数列求和方法总结(课堂PPT)
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数列求和的几种方法PPT课件
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练习：(2003s)设f x 1 ，利用课本中
2x 2 推导等差数列前n项和的公式的方法，可求得
f 5 f 4 f 0 f 5 f 6
的值为 3 2 。
第3页/共11页
2、错位相减法
例2：求: 1 2
2 22
3 23
n 2n
1 an n 2n
问题：什么时候用错位相减的方法求数列和？
通过拆项，能将数列转化成两个或若干个等差或等比数 列的和或差的形式来求和。
第6页/共11页
4、拆项抵消
例4：求： 1 1
2
1 2
3
1
nn
1
1 11
an nn 1 n n 1
问题：什么时候用拆项抵消的方法求数列和？
将数列的每一项（实际就是通项）拆分成两项， 在求和时除前、后若干项外，中间各项能够相互抵消。
n
1 2
5 4
9 8
......
4n 2n
3.
5 求：S
n
1
3 2
5 4
7 8
......
(1)n1
2n 1 2n1
.
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感谢观看！
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1 2
1
1 3
1 ...... 2 2 3
1 n 1
. n
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练习：
(1)求数列 ：1 1，2 1，3 1 3 9 27
，， n
1 3n
的
和S
．
n
(2)求数列 ：1 ，11，111，，111（n个1) 的和Sn．
(3)求：S
n
1 1
3
1
练习：(2003s)设f x 1 ，利用课本中
2x 2 推导等差数列前n项和的公式的方法，可求得
f 5 f 4 f 0 f 5 f 6
的值为 3 2 。
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2、错位相减法
例2：求: 1 2
2 22
3 23
n 2n
1 an n 2n
问题：什么时候用错位相减的方法求数列和？
通过拆项，能将数列转化成两个或若干个等差或等比数 列的和或差的形式来求和。
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4、拆项抵消
例4：求： 1 1
2
1 2
3
1
nn
1
1 11
an nn 1 n n 1
问题：什么时候用拆项抵消的方法求数列和？
将数列的每一项（实际就是通项）拆分成两项， 在求和时除前、后若干项外，中间各项能够相互抵消。
n
1 2
5 4
9 8
......
4n 2n
3.
5 求：S
n
1
3 2
5 4
7 8
......
(1)n1
2n 1 2n1
.
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1
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1 ...... 2 2 3
1 n 1
. n
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练习：
(1)求数列 ：1 1，2 1，3 1 3 9 27
，， n
1 3n
的
和S
．
n
(2)求数列 ：1 ，11，111，，111（n个1) 的和Sn．
(3)求：S
n
1 1
3
1
数列的求和方法(ppt)
分组求和法：有一等比或者其他常见数列(即可用倒序相加，错位相减或 裂项相消求和的数列)，然后分别求和，之后再进行合并即可算出原数列的前n项 和。
错位相减法：形如An=BnCn，其中{Bn}为等差数列，首项为b1，公差为d；{Cn}为等 比数列，首项为c1，公比为q。对数列{An}进行求和，首先列出Sn，记为①式；再把① 式中所有项同乘等比数列{Cn}的公比q，即得qSn，记为②式；然后①②两式错开一位 做差，从而得到{An}的前n项和。这种数列求和方式叫作错位相减。
数列的求和方法(ppt)
演讲人
目录
01
数列概念
02
等差数列思维导图
数列求和的七种方法：倒序相加法、分组求和法、错位相减法、裂项相消法、乘 公比错项相减（等差×等比）、公式法、迭加法。
倒序相加法：如果一个数列{an}，与首末两端等“距离”的两项和相等或者等于 同一个常数，则求该数列的前n项和即可用倒序相加法。例如等差数列的求和公 式，就可以用该方法进行证明。
等差数列思维导图
一般地来说如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常 数，这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字 母d表示，前n项和用Sn表示。
谢谢
裂项相消法：裂项相消法把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互 抵消，从而求得其和。
乘公比错项相减（等差×等比）：这种方法是在推导等比数列的前 n 项和公式时所用的 方法，这种方法主要用于求数列（anxbn）的前n项和，其中（an），（bn）分别是 等差数列和等比数列。
公式法：对等差数列、等比数列，求前n项和Sn可直接用等差、等 比数列的前n项和公式进行求解。运用公式求解的注意事项：首先 要注意公式的应用范围，确定公式适用于这个数列之后，再计算。
错位相减法：形如An=BnCn，其中{Bn}为等差数列，首项为b1，公差为d；{Cn}为等 比数列，首项为c1，公比为q。对数列{An}进行求和，首先列出Sn，记为①式；再把① 式中所有项同乘等比数列{Cn}的公比q，即得qSn，记为②式；然后①②两式错开一位 做差，从而得到{An}的前n项和。这种数列求和方式叫作错位相减。
数列的求和方法(ppt)
演讲人
目录
01
数列概念
02
等差数列思维导图
数列求和的七种方法：倒序相加法、分组求和法、错位相减法、裂项相消法、乘 公比错项相减（等差×等比）、公式法、迭加法。
