2020年秋季高二数学期中考试题
2020秋南阳市期中高二数学答案
2020年秋期高中二年级期中质量评估数学参考答案一、选择题DABDCC DBDAAC 二、填空题13、()∞+⎪⎭⎫ ⎝⎛，21,41 14、265015、916、①②④三、解答题17、解：（1）由A c C a c cos sin 3-=及正弦定理得：0sin cos sin sin sin 3=--C A C C A .………………………………2分.3,021)6sin(,0sin πππ=<<=-≠A A A C 所以又所以由于,……………………………………5分（2）ABC △的面积43sin 21===bc A bc S 所以……………7分而由余弦定理得：8,cos 222222=+-+=c b A bc c b a 故解得：b c +=4………………………………10分18、解：（1）要使9)(->x f 恒成立，只需△=0)92(42<+--a a ，……2分解得：-2<a <2………………………4分所以a 的取值范围为（-2,2）…………………………5分（2）原不等式可化为：()()02>+-a x a x 当a >0时，解得：x<-a 或x>2a当a =0时，解得：x ≠0当a<0时，解得：x<2a 或x>-a …………………………11分综上所述：当a >0时，原不等式的解集为（-∞，-a ）∪（2a ，+∞）当a =0时，原不等式的解集为（-∞，0）∪（0，+∞）当a <0时，原不等式的解集为（-∞，2a ）∪（-a ，+∞）…………12分19、解：设使用n 年平均费用最少，用a n 表示年维修费，由于“年维修费第一年为0.2万元，以后逐年递增0.2万元”，可知：汽车年维修费构成以a 1=0.2，公差d =0.2的等差数列，所以使用n 年的总的维修费用为()22.02.0n n +万元.………3分设汽车的年平均费用为y 万元，则有()n n n n y 22.02.09.010++∙+=…………………………6分3101021101011.0102=∙+≥++=++=n n n n n n n ………………………10分当且仅当1010n n =，即n =10时，y 取最小值..…………………………11分答：汽车使用10年平均费用最少.………………………………12分20、解：(1)∵a n b n ＋1－a n ＋1b n ＋2b n ＋1b n ＝0，b n ≠0(n ∈N *)，∴a n ＋1b n ＋1－a n b n ＝2…………………………3分即c n ＋1－c n ＝2.所以数列{c n }是以首项c 1＝1，公差d ＝2的等差数列，故c n ＝2n －1.………………………………6分(2)由b n ＝3n －1知a n ＝c n b n ＝(2n －1)3n －1，于是数列{a n }前n 项和S n ＝1·30＋3·31＋5·32＋…＋(2n －1)·3n －1，3S n ＝1·31＋3·32＋…＋(2n －3)·3n －1＋(2n －1)·3n ，两式相减得－2S n ＝1＋2·(31＋32＋…＋3n －1)－(2n －1)·3n＝－2－(2n －2)3n ，.………………………………11分所以S n ＝(n －1)3n ＋1.………………………………12分21、解：（1）由题设及正弦定理得sin sin sin sin 2A C AB A +=．因为sin A ≠0，所以sin sin 2AC B +=．.……………………………2分由180A B C ︒++=，可得sin cos 22A C B +=，故cos 2sin cos 222B B B =．因为cos 02B ≠，故1sin 22B =，因此B =60°．……………………6分（2）由题设及（1）知△ABC的面积4ABC S a =△．………………7分由正弦定理得()sin 120sin 1sin sin 2tan 2C c A a C C C ︒-===+．………………9分由于△ABC 为锐角三角形，故0°<A <90°，0°<C <90°，由（1）知A +C =120°，所以30°<C <90°，故122a <<，从而82ABC S <<△．因此，△ABC面积的取值范围是,82⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭．…………………………12分22、解：（1）当1n =时，211121⎪⎭⎫ ⎝⎛+==a S a ，解得11=a .当2n ≥时，21212121⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=-=--n n n n n a a S S a 化简得12n n a a --=，所以21n a n =-；……………………………4分（2）由（1）知，21n a n =-.则()()()1111111122241n n n b a a n n n n +⎛⎫===- ⎪++++⎝⎭所以111111142231n T n n ⎛⎫=-+-++- ⎪+⎝⎭ ()1114141n n n ⎛⎫=-= ⎪++⎝⎭.………………………………8分（3）()()114241n n n n T T n n ++-=-++()()10412n n =>++，∴{}n T 单调递增，∴118n T T ≥=.∵()1414n n T n =<+，∴1184n T ≤<，使得245n m m T -<<恒成立，只需⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<-≤8142541m m ，解之得5542m ≤<.所以实数m 的取值范围是⎪⎭⎫⎢⎣⎡25,45………………………………12分。
黑龙江省2020版高二下学期期中数学试卷(理科)B卷
黑龙江省2020版高二下学期期中数学试卷（理科）B卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题： (共12题；共24分)1. （2分）在复平面上，复数z=(1+i)i的共轭复数的对应点所在的象限是（）A . 第一象限B . 第二象限C . 第三象限D . 第四象限2. （2分） (2017高一上·绍兴期末) 2016年初，受国际油价大幅上涨的拉动，一些石油替代型企业生产成本出现大幅度上升，近期，由于国际油价回落，石油替代型企业生产成本明显下降，某PVC行业企业的生产成本在8月份、9月份每月递增20%，国际油价回落之后，10月份、11月份的生产成本每月递减20%，那么该企业在11月底的生产成本与8月初比较（）A . 不增不减B . 约增加5%C . 约减少8%D . 约减少5%3. （2分）用反证法证明“a，b，c三个实数中最多只有一个是正数”，下列假设中正确的是（）A . 有两个数是正数B . 这三个数都是正数C . 至少有两个数是负数D . 至少有两个数是正数4. （2分）若直线的参数方程为（t为参数），则直线的倾斜角为（）C . 120°D . 150°5. （2分）已知复数z的模为2，则|z﹣i|的最大值为（）A . 1B . 2C .D . 36. （2分） (2017高二下·眉山期中) 设f（x）= ，则f（x）dx的值为（）A . +B . +3C . +D . +37. （2分） (2020高三上·永州月考) 苏格兰数学家科林麦克劳林(Colin Maclaurin)研究出了著名的Maclaurin级数展开式，受到了世界上顶尖数学家的广泛认可，下面是麦克劳林建立的其中一个公式：，试根据此公式估计下面代数式的近似值为（）（可能用到数值）C . 2.886D . 2.9028. （2分） (2019高二下·临海月考) 函数 = （－1）（－2）…（－4）在＝0处的导数值为（）A . 0B . 6C . 2D . 249. （2分）已知n为正偶数，用数学归纳法证明（）时，若已假设n=k(k≥2为偶数)时命题为真，则还需要用归纳假设再证（）A . n=k+1时等式成立B . n=k+2时等式成立C . n=2k+2时等式成立D . n=2(k+2)时等式成立10. （2分）已知f（x）为二次函数，对任意的二次函数f（x）和实数t，关于x的方程f（|x﹣t|）=0的解集都不可能的是（）A . {1，2}B . {1，3}C . {1，2，3}D . {1，2，4}11. （2分） (2018高一上·黑龙江期中) 对于函数f（x）＝（|x﹣2|+1）4 ，给出如下三个命题：①f（x+2）是偶函数；②f（x）在区间（﹣∞，2）上是减函数，在区间（2，+∞）上是增函数；③f（x）没有最小值．其中正确的个数为（）A . 1B . 2C . 3D . 012. （2分）如果一个物体的运动方程为，其中s的单位是米，t的单位是秒，那么物体在3秒末的瞬时速度是（）A . 7米/秒B . 6米/秒C . 5米/秒D . 8米/秒二、填空题 (共4题；共8分)13. （1分）不等式的解集为________14. （1分） (2020高二下·河南月考) 的值为________.15. （1分） (2018高二上·凌源期末) 已知是直线上的动点，是圆的两条切线，是切点，是圆心，那么四边形面积的最小值为________．16. （5分）已知函数f（x）=|x﹣m|，关于x的不等式f（x）≤3的解集为[﹣1，5]（Ⅰ）求实数m的值；（Ⅱ）若实数a、b、c满足a﹣2b+c=m，求a2+b2+c2的最小值．三、解答题 (共6题；共60分)17. （10分） (2016高二下·河南期中) 已知复数z1满足（z1﹣2）（1+i）=1﹣i（i为虚数单位），复数z2的虚部为2，且z1•z2是实数，（1）求z1；（2）求z2 ．18. （10分） (2019高三上·城关期中) 已知函数的最小值为M.（1）求M；（2）若正实数，，满足，求：的最小值.19. （10分） (2019高三上·山西月考) 在极坐标系中，曲线的极坐标方程为，以极点为坐标原点，极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线的参数方程为（为参数）.