高中人教版选修1-1数学公式

.
t
42. 瞬时加速度
v
v(t
a v (t) lim
lim
t0 t
t0
43. f ( x) 在 (a,b) 的导数
t) v(t)
.
t
dy df
y
f (x
f ( x) y
lim
lim
dx dx
x0 x
x0
44 函数 y f ( x) 在点 x0 处的导数的几何意义
函数 y f ( x) 在点 x0 处的导数是曲线 y
（ 4）柯西不等式
(a2 b2 )( c2 d 2) (ac bd) 2, a,b,c, d R.
（5） a b a b a b .
18. 极值定理
已知 x, y 都是正数，则有
（ 1）若积 xy 是定值 p ，则当 x y 时和 x y 有最小值 2 p ；
（ 2）若和 x y 是定值 s ，则当 x 推广 已知 x, y R ，则有 ( x y) 2
37 直线与圆锥曲线相交的弦长公式
AB
( x1 x2 )2 ( y1 y2 ) 2 或
AB
(1 k 2)( x2 x1)2 | x1 x2 | 1 tan2 | y1 y2 | 1 co t 2
A ( x1 , y1), B( x2 , y2 ) ，由方程
y kx b 消去 y 得到 ax 2 F( x, y) 0
不成立
成立
p且q
反设词 一个也没有 至少有两个
至多有 （ n 1）个 至少有 （ n 1）个
p且 q
p或 q
3. 四种命题的相互关系
原命题 若ｐ则ｑ
互 否
否命题 若非ｐ则非ｑ
互逆
逆命题
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若ｑ则ｐ
互
互
为
为
互
否
逆
逆
否
否
逆否命题
互逆
若非ｑ则非ｐ
4. 充要条件
（ 1 ）充分条件：若 p （ 2）必要条件：若 q （ 3）充要条件：若 p
x0 x
2
y0 y
2
1.
ab
x2 y2 （ 3 ） 椭 圆 a2 b2 1(a b 0) 与 直 线 Ax By C 0 相 切 的 条 件 是
A2 a 2 B 2 b2 c 2 .
x2 y2 27. 双曲线 a 2 b2 1(a 0, b 0) 的焦半径公式
a2
a2
PF1 | e( x
) |， PF2 | e(
49 判别 f (x0) 是极大（小）值的方法
当函数 f ( x) 在点 x0 处连续时，
（ 1）如果在 x0 附近的左侧 f ( x) 0 ，右侧 f ( x) 0 ，则 f ( x0 ) 是极大值；
（ 2）如果在 x0 附近的左侧 f ( x) 0，右侧 f ( x) 0 ，则 f ( x0 ) 是极小值 .
0) .
47. 复合函数的求导法则
设函数 u
( x) 在点
x 处有导数
u
' x
'( x) ，函数 y f (u) 在点 x 处的对应点 U 处有
导数 yu'
f ' (u) ，则复合函数
y
f ( ( x)) 在点 x 处有导数，且
y
' x
yu'
u
' x
，或写作
f
' x
(
( x))
f ' (u) ' ( x) .
（2） S (3) S OAB
1
1
1
ab sin C bc sin A ca sin B .
2
2
2
1 (| OA | |OB |) 2 (OA OB)2 . 2
14. 三角形内角和定理
在△ABC 中，有 A B C
C
( A B)
C 22
特别地 ,有
sin sin
AB 2
2C 2 k ( 1)k
2( A B) . (k Z ) .
(3) |sin x | | cos x | 1.
7. 同角三角函数的基本关系式
sin 2
cos2
1 ， tan
sin
=
， tan
cot
1.
cos
9. 和角与差角公式
sin(
) sin cos cos sin ;
cos( tan(
sin( cos(
) cos cos sin sin ;
) tan
tan
.
