2019-2020年全国通用2018高考数学大一轮复习第十二篇坐标系与参数方程第1节坐标系课件理

y2
=1.
与 x2+y2=1 比较系数,
得

3
2
2
2


1, 1,
故


3, 2,
所以伸缩变换为
x

y

3x, 2 y,
即先使圆 x2+y2=1 上的点的纵坐标不变,将圆上的点的横坐标伸长到原来的 3 倍,
得到椭圆 x2 +y2=1,再将该椭圆的点的横坐标不变,纵坐标伸长到原来的 2 倍,得 9
到椭圆 x2 + y 2 =1. 94
反思归纳
平面上的曲线
y=f(x)在变换

:
x

y

x( 0), y( 0)
的作用下
得到的方程的求法是将
x y

x ,

y
代入 y=f(x),得
y
=
f

x


,整理之后得

到 y′=h(x′),即为所求变换之后的方程.
选考部分 第十二篇
坐标系与参数方程(选修4-4) 第1节 坐标系
最新考纲
2.了解极坐标的基本概念,会在极
1.了解坐标系的作用,了解在平面 坐标系中用极坐标刻画点的位置,
直角坐标系伸缩变换作用下平面 能进行极坐标和直角坐标的互化.
图形的变化情况.
3.能在极坐标系中给出简单图形
表示的极坐标方程.
知识链条完善 考点专项突破 经典考题研析
(1)求C1,C2的极坐标方程;
(2)若直线C3的极坐标方程为θ = π
△C2MN的面积.
4
(ρ ∈R),设C2与C3的交点为M,N,求
解: (1)因为x=ρcos θ ,y=ρsin θ ,所以C1的极坐标方程为ρcos θ =-2, C2的极坐标方程为ρ2-2ρcos θ -4ρsin θ +4=0.
d= 1 1 =0,直线过圆心, 1 ( 3)2
所以|AB|=2.
答案:2
3.(2015·安徽卷)在极坐标系中,圆ρ =8sin θ 上的点到直线θ = π
3
(ρ ∈R)距离的最大值是
.
解析:圆ρ=8sin θ化为直角坐标方程为 x2+y2=8y, 即 x2+(y-4)2=16,直线θ= π (ρ∈R)化为直角坐标方程为 y= 3x .

=
2 2
.
考点三 简单曲线的极坐标方程及应用 【例 3】 (2016·黑龙江大庆实验中学模拟)在极坐标系中,已知圆 C 经
过点
P

2,
π 4

,圆心为直线

sin


π 3

=

3 与极轴的交点. 2
(1)求圆C的极坐标方程;
解:(1)在 sin

π 3
半轴作为极轴,并在两种坐标系中取相同的长度单位,设M是平面内任
意一点,它的直角坐标是(x,y),极坐标为(ρ ,θ ),则它们之间的关系为
x=ρ cos θ
,y= ρ sin θ ,由此得ρ 2= x2+y2 ,tan θ =
y (x 0) x
.
3.常用简单曲线的极坐标方程
曲线
图形
极坐标方程
圆心在极点,半径为 r 的圆
【例 1】 在同一平面直角坐标系中,求一个伸缩变换,使得圆 x2+y2=1 变换为椭
圆 x2 + y 2 =1. 94
解:设伸缩变换为
x

y

x( 0), y( 0),
由题知 2 x2 + 2 y2 =1, 94
即

3
2
x2
+

2
2
【即时训练】
若函数
y=f(x)的图象在伸缩变换
:

