初中数学知识点精讲精析 平行线

5.2 平行线

学习目标

1. 理解在同一平面内两条直线的位置关系只有相交和平行两种。

2. 能借助直尺和三角板过直线外一点作已知直线的平行线。

3. 体会平行公理及其推论。

知识详解

1. 平行线

在同一平面内不相交的两条直线叫做平行线，直线a与直线b互相平行，记作“a∥b”。

在同一平面内，两条不重合的直线的位臵关系只有两种：相交或平行。

平行线的性质：

性质1（平行公理）：经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行；

性质2（平行线的传递性）：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行，即：如果a∥b，b∥c，那么a∥c.

平行线的画法：

（1）在方格纸上：在方格纸上画，一般有水平、垂直和斜画三种方式，斜画是过任意由若干相邻方格组成的矩形的对角线画一条直线，再按相同的方式画出另一条直线，就可以得到一组平行线；

（2）用一副三角板画，其步骤可简记为：

一落：用三角板一边落在已知直线上；

二靠：用直尺紧靠三角板的一边；

三移：沿直尺移动三角板，使三角板与已知直线重合的边过已知点；

四画：沿三角板过已知点的边画直线。

2.平行线的判定

在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行。

3.平行线的性质

【典型例题】

例1：如图14，一条公路修到湖边时，需拐弯绕湖而行，如果第一次拐的角是∠A为120°第二次拐的角∠B是150°，第三次拐的角是∠C，这时的道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行，则∠C为（）.

A.120°

B.130°

C.140°

D.150°

【答案】D

【解析】如图14，过B作BD//CF，根据AE//CF，可知BD//AE，根据“两直线平行，内错角相等，或同旁内角互补可得∠A=∠ABD，∠DBC+∠C=180°，因为∠A=120°，∠ABC=150°，所以∠DBC=30°，所以∠C=150°

例2：三条直线a、b、c，若a∥c，b∥c，则a与b的位置关系是（）

A.a⊥b

B.a∥b

C.a⊥b或a∥b

D.无法确定

【答案】B

【解析】由于直线a、b都与直线c平行，依据平行公理的推论，可推出a∥b，故选B. 例3：下列命题中，真命题是（）

A.互补两角若相等，则此两角都是直角

B.直线是平角

C.不相交的两条直线叫做平行线

D.和为180°的两个角叫做邻补角

【答案】A

【解析】A、设两角大小为α，则2α=180°，必有α=90°，故正确；B、直线和平角是不同的两个概念，故错误；C、应在同一个平面内，故错误；D、邻补角应是特殊的补角，不仅数量上和为180°，且位置上应有一条公共边，另一边互为反向延长线，故错误.

【误区警示】

易错点1：平行公理

1. 下列结论中，不正确的是（）

A.两点确定一条直线

B.两点之间，直线最短

C.等角的余角相等

D.两直线和第三条直线都平行，则这两直线也平行

【答案】B

【解析】A、两点确定一条直线，是直线的性质，故本选项正确；B、应为两点之间，线段最短，故本选项错误；C、等角的余角相等，是余角的性质，故本选项正确；D、两直线和第三条直线都平行，则这两直线也平行，是平行公理，故本选项正确.

易错点2：两直线位置关系

2. 若直线a与直线b都和直线c平行，那么直线a和直线b的位置关系是（）

A.平行

B.相交

C.平行或相交

D.无法确定

答案】A

【解析】直线a与直线b都和直线c平行，那么直线a和直线b的位置关系是平行

【综合提升】

针对训练

1. 如图13，E在直线DF上，B在直线AC上，若∠AGB=∠EHF，∠C=∠D，试判断∠A与∠F 的关系，并说明理由.

2. 如图12所示，直线a∥b，则∠A= .

3. 如图11所示，∠1＝∠2.（1）再加上___________或____________条件时，DF∥BE；（2）再加上___________或____________条件时，DC∥BA.

1. 【答案】∠A=∠F.理由：因为∠AGB=∠DGF，∠AGB=∠EHF，所以∠DGF=∠EHF，所以BD

∥CE，所以∠C=∠ABD，又∠C=∠D，所以∠D=∠ABD，所以DF∥AC，所以∠A=∠F.

【解析】从图中可以猜测∠A=∠F，但题目没有告诉DF∥AC，所以需要根据已知条件说明DF ∥AC.

2. 【答案】22°

【解析】本题是一道稍有难度的试题，因为已知条件和平行线有关，要求∠A的度数，可以通过构造平行线，借助平行线的特征求解.如图12，作AD//a，因为a//b，可知AD//b，根据两直线平行，内错角相等，可得∠1=28°，∠DAC=50°，所以∠BAC=50°－28°=22°3. 【答案】（1）再加上∠CDB＝∠ABN或 AB∥CD的条件时，DF∥BE.（2）再加上∠MDF＝∠DBE或DF∥BE的条件时，DC∥BA.

【解析】（1）要使DF∥BE，可考虑∠MDF＝∠EBM，当然，由于考虑这个条件就能直接判定两直线平行了，∠1＝∠2就成了多余条件，根据题意，这个显然无须考虑；我们还可考虑∠NDF＝∠EBN，由于∠1＝∠2，因此，我们只要加上∠CDB＝∠ABN这个条件就行了，而∠CDB＝∠ABN，又能知AB∥CD，因此加上AB∥CD的条件也能判定DF∥BE.（2）分析方法与（1）相同，只不过这时要考虑的同位角变成了∠MDC＝∠DBA而已.

【中考链接】

（2014年襄阳）如图，BC⊥AE于点C，CD∥AB，∠B=55°，则∠1等于（）

A.35°

B.45°

C.55°

D.65°

【答案】A

【解析】∵BC⊥AE，∴∠ACB=90°∴∠A+∠B=90°. 又∵∠B=55°，∴∠A=35°. 又CD ∥AB，∴∠1=∠B=35°

课外拓展

平行线是公理几何中的重要概念。欧氏几何的平行公理，可以等价的陈述为“过直线外一点有唯一的一条直线和已知直线平行”。而其否定形式“过直线外一点没有和已知直线平行的直线”或“过直线外一点至少有两条直线和已知直线平行”，则可以作为欧氏几何平行公理的替代，而演绎出独立于欧氏几何的非欧几何。