第五章 整数规划(运筹学教程)

B3,B4
• • • • • • • • • • • • B3 Max z=20x1+10x2 5x1+4x2≤24 2x1+5x2 ≤13 x1 ≤ 4, X2≤2； x1，x2≥0 B4 Max z=20x1+10x2 5x1+4x2≤24 2x1+5x2 ≤13 x1 ≤ 4, X2 ≥3 x1，x2≥0
§1 整数规划问题的提出
1. 2. 3. 4. 5. 6. 理解整数规划的数学模型 了解整数规划模型的类型 了解整数规划的求解方法 掌握分枝的思想和步骤 了解0-1规划的隐枚举法 掌握指派问题的数学模型和求解方法
背包问题
一背有容量为250 cm3的背包的小偷进入库房（或 某户人家或机房），他需要从若干物品中选择一定数量 装入背包带走。可选的物品有7种，其价值、体积及最 大的数量入下表:
什么是整数规划？
• 1、一个线性规划如果有某些决策变量 是整数，则称为整数规划（Integer programming)； 2、整数规划的类型：
1. 纯整数规划； 2. 混合整数规划； 3. 0-1（整数）规划。
•
整数规划的可行解，最优解
• x2
3 2 +
1
+
1
+
2
+
3
+
4
+
5 6 7
•
x1
§2 分枝定界法
第五章 整数规划
§1 整数规划问题的提出 §2 分枝定界法 §3 割平面法 §4 0-1型整数规划 §5 指派问题
第五章 整数规划（重点和难点）
1、理解整数规划的数学模型 2、了解整数规划模型的类型 3、了解整数规划的求解方法 4、掌握分枝的思想和步骤（重点和难点） 5、理解割平面法的思想和步骤 5、了解0-1规划的隐枚举法 6、掌握指派问题的数学模型和求解方法 2/7 3/7 22/7 -3/7
13/7 1 9/7 0 31/7 0 0
割平面约束：-1/7x3-2/7x5<=-6/7
3 CB 3 -1 0 0 XB x1 x2 x4 x6 b 13/7 9/7 31/7 -6/7 x1 1 0 0 0 0
-1 x2 0 1 0 0 0
求解整数规划的方法
1. 分枝定界法； 2. 割平面法； 3. 其它算法。
分枝定界法
• 设有极大型的整数线性规划问题，记为 ILP ，与之对 应的普通线性规划问题记为 LP 。分枝定界法求解 ILP 问题的基本思路是： • 1、先从求解LP 问题开始，如果 LP 的解不符合整数 条件，那么 LP 的最优目标值必然构成ILP 最优目标 值的一个上界，记为 ； z • 2、而 ILP 的任意可行解的目标值都将是最优目标值 的一个下界，记为 z 。 • 所谓分枝定界法就是将LP 问题的可行域划分为两个 子域（分枝，中间去掉了一块没有整数可行解的部 分），使上界 逐步减小，而通过获得更好的整数可行 解使下界 z 逐步增大，最终求得最优解 z* 。
bi xi B
i 1
7
A1，A2，A3三个点中至多选两
A6，A7两个店中至少 选一个
x1 x2 x3 2 x4 x5 1 x6 x7 1
物品 1 2 3 15 4 50 5 80 6 30 7 500
价值（元） 200 150 5 5 体积（cm3) 2 15 数量
2 18
6 14
12 8
2 4
4 1
问小偷应如何选择物品才能使价值最大？
令xi表示小偷选择物品i的数量，则 背包问题的数学模型为 max z 200x1 150x2 15x3 50x4 80x5 30x6 500x7
分枝
• B1
• • • • • • • • • • • Max z=20x1+10x2 5x1+4x2≤24 2x1+5x2 ≤13 x1 ≤ 4 x1，x2≥0 B2 Max z=20x1+10x2 5x1+4x2≤24 2x1+5x2 ≤13 x1 ≥ 5 x1，x2≥0LP x2
B
B1 B2 4<x1<5
B5, B6
图5-4
B1(x1≤4）最优解
X1=4,x2=2.1 Z1=349 B3(x2≤2）最优解 X1=4,x2=2
B最优解
定界 0≤ Z≤356
X1=4.81,x2=1.82
Z0=356
B2（x1≥5）最优解
X1=5,x2=1.57 Z2=341 B4(x2≥3）最优解 X1=1.42,x2=3
0 0 1 0 0
x4
0 -1/4 -1/2 1/4 -1/4
x5
0 0 0 1 0
x6
1 -5/4 -11/4 -3/4 -17/4
割平面约束：-1/4x4-1/4x6<=-3/4
3
-1
0
0
0
