中考数学 全面突破：第八讲 反比例函数

第八讲 反比例函数

命题点分类集训

命题点1 反比例函数的图象与性质

【命题规律】考查内容：①函数图象所在象限与 k 之间的关系；②函数增减性与 k 之间的关系；③函数图象上的点满足函数条件来确定解析式或求k 值；④函数图象上点的坐标值比较大小；⑤写出函数图象上的特殊点；⑥判断函数的图象．

【命题预测】反比例函数图象与性质作为反比例函数的基础知识点，是命题的一大趋势，掌握函数图象与k 之间的关系是解决问题之关键．

1.点(2，－4)在反比例函数y ＝k x

的图象上，则下列各点在此函数图象上的是( ) A. (2，4) B. (－1，－8) C. (－2，－4) D. (4，－2) 1. D

2.姜老师给出一个函数表达式，甲、乙、丙三位同学分别正确指出了这个函数的一个性质．甲：函数图象经过第一象限；乙：函数图象经过第三象限；丙：在每一个象限内，y 值随x 值的增大而减小．根据他们的叙述，姜老师给出的这个函数表达式可能是( ) A. y ＝3x B. y ＝3x C. y ＝－1x

D. y ＝x 2

2. B

3.函数y ＝

2

x ＋1

的图象可能是( )

3. C

4.我们把直角坐标系中横坐标与纵坐标都是整数的点称为整点．反比例函数y ＝－3

x

的图象上有一些整点，

请写出其中一个整点的坐标________．

4. (1，－3)(答案不唯一，合理即可) 【解析】对于y ＝－3

x ，依题意，说明只要x 是3的约数即可，如(1，

－3)，(－1，3)．

5.已知反比例函数y ＝k

x

(k ≠0)，如果在这个函数图象所在的每一个象限内，y 的值随着x 的值增大而减小，那么k 的取值范围是________．

5. k>0 【解析】∵反比例函数y ＝k

x (k ≠0)，图象所在的每一个象限内，y 的值随着x 的值增大而减小，

∴k 的取值范围是：k ＞0.

6.已知点(m －1，y 1)，(m －3，y 2)是反比例函数y ＝m x

(m <0)图象上的两点，则y 1________y 2(填“>”或“＝”或“<”)．

6. ＞ 【解析】∵m ＜0，∴反比例函数y ＝m

x 的图象位于第二、四象限，且在每一象限内y 随x 的

增大而增大，又∵m －1＞m －3，∴y 1＞y 2. 命题点2 反比例函数k 的几何意义

【命题规律】1.考查内容：①根据几何体面积确定k 值或k 的相关式子；②利用反比例函数解析式计算三角形、四边形面积.2.题型主要为选择题或填空题．

【命题预测】反比例函数几何意义是反比例函数与几何有机结合的表现，常受到命题人的青睐，学生应熟练掌握|k|与图形面积之间的关系，提高解题熟练度和准确性．

7.如图，过反比例函数y ＝k x

(k ＞0)的图象上一点A 作AB ⊥x 轴于点B ，连接AO ，若S △AOB ＝2，则k 的值为( )

A. 2

B. 3

C. 4

D. 5

第7题图 第8题图 第9题图

7. C 【解析】 ∵点A 在反比例函数y ＝k

x 的图象上，且AB ⊥x 轴于点B ，设点A 坐标为(x ，y )，∴k ＝xy ，

∵点A 在第一象限，∴x 、y 都是正数，∴S △AOB ＝12OB ·AB ＝1

2

xy ，∵S △AOB ＝2，∴k ＝xy ＝4.

8. (2015陕西)如图，在平面直角坐标系中，过点M (－3，2)分别作x 轴、y 轴的垂线，与反比例函数y ＝4

x

的图象交于A 、B 两点，则四边形MAOB 的面积为________．

8. 10 【解析】如解图，设AM 与x 轴交于点C ，MB 与y 轴交于点D ，∵点A 、B 分别在反比例函数y ＝4x 上，根据反比例函数k 的几何意义，可得S △ACO ＝S △OBD ＝12×4＝2，∵M(－3，2)，∴S 矩形MCOD ＝3×2

＝6，∴S 四边形MAOB ＝S △ACO ＋S △OBD ＋S 矩形MCOD ＝2＋2＋6＝10.

9. (2016南昌)如图，直线l ⊥x 轴于点P ，且与反比例函数y 1＝k 1

x (x ＞0)及y 2＝k 2x

(x ＞0)的图象分别交于点A ，B ，连接OA ，OB ，已知△OAB 的面积为2，则k 1－k 2＝__________． 9. 4 【解析】∵反比例函数y 1＝k 1x (x ＞0)及y 2＝k 2

x

(x ＞0)的图象均在第一象限内，

∴k 1＞0，k 2＞0，∵AP ⊥x 轴，∴S △OAP ＝12k 1，S △OBP ＝12k 2，∴S △OAB ＝S △OAP －S △OBP ＝1

2(k 1－k 2)＝2，

解得k 1－k 2＝4.

命题点3 反比例函数与一次函数综合题

【命题规律】1.考查内容：①一次函数与反比例函数图象的分析；②一次函数与反比例函数解析式的确定(或字母系数的确定)；③已知一次函数与反比例函数交点坐标关系，确定反比例函数中字母系数的取值；④一次函数与反比例函数组成不等式的解集(或自变量取值范围，主要是数形结合思想的应用)；⑤与几何图形综合的相关问题. 2.解决此类问题的关键是掌握函数图象交点的应用，能够通过题设条件转化为方程组求交点坐标．

【命题预测】反比例函数与一次函数的综合题，很好地考查了函数间知识的连接性，且涉及到了数形结合思想，故此类试题倍受命题人青睐，值得关注．

10.如图，在同一直角坐标系中，函数y ＝k x

与y ＝kx ＋k 2

的大致图象是(

)

10. C 【解析】当k >0时，反比例函数y ＝k

x 图象的两个分支分别位于第一、三象限，直线y ＝kx ＋k 2经过

第一、二、三象限，没有符合题意的选项；当k <0时，反比例函数y ＝k

x 图象的两个分支分别位于第二、

四象限，直线y ＝kx ＋k 2经过第一、二、四象限，只有C 符合题意.

11.如图，直线y ＝－2x ＋4与双曲线y ＝k

x

交于A 、B 两点，与x 轴交于点C ，若AB ＝2BC ，则k ＝________．

第11题图 第12题图 第13题图

11. 32 【解析】设A(x 1，k x 1)，B(x 2，k x 2)，∵直线y ＝－2x ＋4与y ＝k

x 交于A ，B 两点，∴－2x ＋4

＝k x ，即－2x 2＋4x －k ＝0，∴x 1＋ x 2＝2，x 1x 2＝k

2，如解图，过点A 作AQ ⊥x 轴于点Q ，BP ⊥AQ 于点P ，则PB ∥QC ，∴AP PQ ＝AB BC ＝2，即k x 1－k

x 2k x 2

＝2，∴x 2＝3x 1，∴x 1＝ 12，x 2 ＝ 32，∴k ＝ 2x 1x 2＝3

2

.

12.如图，过原点O 的直线与反比例函数y 1、y 2的图象在第一象限内分别交于点A 、B ，且A 为OB 的中点．若函数y 1＝1

x

，则y 2与x 的函数表达式是________．