二次函数系数a、b、c与图像的关系

二次函数系数a、b、c与图像的关系

知识要点

二次函数y=ax2+bx+c系数符号的确定：

（1）a由抛物线开口方向确定：开口方向向上，则a＞0；否则a＜0．

（2）b由对称轴和a的符号确定：由对称轴公式x=判断符号．

（3）c由抛物线与y轴的交点确定：交点在y轴正半轴，则c＞0；否则c＜0．

（4）b2-4ac的符号由抛物线与x轴交点的个数确定：2个交点，b2-4ac＞0；1个交点，b2-4ac=0；没有交点，b2-4ac ＜0．

（5）当x=1时，可确定a+b+c的符号，当x=-1时，可确定a-b+c的符号．

（6）由对称轴公式x=，可确定2a+b的符号．

一．选择题（共9小题）

1．（2014•威海）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，则下列说法：

①c=0；②该抛物线的对称轴是直线x=﹣1；③当x=1时，y=2a；④am2+bm+a＞0

（m≠﹣1）．

其中正确的个数是（）

A．1B．2C．3D．4

2．（2014•仙游县二模）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，给出以下

结论：①a+b+c＜0；②a﹣b+c＜0；③b+2a＜0；④abc＞0．其中所有正确结论的序号

是（）

A．③④B．②③C．①④D．①②③3．（2014•南阳二模）二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，那么关于此二次函数的下

列四个结论：

①a＜0；②c＞0；③b2﹣4ac＞0；④＜0中，正确的结论有（）

A．1个B．2个C．3个D．4个

4．（2014•襄城区模拟）函数y=x2+bx+c与y=x的图象如图，有以下结论：

①b2﹣4c＜0；②c﹣b+1=0；③3b+c+6=0；④当1＜x＜3时，x2+（b﹣1）x+c＜0．

其中正确结论的个数为（）

A．1B．2C．3D．4

5．（2014•宜城市模拟）如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，其对称轴为x=﹣1，

且过点（﹣3，0）下列说法：

①abc＜0；②2a﹣b=0；③4a+2b+c＜0；④若（﹣5，y1），（2，y2）是抛物线上的两点，

则y1＞y2．

其中说法正确的是（）

A．①②B．②③C．②③④D．①②④6．（2014•莆田质检）如图，二次函数y=x2+（2﹣m）x+m﹣3的图象交y轴于负半轴，对称轴在y

轴的右侧，则m的取值范围是（）

A．m＞2 B．m＜3 C．m＞3 D．2＜m＜3 7．（2014•玉林一模）如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，图象过点A（﹣3，0），

对称轴为x=﹣1．给出四个结论：①b2＞4ac；②2a+b=0；③3a+c=0；④a+b+c=0．

其中正确结论的个数是（）

A．1个B．2个C．3个D．4个

8．（2014•乐山市中区模拟）如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），顶

点坐标为（1，n），与

y轴的交点在（0，2）、（0，3）之间（包含端点）．有下列结论：

①当x＞3时，y＜0；②3a+b＞0；③﹣1≤a≤﹣；④≤n≤4．

其中正确的是（）

A．①②B．③④C．①③D．①③④9．（2014•齐齐哈尔二模）已知二次函数y=ax2+bx+c（a＞0）的图象与x轴交于点（﹣1，0），（x1，0），且1＜x1＜2，下列结论正确的个数为（）

①b＜0；②c＜0；③a+c＜0；④4a﹣2b+c＞0．

A．1个B．2个C．3个D．4个

10、（2011•重庆）已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）在平面直角坐标系中的位置如图所示，则下列结论中，正确的是（）

A、a＞0

B、b＜0

C、c＜0

D、a+b+c＞0

11、（2011•雅安）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图，其对称轴x=-1，给出下列结果

①b2＞4ac；②abc＞0；③2a+b=0；④a+b+c＞0；⑤a-b+c＜0，则正确的结论是（）

A、①②③④

B、②④⑤

C、②③④

D、①④⑤

12、（2011•孝感）如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与y轴正半轴相交，其顶点坐标为

（12，1），下列结论：①ac＜0；②a+b=0；③4ac-b2=4a；④a+b+c＜0．其中正确结论

的个数是（）

A、1

B、2

C、3

D、4

答案

一．选择题（共9小题）

1．（2014•威海）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，则下列说法：

①c=0；②该抛物线的对称轴是直线x=﹣1；③当x=1时，y=2a；④am2+bm+a＞0（m≠﹣1）．

其中正确的个数是（）

A．1B．2C．3D．4

考点：二次函数图象与系数的关系．

分析：由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．

解答：解：抛物线与y轴交于原点，

c=0，（故①正确）；

该抛物线的对称轴是：，

直线x=﹣1，（故②正确）；

当x=1时，y=a+b+c

∵对称轴是直线x=﹣1，

∴﹣b/2a=﹣1，b=2a，

又∵c=0，

∴y=3a，（故③错误）；

x=m对应的函数值为y=am2+bm+c，

x=﹣1对应的函数值为y=a﹣b+c，

又∵x=﹣1时函数取得最小值，

∴a﹣b+c＜am2+bm+c，即a﹣b＜am2+bm，

∵b=2a，

∴am2+bm+a＞0（m≠﹣1）．（故④正确）．

故选：C．

点评：本题考查了二次函数图象与系数的关系．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点、抛物线与x轴交点的个数确定．

2．（2014•仙游县二模）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，给出以下结论：①a+b+c＜0；②a ﹣b+c＜0；③b+2a＜0；④abc＞0．其中所有正确结论的序号是（）