x y

2x, 3y
的作用下得到曲
线的方程为
y′=
3sin

x

π 6

,求函数
y=f(x)的最小正周期.
解:由题意,把变换公式代入曲线
y′=
3sin

x

π 6

得
3y=
3sin

2x

π 6

=

3 2
中,令θ=0,得ρ=1.
所以圆心
C(1,0).因为圆
C
过点
P

2,
π 4

.
所以半径|PC|= ( 2)2 12 2 2 1 cos π =1. 4
所以圆 C 过极点,所以圆 C 的极坐标方程为ρ=2cos θ.
(2)求直线θ = π (ρ ∈R)被圆C所截得的弦长. 3
【即时训练】 已知☉O1和☉O2的极坐标方程分别是ρ =2cos θ 和 ρ =2asin θ (a是非零常数). (1)将两圆的极坐标方程化为直角坐标方程; (2)若两圆的圆心距为 5 ,求a的值.
解: (1)由ρ=2cos θ 得ρ2=2ρcos θ . 所以☉O1的直角坐标方程为x2+y2=2x, 即(x-1)2+y2=1. 由ρ=2asin θ 得ρ2=2aρsin θ . 所以☉O2的直角坐标方程为x2+y2=2ay, 即x2+(y-a)2=a2.
(2)☉O1 与☉O2 的圆心距为 12 a2 = 5 , 解得 a=±2.
备选例题
【例1】 在直角坐标系xOy中,以O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标
系.曲线C的极坐标方程为ρ cos(θ - π )=1(0≤θ <2π ),M,N分别为C与
x轴、y轴的交点.
3
(1)写出C的直角坐标方程,并求M、N的极坐标;
(ρ ∈R)
ρ cos θ =a
ρ sin θ =a
对点自测
1.直线3x-2y+1=0经过变换

x y
3x, 2y
后的直线方程为
.
解析:由变换
x

y

3x, 2y
得
x

y

x , 3 y , 2
代入直线方程,
得 3× x -2× y +1=0,
3 圆心(0,4)到直线 3x -y=0 的距离
d=
4
=2.
( 3)2 (1)2
又圆的半径为 4, 故圆上的点到直线距离的最大值是 2+4=6.
答案:6
4.(2014·广东卷)在极坐标系中,曲线C1和C2的方程分别为ρ sin2θ = cos θ 和ρ sin θ =1,以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为x轴的正
2
1 2
x

=sin
x 的图象;
③正确.极坐标系中,点

2,
π 3

与

2,
π 3

2kπ

(k∈Z)为同一点;
④错误.极坐标系中,方程ρcos θ =1表示垂直于极轴的直线.
答案:①②③
考点专项突破
考点一 平面直角坐标系中的伸缩变换
在讲练中理解知识
2.极坐标系 (1)设M是平面内一点,极点O与点M的距离|OM|叫做点M的 极径 ,记为ρ . 以极轴Ox为始边,射线OM为终边的角xOM叫做点M的 极角 ,记为θ .有序 数对(ρ ,θ )叫做点M的极坐标,记为M(ρ ,θ ).
(2)极坐标与直角坐标的关系:把直角坐标系的原点作为极点,x轴的正
解:(2)法一 设直线θ= π (ρ∈R)与圆 C 相交于 A,B 两点,则△ACB 为等 3
边三角形.所以|AB|=1,即直线θ= π (ρ∈R)被圆 C 所截得的弦长为 1. 3
法二 圆 C:ρ=2cos θ的直角坐标方程为 x2+y2=2x,
即(x-1)2+y2=1.直线θ= π (ρ∈R)的直角坐标方程为 y= 3 x. 3

,
整理得
y=
sin

2x

π 6

,
故
f(x)=
sin

2
x

π 6

.
所以 y=f(x)的最小正周期为 2π =π. 2
考点二 极坐标与直角坐标的互化
【例2】 (2015·全国Ⅰ卷)在直角坐标系xOy中,直线C1:x=-2,圆 C2:(x-1)2+(y-2)2=1,以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐 标系.
ρ =r
圆心为(r,0),半径为 r 的圆
ρ =2rcos θ


π 2


π 2

圆心为

r,
π 2

,半径为
r 的圆
过极点,倾斜角为α 的 直线
过点(a,0),与极轴垂 直的直线
过点

a,
π 2

,与极轴平
行的直线
ρ =2rsin θ (0≤θ <π ) θ =α (ρ ∈R) 或θ =π +α
其中正确命题的序号是
.(写出所有正确命题的序号)
解析:①正确.在平面直角坐标系中,已知伸缩变换为

:
x

y

1 3 1 2
x, y,
则点(3,2)经过变换 后的点的坐标为(1,1);
②正确.将函数 y=sin 2x 的图象的横坐标伸长到原来的 2 倍,得到函数
y=
sin
2
cos