（1）求曲线的直角坐标方程以及直线的普通方程；（2）若为曲线上的动点，求点到直线的距离的最大值.20. （10分） (2019高一上·东至期中) 小张在淘宝网上开一家商店，他以10元每条的价格购进某品牌积压围巾2000条．定价前，小张先搜索了淘宝网上的其它网店，发现：商店以30元每条的价格销售，平均每日销售量为10条；商店以25元每条的价格销售，平均每日销售量为20条．假定这种围巾的销售量（条）是售价（元）的一次函数，且各个商店间的售价、销售量等方面不会互相影响．（1）试写出围巾销售每日的毛利润（元）关于售价（元）的函数关系式（不必写出定义域），并帮助小张定价，使得每日的毛利润最高（每日的毛利润为每日卖出商品的进货价与销售价之间的差价）；（2）考虑到这批围巾的管理、仓储等费用为200元/天（只要围巾没有售完，均须支付200元/天，管理、仓储等费用与围巾数量无关），试问小张应该如何定价，使这批围巾的总利润最高（总利润=总毛利润-总管理、仓储等费用）？21. （15分）(2020·新沂模拟) 数列，，满足：，，．（1）若数列是等差数列，求证：数列是等差数列；（2）若数列，都是等差数列，求证：数列从第二项起为等差数列；（3）若数列是等差数列，试判断当时，数列是否成等差数列？证明你的结论．22. （5分）(2020·安徽模拟) 设，函数 .（Ⅰ）讨论函数在定义域上的单调性；（Ⅱ）若函数的图象在点处的切线与直线平行，且对任意，，不等式恒成立，求实数的取值范围.参考答案一、选择题： (共12题；共24分)答案：1-1、考点：解析：答案：2-1、考点：解析：答案：3-1、考点：解析：答案：4-1、考点：解析：答案：5-1、考点：解析：答案：6-1、考点：解析：答案：7-1、考点：解析：答案：8-1、考点：解析：答案：9-1、考点：解析：答案：10-1、考点：解析：答案：11-1、考点：解析：答案：12-1、考点：解析：二、填空题 (共4题；共8分)答案：13-1、考点：解析：答案：14-1、考点：解析：答案：15-1、考点：解析：答案：16-1、考点：解析：三、解答题 (共6题；共60分)答案：17-1、答案：17-2、考点：解析：答案：18-1、答案：18-2、考点：解析：答案：19-1、答案：19-2、考点：解析：答案：20-1、答案：20-2、考点：解析：答案：21-1、答案：21-2、答案：21-3、考点：解析：答案：22-1、考点：解析：。
2020年河南省郑州一中高二(下)期中数学试卷(文科)
期中数学试卷（文科）题号一二三总分得分一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.下列说法错误的是（）A. 在统计学中，独立性检验是检验两个分类变量是否有关系的一种统计方法B. 在残差图中，残差分布的带状区域的宽度越狭窄，其模拟的效果越好C. 线性回归方程对应的直线至少经过其样本数据点中的一个点D. 在回归分析中，相关指数R2越大，模拟的效果越好2.已知①正方形的对角线相等，②矩形的对角线相等，③正方形是矩形．由①、②、③组合成“三段论”，根据“三段论”推出一个结论，则此结论是（）A. 正方形的对角线相等B. 平行四边形的对角线相等C. 正方形是平行四边形D. 以上均不正确3.用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个不大于60°”时，反设正确的是（）A. 假设三内角都不大于60°B. 假设三内角都大于60°C. 假设三内角至多有一个大于60°D. 假设三内角至多有两个小于 60°4.下列推理是归纳推理的是（）A. A，B为定点，动点P满足|PA|+|PB|=2a＞|AB|，则P点的轨迹为椭圆B. 由a1=1，a n=3n-1，求出S1，S2，S3，猜想出数列的前n项和S n的表达式C. 由圆x2+y2=r2的面积πr2，猜想出椭圆+=1的面积S=πabD. 以上均不正确5.为考察A、B两种药物预防某疾病的效果，进行动物试验，分别得到等高条形图：根据图中信息，在下列各项中，说法最佳的一项是（）A. 药物A、B对该疾病均没有预防效果B. 药物A、B对该疾病均有显著的预防效果C. 药物A的预防效果优于药物B的预防效果D. 药物B的预防效果优于药物A的预防效果6.实数m满足集合M={1，2，（m2-3m-1）+（m2-5m-6）i}，N={-1，3}，且M∩N={3}，则实数m的值是（）A. 4B. -1C. -1或4D. -1或67.非零复数z1、z2分别对应复平面内的向量、，若|z1+z2|＝|z1﹣z2|，则（）A. ⊥B. ||=||C. =D. 和共线8.已知命题p：∃x∈R，使sin x=；命题q：∀x∈R，都有x2+x+1＞0，给出下列结论：①命题“p∧q”是真命题；②命题“p∧（￢q）”是假命题；③命题“（￢p）∨q”是真命题；④命题“（￢p）∨（￢q）”是假命题．其中正确的是（）A. ②④B. ②③C. ③④D. ①②③9.已知=2，=3，=4，=5，…=10，则推测a+b=（）A. 1033B. 109C. 199D. 2910.下列选项中不正确的是（）A. △ABC中，A＞B，则sin A＞sin B的逆否命题为真命题B. 若am2＜bm2，则a＜b的逆命题为真命题C. 若p：x≠2或y≠6，q：x+y≠8，则q是p充分不必要条件D. 若p：∀x∈R，cos x≤1，则￢p：∃x∈R，cos x＞111.在平面几何里，有勾股定理：“设△ABC的两边AB，AC互相垂直，则|AB|2+|AC|2=|BC|2”拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，“设三棱锥A-BCD的三个侧面ABC、ACD、ADB两两相互垂直，则可得”（）A. |AB|2+|AC|2+|AD|2=|BC|2+|CD|2+|BD|2B. S2△ABC×S2△ACD×S2△ADB=S2△BCDC. S△ABC2+S△ACD2+S△ADB2=S△BCD2D. |AB|2×|AC|2×|AD|2=|BC|2×|CD|2×|BD|212.已知函数f（x）=x2，．若∀x1∈[-1，3]，∃x2∈[0，2]，使得f（x1）≤g（x2），则实数m的取值范围是（）A. B. （-∞，-8]C. D. （-∞，-8]∪二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.如图所示，执行图中的程序框图，输出的S值是______．14.下列四个命题中，正确命题的个数是______．①0比i小②两个复数互为共轭复数，当且仅当其和为实数③x+yi=1+i的充要条件为x=y=1④如果实数a与ai对应，那么实数集与纯虚数集一一对应15.已知，经计算f（4）＞2，，f（16）＞3，，则根据以上式子得到第n个式子为______．16.若x1，x2∈R，且，则|x1+x2|的最小值为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.集合，.（1）若，求；（2）已知命题，命题，若命题是命题的充分不必要条件，求实数的取值范围.18.设实部为正数的复数z，满足|z|=，且复数（1+2i）z在复平面上对应的点在第一、三象限的角平分线上．（1）求复数z；（2）若+（m∈R）为纯虚数，求实数m的值．19.为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关，对本班50人进行了问卷调查得到了如下的列联表：喜爱打篮球不喜爱打篮球合计男生5女生10合计50已知在全部50人中随机抽取1人抽到喜爱打篮球的学生的概率为．（1）请将上面的列联表补充完整；（2）是否有99%的把握认为“喜爱打篮球与性别有关”？说明你的理由．参考公式：独立性检测中，随机变量，其中n=a+b+c+d为样本容量P（K2＞k）0.100.050.0250.0100.0050.001 k 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.82820.某公司近年来特别注重创新产品的研发，为了研究年研发经费x（单位：万元）对年创新产品销售额y（单位：十万元）的影响，对近10年的研发经费x i与年创新产品销售额y i（i=1，2，…，10）的数据作了初步处理，得到如图的散点图及一些统计量的值．其中，，，，．现拟定y关于x的回归方程为．（1）求，的值（结果精确到0.1）；（2）根据拟定的回归方程，预测当研发经费为13万元时，年创新产品销售额是多少？附：对于一组数据（u1，v1），（u2，v2），…，（u n，v n），其回归直线=+u的斜率和截距的最小二乘估计分别为，．21.某少数民族的刺绣有着悠久的历史，如图①、②、③、④为她们刺绣最简单的四个图案，这些图案都由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮，现按同样的规律刺绣（小正方形的摆放规律相同），设第n个图形包含f（n）个小正方形．（1）求出f（5）；（2）归纳出f（n+1）与f（n）的关系式，并根据你得到的关系式求f（n）的表达式；（3）求证：．22.以平面直角坐标系原点O为极点，以x轴非负半轴为极轴，以平面直角坐标系的长度单位为长度单位建立极坐标系．已知直线l的参数方程为（t为参数），曲线C的极坐标方程为ρsin2θ=4cosθ（Ⅰ）求曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）设直线l与曲线C相交于A，B两点，求|AB|．23.设函数f（x）=|x+1|+|x-2|，g（x）=|x-3|+|x-2|．（1）求函数f（x）的最小值；（2）若对任意的x∈R，不等式g（a）≤f（x）恒成立，求实数a的取值范围．答案和解析1.【答案】C【解析】【分析】本题考查了回归分析与独立性检验和相关指数的应用问题，是基础题目．根据统计分析的观点，对选项中的命题进行分析、判断即可．【解答】解：对于A，统计学中，独立性检验是检验两个分类变量是否有关系的一种统计方法，正确；对于B，残差图中，残差分布的带状区域的宽度越狭窄，其模拟的效果越好，正确；对于C，线性回归方程对应的直线过样本中心点，不一定过样本数据中的点，故C错误；对于D，回归分析中，相关指数R2越大，越接近1，其模拟的效果就越好，正确．