数据结构第六章06-1

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图6-7 完全二叉树的顺序存储
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可采用增添一些并不存在的空结点的方 法，把一般的二叉树改造成为一棵完全二叉 树。
图6-8 把一般二叉树改造成完全二叉树
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这种为了实现顺序存储，用增添空结点 改造一般二叉树的方法，可能会造成大量存 储空间的浪费，最坏的情况出现在右单支树。
图6-5 两棵完全二叉树
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由完全二叉树的定义可知，满二叉树 一定是一棵完全二叉树，但完全二叉树却 不一定是一棵满二叉树。
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6.1.2 二叉树的性质
性质6-1～性质6-3对任何二叉树都成立， 性质6-4只是针对完全二叉树的。
性质6-1:在任何一棵二叉树的第i （i≥1）层上，最多有2i-1个结点。
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（1）如果i=1，则该结点为这棵完全 二叉树的根结点，它没有父结点；
（2）如果i>1，则该结点的父结点的 序号为i/2取整数（即i除以2后的整数 商）；
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（3）如果2i>n，则序号为i的结点 没有左子树，否则其左孩子（即左子树 的根结点）的序号为2i；
（4）如果2i+1>n，则序号为i的结 点没有右子树，否则其右孩子（即右子 树的根结点）的序号为2i+1。
二叉树有如下的特征：
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• 二叉树可以是空的，空二叉树没有任何结 点； • 二叉树上的每个结点最多可以有两棵子树， 这两棵子树是不相交的； • 二叉树上一个结点的两棵子树有左、右之 分，次序是不能颠倒的。
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图6-1 二叉树的五种基本形态
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图6-2 两棵不同的二叉树
第6章 树与二叉树-1
6.1 二 叉 树 概 述
6.2 二 叉 树 的 存 储 结 构
6.3 遍 历 二 叉 树
6.4 哈 夫 曼 树 及 哈 夫 曼 编 码
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本讲讨论二叉树，它是一种非常重要的
非线性数据结构，有着广泛的用途。
主要介绍以下几个方面的内容：
• 二叉树的定义及性质； • 二叉树的存储实现（顺序和链式存储）； • 遍历二叉树（即对二叉树存储结点访问的 各种形式）；
图6-3 一棵满二叉树
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图6-4所示的两棵二叉树都不是满二叉树。 虽然它们都满足“每个结点或都有两个非空 子树，或是叶结点”的条件，但却违背了 “每层都必须含有最多的结点个数”的要求。
图6-4 非满二叉树
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“完全二叉树”，是指该二叉树除最后 一层外，其余各层的结点都是满的，且最后 一层的结点都集中在左边，右边可连续缺少 若干结点。
把式（3）代入式（2），得：
n = n1 + 2×n2 + 1 （4）
综合式（1）和式（4），立即可以得出
所需要的结论。
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性质6-4:对于有n个结点的完全二叉树， 将其所有的结点按照从上到下、从左到右的 顺序进行编号。那么，二叉树中任意一个结 点的序号i（1≤i≤n）满足下面的关系：
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【证明】二叉树的第1层只有一个结点。
所以，当i=1时，2i-1=20=1成立。 假设结论对第i层成立，即第i层最多有
2i-1个结点。由于二叉树每个结点的度最多
为2，因此第i+1层结点的个数，最多应该是 第i层结点个数的2倍，即22i-1 = 2i，命题
得证。
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结点。如设二叉树种分支边数为m，那么
二叉树总的结点个数n应该是分支边数m加 上1（这个1是根结点），即：
n=m+1
（2）
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注意到每一条分支边或是由度为1的结
点发出，或是由度为2的结点发出，度为1的
结点发出一条边，度为2的结点发出两条边。
因此，又有关系：
m = n1 + 2×n2
（3）
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图6-6 被编号的完全二叉树
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6.2 二叉树的存储结构
6.2.1 二叉树的顺序存储结构
利用性质6-4，将完全二叉树中的结点以 编号为序存储在一维数组中，编号就是数组 元素的下标。这样，根据存储结点的下标， 就能得到它与完全二叉树中其他结点的邻接 关系。
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• 哈夫曼树及编码。
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6.1 二叉树概述 6.1.1 二叉树的基本概念
所谓“二叉树”，是一个由结点组成的 有限集合。这个集合或为空，或由一个称为 根的结点以及两棵不相交的二叉树组成，这 两棵二叉树分别称为根结点的左子树和右子 树。
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当二叉树非空时，通过结点间的边来 表示从一个结点到它的两个子结点间的联 系，这个结点称为父结点，两个子结点称 为父结点的孩子。
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性质6-3:如果一棵二叉树中，度为0的
结点个数为n0，度为2的结点个数为n2，则有 关系：n0 = n2 + 1。
【证明】设二叉树中度为1的结点个数为
n1，那么二叉树总的结点个数n应该是： n = n0 + n1 + n2 （1）
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另一方面，二叉树中除根结点外，其 余每个结点都有一个向上的分支指向其父
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所谓一个结点的“度”，是指该结点 拥有子树的个数。
对于二叉树来说，任何一个结点的度 最多是2。
通常，把二叉树中那些度为0的结点， 称作是“叶子”结点。
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“满二叉树”，是指该二叉树的每一个 结点，或是有两个非空子树的结点，或是叶 结点，且每层都必须含有最多的结点个数。
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从二叉树中的一个结点到达另一个结点 所经由的路线，称为一条“路径”。对于路 径来说，从开始结点到终止结点，中间经过 的分支个数，称为路径的“长度”。
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二叉树是一种层次结构。通常，把它的 根算作第1层，其余结点的层次值，为其父 结点所在层值加1。
一棵二叉树的“高度”，是指该二叉树 的最大层次数值。
性质6-2: 树高为k（k≥1）的二叉树，
最多有2k−1个结点。
【证明】由性质6-1可知，在树高为k的
二叉树里，第1层有20个结点，第2层有21个
结点，第3层有22个结点，……，第k层有2k1个结点。因此，要求出树高为k的二叉树的
结点个数，就是求和：
20 + 21 + 22 +…+ 2k-1=2k-1.证毕