π 4

=2,所以ρ2-
2
2

cos
cos
π 4
,
sin

sin
π 4

=2.
所以 x2+y2-2x-2y-2=0.
(2)将两圆的直角坐标方程相减,得经过两圆交点的直线方程为 x+y=1.
化为极坐标方程为ρcos
θ+ρsin
θ=1,即

sin


π 4
5.给出下列命题:
①点(3,2)经过伸缩变换

:
3x 2 y

x, y
后所得点的坐标为(1,1);
②将函数 y=sin 2x 的图象的横坐标伸长到原来的 2 倍,得到函数 y=sin x
的图象;
③在极坐标系中,点

2,
π 3

与

2,

5π 3

为同一点;
④在极坐标系中,方程ρ cos θ =1 表示圆.
【即时训练】 导学号 49612291 已知圆 O1 和圆 O2 的极坐标方程分别为ρ =2,
ρ 2- 2
2
cos

π 4

=2.
(1)将圆O1和圆O2的极坐标方程化为直角坐标方程;
(2)求经过两圆交点的直线的极坐标方程.
解:(1)由ρ=2 知ρ2=4,所以 x2+y2=4.
因为ρ2- 2
半轴,建立平面直角坐标系,则曲线C1和C2交点的直角坐标为
.
解析:C1 的方程可化为ρ2sin2θ=ρcos θ,即 y2=x, C2 的方程可化为 y=1,
由

y2 x, y 1,
得

x y

1, 1.
所以 C1 与 C2 交点的直角坐标为(1,1).
答案:(1,1)
解:(1)由ρcos(θ-
π 3
)=1
得


1 2
cos

3 2
sin

=1.
从而 C 的直角坐标方程为 1 x+ 3 y=1,即 x+ 3 y=2. 22
当θ=0 时,ρ=2,所以 M(2,0).
当θ=
π 2
时,ρ=
23 3
,所以
N

23 3
,
π 2
.
(2)设MN的中点为P,求直线OP的极坐标方程.
圆心 C(1,0)到直线 3 x-y=0 的距离为 d= 3 ,半径 r=1,故弦长为 2
2 r2 d 2 = 2 1 3 =2× 1 =1.
4
2
反思归纳 (1)求曲线的极坐标方程,就是找出动点M的坐标ρ与θ 之间 的关系,然后列出方程f(ρ,θ )=0,再化简并检验特殊点. (2)极坐标方程涉及的是长度与角度,因此列方程的实质是解三角形. (3)极坐标方程应用时多化为直角坐标方程求解,然后再转化为极坐标方 程,注意方程的等价性.
知识链条完善
把散落的知识连起来
知识梳理
1.平面直角坐标系中的伸缩变换
设点 P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点,在变换 :
x

y



x( 0), y( 0)
的作用下,点
P(x,y)对应到点
P′(x′,y′),
称 为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,简称伸缩变换.
3
2
得 x′-y′+1=0,
即变换后的直线方程为 x-y+1=0. 答案:x-y+1=0
2.(2016·北京卷)在极坐标系中,直线ρ cos θ - 3 ρ sin θ -1=0与圆
ρ =2cos θ 交于A,B两点,则|AB|=
.
解析:直线ρcos θ- 3 ρsin θ-1=0 化为直角坐标方程为 x- 3 y-1=0, 圆ρ=2cos θ化为直角坐标方程为 x2+y2-2x=0, 即(x-1)2+y2=1, 圆心(1,0)到直线 x- 3 y-1=0 的距离
(2)将θ= π 代入ρ2-2ρcos θ-4ρsin θ+4=0, 4
得ρ2-3 2 ρ+4=0,解得ρ1=2 2 ,ρ2= 2 ,故ρ1-ρ2= 2 ,即|MN|= 2 .
由于 C2 的半径为 1,所以△C2MN 的面积为 1 . 2
反思归(纳1)直角坐标方程化为极坐标方程,只要运用公式x=ρcos θ 及 y=ρsin θ 直接代入并化简即可;(2)极坐标方程化为直角坐标方程时常通过 变形,构造形如ρcos θ ,ρsin θ ,ρ2的形式,进行整体代换.其中方程的两边同 乘以(或同除以)ρ及方程两边平方是常用的变形方法.但对方程进行变形时, 方程必须同解,因此应注意对变形过程的检验.