三角函数第一课时

正弦函数
如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，我们把锐角A的对边与斜边的比
叫做∠A的正弦（sine），记住sinA 即 B 斜边 A 当∠A＝30°时，我们有
A的对边 a sin A 斜边 c
1 2
c
b
a 对边 C
sin A sin 30
当∠A＝45°时，我们有
在图中 ∠A的对边记作a
一般地，当∠A 取其他一定度数的锐角时，它的对 边与斜边的比是否也是一个固定值？
探究
任意画Rt△ABC和Rt△A'B'C'，使得∠C＝∠C'＝90°，∠A＝∠A'＝α，
那么
BC AB
与
B ' C ' 有什么关系．你能解释一下吗？ A' B '
B B'
A
C
A'
C'
在图中，由于∠C＝∠C'＝90°，∠A＝∠A'＝α，所以 Rt△ABC∽Rt△A'B'C' BC B ' C ' BC AB AB A' B ' B ' C ' A' B ' 在直角三角形中，当锐角A的度数一定时，不管三角形的大小如何， ∠A的对边与斜边的比也是一个固定值．
AC sin B 解：在Rt△ABC中， AB
C
CD 在Rt△BCD中， sin B BC
A
D
B
因为∠B=∠ACD，所以 sin B sin ACD AD
若ＡC=5,CD=3,求sinB的值.
AC
求一个角的正弦值，除了用定义直接求外，还可以 转化为求和它相等角的正弦值。
v
v v v v
BC (2)sinB= （×） AB
B 10m 6m C
(3)sinA=0.6m （×） (4)SinB=0.8 （√ ） BC 2)如图，sinA= （× ） AB
A
sinA是一个比值（注意比的顺序），无单位；
练一练 2.在Rt△ABC中，锐角A的对边和斜边同时扩大
5ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ倍，sinA的值（ C ）
A.扩大50倍 B.缩小
1 50
C.不变
3.如图 A B 3
D.不能确定
则 C
1 2 sinA=______
.
300
7
B
4. 根据下图，求sinA和sinB的值．
解： （1）在Rt△ABC中，
3
AB AC 2 BC 2 52 32 34
A
5
C
因此
BC 3 3 34 sin A AB 34 34
6. 根据下图，求sinB的值． 解： （1）在Rt△ABC中，
AB BC 2 AC 2 m2 n2
A n m
C
因此
AC n n m2 n2 sin B 2 2 2 2 AB m n m n
练习
如图，Rt△ABC中，∠C=90度，CD⊥AB， 图中sinB可由哪两条线段比求得。
v
v
v
v
v
v
v
v
v
v
v v v v v
v
v v v v
v

2 sin A sin 45 2
∠B的对边记作b ∠C的对边记作c
例题示范
例1 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，求sinA和sinB的值． 解： （1）在Rt△ABC中， B 3 A 4 C
AB AC2 BC2 42 32 5
因此
BC 3 sin A AB 5
AC 4 sin B AB 5
（2）在Rt△ABC中， 因此
sin A
2
BC 5 AB 13
2 2 2
B
13 5 A
AC AB BC 13 5 12
sin B
AC 12 AB 13
C
练一练
1.判断对错:
BC √ ） 1) 如图 (1) sinA= （ AB
情 问题 为了绿化荒山，某地打算从位于山脚下的机井房沿着 山坡铺设水管，在山坡上修建一座扬水站，对坡面的绿地进 境 行喷灌．现测得斜坡与水平面所成角的度数是30°，为使出 探 水口的高度为35m，那么需要准备多长的水管？ 究
A B
C
分析： 这个问题可以归结为，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°， BC＝35m，求AB 根据“在直角三角形中，30°角所对的边等于斜边的一半”，即
即在直角三角形中，当一个锐角等于45°时，不管这 个直角三角形的大小如何，这个角的对边与斜边的比都等 于 2 2
综上可知，在一个Rt△ABC中，∠C＝90°，当∠A＝30°时，∠A的 1 对边与斜边的比都等 于 ，是一个固定值；当∠A＝45°时，∠A的对边 2 与斜边的比都等于
2 2
，也是一个固定值.
AC 5 5 34 sin B AB 17 34
B
5. 根据下图，求sinA和sinB的值．
12
解： （1）在Rt△ABC中，
BC AB2 AC 2 122 52 119
A 5 C
因此
sin A
BC 119 AB 12
sin B
AC 5 AB 12
B
A的对边 BC 1 斜边 AB 2
可得AB＝2BC＝70m，也就是说，需要准备70m长的水管．
在上面的问题中，如果使出水口的高度为50m，那么需要准备多长的 水管？
B' B 30m A C 50m C'
A的对边 B' C ' 1 , 斜边 AB' 2
AB'＝2B ' C ' ＝2×50＝100
结论：在一个直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么不管三角形 1 的大小如何，这个角的对边与斜边的比值都等于 2
A 如图，任意画一个Rt△ABC，使∠C＝ 90°，∠A＝45°，计算∠A的对边与斜 边的比 BC ，你能得出什么结论？
AB
C
B
BC BC 1 2 AB 2 2 BC 2