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2002年10月9日
小波变换
小波分析是近十几年才发展起来并迅速应用到 图像处理和语音分析等众多领域的一种数学工 具。它是继110多年前的傅立叶(Joseph Fourier) 分析之后的一个重大突破，无论是对古老的自 然学科还是对新兴的高新技术应用学科都产生 了强烈冲击。 小波理论是应用数学的一个新领 域。要深入理解小波理论需要用到比较多的数 学知识。本教学提纲企图从工程应用角度出发， 用比较直观的方法来介绍小波变换和它的应用， 为读者深入研究小波理论和应用提供一些背景 材料
2002年10月9日
Definition - Basis Functions: a set of linearly independent functions that can be used (e.g., as a weighted sum) to construct any given signal.
where:
a = scale variable －缩放因子
k = time shift
－时间平移
h* = wavelet function －小波函数
用y = scaled (dilated) and shifted (translated) Mother wavelet
function,
为了继承傅立叶分析的优点，同时又克服它的 缺点，人们一直在寻找新的方法。
2002年10月9日
傅立叶变换的定义：A mathematical description of the relationship between functions of time and corresponding functions of frequency; a map for converting from one domain to the other. For example, if we have a signal that is a function of time--an impulse response-- then the Fourier Transform will convert that time domain data into frequency data, for example, a frequency response. (.keithyates.com/glossary.htm)
小波变换
老课题 函数的表示方法
新方法 Fourier Haar wavelet transform
2002年10月9日
小波变换
傅立叶理论指出，一个信号可表示成一系列正 弦和余弦函数之和，叫做傅立叶展开式。
用傅立叶表示一个信号时，只有频率分辨率而 没有时间分辨率，这就意味我们可以确定信号 中包含的所有频率，但不能确定具有这些频率 的信号出现在什么时候。
2002年10月9日
小波变换
一种函数 具有有限的持续时间、突变的频率和振幅 波形可以是不规则的，也可以是不对称的 在整个时间范围里的幅度平均值为零 比较正弦波
2002年10月9日
部分小波波形
2002年10月9日
小波变换
Wavelets are a class of a functions used to localize a given function in both space and scaling. A family of wavelets can be constructed from a ( x ) function , sometimes known as a "mother wavelet," which is confined in a finite interval. "Daughter wavelets" (a,b) ( x ) are then formed by translation (b) and contraction (a). Wavelets are especially useful for compressing image data, since a wavelet transform has properties which are in some ways superior to a conventional Fourier transform.
小波变换
林福宗 智能技术与系统国家重点实验室
2002年10月9日
2002年10月9日
小波变换
一、小波变换 1.小波 2.小波变换 3. 离散小波变换
二、Haar小波变换 1.哈尔函数 2.求均值和差值 3. 哈尔变换的特性 4.一维哈尔小波变换
5. 二维哈尔小波变换
三、阅读和练习作业
在CWT中，scale和position是连续变化的
2002年10月9日
小波变换
例1：正弦波的算法
2002年10月9日
STFT的时间-频率关系图
2002年10月9日
小波变换
CWT (continuous wavelet transform) 20世纪70年代，当时在法国石油公司工
作的年轻的地球物理学家Jean Morlet提出 了小波变换WT(wavelet transform)的概念。 20世纪80年代,从STFT开发了CWT：
2002年10月9日
小波变换
哈尔(Alfred Haar)对在函数空间中寻找一个与 傅立叶类似的基非常感兴趣。
1909年他发现了小波，1910年被命名为Haar wavelets
他最早发现和使用了小波。
2002年10月9日
小波变换
20世纪40年代Gabor开发了STFT (short time Fourier transform)
2002年10月9日
An individual wavelet can be defined by
Then and Calderón's formula gives A common type of wavelet is defined using Haar functions.
2002年10月9日ຫໍສະໝຸດ Baidu
小波变换
小波分析是近十几年才发展起来并迅速应用到 图像处理和语音分析等众多领域的一种数学工 具。它是继110多年前的傅立叶(Joseph Fourier) 分析之后的一个重大突破，无论是对古老的自 然学科还是对新兴的高新技术应用学科都产生 了强烈冲击。 小波理论是应用数学的一个新领 域。要深入理解小波理论需要用到比较多的数 学知识。本教学提纲企图从工程应用角度出发， 用比较直观的方法来介绍小波变换和它的应用， 为读者深入研究小波理论和应用提供一些背景 材料
2002年10月9日
Definition - Basis Functions: a set of linearly independent functions that can be used (e.g., as a weighted sum) to construct any given signal.
where:
a = scale variable －缩放因子
k = time shift
－时间平移
h* = wavelet function －小波函数
用y = scaled (dilated) and shifted (translated) Mother wavelet
function,
为了继承傅立叶分析的优点，同时又克服它的 缺点，人们一直在寻找新的方法。
2002年10月9日
傅立叶变换的定义：A mathematical description of the relationship between functions of time and corresponding functions of frequency; a map for converting from one domain to the other. For example, if we have a signal that is a function of time--an impulse response-- then the Fourier Transform will convert that time domain data into frequency data, for example, a frequency response. (.keithyates.com/glossary.htm)
小波变换
老课题 函数的表示方法
新方法 Fourier Haar wavelet transform
2002年10月9日
小波变换
傅立叶理论指出，一个信号可表示成一系列正 弦和余弦函数之和，叫做傅立叶展开式。
用傅立叶表示一个信号时，只有频率分辨率而 没有时间分辨率，这就意味我们可以确定信号 中包含的所有频率，但不能确定具有这些频率 的信号出现在什么时候。
2002年10月9日
小波变换
一种函数 具有有限的持续时间、突变的频率和振幅 波形可以是不规则的，也可以是不对称的 在整个时间范围里的幅度平均值为零 比较正弦波
2002年10月9日
部分小波波形
2002年10月9日
小波变换
Wavelets are a class of a functions used to localize a given function in both space and scaling. A family of wavelets can be constructed from a ( x ) function , sometimes known as a "mother wavelet," which is confined in a finite interval. "Daughter wavelets" (a,b) ( x ) are then formed by translation (b) and contraction (a). Wavelets are especially useful for compressing image data, since a wavelet transform has properties which are in some ways superior to a conventional Fourier transform.
小波变换
林福宗 智能技术与系统国家重点实验室
2002年10月9日
2002年10月9日
小波变换
一、小波变换 1.小波 2.小波变换 3. 离散小波变换
二、Haar小波变换 1.哈尔函数 2.求均值和差值 3. 哈尔变换的特性 4.一维哈尔小波变换
5. 二维哈尔小波变换
三、阅读和练习作业
在CWT中，scale和position是连续变化的
2002年10月9日
小波变换
例1：正弦波的算法
2002年10月9日
STFT的时间-频率关系图
2002年10月9日
小波变换
CWT (continuous wavelet transform) 20世纪70年代，当时在法国石油公司工
作的年轻的地球物理学家Jean Morlet提出 了小波变换WT(wavelet transform)的概念。 20世纪80年代,从STFT开发了CWT：
2002年10月9日
小波变换
哈尔(Alfred Haar)对在函数空间中寻找一个与 傅立叶类似的基非常感兴趣。
1909年他发现了小波，1910年被命名为Haar wavelets
他最早发现和使用了小波。
2002年10月9日
小波变换
20世纪40年代Gabor开发了STFT (short time Fourier transform)
2002年10月9日
An individual wavelet can be defined by
Then and Calderón's formula gives A common type of wavelet is defined using Haar functions.
2002年10月9日ຫໍສະໝຸດ Baidu