最新初中数学锐角三角函数的经典测试题及答案

最新初中数学锐角三角函数的经典测试题及答案

一、选择题

1．如图，点O 为△ABC 边 AC 的中点，连接BO 并延长到点D,连接AD 、CD ，若BD=12，AC=8，∠AOD ＝120°，则四边形ABCD 的面积为（ ）

A ．23

B ．22

C ．10

D ．243

【答案】D 【解析】

【分析】

分别过点A 、C 作BD 的垂线，垂足分别为M 、N ，通过题意可求出AM 、CN 的长度，可计算三角形ABD 和三角形CBD 的面积，相加即为四边形ABCD 的面积. 【详解】

解：分别过点A 、C 作BD 的垂线，垂足分别为M 、N ，

∵点O 为△ABC 边 AC 的中点，AC=8，

∴AO=CO=4，

∵∠AOD ＝120°，

∴∠AOB=60°，∠COD=60°， ∴342

AM AM sin AOB AO ===∠， 342

CN CN sin COD CO ===∠， ∴AM=23CN=3 ∴12231232ABD BD AM S ⨯===g △ 12231232BD CN S ⨯===g △BCD ， ∴=123123243ABD BCD ABCD S S S +==△△四边形

故选：D.

【点睛】

本题考查了三角函数的内容，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键.

2．在课外实践中，小明为了测量江中信号塔A 离河边的距离AB ，采取了如下措施：如图在江边D 处，测得信号塔A 的俯角为40︒，若55DE =米，DE CE ⊥，36CE =米，CE 平行于AB ，BC 的坡度为1:0.75i =，坡长140BC =米，则AB 的长为( )（精确到0.1米，参考数据：sin 400.64︒≈，cos400.77︒≈，tan 400.84︒≈）

A ．78.6米

B ．78.7米

C ．78.8米

D ．78.9米

【答案】C

【解析】

【分析】 如下图，先在Rt △CBF 中求得BF 、CF 的长，再利用Rt △ADG 求AG 的长，进而得到AB 的长度

【详解】

如下图，过点C 作AB 的垂线，交AB 延长线于点F ，延长DE 交AB 延长线于点G

∵BC 的坡度为1:0.75

∴设CF 为xm ，则BF 为0.75xm

∵BC=140m

∴在Rt △BCF 中，()2220.75140x x +=，解得：x=112

∴CF=112m ，BF=84m

∵DE ⊥CE ，CE ∥AB ，∴DG ⊥AB ，∴△ADG 是直角三角形

∵DE=55m ，CE=FG=36m

∴DG=167m ，BG=120m

设AB=ym

∵∠DAB=40°

∴tan40°=1670.84120

DG AG y ==+ 解得：y=78.8

故选：C

【点睛】

本题是三角函数的考查，注意题干中的坡度指的是斜边与水平面夹角的正弦值.

3．如图，点E从点A出发沿AB方向运动，点G从点B出发沿BC方向运动，同时出发且速度相同，DE GF AB

=<（DE长度不变，F在G上方，D在E左边），当点D到达点B时，点E停止运动．在整个运动过程中，图中阴影部分面积的大小变化情况是

（）

A．一直减小B．一直不变C．先减小后增大D．先增大后减小【答案】B

【解析】

【分析】

连接GE，过点E作EM⊥BC于M，过点G作GN⊥AB于N，设AE=BG=x，然后利用锐角三角函数求出GN和EM，再根据S阴影=S△GDE＋S△EGF即可求出结论．

【详解】

解：连接GE，过点E作EM⊥BC于M，过点G作GN⊥AB于N

设AE=BG=x，则BE=AB－AE=AB－x

∴GN=BG·sinB=x·sinB，EM=BE·sinB=（AB－x）·sinB

∴S阴影=S△GDE＋S△EGF

=1

2

DE·GN＋

1

2

GF·EM

=1

2

DE·（x·sinB）＋

1

2

DE·[（AB－x）·sinB]

=1

2

DE·[x·sinB＋（AB－x）·sinB]

=1

2 DE·AB·sinB

∵DE、AB和∠B都为定值

∴S阴影也为定值

故选B．

【点睛】

此题考查的是锐角三角函数和求阴影部分的面积，掌握利用锐角三角函数解直角三角形和

三角形的面积公式是解决此题的关键．

4．如图，在△ABC中，AC⊥BC，∠ABC＝30°，点D是CB延长线上的一点，且BD＝BA，则tan∠DAC的值为（）

A．2＋3B．23C．3＋3D．33

【答案】A

【解析】

【分析】

【详解】

设AC=x，在Rt△ABC中，∠ABC=30°，即可得AB=2x，BC=3x，

所以BD=BA=2x，即可得CD=3x+2x=（3+2）x，

在Rt△ACD中，tan∠DAC=

(32)

32 CD x

AC x

+

==+，

故选A.

5．如图，为了测量某建筑物MN的高度，在平地上A处测得建筑物顶端M的仰角为30°，向N点方向前进16m到达B处，在B处测得建筑物顶端M的仰角为45°，则建筑物MN的高度等于( )

A．31)m B．31)m

C．31)m D．31)m

【答案】A

【解析】

设MN=xm，

在Rt△BMN中,∵∠MBN=45∘，

∴BN=MN=x，

在Rt△AMN中,tan∠MAN=MN AN

，