1 tan tan
)sin( )cos(
) sin 2 ) cos2
sin2 (平方正弦公式 ); sin 2 .
a sin b cos = a2 b2 sin(
定, tan
b
).
a
10. 二倍角公式
) ( 辅 助 角 所 在 象 限 由 点 ( a, b) 的 象 限 决
sin 2 sin cos .
y 时积 xy 有最大值 1 s2 . 4
( x y) 2 2xy
（ 1）若积 xy 是定值 ,则当 | x y | 最大时 ,| x y | 最大；
当 | x y | 最小时 , | x y |最小 .
（ 2）若和 | x y |是定值 ,则当 | x y |最大时 , | xy | 最小；
当 | x y | 最小时 , | xy | 最大 . 19. 一 元 二 次 不 等 式 ax2 bx c 0(或 0) (a 0, ax 2 bx c 同号，则其解集在两根之外；如果 a 与 ax2 bx
(3) 点 P( x0 , y0 ) 在抛物线 x2 2 py( p 0) 的内部 x2 2 py( p 0) . 点 P(x0, y0 ) 在抛物线 x2 2 py( p 0) 的外部 x2 2 py( p 0) . (4) 点 P(x0, y0 ) 在抛物线 x2 2 py( p 0) 的内部 x2 2 py( p 0) . 点 P(x0, y0 ) 在抛物线 x2 2 py( p 0) 的外部 x2 2 py( p 0) .
上， 0 ，焦点在 y 轴上） .
31. 抛物线 y 2 2 px 的焦半径公式
抛物线 y2 2 px( p 0) 焦半径 CF
p
x0
.
2
p
p
过焦点弦长 CD x1
x2
x1 x 2 p .
2
2
33 二次函数 y ax2 bx c a(x
b )2
4ac b2 (a
0) 的图象是抛物线： （ 1）顶
2a
q ，则 p 是 q 充分条件 . p ，则 p 是 q 必要条件 . q ，且 q p ，则 p 是 q 充要条件 .
注：如果甲是乙的充分条件，则乙是甲的必要条件；反之亦然
.
6．常见三角不等式
（ 1）若 x (0, ) ，则 sin x x tan x . 2
(2) 若 x (0, ) ，则 1 sin x cosx 2 . 2
cos2 cos2 sin 2
tan 2
2 tan 1 tan2 .
11. 三角函数的周期公式
2cos 2
1 1 2sin 2 .
函数 y sin( x ) ，x∈R 及函数 y cos( x
2
＞0) 的周期 T
；函数 y tan( x ) ， x k
) ，x∈R(A, ω, 为常数，且 A≠0 ，ω , k Z (A, ω, 为常数，且 A≠0 ，
数学公式（ Part 1 ）
1. 真值表
ｐ ｑ 非ｐ ｐ或ｑ ｐ且ｑ
真真 假
真
真
真假 假
真
假
假真 真
真
假
假假 真
假
假
2. 常见结论的否定形式
原结论
反设词
原结论
是
不是
至少有一个
都是
不都是
至多有一个
大于
不大于
至少有 n 个
小于
不小于
至多有 n 个
对所有 x ， 存在某 x ，
成立
不成立
p或q
对任何 x ， 存在某 x ，
2
ω＞0) 的周期 T
.
12. 正弦定理
a
b
c
2R.
sin A sin B sin C
52. 余弦定理
a 2 b2 c2 2bc cos A ;
2
2
2
b c a 2ca cos B ;
c2 a2 b2 2ab cos C .
13. 面积定理
1
1
1
（1） S
aha 2
bhb 2
2 chc （ ha、hb、 hc 分别表示 a、 b 、c 边上的高） .
x02 a2
y02 b2
1.
x02 a2
y02 b2
1.
