2020年中考数学考点第12讲反比例函数

第12讲 反比例函数

反比例函数解析式的确定 (1)确定方法：待定系数法； (2)一般步骤：

①设所求的反比例函数解析式为y ＝k

x

(k≠0)；

②根据已知条件，得到反比例函数图象上一点P(a ，b)； ③将点P(a ，b)代入反比例函数的解析式得到关于系数k 的方程； ④解方程得待定系数k 的值；

⑤把k 的值代入y ＝k

x

即可得反比例函数解析式

考点1： 反比例函数的图像与性质

【例题1】如图，四边形ABCD 是平行四边形，点A(1，0)，B(3，1)，C(3，3)．反比例函数y ＝m

x (x ＞0)的

图象经过点D ，点P 是一次函数y ＝kx ＋3－3k(k ≠0)的图象与该反比例函数图象的一个公共点． (1)求反比例函数的解析式；

(2)通过计算，说明一次函数y ＝kx ＋3－3k(k ≠0)的图象一定经过点C ；

(3)对于一次函数y ＝kx ＋3－3k(k ≠0)，当y 随x 的增大而增大时，确定点P 横坐标的取值范围．(不必写出过程)

【解析】：(1)∵B(3，1)，C(3，3)，四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD ＝BC ＝2，BC ⊥x 轴． ∴AD ⊥x 轴．

又∵A(1，0)，∴D(1，2)． ∵D 在反比例函数y ＝m

x

的图象上，

∴m ＝1×2＝2.∴反比例函数的解析式为y ＝2

x .

(2)当x ＝3时，y ＝kx ＋3－3k ＝3，

∴一次函数y ＝kx ＋3－3k(k ≠0)的图象一定过点C. (3)设点P 的横坐标为a ，则2

3

＜a ＜3.

归纳：反比例函数中，y 随x 的大小变化的情况，应分x ＞0与x ＜0两种情况讨论，而不能笼统地说成“k ＜0时，y 随x 的增大而增大”．双曲线上的点在每个象限内，y 随x 的变化是一致的．运用反比例函数的性质时，要注意在每一个象限内的要求． 考点2： 反比例函数与一次函数的综合

【例题2】如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y ＝k

x (x ＞0)的图象与边长是6的正方形OABC 的两边AB ，

BC 分别相交于M ，N 两点．

(1)若点M 是AB 边的中点，求反比例函数y ＝k

x 的解析式和点N 的坐标；

(2)若AM ＝2，求直线MN 的解析式及△OMN 的面积．

【点拨】(1)由已知可知点M 的坐标，求出k 的值，从而求出点N 的坐标；(2)确定点M ，点N 的坐标，三角形面积就可求出．

【解答】解：(1)∵点M 是AB 边的中点，∴M(6，3)．

∵反比例函数y ＝k x 经过点M ，∴3＝k

6.∴k ＝18.

∴反比例函数的解析式为y ＝18

x .

当y ＝6时，x ＝3，∴N(3，6)． (2)由题意，知M(6，2)，N(2，6)． 设直线MN 的解析式为y ＝ax ＋b ，则

⎩⎪⎨⎪⎧2＝6a ＋b ，6＝2a ＋b ，解得⎩

⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝8.

∴直线MN 的解析式为y ＝－x ＋8.

∴S △OMN ＝S 正方形OABC －S △OAM －S △OCN －S △BMN ＝36－6－6－8＝16. 【变式】 在例2中，若△OMN 的面积为10，求点M ，N 的坐标． 解：∵OA ＝OC ＝6，设M(6，y)，则N(y ，6)． ∴BM ＝BN ＝6－y. ∵S △OMN ＝10，

∴36－12×6×y ×2－12(6－y)2＝10，即y 2

＝16.

又∵y>0，∴y ＝4，∴M(6，4)．∴N(4，6)．

归纳：1．确定反比例函数解析式只要一个合适的条件(如图象上一个点的坐标)即可．另外将已知点的坐标或部分坐标代入解析式中，从而确定字母的值是我们经常用的方法． 2．双曲线y ＝k

x

中，根据k 的几何意义求图形面积常用图形有：

S 阴影＝|k|

S 阴影＝|k|2

S 阴影＝|k|

3.第一象限内的双曲线本身是轴对称图形，正方形也是轴对称图形，所以在本题中，图形是关于直线y ＝x 的轴对称图形，对解答第(2)问提供解题思路． 考点3：反比例函数的实际应用

【例题3】 (2018·乐山)某蔬菜生产基地的气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种新品种蔬菜．如图是试验阶段的某天恒温系统从开启到关闭后，大棚内的温度y(℃)与时间x(h)之间的函数关系，其中线段AB ，BC 表示恒温系统开启阶段，双曲线的一部分CD 表示恒温系统关闭阶段． 请根据图中信息解答下列问题：

(1)求这天的温度y 与时间x(0≤x ≤24)的函数关系式； (2)求恒温系统设定的恒定温度；

(3)若大棚内的温度低于10 ℃时，蔬菜会受到伤害．问这天内，恒温系统最多可以关闭多少小时，才能使蔬菜避免受到伤害？

【点拨】 (1)用待定系数法分段求函数解析式；(2)观察图象可得；(3)代入临界值y ＝10即可．

【解答】 解：(1)设线段AB 解析式为y ＝k 1x ＋b(k ≠0)， ∵线段AB 过点(0，10)，(2，14)，代入，得

⎩⎪⎨⎪⎧b ＝10，2k 1＋b ＝14，解得⎩

⎪⎨⎪⎧k 1＝2，b ＝10. ∴AB 解析式为y ＝2x ＋10(0≤x ＜5)． ∵B 在线段AB 上，当x ＝5时，y ＝20. ∴B 坐标为(5，20)．

∴线段BC 的解析式为y ＝20(5≤x ＜10)． 设双曲线CD 的解析式为y ＝k 2

x (k 2≠0)．

∵C(10，20)，∴k 2＝200.

∴双曲线CD 解析式为y ＝200

x

(10≤x ≤24)．

∴y 关于x 的函数解析式为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋10（0≤x<5），20（5≤x<10），

200x （10≤x ≤24）.

(2)由(1)可知，恒温系统设定恒定温度为20 ℃. (3)把y ＝10代入y ＝200

x 中，解得x ＝20.

∴20－10＝10.

答：恒温系统最多关闭10小时，蔬菜才能避免受到伤害．

归纳：反比例函数实际应用题是近年中考常见的题型，解题时首先要仔细审读题目(或图象)中给予的信息，挖掘题目(或图象)中隐含的条件，提取有用信息，综合运用所学知识解决问题．

一、选择题：

1. （2018•柳州）已知反比例函数的解析式为y=，则a 的取值范围是（ ）

A ．a ≠2

B ．a ≠﹣2

C ．a ≠±2

D ．a=±2 【答案】C