等比数列知识点并附例题及解析

等比数列知识点并附例题及解析

1、等比数列的定义：()()*1

2,n

n a q q n n N a -=≠≥∈0且，q 称为公比 2、通项公式：

()11110,0n n

n n a a a q q A B a q A B q

-==

=⋅⋅≠⋅≠，首项：1a ；公比：q

推广：n m n m n n n m m a a a q q q a --=⇔=⇔=3、等比中项：

（1）如果,,a A b 成等比数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项，即：2A ab =

或

A =注意：同号的两个数才有等比中项，并且它们的等比中项有两个（ （2）数列{}n a 是等比数列211n n n a a a -+⇔=⋅ 4、等比数列的前n 项和n S 公式：

（1）当1q =时，1n S na = （2）当1q ≠时，()11111n n n a q a a q

S q

q

--=

=

-- 11''11n n n a a

q A A B A B A q q

=

-=-⋅=---（,,','A B A B 为常数）

5、等比数列的判定方法：

（1）用定义：对任意的n ，都有1

1(0){}n n n n n n

a a qa q q a a a ++==≠⇔或为常数，为等比数列

（2）等比中项：21111(0){}n n n n n n a a a a a a +-+-=≠⇔为等比数列 （3）通项公式：()0{}n n n a A B A B a =⋅⋅≠⇔为等比数列 6、等比数列的证明方法：

依据定义：若

()()*1

2,n

n a q q n n N a -=≠≥∈0且或1{}n n n a qa a +=⇔为等比数列 7、等比数列的性质：

（2）对任何*,m n N ∈，在等比数列{}n a 中，有n m n m a a q -=。

（3）若*(,,,)m n s t m n s t N +=+∈，则n m s t a a a a ⋅=⋅。特别的，当2m n k +=时，得2n m k a a a ⋅= 注：12132n n n a a a a a a --⋅=⋅=⋅⋅⋅

（4）数列{}n a ，{}n b 为等比数列，则数列{}n

k

a ，{}n k a ⋅，{}k n a ，{}n n k a

b ⋅⋅，{}

n n a b （k 为非零常数）均为等比数列。

（5）数列{}n a 为等比数列，每隔*()k k N ∈项取出一项23(,,,,)m m k m k m k a a a a +++⋅⋅⋅仍为等比数列

（6）如果{}n a 是各项均为正数的等比数列，则数列{log }a n a 是等差数列 （7）若{}n a 为等比数列，则数列n S ，2n n S S -，32,n n S S -⋅⋅⋅，成等比数列 （8）若{}n a 为等比数列，则数列12n a a a ⋅⋅⋅⋅⋅⋅，122n n n a a a ++⋅⋅⋅⋅⋅⋅，21223n n n a a a ++⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅成等比数列

（9）①当1q >时，110{}0{}{n n a a a a ><，则为递增数列

，则为递减数列

②当1q <0<时，110{}0{}{

n n a a a a ><，则为递减数列

，则为递增数列

③当1q =时，该数列为常数列（此时数列也为等差数列）； ④当0q <时,该数列为摆动数列.

（10）在等比数列{}n a 中，当项数为*

2()n n N ∈时，1S S q

=奇偶

二 例题解析

【例1】 已知S n 是数列{a n }的前n 项和，S n ＝p n (p ∈R ，n ∈N*)，那么数列{a n }．（ ）

A ．是等比数列

B ．当p ≠0时是等比数列 B ．

C ．当p ≠0，p ≠1时是等比数列

D ．不是等比数列

【例2】 已知等比数列1，x 1，x 2，…，x 2n ，2，求x 1·x 2·x 3·…·x 2n ．

【例3】 {a }(1)a =4a n 25等比数列中，已知，＝－，求通项公1

2

式；(2)已知a 3·a 4·a 5＝8，求a 2a 3a 4a 5a 6的值．

【例4】 求数列的通项公式：

(1){a n }中，a 1＝2，a n+1＝3a n ＋2

(2){a n }中，a 1=2，a 2＝5，且a n+2－3a n+1＋2a n ＝0

三、 考点分析

考点一：等比数列定义的应用

1、数列{}n a 满足()1123

n n a a n -=-≥，14

3a =，则4a =_________．

2、在数列{}n a 中，若11a =，()1211n n a a n +=+≥，则该数列的通项

n a =______________．

考点二：等比中项的应用

1、已知等差数列{}n a 的公差为2，若1a ，3a ，4a 成等比数列，则2a =（ ）

A ．4-

B ．6-

C ．8-

D ．10-

2、若a 、b 、c 成等比数列，则函数2y ax bx c =++的图象与x 轴交点的个数为（ ） A ．0

B ．1

C ．2

D ．不确定

3、已知数列{}n a 为等比数列，32a =，2420

3

a a +=，求{}n a 的通项公式． 考点三：等比数列及其前n 项和的基本运算

1、若公比为23的等比数列的首项为98，末项为1

3

，则这个数列的项数是（ ）

A ．3

B ．4

C ．5

D ．6 2、已知等比数列{}n a 中，33a =，10384a =，则该数列的通项

n a =_________________．

3、若{}n a 为等比数列，且4652a a a =-，则公比q =________．

4、设1a ，2a ，3a ，4a 成等比数列，其公比为2，则

12

34

22a a a a ++的值为（ ）

A ．1

4

B ．

12 C ．1

8

D ．1 5、等比数列{a n }中，公比q=2

1

且a 2+a 4+…+a 100=30，则a 1+a 2+…

+a 100=______________.

考点四：等比数列及其前n 项和性质的应用

1、在等比数列{}n a 中，如果66a =，99a =，那么3a 为（ ）

A ．4

B ．32

C ．16

9

D ．2

2、如果1-，a ，b ，c ，9-成等比数列，那么（ ） A ．3b =，9ac =

B ．3b =-，9ac =

C ．3b =，9ac =-

D ．3b =-，9ac =-

3、在等比数列{}n a 中，11a =，103a =，则23456789a a a a a a a a 等于（ ） A ．81

B

．C

D ．243