倒序相加法：如果一个数列{an}，与首末两端等“距离”的两项和相等或者等于 同一个常数，则求该数列的前n项和即可用倒序相加法。例如等差数列的求和公 式，就可以用该方法进行证明。
等差数列思维导图
一般地来说如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常 数，这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字 母d表示，前n项和用Sn表示。
谢谢
裂项相消法：裂项相消法把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互 抵消，从而求得其和。
乘公比错项相减（等差×等比）：这种方法是在推导等比数列的前 n 项和公式时所用的 方法，这种方法主要用于求数列（anxbn）的前n项和，其中（an），（bn）分别是 等差数列和等比数列。
公式法：对等差数列、等比数列，求前n项和Sn可直接用等差、等 比数列的前n项和公式进行求解。运用公式求解的注意事项：首先 要注意公式的应用范围，确定公式适用于这个数列之后，再计算。
数列求和方法专题课ppt课件
数列求和方法专题
（第一课时）
1
知识梳理
1.公式法
数 2.分组求和法
列
求 3.裂项相消法
和
方 法
4.错位相减法
5.倒序相加法
6.奇偶并项法 7.绝对值法 8.周期法
……
2
1.公式法：
直接用求和公式，求数列的前n项和。
①等差数列的前n项和公式：Sn
n(a1 2
an )
na1
n(n 1) 2
d
②等比数列的前n项和公式
an1 an
a=1 a 1
注意：在求等比数列前n项和时， 当q不确定时要对q分q=1和q≠1两 种情况讨论求解。
4
2.分组求和法：
若数列{an} 的通项可转化为an bn cn
s s 的形式，且数列 {bn}、{cn}可求出前n项和
、
b
c
则
5
例2：求下面数列的前n项和。
11 1
1
2 ,4 ,6 , 4 8 16
Sn
na1 (q a1(1
1) qn )
1 q
a1 anq 1 q
(q
1)
③ 12 22 32 n2 1 n(n 1)(2n 1)
6
④ 13 23 33
n3
n(n 1) 2 2
3
例1 求和：1+(1/ a)+(1/a2)+……+(1/an)
n 1，
解： S
an+1 1
(4)
1 n＋
n＋1＝
n＋1－
n；
(5)
1 n＋
n＋k＝1k(
n＋k－
n)．
(6) nn＋11n＋2＝12[nn1＋1－n＋11n＋2]；
（第一课时）
1
知识梳理
1.公式法
数 2.分组求和法
列
求 3.裂项相消法
和
方 法
4.错位相减法
5.倒序相加法
6.奇偶并项法 7.绝对值法 8.周期法
……
2
1.公式法：
直接用求和公式，求数列的前n项和。
①等差数列的前n项和公式：Sn
n(a1 2
an )
na1
n(n 1) 2
d
②等比数列的前n项和公式
an1 an
a=1 a 1
注意：在求等比数列前n项和时， 当q不确定时要对q分q=1和q≠1两 种情况讨论求解。
4
2.分组求和法：
若数列{an} 的通项可转化为an bn cn
s s 的形式，且数列 {bn}、{cn}可求出前n项和
、
b
c
则
5
例2：求下面数列的前n项和。
11 1
1
2 ,4 ,6 , 4 8 16
Sn
na1 (q a1(1
1) qn )
1 q
a1 anq 1 q
(q
1)
③ 12 22 32 n2 1 n(n 1)(2n 1)
6
④ 13 23 33
n3
n(n 1) 2 2
3
例1 求和：1+(1/ a)+(1/a2)+……+(1/an)
n 1，
解： S
an+1 1
(4)
1 n＋
n＋1＝
n＋1－
n；
(5)
1 n＋
n＋k＝1k(
n＋k－
n)．
(6) nn＋11n＋2＝12[nn1＋1－n＋11n＋2]；
数列求和的基本方法和技巧ppt课件
1
ppt精选版
数列求和基本方法：
公式法 分组求和法 错位相减法 裂项相消法 并项求合法
2
ppt精选版
一.公式法：即 直 接 用 求 和 公 式 ， 求 数 列 的 前 n 和 S n
①等差数列的前n项和公式：
Sn
n(a1 2
an )
na1
n(n 1) 2
d
②等比数列的前n项和公式 ③ 1 23 n 1 n (n 1)
：Sn
na1(q a1(1
1) qn )
1 q
a1 anq 1 q
(q
1)
2
④ 12 22 32
n2
1n(n1)(2n1) 6
⑤ 13 23 33
n3
n (n 1) 2 2
ppt精选版
3
例1：求和：
1 . 4 6 8 … … + （ 2 n + 2 ）
2.1111 1
37
ppt精选版
2．(2013·唐山统考)在等比数列{an}中，a2a3＝32，a5＝32. (1)求数列{an}的通项公式；
(2)设数列{an}的前 n 项和为 Sn，求 S1＋2S2＋…＋nSn.
解：(1)设等比数列{an}的公比为 q，依题意得
a1q·a1q2＝32， a1q4＝32，
解得 a1＝2，q＝2，
20
ppt精选版
常见的裂项公式有：
1. 1 1 1 n(n1) n n1
2. 1 1(1 1 ) n(nk) k n nk
3. 1 1( 1 1) (2n1)2 (n1) 22n12n1
4. 1 1 ( a b) a b ab
5 . 1 1 [ 1 1 ] n (n 1 )n ( 2 ) 2n (n 1 ) (n 1 )n ( 2 )
ppt精选版
数列求和基本方法：
公式法 分组求和法 错位相减法 裂项相消法 并项求合法
2
ppt精选版
一.公式法：即 直 接 用 求 和 公 式 ， 求 数 列 的 前 n 和 S n
①等差数列的前n项和公式：
Sn
n(a1 2
an )
na1
n(n 1) 2
d
②等比数列的前n项和公式 ③ 1 23 n 1 n (n 1)
：Sn
na1(q a1(1
1) qn )
1 q
a1 anq 1 q
(q
1)
2
④ 12 22 32
n2
1n(n1)(2n1) 6
⑤ 13 23 33
n3
n (n 1) 2 2
ppt精选版
3
例1：求和：
1 . 4 6 8 … … + （ 2 n + 2 ）
2.1111 1
37
ppt精选版
2．(2013·唐山统考)在等比数列{an}中，a2a3＝32，a5＝32. (1)求数列{an}的通项公式；
(2)设数列{an}的前 n 项和为 Sn，求 S1＋2S2＋…＋nSn.
