最新人教版数学必修四三角函数复习讲义

第一讲 任意角与三角函数诱导公式

1. 知识要点

角的概念的推广：

平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所的图形。按逆时针方向旋转所形成的角叫正角，按顺时针方向旋转所形成的角叫负角，一条射线没有作任何旋转时，称它形成一个零角。射线的起始位置称为始边，终止位置称为终边。 象限角的概念：

在直角坐标系中，使角的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限的角。如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限。 终边相同的角的表示：

α终边与θ终边相同(α的终边在θ终边所在射线上)?2()k k αθπ=+∈Z 。

注意：相等的角的终边一定相同，终边相同的角不一定相等.

α终边在x 轴上的角可表示为：,k k Z απ=∈； α终边在y 轴上的角可表示为：,2

k k Z π

απ=+∈；

α终边在坐标轴上的角可表示为：,2

k k Z π

α=

∈. 角度与弧度的互换关系：360°=2π 180°=π 1°=0.01745 1=57.30°=57°18′

注意：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零.

α与2

α的终边关系：

任意角的三角函数的定义:

设α是任意一个角，P (,)x y 是α的终边上的任意一点（异于原点），

它与原点的距离是0r =>，那么sin ,cos y

x r r

αα==，

()tan ,0y x x α=

≠，cot x y α=(0)y ≠，sec r

x

α=()0x ≠，()csc 0r y y α=≠。

三角函数值只与角的大小有关，而与终边上点P 的位置无关。

三角函数线的特征：正弦线MP“站在x 轴上(起点在x 轴上)”、余弦线OM“躺在x 轴上(起点是原点)”、正切线A T“站在点(1,0)A 处(起点是A )”

同角三角函数的基本关系式：

1. 平方关系：222222sin cos 1,1tan sec ,1cot csc αααααα+=+=+=

2. 倒数关系：sin αcsc α=1,cos αsec α=1,tan αcot α=1,

3. 商数关系：sin cos tan ,cot cos sin αα

αααα

=

=

注意：1.角α的任意性。 2.同角才可使用。 3.熟悉公式的变形

形式。

三角函数诱导公式：“ （2

k πα+）”记忆口诀: “奇变偶不变，符号看象限”

典型例题

例1．求下列三角函数值： （1）cos210o； (2)sin 4

5π

例2．求下列各式的值： （1）sin(－3

4π

)； (2)cos(－60o)－sin(－210o)

例3．化简 )

180sin()180cos()

1080cos()1440sin(?--?-?-?-?+?αααα

例4．已知cos(π+α)=－2

1

，23π<α<2π，则sin(2π－α)的值是

（ ）．

(A)

2

3

(B) 21 (C)－2

3 (D)±

2

3 例5、求证： )

2

cos()5cos()2sin()4sin()

cot()2tan()23cos()2sin(

απαπαπ

απαπαπαπαπ

+-+--=+-+---+k k k

例6 的值。求)4

(cos )4

(cos 22α+π+α-π

例7 )(sin ,17cos )(cos x f x x f 求若=

课后练习

1.在直角坐标系中，若角α与β终边互为反向延长线，α与β之间的关系是（ ）

A ．αβ=

B ．()

2k k Z απβ=+∈

C ．απβ=+

D ．

()()

21k k Z απβ=++∈

2.圆内一条弦的长等于半径，这条弦所对的圆心角是（ ）

A ．等于1弧度

B ．大于1弧度

C ．小于1弧度

D ．无法判断

3. 角α的终边上有一点P (a ，a )，a ∈R ，且a ≠0，则sin α的值是( ) A ．

2

2 B ．-2

2 C ．±2

2 D ．1

4. α是第二象限角，其终边上一点P （x ，5），且

cos α＝

4

2

x ，则sin α的值为（ ） A ．4

10

B ．4

6 C ．

4

2

D ．－

410

5.设角α是第二象限角，且|cos 2α|＝－cos 2α，则角2α

是（ ）

A ．第一象限角

B ．第二象限角

C ．第三象限角

D ．第四象限角

6. 已知

45

cos sin -

=-αα，则ααcos sin ?等于（ ）

A ．47

B ．－169

C ．－329

D ．329

7. 函数x x x x y sin cos 1cos sin 122-+

-=的值域是（ ）

A ．｛0，2｝

B ．｛－2，0｝

C ．｛－2，0，2｝

D ．｛－2，2｝

8. 化简4cos 4sin 21-的结果是（ ）

A 、4cos 4sin +

B 、4cos 4sin -

C 、4sin 4cos -

D 、4cos 4sin --

9. 若2cos sin =+αα，则ααcot tan +等于（ ）

A 、1

B 、2

C 、-1

D 、-2

10. 若A 、B 、C 为△ABC 的三个内角，则下列等式成立的是（ ） A 、A C B sin )sin(=+ B 、A C B cos )cos(=+ C 、A C B tan )tan(=+ D 、A C B cot )cot(=+

11. 若101)sin(=+απ，则)270cos()540csc()

90sin()sec(???------+-αααα的值是（ ）

A 、3

1- B 、271±

C 、3

1

D 、33-

12. 若θsin 、θcos 是关于x 的方程0242=++m mx x 的两个实根，则m 值

为（ ）

A 、??

??

??-∈0,3

4m B 、51-=m C 、51±=m D 、51+=m

13. .定义在R 上的函数f （x ）既是偶函数又是周期函数.若f （x ）的最

小正周期是π，且当x ∈［0，2

π］时，f （x ）=sin x ，则f （3

π5）的值

为( ) A.－2

1

B.2

1

C.－

2

3

D.

