建立不允许缺货的生产销售存贮模型复习过程

建立不允许缺货的生产销售存贮模型

2.建立不允许缺货的生产销售存贮模型。设生产速率为常数为常数k,x销售速率为常数r，k>r。在每个生产周期T内，开始的一段时间（0

解：

一．模型假设：为了处理方便，考虑连续模型，即设生产周期T和产量Q均为连续量。根据问题性质作如下假设：

（1）产品每天的需求量为常数r，生产率为k。

（2）每次生产准备费为c1，每天每件产品贮存费为c2.

（3）生产能力为无限大（相对于需求量），当贮存量降到零时，Q 件产品立即生产出来供给需求，即不允许缺货。

二．模型建立

将贮存量表示为时间t的函数q(t)，t=0生产0件，贮存量q(0)=0.在T0前q(t)以生产率减去需求率k-r的速率增加。T0时刻以后，q(t)以需求率r减小，直到q(t)=0。如图：

一个周期内的费用为00

2210()()T T T c c q t dt c q t dt c =++⎰⎰，即()2200221()22r T T k r T c c c c --=++。每天的平均费用为

()212c r k r T c c T K -=+ （1） （1）式是这个模型的目标函数。

三．模型求解

求T 使（1）式的c 最小。容易看出()()00k r T T T r -=-。代入可得使

c(T)达到最小值的周期

*T =

四．讨论。

当k 》

r 时，*T =类似不考虑生产的情况。

当k ≈r 时，*T →+∞，由于产量与需求量相当，无法产生贮存量。

7.要在雨中从一处沿直线跑到另一处，若雨速为常数且方向不变，试建立数学模型讨论是否跑得越快，淋雨量越少。

将人体简化成一个长方体，高a=1.5m(颈部以下），宽b=0.5m,厚c=0.2m.设跑步距离d=1000m,跑步最大速度vm=5m/s ，雨速

u=4m/s，降雨量w=2cm/h,记跑步速度为v.按以下步骤进行讨论：

（1）不考虑雨的方向，设降雨量淋遍全身，以最大速度跑步，估计跑完全程的总淋雨量。

（2）雨从迎面吹来，雨线与跑步方向在同一平面内，且与人体的夹角为θ，如图1.建立总淋雨量与速度v及参数a.b.c.d.u.w.θ.之间的关系，问速度v多大，总淋雨量最少。计算θ=0，θ=30时的总淋雨量。

（3）雨从背面吹来，雨线方向与跑步方向在同一平面内，且与人体的夹角为α,如图2，建立总淋雨量与速度v以及参数a、d、c、d、u、w、α之间的关系，问速度v多大，总淋雨量最少，计算α=30时的总淋雨量。

（4）以总淋雨量为纵轴，速度v为横轴，对（3）作图(考虑α的影响），并解释结果的实际意义。

（5）若雨线方向与跑步方向不在同一平面内，模型会有什么变化？解：

一．模型假设：将人体简化成一个长方体，高a=1.5m,宽b=0.5m.厚c=0.2m；设跑步的距离为1000m，跑步的最大速度vm=5m/s，雨速u=4m/s，降雨量w=2cm/h

二．模型建立：

模型一：（1）不考虑雨的方向，假设降雨淋遍全身，雨速也

是均匀下落，由人体为长方体可知，该人淋到雨的表面积

s=2ab+2ac+bc，跑步距离为d=1000m，则该人在雨中的淋雨

时间为t=d/vm，且降雨量w=2cm/h=(0.0001/18)m/s

所以，总淋雨量为Q=s*t*w

模型二：（2）当雨迎面吹来时该人只有头顶和迎面淋雨，设

头顶部淋雨量为Q1，淋雨面积s1=bc,淋雨的时间即t1=d/v，

可知淋雨量总量为Q1=s1*t1*w*cosθ。雨速在水平方向上的

水平分量为u*sinθ。则在水平方向上的合成速度为u*sinθ+v,

淋雨面积s2=ab,淋雨的时间t2=d/v,淋雨量为w*sinθ+w*v/u(本身的淋雨量加上人相对雨速的淋雨量)，所以迎面淋雨量为

Q2=s2*t2*w*(usinθ+v)/u由此可得该人在单位时间和单位面积内的总淋雨量

Q=Q1+Q2=(0.01cosθ)/(18*v)+[0.075*(4sinθ+v)]/(18*v)

模型三：(3)雨从背面吹来时，雨相对人的速度为|u*sinα-

v|，（一）当u*sinα-v>0时，即雨速在水平上的分量大于人

的速度，此时在水平方向上的合成速度是v-u*sinα，此时的

人的淋雨总量可分头顶部分Q3和背面部分Q4。

头顶部淋雨量为Q3，淋雨面积s1=bc,淋雨的时间为t3=d/v，淋雨量为w*cosα,由此可知该人在单位时间和单位面积内的淋雨总量Q3= s1*t1*w*cosα

雨速在水平方向上的水平分量为-u*sinα，雨相对人的速度为v-u*sinα,淋雨面积为s2=ab,淋雨的时间为t2=d/v,降雨量

w=w*（v/u）-wsinα，所以该人在单位时间和面积内的总的淋雨量Q4= s2*t2*w*(v-u*sinα)/u=abdw(v-

u*sinα)/uv=0.0010461(1-sinα/v)

所以降雨总量为Q=Q3+Q4=（0.01cosα）

/(18*v)+0.0010461(1-sinα/v)

（二）当u*sinα-v>0时，即雨速在水平上的分量大于人的速度，此时的人的淋雨总量可分为头顶部分Q5和背面部分

Q6。

头顶部淋雨量为Q5，淋雨面积s1=bc,淋雨的时间为t3=d/v，淋雨量为w*cosα,由此可知淋雨总量Q5= s1*t1*w*cosα

雨速在水平方向上的水平分量为u*sinα-v，此时在水平方向上雨与人的合成速度为u*sinα-v,淋雨面积s2=ab,淋雨的时间为t2=d/v,，降雨量为w=wsinα-w*v/u,此时该人的淋雨总量Q6= s2*t2*w*(usinα+v)/u所以降雨总量为

Q=Q5+Q6=0.0027778*[（0.2cosα-1.5sinα）/v+1.5]

三．模型求解

（1）代入数值即可求解Q=2.44L