CB
3 -1 0 0 0
XB
x1 x2 x3 x5 x4
b
1 2 4 1 3
x1
1 0 0 0 0
x2
0 1 0 0 0
什么叫0-1规划
• 0-1型整数规划是整数规划中的特殊情况， 它的变量xi仅取0或1，这时xi称为0-1变量 或二进制变量（binary), • xi仅取0或1这个条件可由下述约束条件所 取代： xi≤1, xi ≥0， Xi整数。 • 但是，0-1变量还有许多其它作用。 • 下面举例说明。
4.1 引入0-1变量的实际问题
最优解 X1=4,x2=2：整数可行解 Z3=340 最优解 X1=1.42,x2=3
Z4=327
定界
340≤ Z≤max(z2,z3,z4)=z2=341
由于B4的最优解小于目前的整数解340，因 此分解已无必要。
• • • • • • • • • • • •
B5 Max z=20x1+10x2 最优解 5x1+4x2≤24 X1=5.44,x2=1：整数可行解 2x1+5x2 ≤13 Z5=308 x1 ≥ 5, X2≤1； x1，x2≥0 B6 Max z=20x1+10x2 无可行解 5x1+4x2≤24 最终定界 2x1+5x2 ≤13 340≤ Z≤max(z3,z4, z5)=340, x1 ≥ 5, X2 ≥2 Z=340为最优值，最优解X1=4,x2=2 x1，x2≥0
x1
解得
B1 B2
Z1=349 X1=4 X2=2.1 X2≤2； X2 ≥3
Z2=341 X1=5 X2=1.57 X2≤1； X2 ≥2
• 修改上界和下界,得 • 0 ≤ z≤ max(z1,z2)= max(349,341)=349
对B1和B2再分枝定界
• B1
B3 B4
• B2 B5 B6
如何分枝和定界
• （定界） ,由于z0=356是原整数规划去掉整数约 束的最大值，因此它就是原整数规划的目标函数 值的上界,即 z≤ 356(为什么)；找一个整数规划的 可行解x1=0，x2=0,对应的目标函数值 0,则它是整 数规划最优值的下界,因此0 ≤ z≤ 356. • （分枝）选择任一非整数变量(只选一个), x1=4.81,将x1≤4， x1 ≥5分别添加到线性规划B得 到两个新的原整数规划B1,B2: • 每次对一个线性规划问题进行分枝一次，就定界 一次。
例2
• • • • • • • • • • • • • 求解 A Max z=40x1+90x2 9x1+7x2≤56 7x1+20x2 ≤70 x1，x2≥0 x1，x2整数 解 先不考虑整数约束,用求解线性规划B：返回 Max z=40x1+90x2 9x1+7x2≤56 7x1+20x2 ≤70 x1，x2≥0 得最优解得x1=4.81，x2=1.82,最优值 z0=356. 如果x ，x 是整数,则就是最优解,否则分枝定。
解:
• (1)设决策变量
先引入0-1变量xi (i =1，2，…，7)
令
1 xi 0
选择在 Ai建店 否则
(2)用决策变量表达目标函数 和约束条件 收益最大
于是问题可列成：
Max z ci xi
i 1 7
投资总额不超过B
A4，A5两个点中至 少选一个

定界
0≤ Z≤349
定界 340≤ Z≤341
Z3=340
Z4=327
B5（x2≤1）最优解 X1=5,x2=1.57 Z2=308 B6（x2≥2） 无可行解
定界 340≤ Z≤340
§3 割平面法
• 1、分枝定界法本质上是一种对线性规划可行域的 分割方法，只是分割方式比较单一和规范。每次从 对应线性规划的最优解出发，选定某个取非整数值 的变量，挖掉其中的小数部分，将原可行域一分为 二。如此反复进行，直到发现最优整数解为止。 • 2、割平面法的思路也是采用求解对应线性规划的 方法去解整数规划的问题。通过增加适当的约束条 件，从原可行域中切割掉不含整数解的部分。但其 切割方式灵活多样，每次切割可以切一刀，也可以 同时切几刀。旨在造成一个具有整数坐标的顶点， 恰好对应着原问题的最优解
5 x1 5 x2 2 x3 6 x4 12x5 2 x6 4 x7 250 x1 2 x2 15 x3 18 x4 14 x5 8 x6 4 x7 1 xi 0, i 1,2,,7; xi 为整数。
数量约束
整数约束 体积约束
• 例1 某厂拟用集装箱托运甲乙两种货物，每箱 的体积、重量、可获利润以及托运所受限制如 表5-1：
0 x3 1/7 -2/7 -3/7 -1/7 -5/7