解：(1)设等比数列{an}的公比为 q，依题意得
a1q·a1q2＝32， a1q4＝32，
解得 a1＝2，q＝2，
20
ppt精选版
常见的裂项公式有：
1. 1 1 1 n(n1) n n1
2. 1 1(1 1 ) n(nk) k n nk
3. 1 1( 1 1) (2n1)2 (n1) 22n12n1
4. 1 1 ( a b) a b ab
5 . 1 1 [ 1 1 ] n (n 1 )n ( 2 ) 2n (n 1 ) (n 1 )n ( 2 )
数列求和各种方法总结归纳课件PPT
[冲关锦囊]
用错位相减法求和时，应注意 (1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数
的情形； (2)在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“
错项对齐”以便下一步准确写出“Sn－qSn”的表达式.
[精析考题] [例3] (2011·全国新课标卷)等比数列{an}的各项均为正数，且2a1＋ 3a2＝1，a32＝9a2a6. (1)求数列{an}的通项公式； (2)设bn＝log3a1＋log3a2＋…＋log3an，求数列{b1n}的前n项和．
(1)an＝kn＋b，利用等差数列前n项和公式直接求解；
所以，当n＞1时，①－②得 用错位相减法求和时，应注意
①转化的思想，即将一般数列设法转化为等差或等比数列，这一思想方法往往通过通项分解或错位相减来完成．
①转化的思想，即将一般数列设法转化为等差或等比数列，这一思想方法往往通过通项分解或错位相减来完成．
数列求和各种方法总结归纳
二、非等差、等比数列求和的常用方法 1．倒序相加法
如果一个数列{an}，首末两端等“距离”的两项的和相等 或等于同一常数，那么求这个数列的前n项和即可用倒 序相加法，如等差数列的前n项和即是用此法推导的．
2．分组求和法 若一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列 或可求和的数列组成，则求和时可用分组转化法，分别 求和而后相加减．
∴bn＋1＋1＝2bn＋2＝2(bn＋1)．
∴((11b))要a1n＝善＝0于k，n识b＋1别b＋，题1利＝目用1类≠等0型.差n1，数－特列别n前是＋n1等项比1和数公列＝式公直－比接为求n负解2＋数n；1.
所以数列{b1n}的前n项和为－n2＋n1.
[巧练模拟]—————(课堂突破保分题，分分必保！)
数列求和方法总结PPT课件
有一类数列，既不是等差数列，也不是等比 数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、 等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并 即可.
-
6
例2：求数列的前n项和：1 1, 1 4, 1 7, , 1 3n 2，…
a a2
a n1
-
7
练习 : 求数列1 1 2
,3 1 4
,5
1 8
-
1
本节概要 数列求和的常用方法
-
2
等差数列前 n 项和公式：
Sn
n(a1 2
an )
na1
n(n 1) 2
d
．
等比数列前 n
项和公式：
Sn
na1(q a1(1
1) qn)
1 q
a1 anq 1 q
(q
1)
．
自然数方幂和公式：1 2 3 n 1 n(n 1) 2
12 22 32 n2 1 n(n 1)(2n 1) 6
2n 2n
…………………………………①
1 2
Sn
2 22
4 23
6 24
2n 2 n1
………………………………②
（设制错位）
①－②得(1
1 2
)S
n
2 2
2 22
2 23
2 24
2 2n
2n 2 n 1
2 1 2n 2n1 2n1
∴
Sn
4
n2 2 n 1
-
17
这是推导等差数列的前n项和公式时所用的 方法，就是将一个数列倒过来排列，再把它与原 数列相加。
-
18
例
5.设
f
(x)
4 x , 则f 4x 2
数列求和的常用方法完整版课件
解 设等比数列{an}的公比为q(q>1)，
则由 a2＋a4＝90，a3＝27，得aa11qq＋ 2＝a21q7，3＝90，
解得aq1＝＝33，
a1＝243， 或q＝13
(舍去)，
故an＝3×3n－1＝3n. 因为 bn＋1＝bnb＋n 1(n∈N*)， 所以bn1＋1＝b1n＋1，
又 b1＝1，所以b1n是首项为 1，公差为 1 的等差数列. 于是，b1n＝1＋(n－1)×1＝n，故 bn＝1n.
√A.1 011
B.1 008
C.1 009
D.1 010
解析 由an＋2Sn－1＝n得an＋1＋2Sn＝n＋1， 两式相减得an＋1－an＋2an＝1⇒an＋1＋an＝1⇒S2 021＝a1＋(a2＋a3)＋… ＋(a2 018＋a2 019)＋(a2 020＋a2 021)＝1 010×1＋1＝1 011.