故选：C．2.【答案】A【解析】解：由演绎推理三段论可得“三段论”推理出一个结论，则这个结论是：“正方形的对角线相等”，故选：A．三段论是由两个含有一个共同项的性质判断作前提得出一个新的性质判断为结论的演绎推理．在三段论中，含有大项的前提叫大前提，如本例中的“平行四边形的对角线相等”；含有小项的前提叫小前提，如本例中的“正方形是矩形”叫不前提．另外一个是结论．三段论推理是演绎推理中的一种简单判断推理．它包含两个性质判断构成的前提，和一个性质判断构成的结论．一个正确的三段论有仅有三个词项，其中联系大小前提的词项叫中项；出现在大前提中，又在结论中做谓项的词项叫大项；出现在小前提中，又在结论中做主项的词项叫小项．3.【答案】B【解析】证明：用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个内角不大于60°”时，应假设命题的否定成立，而命题“三角形的内角中至少有一个内角不大于60°”的否定是：三角形的三个内角都大于60°，故选：B．根据命题“三角形的内角中至少有一个内角不大于60°”的否定是：三角形的三个内角都大于60°，由此得到答案．本题主要考查求一个命题的否定，用反证法证明数学命题，把要证的结论进行否定，得到要证的结论的反面，是解题的突破口，属于基础题4.【答案】B【解析】解：A选项用的双曲线的定义进行推理，不符合要求．B选项根据前3个S1，S2，S3的值，猜想出S n的表达式，属于归纳推理，符合要求．C选项由圆x2+y2=r2的面积S=πr2，猜想出椭圆+=1的面积S=πab，用的是类比推理，不符合要求．故选：B．本题考查的是选归纳推理的定义，判断一个推理过程是否是归纳推理关键是看他是否符合归纳推理的定义，即是否是由特殊到一般的推理过程．判断一个推理过程是否是归纳推理关键是看他是否符合归纳推理的定义，即是否是由特殊到一般的推理过程．判断一个推理过程是否是类比推理关键是看他是否符合类比推理的定义，即是否是由特殊到与它类似的另一个特殊的推理过程．判断一个推理过程是否是演绎推理关键是看他是否符合演绎推理的定义，能否从推理过程中找出“三段论”的三个组成部分．5.【答案】C【解析】【分析】根据两个表中的等高条形图看药物A的预防效果优于药物B的预防效果．本题考查了等高条形图的应用问题，是基础题．【解答】解：根据两个表中的等高条形图知，药物A实验显示不服药与服药时患病的差异较药物B实验显示明显大，∴药物A的预防效果优于药物B的预防效果．故选：C．6.【答案】B【解析】解：∵集合M={1，2，（m2-3m-1）+（m2-5m-6）i}，N={-1，3}，且M∩N={3}，∴，解得m=-1．故选：B．利用交集定义和复数概念求解．本题考查实数的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意得复数的概念和交集定义的灵活运用．7.【答案】A【解析】解：在四边形OACB内，，，∵非零复数z1、z2分别对应复平面内的向量、，则由复数加法的几何意义可知，|z1+z2|对应，|z1-z2|对应，则，由，，可知三边长OACB为平行四边形，则四边形OACB为矩形．∴．故选：A．由题意可得，，再由|z1+z2|=|z1-z2|，得到，由，，可知三边长OACB为平行四边形，从而得到四边形OACB 为矩形，有．本题考查复数的模的求法，考查复数对应向量加减法的几何意义，是中档题．8.【答案】B【解析】解：∵|sin x|≤1，∴：∃x∈R，使sin x=错误，即命题p是假命题，∵判别式△=1-4=-3＜0，∴∀x∈R，都有x2+x+1＞0恒成立，即命题q是真命题，则①命题“p∧q”是假命题；故①错误，②命题“p∧（￢q）”是假命题；故②正确，③命题“（￢p）∨q”是真命题；故③正确，④命题“（￢p）∨（￢q）”是真命题．故④错误，故选：B．先判断命题p，q的真假，结合复合命题真假关系进行判断即可．本题主要考查复合命题真假关系的应用，根据条件先判断命题p，q的真假是解决本题的关键．9.【答案】B【解析】解：由给出的几个等式可以推测：，（n≥2且n是正整数），在，b=102-1=99，于是a+b=109．故选：B．根据题意，分析所给的等式，可归纳出等式，（n≥2且n是正整数），将n=10代入可得答案．本题考查归纳推理，关键是根据题意所给的等式，发现其中的共同点．10.【答案】B【解析】解：根据题意知，A为真命题故逆否命题为真命题；B中命题为若a＜b，则am2＜bm2，m=0时不合题意；Cp不能得q，由q可得p，正确；D由命题的否定知D正确故选：B．运用四种命题之间的关系判断真假即可．本题考查四种命题之间的关系及命题真假的判断．11.【答案】C【解析】解：由边对应着面，边长对应着面积，由类比可得：S BCD2=S ABC2+S ACD2+S ADB2．故选：C．斜边的平方等于两个直角边的平方和，可类比到空间就是斜面面积的平方等于三个直角面的面积的平方和，边对应着面．本题考查了从平面类比到空间，属于基本类比推理．12.【答案】B【解析】解：由题意可知，f（x）=x2∈[0，9]，∵∀x1∈[-1，3]，∃x2∈[0，2]，使得f（x1）≤g（x2），f（x）max≤g（x）max，∵g（x）在[0，2]上单调递减，故g（x）max=g（0）=1-m∴9≤1-m则实数m的取值范围m≤-8故选：B．由题只要f（x）在[-1，2]上的最小值大于g（x）在[0，2]上的最小值即可求解不等式的恒成立问题常转化为求解函数的最值，注意解题中的量词的区别13.【答案】19【解析】解：A=1，A≤2是，S=1+9=10，A=A+1=2，A=2，A≤2是，S=10+9=19，A=A+1=3，A=3，A≤2否，输出S=19，故答案为：19根据程序框图进行模拟计算即可．本题主要考查程序框图的识别和判断，利用模拟运算法是解决本题的关键．14.【答案】0【解析】解：根据题意知：复数不能比较大小，故①错；由共轭复数的概念知实部相等，虚部互为相反数，两个复数和为实数不一定互为共轭复数故②错误；③不知x，y的范围故错误；由纯虚数的定义知a≠0，故④错误；∴正确命题个数为0．故答案为0．运用复数的有关概念可解决此问题．本题考查复数的有关概念．15.【答案】【解析】解：观察已知中等式：f（4）=f（22）＞2=，f（8）=f（23）＞=，f（16）=f（24）＞3=，f（32）=f（25）＞=，…，则f（2n+1）＞（n∈N*）故答案为：f（2n+1）＞（n∈N*）我们分析等式左边数的变化规律及等式两边数的关系，归纳推断后，即可得到答案归纳推理的一般步骤是：（1）通过观察个别情况发现某些相同性质；（2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想）16.【答案】【解析】解：∵∴（2+sin x1）（2+sin2x2）=1，∵-1≤sin x≤1，∴1≤2+sin x≤2，∴2+sin x1=1且2+sin2x2=1，即sin x1=-1，sin2x2=-1，则x1=+2kπ，2x2=+2mπ，即x2=+mπ，k，m∈Z，则x1+x2=++2kπ+mπ，则|x1+x2|=|+（2k+m）π|，则当2k+m=-2时，|x1+x2|取得最小值，最小为|-2π|=，故答案为：．根据方程结合三角函数的有界性得到sin x1=-1，sin2x2=-1，求出对应根的表达式，进行求解即可．本题主要考查三角函数最值的应用，结合三角函数的有界性求出方程的根是解决本题的关键．17.【答案】解：（1）a=1时，A=（1，3），B=（1，2），∴∁R B=（-∞，1]∪[2，+∞）．∴A∩（∁R B）=[2，3）．（2）∵a＞0，∴A=（a，3a），B=（1，2）．∵q是p的充分不必要条件，∴B⊊A．由B⊆A得，解得，又a=1及符合题意．∴．【解析】（1）a=1时，A=（1，3），B=（1，2），可得∁R B=（-∞，1]∪[2，+∞）．即可得出A∩（∁R B）．（2）由a＞0，可得A=（a，3a），B=（1，2）．根据q是p的充分不必要条件，即可得出B⊊A．本题考查了函数的单调性、不等式的解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18.【答案】解：（1）设Z=a+bi（a，b∈R且a＞0），由得：a2+b2=10①．又复数（1+2i）z=（a-2b）+（2a+b）i在复平面上对应的点在第一、三象限的角平分线上，则a-2b=2a+b，即a=-3b②．由①②联立的方程组得a=3，b=-1；或a=-3，b=1．∵a＞0，∴a=3，b=-1，则Z=3-i．（2）∵为纯虚数，∴，解得m=-5．【解析】（1）设Z=a+bi（a，b∈R且a＞0），由条件可得a2+b2=10①，a=-3b②．由①②联立的方程组得a、b的值，即可得到z的值．（2）根据若+（m∈R）为纯虚数，可得，由此求得m的值．本题主要考查复数的基本概念，两个复数代数形式的乘除法法则的应用，虚数单位i的幂运算性质，属于基础题．19.【答案】解：（1）因为在全部50人中随机抽取1人抽到喜爱打篮球的学生的概率为，所以喜爱打篮球的总人数为人，2×2喜爱打篮球不喜爱打篮球合计男生15520女生102030合计252550（2）根据列联表可得K2的观测值，所以有99%的把握认为“喜爱打篮球与性别有关”.【解析】本题考查了列联表与独立性检验的应用问题，是基础题．（1）根据题意计算表中数据，补充完整列联表；（2）根据列联表计算观测值，对照临界值得出结论．20.【答案】解：（1）令t=（x-3）2，则，=20.5，，，，，．（2）由（1）知，y关于x的回归方程为，当x=13时，=15.5（十万元）=155万元，故可预测当研发经费为13万元时，年创新产品销售额是155万元．【解析】本题考查了求回归方程的应用，考查运算求解能力，是中档题．（1）令t=（x-3）2，则，求出，，根据题中的数据，代入数据，即可求得的值；（2）由(1)得回归方程，代入求值即可．21.【答案】解：（1）∵f（1）=1，f（2）=5，f（3）=13，f（4）=25，∴f（5）=25+4×4=41．（2）∵f（2）-f（1）=4=4×1，f（3）-f（2）=8=4×2，f（4）-f（3）=12=4×3，f（5）-f （4）=4×4，由上式规律得出：f（n+1）-f（n）=4n．