2

3

14. 函数

lg(2cos y x =-的单调递增区间为 ( ) ．

A ．(2,22)()k k k Z ππππ++∈

B ．11

(2,2)()6

k k k Z ππππ++

∈ C ．(2,

2)()6

k k k Z πππ-∈

D ．(2,

2)()6

k k k Z π

ππ+∈

15. 下列说法只不正确的是 ( )

A ．正弦函数、余弦函数的定义域是R ，值域是[-1，1]；

B ．余弦函数当且仅当x =2kπ( k ∈Z) 时，取得最大值1；

C ．余弦函数在[2kπ+2

π,2kπ+32

π]( k ∈Z)上都是减函数；

D ．余弦函数在[2kπ-π,2kπ]( k ∈Z)上都是减函数

16. 若a =sin 460,b =cos 460,c =tan360，则a 、b 、c 的大小关系是( ) A ． c > a > b B. a > b > c C. a >c > b D. b > c > a

18. 若α是第四象限角，则απ-是 （ ）

A ． 第一象限 B.第二象限 C. 第三象限期 D.第四象限

19.若0cos 3sin =+αα，则α

αα

αsin 3cos 2sin 2cos -+的值为 .

20.sin

4

9π

tan 37π= _________

21.若α是第二象限的角，则2α

是第 象限的角。

22.若θ角的终边与85π

角的终边相同，则在[]0,2π上终边与4θ的角终边

相同的角为 ；

23.终边在x 轴上的角的集合为 ，终边在y 轴上的角的集合为 ，终边在坐标轴上的角的集合为 。 24. 已知x x

x f +-=

11)(，若?

?? ??∈ππα，2，求)cos ()(cos αα-+f f 的值。

25. 已知2

1

)sin(=+απ，求απααπcos )cot()2sin(?---的值.

26. 已知：2

1cos sin =+αα，求θθ33cos sin +和θθ44cos sin +的值。

27. 若cos α＝2

3，α是第四象限角，求

sin(2)sin(3)cos(3)cos()cos()cos(4)

απαπαππαπααπ-+--------的

值

第二讲 三角函数的图像与性质

1．函数B x A y ++=)sin(?ω）

，（其中00>>ωA 最大值是B A +，最小值是A B -，周期是ω

π

2=

T ，频率是π

ω2=

f ，相位是?ω+x ，初相是?；其图象的对称轴是直线

)(2

Z k k x ∈+

=+π

π?ω，凡是该图象与直线B y =的交点都是该图象的对

称中心。

2．由y ＝sin x 的图象变换出y ＝sin(ωx ＋?)的图象一般有两个途径，只有区别开这两个途径，才能灵活进行图象变换。

3．由y ＝A sin(ωx ＋?)的图象求其函数式： 4．五点法作y =A sin （ωx +?）的简图： 典例解析

例1．（2000全国，5）函数y ＝－xc os x 的部分图象是（ ）

例2．试述如何由y =3

1sin （2x +3

π）的图象得到y =sin x 的图象。

例3．（2003上海春，15）把曲线yc os x +2y －1=0先沿x 轴向右平移2

π

个单位，再沿y 轴向下平移1个单位，得到的曲线方程是（ ）

A ．（1－y ）sin x +2y －3=0

B ．（y －1）sin x +2y －3=0

C ．（y +1）sin x +2y +1=0

D ．－(y +1)sin x +2y +1=0

例4．（2003上海春，18）已知函数f （x ）=A sin （ωx +?）（A >0，ω>0，x ∈R ）在一个周期内的图象如图所示，求直线y =3与函数f （x ）图象的所有交点的坐标。

例5．（1）已知f （x ）的定义域为［0，1］，求f （c os x ）的定义域；

（2）求函数y =lgsin （c os x ）的定义域；

例6．求下列函数的单调区间：

（1）y =2

1sin （4

π－32x ）；（2）y =－｜sin （x +4

π）｜。

例7．关于x 的函数f （x ）=sin （x +?）有以下命题：

①对任意的?，f （x ）都是非奇非偶函数；

②不存在?，使f （x ）既是奇函数，又是偶函数； ③存在?，使f （x ）是奇函数；

④对任意的?，f （x ）都不是偶函数。

其中一个假命题的序号是 .

例8．设)0(cos sin )(>+=ωωωx b x a x f 的周期π=T ，最大值4)12

(=π

f ，

（1）求ω、a 、b 的值；

（2）的值终边不共线，求、的两根，为方程、若)tan(0)(βαβαβα+=x f 。

例9．函数y ＝

x x cos sin 21

++的最大值是（ ）

A ．22－1

B ．22＋1

C ．1－22

D ．－1－2

2

课后练习

1、3sin(2)4

y x π

=+的最小正周期是 、对称轴

是 、单调递增区间是 、单调递减区间

是 ；振幅是 、相位是 、初相是 。用五点法作出该函数的图象。并说明该函数怎样由sin y x =变化而来。 2、求3sin(2),[,]4

22

y x x πππ

=+∈-的单调递减区间。

3、比较大小 6cos(),sin

,sin 8

76

π

ππ

-； tan1,tan 2,tan3

4、求3sin(2),[,]3

66

y x x πππ

=+∈-的最大值、最小值及对应的x 的取值范

围。

5、求3sin(2),[,],03

66

y a x x a πππ

=+∈-≠的最值及对应的x 的取值。

6、若2sin(2),[0,]3

2

y a x b x ππ

=-+∈的最大值是1，最小值是5-，求a b ，的

值。