②
②－①得2an＋1＝2(n2＋2n＋2)an＋1－(n＋1)2an＋2－(n＋1)2an，
所以2(n＋1)2an＋1＝(n＋1)2an＋2＋(n＋1)2an，
化简得2an＋1＝an＋2＋an，
所以{an}是等差数列.
由2S1＝(1＋1)2a1－a2可得a2＝4，
所以公差d＝a2－a1＝4－2＝2，
故an＝2＋2(n－1)＝2n.
由 b1＝a1，nbn＋1＝anbn 以及 an＝2n 可知，b1＝2，bbn＋n 1＝2，所以数列{bn} 是以 2 为首项，2 为公比的等比数列， 故bn＝2×2n－1＝2n.
(2)若数列{cn}满足cn＝an＋bn(n∈N*)，求数列{cn}的前n项和Tn.
＝2n＋1－2＋n－2 1－n
＝2n＋1－n2－52. ∴Tn＝22nn＋＋11－＋2n2n－－252，，nn为为奇偶数数，.
第讲数列的求和精选课件
若一个数列是由等比数列或是等差数列组成，以 考查公式为主，可先分别求和，再将各部分合并，这就是我们说 的分组求和．
【互动探究】 1．(2019 年陕西)已知{an}是公差不为零的等差数列，a1＝1，
且 a1，a3，a9 成等比数列． (1)求数列{an}的通项公式； (2)求数列{2 a n}的前 n 项和 Sn.
4．数列 112，214，318，…，n＋21n，…的前 n 项和 Sn＝______ __12_n_(n_＋__1_)_＋__1_－__21_n___.
5．数列{an}的通项公式 an＝
1 n＋
n＋1，若前
n
项的和为
10，
则项数 n＝___1_2_0___.
考点1 利用公式或分组法求和
例1：(2011 年重庆)设{an}是公比为正数的等比数列，a1＝2， a3＝a2＋4.
数列求和常用的方法
1．公式法 (1)等差数列{an}的前
n
项和公式：Sn＝nnaa1＋ 12＋nann2－，1d.
(2)等比数列{an}的前n项和Sn：①当q＝1时，Sn＝__n_a_1_；
a11－qn
a1－anq
②当 q≠1 时，Sn＝____1_－__q___＝____1_－__q__.
2．分组求和法 把一个数列分成几个可以直接求和的数列． 3．错位相减法 适用于一个等差数列和等比数列对应项相乘构成的数列求 和． 4．裂项相消法 有时把一个数列的通项公式分成两项差的形式，相加过程消 去中间项，只剩有限项再求和．
解析：(1)P1(－1,0)，an＝n－2，bn＝2n－2. (2)f(n)＝n2－ n－2， 2，n为 n为奇偶数数，. 假设存在符合条件． ①若 k 为偶数，则 k＋5 为奇数． 有 f(k＋5)＝k＋3，f(k)＝2k－2. 如果 f(k＋5)＝2f(k)－2，则 k＋3＝4k－6⇒k＝3 与 k 为偶数矛 盾．故不符(舍去)． ②若 k 为奇数，则 k＋5 为偶数， 有 f(k＋5)＝2k＋8，f(k)＝k－2. ∴2k＋8＝2(k－2)－2 这样的 k 也不存在． 综上所述：不存在符合条件的 k.
【互动探究】 1．(2019 年陕西)已知{an}是公差不为零的等差数列，a1＝1，
且 a1，a3，a9 成等比数列． (1)求数列{an}的通项公式； (2)求数列{2 a n}的前 n 项和 Sn.
4．数列 112，214，318，…，n＋21n，…的前 n 项和 Sn＝______ __12_n_(n_＋__1_)_＋__1_－__21_n___.
5．数列{an}的通项公式 an＝
1 n＋
n＋1，若前
n
项的和为
10，
则项数 n＝___1_2_0___.
考点1 利用公式或分组法求和
例1：(2011 年重庆)设{an}是公比为正数的等比数列，a1＝2， a3＝a2＋4.
数列求和常用的方法
1．公式法 (1)等差数列{an}的前
n
项和公式：Sn＝nnaa1＋ 12＋nann2－，1d.
(2)等比数列{an}的前n项和Sn：①当q＝1时，Sn＝__n_a_1_；
a11－qn
a1－anq
②当 q≠1 时，Sn＝____1_－__q___＝____1_－__q__.
2．分组求和法 把一个数列分成几个可以直接求和的数列． 3．错位相减法 适用于一个等差数列和等比数列对应项相乘构成的数列求 和． 4．裂项相消法 有时把一个数列的通项公式分成两项差的形式，相加过程消 去中间项，只剩有限项再求和．
解析：(1)P1(－1,0)，an＝n－2，bn＝2n－2. (2)f(n)＝n2－ n－2， 2，n为 n为奇偶数数，. 假设存在符合条件． ①若 k 为偶数，则 k＋5 为奇数． 有 f(k＋5)＝k＋3，f(k)＝2k－2. 如果 f(k＋5)＝2f(k)－2，则 k＋3＝4k－6⇒k＝3 与 k 为偶数矛 盾．故不符(舍去)． ②若 k 为奇数，则 k＋5 为偶数， 有 f(k＋5)＝2k＋8，f(k)＝k－2. ∴2k＋8＝2(k－2)－2 这样的 k 也不存在． 综上所述：不存在符合条件的 k.
数列求和的常用方法总结归纳PPT
等比数列）的数列，可采用错位相减的方法进行求和.