∴f（n）-f（n-1）=4（n-1），f（n-1）-f（n-2）=4（n-2）．f（n-2）-f（n-3）=4（n-3），……，f（2）-f（1）=4×1，∴f（n）-f（1）=4×[（n-1）+（n-2）+……+2+1]=2（n-1）n，∴f（n）=2n2-2n+1（n≥2），又n=1时，f（1）也适合f（n），∴f（n）=2n2-2n+1（n≥1）．（3）当n≥2时，==，∴+++……+=1+=1+=-．∴+++……+．【解析】（1）f（1）=1，f（2）=5，f（3）=13，f（4）=25，可得f（5）=25+4×4=41．（2）由f（2）-f（1）=4=4×1，f（3）-f（2）=8=4×2，f（4）-f（3）=12=4×3，f（5）-f （4）=4×4，由上式规律得出：f（n+1）-f（n）=4n．累加求和即可得出．（3）当n≥2时，==，利用裂项求和即可得出．本题考查了数列递推关系、累加求和方法与裂项求和方法、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．22.【答案】解：（Ⅰ）曲线C的极坐标方程为ρsin2θ=4cosθ，转化为：（ρsinθ）2=4ρcosθ，进一步转化为直角坐标方程为：y2=4x（Ⅱ）把直线l的参数方程（t为参数）化为：2x+3y=1，代入y2=4x得y2+6y-2=0,设A、B的纵坐标分别为y1、y2；则y1y2=-2，y1+y2=-6；则|y1-y2|==2；|AB|=×|y1-y2|=×2=，所以|AB|=．【解析】本题考查的知识要点：极坐标方程与直角坐标方程的互化，一元二次方程根和系数的关系的应用，主要考查学生的应用能力．（Ⅰ）直接把极坐标方程转化为直角坐标方程．（Ⅱ）联立直线与抛物线方程，得到关于y的一元二次方程，进一步利用根和系数的关系求出结果．23.【答案】解：（1）f（x）=|x+1|+|x-2|≥|（x+1）-（x-2）|=3，当且仅当（x+1）（x-2）≤0，即x∈[-1，2]时，取等号，此时f（x）min=3．（2）对任意的x∈R，不等式g（a）≤f（x）恒成立⇔g（a）≤f（x）min=3，或或，⇔1≤a≤2或2＜a＜3或3≤a≤4⇔1≤a≤4,所以，实数a的取值范围为[1，4]．【解析】本题主要考查绝对值三角不等式的应用，函数的恒成立问题，绝对值不等式的解法，属于中档题．（1）利用绝对值三角不等式求得函数f（x）的最小值．（2）g（a）≤f（x）min=3，解此绝对值不等式，求得a的范围．。
黑龙江省2020学年高二数学下学期期中试题理(含解析)
高二数学下学期期中试题 理（含解析）第I 卷 （选择题, 共60分）一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)1.设命题2:,2nP n N n ∃∈>，则P ⌝为（ ） A. 2,2nn N n ∀∈> B. 2,2nn N n ∃∈≤ C. 2,2nn N n ∀∈≤ D. 2,2nn N n ∃∈=【答案】C 【解析】试题分析：根据否命题的定义，即既否定原命题的条件，又否定原命题的结论，存在的否定为任意，所以命题的否命题应该为2,2nn N n ∀∈≤，即本题的正确选项为C.考点：原命题与否命题.2. “1＜x ＜2”是“x＜2”成立的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】试题分析：因为“若12x <<，则2x <”是真命题，“若2x <，则12x <<”是假命题，所以“12x <<”是“2x <”成立的充分不必要条件．选A ． 考点：充分必要条件的判断．【易错点睛】本题主要考查了充分条件,必要条件,充要条件的判断,属于基础题． 对于命题“若A ,则B”是真命题,我们说A ⇒B ,并且说A 是B 的充分条件，B 是A 的必要条件，命题“若A ,则B ”是假命题,我们说A ≠>B ,由充分条件，必要条件的定义，可以判断出“12x <<”是“2x <”成立的充分不必要条件．掌握充分条件，必要条件的定义是解题关键．3.复数2256)(3)m m m m i -++-（是纯虚数，其中i 是虚数单位,则实数m 的值是( ) A. 3 B. 2 C. 2或3 D. 0或2或3【答案】B 【解析】 【分析】本题首先可根据题意得出复数()2256(3)m m m m i -++-是纯虚数，然后根据纯虚数的定义即可得出复数的实部与虚部的取值范围，最后通过计算即可得出结果。
2020年秋季期中考试卷-高二数学(参考答案与评分标准)
泉州第十六中学2020年秋季期中考试卷 高二数学试卷参考答案与评分标准一、二 选择题（12小题，每题5分，共60分）三、填空题（4小题，每题5分，共20分）13.【答案】2 14.【答案】15.【答案】40x y +=或30x y +-= 16.【答案】62四、解答题（6小题，共70分）17.（本小题满分10分）解：（Ⅰ）∵B （-2，3），C （0，-3），∴D （-1，0）．………………………………………………………………2分 ∴直线AD 的方程为120112y x --=---，……………………………………4分 整理得：x -3y +1=0；…………………………………………………………5分（Ⅱ）∵B （-2，3），C （0，-3），∴|BC 22(20)(33)210--++=6分 又直线BC 的方程为3x +y +3=0， 则A 点到直线BC 的距离为232131031d ⨯++==+8分题号 1 2 3 4 5 6 答案 C C A B C B 题号 7 8 9 10 11 12 答案DCBABCBCBCD∴△ABC 的面积为112101022ABCSBC d =⋅⋅=⨯⨯=10．……………………10分 18.（本小题满分12分） （Ⅰ）证明：面，面1DD CE ∴⊥……………………………………………………………………1分中，，…………………………………………………………2分同理：，又，………………………………3分,所以，面…………………………………………………………………5分又面所以，………………………………………………………………………6分（Ⅱ）解法一：，，，…………………………8分又，，，……………………10分设点到平面的距离为，则，解得，即点到平面的距离为． …………………………12分解法二：利用向量法 易得，平面的法向量为………………………………9分故，点到平面的距离为…………………………12分19.（本小题满分12分）（Ⅰ）令方程34120x y -+=中的0x =，得3y =，令0y =，得4x =-.所以点,A B 的坐标分别为()()4,0,0,3A B -.…………………………………………2分 所以圆C 的圆心是32,2⎛⎫- ⎪⎝⎭，半径是22154322r =+=，………………………………4分 所以圆C 的标准方程为()22325224x y ⎛⎫++-= ⎪⎝⎭.…………………………………………6分（Ⅱ）因为120MCN ∠=，圆C 的半径为52，所以圆心C 到直线l 的距离为54.…………7分若直线l 的斜率不存在，直线l 的方程为34x =-，符合题意.………………………………8分 若直线l 的斜率存在，设其直线方程为344y k x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，即3404kx y k -++=.…………9分圆C 的圆心到直线l 的距离25554241k d k -+==+，解得34k =.………………………………10分 则直线l 的方程为33444y x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，即1216730x y -+=.…………………………………11分综上，直线l 的方程为34x =-或1216730x y -+=.……………………………………12分20.（本小题满分12分）（1）设点M 的坐标为(),x y ，点P 的坐标为()','x y ，由已知得'5'4x x y y =⎧⎪⎨=⎪⎩.……………2分∵P 在圆上，22''25x y +=，……………………3分即225254x y ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，整理得2212516x y +=，即C 的方程为2212516x y +=.…………6分（2）过点()3,0且斜率为45的直线方程为()435y x =-，…………………………7分 设直线与C 的交点为()12,A x y ，()22,B x y ，将直线方程()435y x =-代入C 的方程，得()22312525x x -+=，即2380x x --=.……………………………………………9分 ∴x 1+x 2=3，x 1•x 2=-8…………………………………………………………10分∴线段AB 的长度为415AB ====.………………11分∴直线被C 所截线段的长度为415.……………………………………………………12分 21.（本小题满分12分）（1） 因为P A ⊥平面ABCD ，且AB ，AD ⊂平面ABCD ，所以P A ⊥AB ，P A ⊥AD . 又因为∠BAD ＝90°，所以P A ，AB ，AD 两两互相垂直．分别以AB ，AD ，AP 为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，…………………………1分 则由AD ＝2AB ＝2BC ＝4，P A ＝4可得A (0，0，0)，B (2，0，0)，C (2，2，0)，D (0，4，0)，P (0，0，4)．……………………2分 又因为M 为PC 的中点，所以M (1，1，2)．…………………………………………3分 所以BM ＝(－1，1，2)，AP ＝(0，0，4)，…………………………………………4分 所以cos 〈AP ，BM 〉＝||||⋅AP BMAP BM，………………………………………………………5分所以异面直线AP ，BM .