的范围。