例6：(1)已知数列{an}的首项a1 2，an 3an1 （2 n 2）,
bn log3(an 1),cn anbn n. ①证明：{an 1}是等比数列； ②求数列{cn }的前n项和S n .
Sn
3 4
(1 2
n
1 )3n1 4
(2)已知{an}是递增的等差数列，a2，a4是方程x2 5x 6 0的根.
(2)求和Sn
1
(1
1) 2
(1
1 2
1) 4
(1
1 2
1 4
1 2n1 ).
Sn
1 2n1
2n 2
三、并项求和法： 若数列的通项公式中含有形如(1)n，或通项公式
需分奇偶讨论的数列，可采用并项的方法进行求和.
例3：(1)设Sn是数列{an}的前n项和，已知 a1 1,S n 2 2an1. ①求数列{an}的通项公式；
4x 4x
2
, 令bn
g
(
an ), 2021
求数列{bn
}的前2020项和T2020
.
T2020 1010
五 、 裂 项 相 消 法 ： 若通项项公式为分式，可 待定系数法 对定系数法
对分式进行裂项 .
例5：(1)设数列{an}满足a1 3a2 (2n 1)an 2n.
2
①求数列{an}的通项公式；
D.10200
四 、 倒 序 相 加 法 ：若数列首末两端等“距离”的两项和相等(通项公式常与
函数有关)，可采用倒序相加的方法进行求和.
例4：(1)已知函数 y f (x)满足f (x) f (1 x) 1,若数列{an}满足
例6：(1)已知数列{an}的首项a1 2，an 3an1 （2 n 2）,
bn log3(an 1),cn anbn n. ①证明：{an 1}是等比数列； ②求数列{cn }的前n项和S n .
Sn
3 4
(1 2
n
1 )3n1 4
(2)已知{an}是递增的等差数列，a2，a4是方程x2 5x 6 0的根.
(2)求和Sn
1
(1
1) 2
(1
1 2
1) 4
(1
1 2
1 4
1 2n1 ).
Sn
1 2n1
2n 2
三、并项求和法： 若数列的通项公式中含有形如(1)n，或通项公式
需分奇偶讨论的数列，可采用并项的方法进行求和.
例3：(1)设Sn是数列{an}的前n项和，已知 a1 1,S n 2 2an1. ①求数列{an}的通项公式；
4x 4x
2
, 令bn
g
(
an ), 2021
求数列{bn
}的前2020项和T2020
.
T2020 1010
五 、 裂 项 相 消 法 ： 若通项项公式为分式，可 待定系数法 对定系数法
对分式进行裂项 .
例5：(1)设数列{an}满足a1 3a2 (2n 1)an 2n.
2
①求数列{an}的通项公式；
D.10200
四 、 倒 序 相 加 法 ：若数列首末两端等“距离”的两项和相等(通项公式常与
函数有关)，可采用倒序相加的方法进行求和.
例4：(1)已知函数 y f (x)满足f (x) f (1 x) 1,若数列{an}满足
数列求和ppt课件
1
20
(2)设bn=
,数列{bn}的前n项和为Sn,若Sm= ,求m的值.
·+1
41
1
1
1
1
1
【解析】(2)由(1)知,bn=
=
= ·(
),
·+1 (2−1)(2+1) 2 2−1 2+1
1
1
1 1
1
1
1
1
所以Sn= [(1- )+( - )+…+(
)]= (1)=
.
2
3
3
D.
2
【解析】选C.S2 023=a1+(a2+a3+a4)+(a5+a6+a7)+…+(a2 021+a2 022+a2 023)=
1+cos
2π
5π
2 018π
2 021π
2π
5π
+cos +…+cos
+cos
=1+337×(cos +cos )=1.
3
3
3
3
3
3
)
2 , 当为奇数时,
和.形如an=(-1)nf(n)类型,可采用两项合并求解.
考点二裂项相消法求和
模型一
1
b n=
({an}为等差数列)型
+1
1
[例1](1)数列{an}中,an=
,则数列{an}的前2
(+1)
024项和S2 024=
1
1 1
【解析】由题意得,an=
= - ,
20
(2)设bn=
,数列{bn}的前n项和为Sn,若Sm= ,求m的值.
·+1
41
1
1
1
1
1
【解析】(2)由(1)知,bn=
=
= ·(
),
·+1 (2−1)(2+1) 2 2−1 2+1
1
1
1 1
1
1
1
1
所以Sn= [(1- )+( - )+…+(
)]= (1)=
.
2
3
3
D.
2
【解析】选C.S2 023=a1+(a2+a3+a4)+(a5+a6+a7)+…+(a2 021+a2 022+a2 023)=
1+cos
2π
5π
2 018π
2 021π
2π
5π
+cos +…+cos
+cos
=1+337×(cos +cos )=1.
3
3
3
3
3
3
)
2 , 当为奇数时,
和.形如an=(-1)nf(n)类型,可采用两项合并求解.
考点二裂项相消法求和
模型一
1
b n=
({an}为等差数列)型
+1
1
[例1](1)数列{an}中,an=
,则数列{an}的前2
(+1)
024项和S2 024=
1
1 1
【解析】由题意得,an=
= - ,
第四节 数列求和 课件(共48张PPT)
－
1 n＋3
）＝
1 2
56－n＋1 2－n＋1 3. 答案：1256－n＋1 2－n＋1 3
考点1 分组转化法求和 [例1] （2020·焦作模拟）已知{an}为等差数列，且 a2＝3，{an}前4项的和为16，数列{bn}满足b1＝4，b4＝ 88，且数列{bn－an}为等比数列. （1）求数列{an}和{bn－an}的通项公式； （2
an＝n（n1＋k）型
[例2] （2020·中山七校联考）已知数列{an}为公差 不为0的等差数列，满足a1＝5，且a2，a9，a30成等比数列.