…………………………………………6分 （2） 因为AN ＝λ，所以N (0，λ，0)(0≤λ≤4)，则MN ＝(－1，λ－1，－2)，BC ＝(0，2，0)，PB ＝(2，0，－4)．………………7分 设平面PBC 的法向量为m ＝(x,y,z )，则00m BC m PB ⎧⋅=⎨⋅=⎩即20240y x z =⎧⎨-=⎩令x ＝2，解得y ＝0，z ＝1，所以m ＝(2，0，1)是平面PBC 的一个法向量．……………………………………9分 因为直线MN 与平面PBC 所成角的正弦值为45， 所以|cos 〈MN ，m 〉|＝||||||⋅MN MN m m＝45，解得λ＝1∈[0，4]，……………………………………………………………11分 所以λ的值为1.……………………………………………………………………12分 22.（本小题满分12分） （Ⅰ）由椭圆上一点(1,2Q 满足12||||QFQF += 可得12||||2QFQF a +==a =2分且221212b +=，所以21b =，…………………………………………………3分 故椭圆的方程为2212x y +=；…………………………………………4分（Ⅱ）证明：因为M ，N 关于x 轴对称，所以可设1(M x ，1)y ，0(P x ，0)y ，则1(N x ，1)y -， 可得直线PM 的方程为100010()y y y y x x x x --=--，………………………………………6分 令0y =，可得G 的横坐标为100101G x y x y x y y -=-，……………………………………7分同理可得H 的横坐标为100101H x y x y x y y +=+，…………………………………………9分所以222210011001100122010101||||||||||||||G H x y x y x y x y x y x y OG OH x x y y y y y y -+-===-+-，…………10分 因为221112x y +=，220012x y +=，所以221122x y =-，220022x y =-，可得222210012201(22)(22)||||||2y y y y OG OH y y ---==-为定值．…………………………12分。
湖北省部分中学2020年秋高二数学上学期期中联考试卷附答案解析
D．
0，1 2
二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分,在每小题给出的选项中有多项符合题目要求，全部选 对的得 5 分，有选错的得 0 分，部分选对的得 3 分
9．下列说法正确的是（ ）
A．命题“ x R ， x2 1 ”的否定是“ x0 R ， x02 1”
B．命题“ x0 (3, ) ， x02 9 ”的否定是“ x (3, ) ， x2 9 ” C．“ m 0 ”是“关于 x 的方程 x2 2x m 0 有一正一负根”的充分不必要条件 D．“ a 5 ”是命题“ x R, x2 ax a 0 ”为假命题的充分不必要条件
湖北省部分中学 2020 年秋高二数学上学期期中联考试卷
第 I 卷（选择题）
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要 求的
1．已知点 A(-3, 2) ， B(0, 1) ，则直线 AB 的倾斜角为（ ）
A． 300
B． 450
C．1350
10．抛掷一枚骰子 1 次,记“向上的点数是 4,5,6”为事件 A,“向上的点数是 1,2”为事件 B,“向上的点 数是 1,2,3”为事件 C,“向上的点数是 1,2,3,4”为事件 D,则下列关于事件 A，B，C，D 判断正确的是 （）
A．A 与 B 是互斥事件但不是对立事件
B．A 与 C 是互斥事件也是对立事件
所以“ m ”是“ m l ”的充要条件 故选 C
5.【答案】B
【解析】由圆的几何性质两圆在点 A 处的切线互相垂直，且过对方圆心 O2O1．则
在 Rt△O2AO1 中，|O1A|= 5 |O2A|= 20 ，斜边上的高为半弦，用等积法易 得： AB 5 5 20 ⇒|AB|=4．故答案为：B
2020年山东省潍坊市高二(下)期中数学试卷解析版
10.【答案】B
【解析】解：∵函数 f（x）=ex-ax-b 在 R 上有小于 0 的极值点， 令 f′（x）=ex-a=0，则 a＞0，此方程存在小于 0 的解． 解得 x=lna＜0，∴a＜1． ∴0＜a＜1． ∴实数 a 的取值范围是（0，1）． 故选：B． 函数 f（x）=ex-ax-b 在 R 上有小于 0 的极值点，令 f′（x）=ex-a=0，此方程存在小于 0 的解． 本题考查了利用导数研究函数的单调性极值、方程的解法，考查了推理能力与计算能力 ，属于中档题．
7.【答案】A
【解析】【分析】 本题考查了独立性检验，属中档题． 计算观测值 X2，结合临界值表可得结论． 【解答】
解：X2=
= ≈4.167＞3.841，
所以有 95%的把握认为喜欢玩电脑游戏与对待作业量的态度有关． 故选：A．
8.【答案】D
【解析】解：记事件 A 为“第一次取到蓝球”，事件 B 为“第二次取到红球”， 则事件 AB 为“第一次取到蓝球、第二次取到红球”，
4.【答案】C
【解析】解：由
，得 m=2m-1 或 m+2m-1=8 得 m=1 或 m=3，
故选：C． 由组合数公式的性质建立方程进行求解即可． 本题主要考查组合数公式的性质的应用，结合组合数公式是解决本题的关键．
5.【答案】B
【解析】解：两名男生和两名女生随机站成一排照相，
基本事件总数 n=
，
两名男生相邻包含的基本事件个数 m=
根据题意知，P（A）= ，P（AB）= × = ，
∴在第一次取到蓝球的条件下，第二次取到红球的概率是：
P（B|A）= = = ．
故选：D． 记事件 A 为“第一次取到蓝球”，事件 B 为“第二次取到红球”，则事件 AB 为“第一 次取到蓝球、第二次取到红球”， 利用条件概率计算公式求出在第一次取到蓝球的条件下，第二次取到红球的概率． 本题考查了条件概率的计算问题，是基础题．
2020福建省高二下学期期中联考试题数学(文)含答案
期中联考高中二年数学科（文科）试卷命 题： 复 核：完卷时间：120分钟 满 分：150分第Ⅰ卷一、选择题（每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1、若212(1),1z i z i =+=-，则12z z 等于( )A ．1i +B ．1i -+C ．1i -D ．1i --2、在研究吸烟与患肺癌的关系中，通过收集数据、整理分析数据得“吸烟与患肺癌有关”的结论，并且有99%以上的把握认为这个结论是成立的，则下列说法中正确的是（ ） A. 100个吸烟者中至少有99人患有肺癌 B. 1个人吸烟，那么这人有99%的概率患有肺癌 C. 在100个吸烟者中一定有患肺癌的人D. 在100个吸烟者中可能一个患肺癌的人也没有3、下图是解决数学问题的思维过程的流程图：在此流程图中，①、②两条流程线与“推理与证明” 中的思维方法匹配正确的是( ) A ．①—综合法，②—反证法 B ．①—分析法，②—反证法 C ．①—综合法，②—分析法 D ．①—分析法，②—综合法4、用三段论推理命题：“任何实数的平方大于0，因为a 是实数，所以20a >”，你认为这个推理（ ） A ．大前题错误 B ．小前题错误 C ．推理形式错误 D ．是正确的5、已知变量x 与y 负相关，且由观测数据算得样本平均数2, 1.5x y ==，则由该观测数据算得的线性回归方程可能是（ ）A ．y=3x ﹣4.5B ．y=﹣0.4x+3.3C ．y=0.6x+1.1D ． y=﹣2x+5.5 6、极坐标方程2cos 4sin ρθθ=所表示的曲线是（ ）A ．一条直线B ．一个圆C ．一条抛物线D ．一条双曲线7、甲、乙、丙三位同学中只有一人考了满分，当他们被问到谁考了满分，回答如下：甲说：是我考满分；乙说：丙不是满分；丙说：乙说的是真话．事实证明：在这三名同学中，只有一人说的是假话，那么满分的同学是（ ）A ．甲B ．乙C ．丙D ．不确定 8、如右图所示，程序框图输出的所有实数对(x ，y )所对应的点都在函数( ) A ．y ＝x ＋1的图象上 B ．y ＝2x 的图象上 C ．y ＝2x 的图象上 D ．y ＝2x -1的图象上 9、定义运算a b ad bc c d=-，若1201812z i i =（i 为虚数单位）且复数z满足方程14z z -=，那么复数z 在复平面内对应的点P 组成的图形为（ ） A. 以（-1，-2）为圆心，以4为半径的圆 B. 以（-1，-2）为圆心，以2为半径的圆 C. 以（1，2）为圆心，以4为半径的圆D. 以（1，2）为圆心，以2为半径的圆10、若下列关于x 的方程24430x ax a +-+=，2220x ax a +-=，22(1)0x a x a +-+= （a 为常数）中至少有一个方程有实根，则实数a 的取值范围是（ ） A ．3(,1)2--B ．3(,0)2-C ．3(,][1,)2-∞-⋃-+∞D ．3(,][0,)2-∞-⋃+∞11、以下命题正确的个数是（ ）①在回归直线方程82^+=x y 中，当解释变量x 每增加1个单位时，预报变量^y 平均增加2个单位； ②已知复数21,z z 是复数，若221121z z z z z z ⋅=⋅=，则；③用反证法证明命题：“三角形三个内角至少有一个不大于060”时，应假设“三个内角都大于060”；④在平面直角坐标系中，直线x y l 6:=经过变换⎩⎨⎧==yy x x ''23：ϕ后得到的直线'l 的方程：x y =； A ．1B ．2C ．3D ．412、《聊斋志异》中有这样一首诗：“挑水砍柴不堪苦，请归但求穿墙术。
山东省潍坊市2020-2021学年高二下学期期中考试数学试题 含答案
1．若函数 f ( x) = x2 + sin x ，则 f (0) = （ ）
A． −1
B．0
C．1
D．3
2．正项等比数列an 中， a1 a3 = 4 ， a5 = 16 ，则公比为（ ）
A．1
B． −2
C．2
D．4
3．已知函数 f ( x) = x + 4 ，则 y = f ( x) 的极小值点是（ ）