26. 椭圆的切线方程
x2
(1) 椭圆 2
y2
2
1(a
b
ab
x2 y 2 （ 2 ）过椭圆 a2 b 2 1(a
0) 上一点 P(x0, y0 ) 处的切线方程是
x0 x
2
y0y
2
1.
ab
b 0) 外一点 P(x0, y0) 所引两条切线的切点弦方程是
xa xa
x2
2
a
x2 a2
a x a.
x a或 x a .
x2 24 椭圆 a2 PF1 e( x
y2 b2 1(a b a2
) ， PF2 c
0) 焦半径公式
a2
e(
x) .
c
25 ．椭圆的的内外部
x2 y2 （ 1）点 P(x0, y0) 在椭圆 a2 b2 1(a b 0) 的内部
x2 y2 （ 2）点 P(x0, y0) 在椭圆 a2 b2 1(a b 0) 的外部
b2 4ac 0) ， 如 果 a 与 c 异号，则其解集在两根之
间. 简言之：同号两根之外，异号两根之间 .
x1 x x2 ( x x1)( x x2 ) 0( x1 x2 ) ； x x1 ,或 x x2 (x x1)( x x2 ) 0(x1 x2 ) .
20. 含有绝对值的不等式 当 a> 0 时，有
bx
c
0，
（弦端点
0 , 为直线
AB 的倾斜角， k 为直线的斜率） .
40. f (x) 在 x0 处的导数（或变化率或微商）
f ( x0 ) y x x0
y lim x0 x
lim f ( x0
x0
x) f (x0) . x
41. 瞬时速度
s
s(t
s (t) lim
lim
t0 t
t0
t) s(t)
cos cos
2k
(k Z) .
tan tan
k
(k Z) .
17. 常用不等式：
（ 1） a, b R a2 b 2 2ab (当且仅当 a＝ b 时取“= ”号)．
（ 2） a, b R
ab 2
ab (当且仅当 a ＝ b 时取“= ”号)．
（ 3） a3 b3 c3 3abc( a 0,b 0,c 0).
(4) (cos x) sin x .
(5) (ln x)
1 ； (log a x )
1
log
e
a.
x
x
(6) (ex ) ex ; (a x ) ax ln a .
46 导数的运算法则
（ 1 ） (u v)' u' v' .
（ 2 ） (uv) ' u'v uv' .
（3） (u)' v
u 'v uv ' v2 (v
x) |.
c
c
28. 双曲线的内外部
x2 y2 (1) 点 P( x0 , y0 ) 在双曲线 a2 b2 1(a 0, b 0) 的内部
(2) 点 P( x0 , y0 ) 在双曲线
x2 a2
y2 b2
1(a
0, b
0) 的外部
x02 a2
y02 b2
1.
x02 a2
y02 b2
1.
29. 双曲线的方程与渐近线方程的关系
4a
b 4ac b2
b 4ac b2 1
点坐标为 (
,
) ；（ 2 ）焦点的坐标为 (
,
) ；（ 3 ）准线方程是
2a 4a
2a
4a
4ac b2 1
y
.
4a
34. 抛物线的内外部
(1) 点 P( x0 , y0 ) 在抛物线 y2 2 px( p 0) 的内部 y2 2px( p 0) . 点 P(x0, y0 ) 在抛物线 y2 2 px( p 0) 的外部 y2 2 px( p 0) . (2) 点 P( x0 , y0 ) 在抛物线 y2 2 px( p 0) 的内部 y2 2 px( p 0) . 点 P(x0, y0 ) 在抛物线 y2 2 px( p 0) 的外部 y2 2px( p 0) .
x) f (x)
.
x
f (x) 在 P(x0 , f (x0 )) 处的切线的斜率
f (x0) ，相应的切线方程是 y y0 f ( x0 )( x x0 ) .
45. 几种常见函数的导数
(1) C 0 （ C 为常数） . (2) ( xn) ' nxn 1 (n Q) .
(3) (sin x) cos x .
x2 (1 ）若双曲线方程为 a 2
y2 b2 1
x2 y2 渐近线方程： a 2 b 2 0
y
b x.
a
(2) 若渐近线方程为 y
b x
a
xy 0
ab
x2 y2 双曲线可设为 a 2 b 2
.
x2 y2
x2 y2
(3) 若双曲线与 a 2 b 2 1 有公共渐近线，可设为 a 2 b 2
（
0 ，焦点在 x 轴