（1）求{an}的通项公式； （2）若数列{bn}满足bn＋1－bn＝an（n∈N*），且b1＝
3，求数列b1n的前n项和Tn.
1.裂项时常用的三种变形.
（1）n（n1＋1）＝n1－n＋1 1.
（2）n（n1＋2）＝12n1－n＋1 2.
（3）（2n－1）1（2n＋1）＝122n1－1－2n1＋1.
（4）
1 n＋
n＋1＝
n＋1－
n.
2.应用裂项相消法时，应注意消项的规律具有对称 性，即前面剩第几项则后面剩倒数第几项.
3.在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为 参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解.
） B. 2 020－1
C. 2 021－1 D. 2 021＋1
解析：由f（4）＝2，可得4α＝2，解得α＝12，
则f（x）＝ x.
所以an＝
1 f（n＋1）＋f（n）
＝
1 n＋1＋
＝ n
n＋1 －
n，
所以S2 020＝a1＋a2＋a3＋…＋a2 020＝（ 2 － 1 ）＋ （ 3－ 2）＋（ 4－ 3）＋…＋（ 2 021－ 2 020）＝
数列求和的几种方法课件ppt
２、设法消去中间项:
（2）乘公比,错位相减(对“A·G”型);
（3）裂通项,交替相消
1、转化成等差、等比数列求和
（公式法、分组求和法、错位相减法、 裂（并）项法求和）
练习： 指出下列求和的方法：
合并项求和
特殊的数列，在求数列的和时，可将一些项放在一起先求和，然后再求Sn.
[例] 在各项均为正数的等比数列中，若
的值.
求和： (1)Sn=1+(3+4)+(5+6+7)+…+(2n-1+2n+ …+3n-2); (2)Sn=12-22+32-42+…+(-1)n-1·n2.
(1)一般应从通项入手，若无通项，先求通项，然后通过对通项变形，转化为适用特点的形式，从而求和．
数列求和的方法
(2)解决非等差、等比和，两种思路： ①转化的思想，即化为等差或等比数列． ②裂项相消法、错位相减法、倒序相加法等求和．
数列求和的常用方法:
(1) 拆项（对A±G型 如果拆项不明显，写出通项，如例2 ）
na1+ d
n(n+1)(2n+1)
n2(n+1)2
倒序相加
令
例题1. 求和
(1)
[解Байду номын сангаас原式=
n(n+3)/2
(x≠1)
(x=1)
分析:原式=(1+2+3+…+n)+
我们把这种类型的数列称为“A+G”型。而求此类数列的和，一般是把数列的每一项分成两项，再分别利用等差和等比数列的求和公式求解。此方法称为分组求和法。
（2）乘公比,错位相减(对“A·G”型);
（3）裂通项,交替相消
1、转化成等差、等比数列求和
（公式法、分组求和法、错位相减法、 裂（并）项法求和）
练习： 指出下列求和的方法：
合并项求和
特殊的数列，在求数列的和时，可将一些项放在一起先求和，然后再求Sn.
[例] 在各项均为正数的等比数列中，若
的值.
求和： (1)Sn=1+(3+4)+(5+6+7)+…+(2n-1+2n+ …+3n-2); (2)Sn=12-22+32-42+…+(-1)n-1·n2.
(1)一般应从通项入手，若无通项，先求通项，然后通过对通项变形，转化为适用特点的形式，从而求和．
数列求和的方法
(2)解决非等差、等比和，两种思路： ①转化的思想，即化为等差或等比数列． ②裂项相消法、错位相减法、倒序相加法等求和．
数列求和的常用方法:
(1) 拆项（对A±G型 如果拆项不明显，写出通项，如例2 ）
na1+ d
n(n+1)(2n+1)
n2(n+1)2
倒序相加
令
例题1. 求和
(1)
[解Байду номын сангаас原式=
n(n+3)/2
(x≠1)
(x=1)
分析:原式=(1+2+3+…+n)+
我们把这种类型的数列称为“A+G”型。而求此类数列的和，一般是把数列的每一项分成两项，再分别利用等差和等比数列的求和公式求解。此方法称为分组求和法。
数列求和ppt课件
法，分别求和后相加减．
把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的
一些项可以相互抵消，从而求得前n项和．
如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等
比数列的对应项之积构成的，那么求这个数列的前n项
和即可用错位相减法求解．
如果一个数列{an}与首末两端等“距离”的
(4)倒序相加法：
两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数
an，n 为奇数，
2．若数列{cn}的通项公式为 cn＝
其中数列{an}，{bn}
bn，n 为偶数，
是等比数列或等差数列，可采用分组求和法求{cn}的前 n 项和．
聚焦必备知识
11
突破核心命题
限时规范训练
1．(2023·全国乙卷)记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知a2＝11，S10
＝40.