lg 3 0.48）（第一空 2 分，第二空 3 分）
四、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10 分）
在① bn
=
log2
1 an+1 log2
an+2
；② bn
=
log2
an
−3
；③ bn
=
n+
an ，这三个条件中任选一个，补充在下面问
ex
f(
e3
x)
2021的解集是______．
16．某公司为一个高科技项目投入启动资金 2000 万元，已知每年可获利 20%，但由于竞争激烈，每年年底需 从利润中取出 200 万元资金进行科研、技术改造，方能保持原有利润的增长率，则第三年年初该项目的资金为
______万元，该公司经过______年该项目的资金可以达到或超过翻一番（即原来的 2 倍）的目标． （ lg 2 0.30 ，
2由题意知??11223ln3xxexx?所以????21ln312ln3xxxeex?因为213x?所以??12213ln30xxxxe??令????0xhxxex??????10xhxxe????所以??hx在??0??单调递增所以12ln3xx?1213xxe?????111111112121ln3lnlnxxxxexexxxxxxxe???令110xtxe??令??3lntgtt?????231lntgtt???所以当??0te???10g??当??te?????0gt??所以??gt在??0e单调递增在??e??单调递减所以????max3gtgee??所以1112lnxxxx?最大值为3e
湖北省2020年高二下学期期中数学试卷(理科)B卷
湖北省2020年高二下学期期中数学试卷（理科）B卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）将4名大学生分配到A，B，C三个不同的学校实习，每个学校至少分配一人，若甲要求不到A学校，则不同的分配方案共有（）A . 36种B . 30种C . 24种D . 20种2. （2分）地面上有A，B，C，D四个科研机构在接收嫦娥卫星发回的某类信息，它们两两之间可以互相接发信息，由于功率限制，卫星只能随机地向其中一个科研机构发送信息，每个科研机构都不能同时向两个或两个以上的科研机构发送信息，某日四个机构之间发送了三次信息后，都获得了卫星发回的同一条信息，那么是A接收到该信息后互相联系的方式共有（）A . 16种B . 17种C . 34种D . 48种3. （2分） (2020高二下·北京期中) 设随机变量，若 , ,则参数n，P的值为（）A . ，B . ，C . ，D . ，4. （2分）设随机变量X～N（2，32），若P（X≤c）=P（X＞c），则c等于（）A . 0B . 1C . 2D . 35. （2分） (2020高二下·天津期中) 只用1,2,3,4四个数字组成一个五位数，规定这四个数字必须同时使用，且同一数字不能相邻出现，这样的五位数有（）A . 96B . 144C . 240D . 2886. （2分） (2017高二下·曲周期中) 如果，那么=（）A . 1B . ﹣1C . 2D . ﹣27. （2分）两位同学一起去一家单位应聘，面试前单位负责人对他们说：“我们要从面试的人中招聘3人，你们俩同时被招聘进来的概率为”．根据这位负责人的话可以推断出参加面试的人数为（）A . 5B . 6C . 7D . 88. （2分）在某段时间内，甲地不下雨的概率为0.3，乙地不下雨的概率为0.4，假设在这段时间内两地是否下雨相互无影响，则这段时间内两地都下雨的概率是（）A . 0.12B . 0.88C . 0.28D . 0.429. （2分）给出以下四个说法：①绘制频率分布直方图时，各小长方形的面积等于相应各组的组距；②在刻画回归模型的拟合效果时，相关指数R2的值越大，说明拟合的效果越好；③设随机变量服从正态分布N(4,22)，则；④对分类变量X与Y，若它们的随机变量K2的观测值k越小，则判断“X与Y有关系”的把握程度越大．其中正确的说法是（）A . ①④B . ②③C . ①③D . ②④10. （2分） (2016高二下·丰城期中) 两个实习生每人加工一个零件．加工为一等品的概率分别为和，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为（）A .B .C .D .11. （2分） (2018·内江模拟) 从集合中随机抽取两数，则满足的概率是（）A .B .C .D .12. （2分）各大学在高考录取时采取专业志愿优先的录取原则．一考生从某大学所给的7个专业中，选择3个作为自己的第一、二、三专业志愿，其中甲、乙两个专业不能同时兼报，则该考生不同的填报专业志愿的方法有（）A . 210种B . 180种C . 120种D . 95种二、填空题． (共4题；共4分)13. （1分） (2017高三上·湖北开学考) 设（x2﹣3x+2）5=a0+a1x+a2x2+…+a10x10 ，则a1等于________．14. （1分）一个口袋里装有2个白球和2个黑球，这4个球除颜色外完全相同，从中摸出2个球，则1个是白球，1个是黑球的概率是________．15. （1分）已知随机变量X～N（2，σ2），若P（X＜a）=0.3，则P（a≤X＜4﹣a）=________．16. （1分） (2019高三上·成都月考) 在展开式中，的系数是________.三、解答题 (共6题；共65分)17. （10分） (2018高二下·河南月考) 已知的展开式中，第六项和第七项的二项式系数最大（1）求的值；（2）求展开式中系数的最大的项.18. （10分） (2020高三上·湖南月考) 某学校为了了解学生对新冠病毒的传播和预防知识的掌握情况，学校决定组织一次有关新冠病毒预防知识竞答.竞答分为必答题（共5题）和选答题（共2题）两部分.每位同学答题相互独立，且每道题答对与否互不影响.已知甲同学答对每道必答题的概率为，答对每道选答题的概率为 .（1）求甲恰好答对4道必答题的概率；（2）在选答阶段，若选择回答且答对奖励5分，答错扣2分，选择放弃回答得0分.已知甲同学对于选答的两道题，选择回答和放弃回答的概率均为，试求甲同学在选答题阶段，得分的分布列.19. （15分）某学校高二年级有12名语文教师、13名数学教师、15名英语教师，市教育局拟召开一个新课程研讨会.（1）若选派1名教师参会，有多少种派法?（2）若三个学科各派1名教师参会，有多少种派法?（3）若选派2名不同学科的教师参会，有多少种派法?20. （15分） (2019高二上·奉新月考) 海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：）得频率分布直方图如下：（1）设两种养殖方法的箱产量相互独立，记A表示事件：“旧养殖法的箱产量低于，新养殖法的箱产量不低于”，估计A的概率；（2）填写下面列联表，并根据联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关：箱产量箱产量旧养殖法新养殖法附：0.0500.0100.0013.841 6.63510.828（3）根据箱产量的频率分布直方图，求新养殖法箱产量的中位数的估计值（精确到0.01）21. （10分）甲、乙两个学校高三年级分别有1100人、1000人，为了解两个学校高三年级全体学生在该地区三模考试的数学成绩情况，采用分层抽样的方法从两个学校一共抽取了105名学生的数学成绩，并作出了如下的频数分布表，规定考试成绩在[120，150]内为优秀．甲校：分组[70，80）[80，90）[90，100）[100，110）[110，120）[120，130）[130，140）[140，150]频数23101515x31乙校：分组[70，80）[80，90）[90，100）[100，110）[110，120）[120，130）[130，140）[140，150]频数12981010y3（1）计算x，y的值；（2）若将频率视为概率，从乙校高三学年任取三名学生的三模数学成绩，其中优秀的人数为X，求X的分布列和期望．22. （5分） (2019高二下·赤峰月考) 在医学生物学试验中，经常以果蝇作为试验对象，一个关有6只果蝇的笼子里，不慎混入了两只苍蝇（此时笼内共有8只蝇子：6只果蝇和2只苍蝇），只好把笼子打开一个小孔，让蝇子一只一只地往外飞，直到两只苍蝇都飞出，再关闭小孔.以ξ表示笼内还剩下的果蝇的只数.（Ⅰ）写出ξ的分布列（不要求写出计算过程）；（Ⅱ）求数学期望Eξ；（Ⅲ）求概率P（ξ≥Eξ）.参考答案一、选择题 (共12题；共24分)答案：1-1、考点：解析：答案：2-1、考点：解析：答案：3-1、考点：解析：答案：4-1、考点：解析：答案：5-1、考点：解析：答案：6-1、考点：解析：答案：7-1、考点：解析：答案：8-1、考点：解析：答案：9-1、考点：解析：答案：10-1、考点：解析：答案：11-1、考点：解析：答案：12-1、考点：解析：二、填空题． (共4题；共4分)答案：13-1、考点：解析：答案：14-1、考点：解析：答案：15-1、考点：解析：答案：16-1、考点：解析：三、解答题 (共6题；共65分)答案：17-1、答案：17-2、考点：解析：答案：18-1、答案：18-2、考点：解析：答案：19-1、答案：19-2、答案：19-3、考点：解析：答案：20-1、答案：20-2、答案：20-3、考点：解析：答案：21-1、答案：21-2、考点：解析：答案：22-1、考点：解析：。
湖北省武汉市2020版高二下学期期中数学试卷(理科)A卷
湖北省武汉市2020版高二下学期期中数学试卷（理科）A卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分） (2018高三上·定远期中) 已知集合M＝{x| ≥0，x∈R}，N＝{y|y＝3x2＋1，x∈R}，则M∩N 等于（）A . ∅B . {x|x≥1}C . {x|x>1}D . {x|x≥1或x<0}2. （2分） (2015高二上·怀仁期末) 已知命题p：若x＞y，则﹣x＜﹣y；命题q：若x＜y，则x2＞y2；在下列命题中：（1）p∧q；（2）p∨q；（3）p∧（￢q）；（4）（￢p）∨q，真命题是（）A . （1）（3）B . （1）（4）C . （2）（3）D . （2）（4）3. （2分） (2018高二下·扶余期末) 已知定义在上的函数的图象关于对称，且当时，单调递增，若，则的大小关系是（）A .B .C .D .4. （2分）化简+﹣等于（）A .B .C .D .5. （2分） (2016高二上·桂林开学考) 阅读程序框图，运行相应的程序，则输出i的值为（）A . 3B . 4C . 5D . 66. （2分）已知满足约束条件，且的最小值为6.若实数则点落在上述区域内的概率为（）A .B .C .D .7. （2分）定义域为R的函数f（x）满足f（x+2）=2f（x）﹣2，当x∈（0，2]时，f（x）=，若x∈（0，4]时，t2﹣≤f（x）≤3﹣t恒成立，则实数t的取值范围是（）A . [2，+∞）B . (1,)C . (2,)D . [1，2]8. （2分） (2019高三上·上海月考) 已知、是关于的方程的两个不同实数根，则经过两点、的直线与双曲线的交点个数为（）A . 0B . 1C . 2D . 根据的值来确定9. （2分）(2016·新课标I卷文) 将函数y=2sin（2x+ ）的图象向右平移个周期后，所得图象对应的函数为（）A . y=2sin（2x+ ）B . y=2sin（2x+ ）C . y=2sin（2x﹣）D . y=2sin（2x﹣）10. （2分） (2016高三上·洛宁期中) 一个几何体的三视图都是边长为1的正方形，如图，则该几何体的体积是（）A .B .C .D .11. （2分） (2017高三上·甘肃开学考) 设a= ，则二项式（a ﹣）6展开式中含x2项的系数是（）A . ﹣192B . 192C . ﹣6D . 612. （2分） (2016高二下·清流期中) 已知圆上有均匀分布的8个点，从中任取三个，能够成锐角三角形的个数为（）A . 8B . 24C . 36D . 12二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）已知实数x，y满足+1,则|2x+y-4|+|6-x-3y|的最大值是________.14. （1分） (2016高三上·苏州期中) 设△ABC的三个内角A，B，C所对应的边为a，b，c，若A，B，C依次成等差数列且a2+c2=kb2 ，则实数k的取值范围是________．15. （1分） (2018高一下·汪清期末) 为了研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验，所有志愿者的舒张压数据（单位：）的分组区间为，，，，，将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，，第五组，如图是根据试验数据制成的频率分布直方图，已知第一组与第二组共有20人，第三组没有疗效的有6人，则第三组中有疗效的人数为________．16. （1分） (2015高二上·大方期末) 已知A、B是球O球面上的两点，∠AOB=90°，C为该球面上的动点，若三棱锥O﹣ABC体积的最大值为36，则球O的表面积为________．三、解答题 (共6题；共50分)17. （10分） (2018高二下·黑龙江月考) 设数列的前项和为，已知 .（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前项和 .18. （5分）某电信公司从所在地的1000名使用4G手机用户中，随机抽取了20名，对其收集每日使用流量（单位：M）进行统计，得到如下数据：流量x0≤x＜55≤x＜1010≤x＜1515≤x＜2020≤x＜25x≥25人数166520（1）估计这20名4G手机用户每日使用流量（单位：M）的平均值；（2）估计此地1000名使用4G手机用户中每日使用流量不少于10M用户数；（3）在15≤x＜20和20≤x＜25两组用户中，随机抽取两人作进一步问卷调查，求所抽取的两人恰好来自不同组的概率．19. （5分）如图，已知点F1 ， F2是椭圆C1：+y2=1的两个焦点，椭圆C2：+y2=λ经过点F1 ， F2 ，点P是椭圆C2上异于F1 ， F2的任意一点，直线PF1和PF2与椭圆C1的交点分别是A，B和C，D，设AB、CD的斜率为k，k′．求证kk′为定值；20. （15分） (2016高二上·泰州期中) 如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：的左焦点为F，右顶点为A，动点M为右准线上一点（异于右准线与x轴的交点），设线段FM交椭圆C于点P，已知椭圆C的离心率为，点M的横坐标为．（1）求椭圆C的标准方程；（2）若∠FPA为直角，求P点坐标；（3）设直线PA的斜率为k1，直线MA的斜率为k2，求k1•k2的取值范围．21. （5分）某工人生产合格零售的产量逐月增长，前5个月的产量如表所示：月份x12345合格零件y（件）50607080100（I）若从这5组数据中抽出两组，求抽出的2组数据恰好是相邻的两个月数据的概率；（Ⅱ）请根据所给5组数据，求出 y关于x的线性回归方程 = x+ ；并根据线性回归方程预测该工人第6个月生产的合格零件的件数．（附：回归方程 = x+ ； = ， = ﹣）22. （10分）(2016·中山模拟) 在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C的参数方程为（ϑ为参数，且0≤ϑ＜2π），曲线l的极坐标方程为ρ= （k是常数，且k∈R）．（1）求曲线C的普通方程和曲线l直角坐标方程；（2）若曲线l被曲线C截的弦是以（，1）为中点，求k的值．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共50分)17-1、17-2、18-1、19-1、20-1、20-2、20-3、21-1、22-1、22-2、。
2020年黑龙江省齐市地区普高联谊校高二(下)期中数学试卷(理科)
期中数学试卷（理科）题号一二三总分得分一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.在复平面内，复数对应的点位于（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限2.用反证法证明命题：“若a+b＞0，则a，b至少有一个大于0．”下列假设中正确的是（）A. 假设a，b都不大于0B. 假设a，b都小于0C. 假设a，b至多有一个大于0D. 假设a，b至少有一个小于03.（-sin x）dx=（）A. -2B. -1C. 1D. 24.若（x-2）n（n∈N*）展开式中的二项式系数的和为128，则n=（）A. 4B. 5C. 6D. 75.若函数f（x）=e x-ax的单调递增区间为（1，+∞），则实数a的值为（）A. 1B. 2C.D. e6.2位运动员和她们各自的教练合影，要求每位运动员与她们的教练站一起，这4人排成一排，则不同的排法数为（）A. 10B. 8C. 12D. 167.已知函数f1（x）=sin x，f n+1（x）=f n′（x），则=（）A. B. - C. D.8.若a=ln4，，，则a，b，c的大小关系为（）A. a＞c＞bB. a＞b＞cC. b＞a＞cD. c＞a＞b9.已知函数f（x）=2x3-3ax2（a＞0）在区间[0，1]上的最大值为0，则实数a的取值范围为（）A. B. [1，+∞） C. D. （0，2]10.在如图所示的规律排列的数阵中：若第m行第n列位置上的数记为，则=（）A. 286B. 288C. 290D. 29211.若函数f（x）=ae x-x2（a∈R）有三个零点，则实数a的取值范围为（）A. （0，）B. （0，）C. （0，e）D. （0，2e）12.若定义在R上的函数f（x）满足f'（x）＞f（x）+1其中f′（x）是f（x）的导数，且f（0）=3，则不等式f（x）+1＜4e x的解集为（）A. （-∞，0）B. （0，+∞）C. （-∞，1）D. （1，+∞）二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.（1-x）（1+2x）6展开式中，x3的系数为______．14.已知i为虚数单位，则1+i+i2+…+i2019=______．15.若函数f（x）=x3+ax2-ax+1没有极值点，则实数a的取值范围为______．16.某高校大一新生中五名同学打算参加学校组织的“小草文学社”“街舞俱乐部”“足球之家”、“骑行者”四个社团．若每个社团至少一名同学参加，每名同学至少参加一个社团且只能参加一个社团，其中同学甲不参加“街舞俱乐部”，则这五名同学不同的参加方法有______种．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.若x∈R，a=x2-x，b=x2-3x+2．证明：a，b至少有一个不小于0．18.已知函数f（x）=x3-x．（1）求曲线y=f（x）在点（1，0）处的切线方程；（2）求过点（1，0）且与曲线y=f（x）相切的直线方程．19.已知函数f（x）=ax3+bx2+x+1，当x=1时，函数f（x）有极值1．（1）求函数f（x）的解析式；（2）若关于x的方程f（x）-m=0有一个实数根，求实数m的取值范围．20.已知数列{a n}满足：a1=1，．（1）求a2，a3，a4，a5，并猜想{a n}的通项公式（不用证明）．（2）若数列{a n}的前n项和为S n，当n＞1时，求证：S n＜n．21.已知函数．（1）证明：x＞ln x；（2）若函数f（x）有两个零点，求实数a的取值范围．22.已知函数f（x）=ae x+be-x+cx（a，b，c∈R）的导函数f′（x）为偶函数，且f′（0）=c+2．（1）求a，b的值；（2）若c=-1，请判断函数f（x）的单调性；（3）若函数f（x）有两个极值点，求实数c的取值范围．答案和解析1.【答案】A【解析】解：∵=，∴复数对应的点的坐标为（），位于第一象限．故选：A．