(1)求{an}的通项公式；
列的前n项和即可用倒序相加法求解．
(3)错位相减法：
聚焦必备知识
4
常用结论
1．一些常见的数列的前 n 项和
n（n＋1）
(1)1＋2＋3＋…＋n＝
；
2
(2)2＋4＋6＋…＋2n＝n(n＋1)；
(3)1＋3＋5＋…＋2n－1＝n2.
突破核心命题
限时规范训练
聚焦必备知识
5
突破核心命题
限时规范训练
裂项相消法:适用的通项公式如下
( + ) +
聚焦必备知识
16
突破核心命题
考 点 二 裂项相消法求和
1
(1)数列{an}的前 n 项和为 Sn.若 an＝
，则 Sn=____
n（n＋1）
训练2
已知Sn是数列{an}的前n项和，Sn＝n2.
把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的
一些项可以相互抵消，从而求得前n项和．
如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等
比数列的对应项之积构成的，那么求这个数列的前n项
和即可用错位相减法求解．
如果一个数列{an}与首末两端等“距离”的
(4)倒序相加法：
两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数
an，n 为奇数，
2．若数列{cn}的通项公式为 cn＝
其中数列{an}，{bn}
bn，n 为偶数，
是等比数列或等差数列，可采用分组求和法求{cn}的前 n 项和．
聚焦必备知识
11
突破核心命题
限时规范训练
1．(2023·全国乙卷)记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知a2＝11，S10
＝40.
(1)求{an}的通项公式；
列的前n项和即可用倒序相加法求解．
(3)错位相减法：
聚焦必备知识
4
常用结论
1．一些常见的数列的前 n 项和
n（n＋1）
(1)1＋2＋3＋…＋n＝
；
2
(2)2＋4＋6＋…＋2n＝n(n＋1)；
(3)1＋3＋5＋…＋2n－1＝n2.
突破核心命题
限时规范训练
聚焦必备知识
5
突破核心命题
限时规范训练
裂项相消法:适用的通项公式如下
( + ) +
聚焦必备知识
16
突破核心命题
考 点 二 裂项相消法求和
1
(1)数列{an}的前 n 项和为 Sn.若 an＝
，则 Sn=____
n（n＋1）
训练2
已知Sn是数列{an}的前n项和，Sn＝n2.
第七章 第四节 数列求和 课件(共42张PPT)
1．一些常见数列的前 n 项和公式 (1)1＋2＋3＋4＋…＋n＝n（n＋ 2 1） ； (2)1＋3＋5＋7＋…＋2n－1＝n2； (3)2＋4＋6＋8＋…＋2n＝n2＋n.
2．三种常见的拆项公式
1 (1)n（n＋1）
＝1n
－n＋1 1
；
1 (2)（2n－1）（2n＋1）
＝12
2n1－1－2n1＋1
答案： (1)× (2)√ (3)√
2．(必修 5P47T4 改编)数列{an}的前 n 项和为 Sn，若 an＝n（n1＋1） ，
则 S5 等于( )
A．1
B．56
C．16
D．310
B [∵an＝n（n1＋1） ＝1n －n＋1 1 ，∴S5＝a1＋a2＋…＋a5＝1－12 ＋12 －13 ＋…＋15 －16 ＝56 .]
所以 an＝－2n1＋1 (n 为正奇数)， 若 n 为奇数，则 an－1＝－2an＋21n ＝(－2)－2n1＋1 ＋21n ， 所以 an＝21n (n 为正偶数)， 所以 a3＝－214 ＝－116 ， 因为 an＝－2n1＋1 (n 为正奇数)，所以－a1＝－－212 ＝212 ，
因为 an＝21n (n 为正偶数)，所以 a2＝212 ， 所以－a1＋a2＝2×212 ， 因为－a3＝－－214 ＝214 ，a4＝214 ， 所以－a3＋a4＝2×214 ， …… －a99＋a100＝2×21100 .
(2)因为 an＝2n，所以 bn＝(n＋1)log2an＝(n＋1)log22n＝n(n＋1)， 所以，2n2b＋n2 2n ＝n（n2＋1） ＝21n－n＋1 1 ， 所以 Tn＝21－12＋12－13＋…＋1n－n＋1 1 ＝21－n＋1 1 ＝n2＋n1 .
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数列求和方法总结
主讲人：陈鑫城 1
本节概要 数列求和的常用方法 公式法 分组求和法 裂项相消法 错位相减法 倒序相加法
2
一、公式法
等差数列前 n 项和公式：
Sn
n(a1 2
an )
na1
n(n 1) 2
d
．
等比数列前 n
项和公式：
Sn
na1(q a1(1
1) qn)
1 q
a1 anq 1 q
①－②得( 1 1 2 )S n 2 2 2 2 2 2 2 3 2 2 4 2 2 n 2 2 n n 1221n1
2n
2n1
∴
Sn
4n2 2n1
16
17
五、倒序相加法
这是推导等差数列的前n项和公式时所用的 方法，就是将一个数列倒过来排列，再把它与原 数列相加。
18
例
5.设
f
(x)
a a2
an 1
7
练:习 求数 11 2列 ,31 4,51 8,,2n121n,
的n 前 项.和
8
三、裂项相消法
“裂项相消法”,此法常用于形如{1/f(n)g(n)} 的数列求和，其中f(n),g(n)是关于n（n∈N)的 一次函数。把数列中的每一项都拆成两项或几项 的差，从而产生一些可以相消的项，最后剩下有 限的几项
9
例 3 ： Sn求 1 1221 3 n(1 n 1 )
10
练习：
11
12
13
四、错位相减法
这种方法是在推导等比数列的前n项和公式时 所用的方法，这种方法主要用于求数列{an· bn} 的前n项和，其中{ an }、{ bn }分别是等差数列和 等比数列.
14
例4：求和 ：S n 1 3 x 5 x 2 7 x 3 ( 2 n 1 ) x n 1
为数列{ Sn n
} 的前n项Fra bibliotek和，求Tn ．
4
练习：求 1 + a + a 2 + a 3 + …… + a n (a为非零实数）的值
5
二、分组求和法
有一类数列，既不是等差数列，也不是等比 数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、 等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并 即可.
6
例2：求数列的前n项和：11 ,14,17,, 13n2，…
4x 4x 2
, 则f
1 11
f 2 11
f
3 11
f
10 11
(
)
A．4
B． 5
C． 6
D． 10
19
课后作业
已知数列{an}是递增的等比数列， a1 a4 9, a2a3 8 ，则数列{an}的前 n 项和等于
.
数列 {an } 满足
a1
1，且 an1
an
(q
1)
．
自然数方幂和公式：1 2 3 n 1 n(n 1) 2
12 22 32 n2 1 n(n 1)(2n 1) 6
13 23 33 n3 [1 n(n 1)]2 2
3
例
1.设{an}为等差数列， Sn 为数列{an}的前
n
项和，已知
S7
7，
S15
75
， Tn
15
练习：求数列 22,242,263,,22nn ,前n项的和
解：由题可知，{ 2 n 2n
}的通项是等差数列{2n}的通项与等比数列{
1 2n
}的通项之积
设 Sn2 22422632 2n n …………………………………①
1 2Sn2 2 22 4 32 6 42 2 n n 1 ………………………………② （设制错位）
n
1（ n N*
），则数列{ 1 }的前 an
10
项和为
【2015 高考山东，理 18】设数列an 的前 n 项和为 Sn .已知 2Sn 3n 3 . （I）求an 的通项公式； （II）若数列bn 满足 anbn log3 an ，求bn 的前 n 项和Tn .
20
谢谢
21
主讲人：陈鑫城 1
本节概要 数列求和的常用方法 公式法 分组求和法 裂项相消法 错位相减法 倒序相加法
2
一、公式法
等差数列前 n 项和公式：
Sn
n(a1 2
an )
na1
n(n 1) 2
d
．
等比数列前 n
项和公式：
Sn
na1(q a1(1
1) qn)
1 q
a1 anq 1 q
①－②得( 1 1 2 )S n 2 2 2 2 2 2 2 3 2 2 4 2 2 n 2 2 n n 1221n1
2n
2n1
∴
Sn
4n2 2n1
16
17
五、倒序相加法
这是推导等差数列的前n项和公式时所用的 方法，就是将一个数列倒过来排列，再把它与原 数列相加。
18
例
5.设
f
(x)
a a2
an 1
7
练:习 求数 11 2列 ,31 4,51 8,,2n121n,
的n 前 项.和
8
三、裂项相消法
“裂项相消法”,此法常用于形如{1/f(n)g(n)} 的数列求和，其中f(n),g(n)是关于n（n∈N)的 一次函数。把数列中的每一项都拆成两项或几项 的差，从而产生一些可以相消的项，最后剩下有 限的几项
9
例 3 ： Sn求 1 1221 3 n(1 n 1 )
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练习：
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四、错位相减法
这种方法是在推导等比数列的前n项和公式时 所用的方法，这种方法主要用于求数列{an· bn} 的前n项和，其中{ an }、{ bn }分别是等差数列和 等比数列.
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例4：求和 ：S n 1 3 x 5 x 2 7 x 3 ( 2 n 1 ) x n 1
为数列{ Sn n
} 的前n项Fra bibliotek和，求Tn ．
4
练习：求 1 + a + a 2 + a 3 + …… + a n (a为非零实数）的值
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二、分组求和法
有一类数列，既不是等差数列，也不是等比 数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、 等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并 即可.
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例2：求数列的前n项和：11 ,14,17,, 13n2，…
4x 4x 2
, 则f
1 11
f 2 11
f
3 11
f
10 11
(
)
A．4
B． 5
C． 6
D． 10
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课后作业
已知数列{an}是递增的等比数列， a1 a4 9, a2a3 8 ，则数列{an}的前 n 项和等于
.
数列 {an } 满足
a1
1，且 an1
an
(q
1)
．
自然数方幂和公式：1 2 3 n 1 n(n 1) 2
12 22 32 n2 1 n(n 1)(2n 1) 6
13 23 33 n3 [1 n(n 1)]2 2
3
例
1.设{an}为等差数列， Sn 为数列{an}的前
n
项和，已知
S7
7，
S15
75
， Tn
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练习：求数列 22,242,263,,22nn ,前n项的和
解：由题可知，{ 2 n 2n
}的通项是等差数列{2n}的通项与等比数列{
1 2n
}的通项之积
设 Sn2 22422632 2n n …………………………………①
1 2Sn2 2 22 4 32 6 42 2 n n 1 ………………………………② （设制错位）
n
1（ n N*
），则数列{ 1 }的前 an
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项和为
【2015 高考山东，理 18】设数列an 的前 n 项和为 Sn .已知 2Sn 3n 3 . （I）求an 的通项公式； （II）若数列bn 满足 anbn log3 an ，求bn 的前 n 项和Tn .
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谢谢
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