利用复数代数形式的乘除运算化简，求出复数所对应点的坐标得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．2.【答案】A【解析】解：用反证法证明，应先假设要证命题的否定成立．而要证命题的否定为：若a+b＞0，则a，b都不大于0，故选：A．根据用反证法证明数学命题的方法和步骤，应先假设要证命题的否定成立．根据要证命题的否定，从而得出结论．本题主要考查用反证法证明数学命题的方法和步骤，求一个命题的否定，属基础题3.【答案】D【解析】解：，（-sin x）dx=2，故选：D．根据定积分的运算法则求出即可．本题考查定积分的运算，基础题．4.【答案】D【解析】解：（x-2）n的展开式中，二项式系数和为128，∴2n=128，解得n=7．故选：D．展开式的二项式系数和为2n，由此求出n的值．本题考查了二项展开式的二项式系数和的应用问题，是基础题目．5.【答案】D【解析】解：由f′（x）=e x-a，若a≤0，则f′（x）＞0，则函数f（x）=e x-ax的单调递增区间为（-∞，+∞），不合题意；∴a＞0，又函数f（x）=e x-ax的单调递增区间为（1，+∞），∴e x-a＞0的解集为（1，+∞），则f′（1）=e-a=0，即a=e．故选：D．求出原函数的导函数，可得满足椭圆的a＞0，再由函数f（x）=e x-ax的单调递增区间为（1，+∞），得f′（1）=e-a=0，从而求得a值．本题考查利用导数研究函数的单调性，考查数学转化思想方法，是中档题．6.【答案】B【解析】解：分别把运动员和各自的教练捆绑在一起，组合复合元素，再全排，故有=8种，故选：B．分别把运动员和各自的教练捆绑在一起，组合复合元素，再全排，问题得以解决．本题考查排列、组合的实际应用，注意分步分析，属于基础题．7.【答案】B【解析】解：由f1（x）=sin x，f n+1（x）=f n′（x）得f2（x）=cos x，f3（x）=-sin x，f4（x）=-cos x，f5（x）=sin x，周期为4，且2019=3+504×4，∴f2019（x）=f3（x）=-sin x，∴．故选：B．根据题意得出：f1（x）=sin x，f2（x）=cos x，f3（x）=-sin x，f4（x）=-cos x，f5（x）=sin x，并且2019=3+504×4，从而得出f2019（x）=-sin x，从而得出答案．本题考查了基本初等函数的求导公式，周期性，已知函数求值的方法，考查了计算能力，属于基础题．8.【答案】B【解析】解：由，令f（x）=x lnx（x＞1），有f′（x）=ln x+1＞1，故函数f（x）单调递增，由，有a＞b＞c．故选：B．由，令f（x）=x lnx（x＞1），利用导数研究函数的单调性即可得出．本题考查了利用导数研究函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．9.【答案】C【解析】解：∵a＞0，f′（x）=6x2-6ax=6x（x-a），当x＜0或x＞a时，f′（x）＞0，当0＜x＜a时，f′（x）＜0，∴函数f（x）的增区间为（-∞，0），（a，+∞），减区间为（0，a），又由，可知a≥1，得a≥．故选：C．先求导，再判断函数的单调性，根据由，可知a≥1，解得即可．本题考查了导数和函数的最值之间的关系，考查了运算求解能力和转化与化归能力，属于中档题．10.【答案】C【解析】解：根据题意，其中1，2，4，8，…构成的等比数列的通项公式为，每行的数构成的数列为1，3，5，7，…，17，…2n-1，…前第9行共有个数，故第10行第一个数为282-1=281，所以=290，故选：C．根据题意，其中1，2，4，8，…构成的等比数列的通项公式为，每行的数构成的数列为1，3，5，7，…，17，…2n-1，…根据规律求出即可．本题考查归纳推理的应用，考查了数列找规律，求数列的项，中档题．11.【答案】A【解析】解：函数f（x）=ae x-x2（a∈R）有三个零点，即为f（x）=0有3个实根，可得a=有3个实根，设g（x）=，可得g′（x）=，由0＜x＜2时，g′（x）＞0，g（x）递增；x＞2或x＜0，g′（x）＜0，g（x）递减，可得x=0处g（x）取得极小值0，x=2处取得极大值，画出y=g（x）的图象和直线y=a，可得当0＜a＜时，y=g（x）和y=a的图象有3个交点，故选：A．由题意可得f（x）=0有3个实根，可得a=有3个实根，设g（x）=，求得导数和单调性、极值，画出y=g（x）的图象和直线y=a，即可得到所求范围．本题考查函数方程的转化，以及函数的导数的运用，考查数形结合思想，属于中档题．12.【答案】A【解析】解：令，有，故函数g（x）为增函数，由g（0）=f（0）+1=4，不等式f（x）+1＜4e x可化为，即g（x）＜g（0），故不等式f（x）+1＜4e x的解集为（-∞，0），令，则g′（x）＞0⇒函数g（x）为增函数，不等式f（x）+1＜4e x可化为，即g（x）＜g（0），从而可得答案．本题考查了利用导数研究函数的单调性，构造函数是关键，考查等价转化思想，考查构造法及运算能力，属于中档题．13.【答案】100【解析】解：（1-x）（1+2x）6=（1-x）•（1+12x+60x2+160x3+240x4+192x5+64x6），故x3的系数为160-60=100，故答案为：100．把（1+2x）6展开按照二项式展开，可得（1-x）（1+2x）6展开式中，x3的系数．本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．14.【答案】0【解析】解：．故答案为：0．利用等比数列的前n项和结合虚数单位i的运算性质求解．本题考查虚数单位i的运算性质，考查等比数列的前n项和，是基础题．15.【答案】[-3，0]【解析】解：f′（x）=3x2+2ax-a，由函数f（x）=x3+ax2-ax+1没有极值点，可得△=4a2+12a≤0，可得-3≤a≤0．故答案为：[-3，0]．由f′（x）=3x2+2ax-a，由函数f（x）=x3+ax2-ax+1没有极值点，可得△≤0，可得a范围．本题考查了利用导数研究函数的单调性极值、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．16.【答案】180【解析】解：同学甲参加“街舞俱乐部”的有种，所以同学甲不参加“街舞俱乐部”的方法数为．故答案为：180．利用间接法，先求出甲参加“街舞俱乐部”，再用总的方法，排除即可．本题考查排列组合的问题，考察了间接法，属于中档题．17.【答案】证明：利用反证法．假设a，b均小于0，即a＜0，b＜0，则有a+b＜0，而a+b=（x2-x）+（x2-3x+2）=2x2-4x+2=2（x-1）2≥0，这与a+b＜0矛盾，所以假设不成立，故a，b至少有一个不小于0．【解析】利用反证法．假设a，b均小于0，即a＜0，b＜0，则有a+b＜0，计算a+b即本题考查了反证法的应用、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．18.【答案】解：（1）f（x）=x3-x的导数为f′（x）=3x2-1，可得在点（1，0）处的切线斜率为2，则在点（1，0）处的切线方程为y=2x-2：（2）设切点为（m，n），可得切线的斜率为3m2-1，切线方程为y-（m3-m）=（3m2-1）（x-m），代入点（1，0），可得-（m3-m）=（3m2-1）（1-m），化为2m3-3m2+1=0，即（m-1）2（2m+1）=0，解得m=1或m=-，可得切线的斜率为2或-，则切线方程为y=2x-2或y=-x+．【解析】（1）求得函数的导数，可得切线的斜率，由点斜式方程可得切线方程；（2）设切点为（m，n），可得切线的斜率为3m2-1，求得切线方程，代入（1，0），解方程可得m，可得切线的斜率，进而得到所求切线方程．本题考查导数的运用：求切线方程，注意区别在某点处和过某点的切线，考查方程思想和运算能力，属于基础题．19.【答案】解：（1）由f′（x）=3ax2+2bx+1，有f′（1）=3a+2b+1=0，又有a+b+2=1，解得：a=1，b=-2，故函数f（x）的解析式为f（x）=x3-2x2+x+1．（2）由（1）有f′（x）=3x2-4x+1=（x-1）（3x-1）故函数f（x）的增区间为，减区间为，则，f（x）极小值=f（1）=1，x→+∞因为x→+∞时，f（x）→+∞，x→-∞时，f（x）→-∞，由一元三次函数的性质可知，实数m的取值范围为（-∞，1）．【解析】（1）先对函数求导，然后结合极值存在的条件代入可求a，b即可求解函数的解析式；（2）分离参数后转化为求解相应函数的范围问题，结合导数可求．本题主要考查了函数极值存在条件的应用及利用分离参数法求解函数的零点问题．20.【答案】解：（1）由得a2==-，a3==-1，a4==-，a5==-，．猜想；（2）证明：由（1）知a n=-2，所以n＞1，n∈N时，S n=3（1+++…+）-2n＜3（1+1+1+…+1）-2n=3n-2n=n，故S n＜n．【解析】（1）分别代入计算数列的a2，a3，a4，a5，猜想；（2）由（1）可得a n=-2，可得S n，再由放缩法和不等式的性质，即可得证．本题考查数列的通项公式的求法，注意运用归纳法，考查数列不等式的证明，注意运用放缩法和不等式的性质，考查运算能力、推理能力，属于中档题．21.【答案】证明：（1）令g（x）=x-ln x，有，令g′（x）＞0可得x＞1，令g′（x）＜0可得0＜x＜1，故函数g（x）的增区间为（1，+∞）减区间为（0，1），∴g（x）≥g（1）=1，故有x＞ln x．解：（2）由①当a≤0时，f′（x）＜0，此时函数f（x）的减区间为（0，+∞），②当a＞0时，令f′（x）＞0可得x＞，此时函数f（x）的增区间为（，+∞），减区间为（0，）．若函数f（x）有两个零点，必须a＞0且f（）=+ln＜0，可得0＜a＜，此时＞又由f（）=+1＞0，当x＞时，由（1）有f（x）＞ax2-x=x（ax-2）＞0，取x0=max{，}时，显然有，当t＞x0时f（t）＞0，故函数f（x）有两个零点时，实数a的取值范围为（0，）．【解析】（1）令g（x）=x-ln x，利用导数求出函数的最值即可证明；（2）求得f（x）的导数，讨论a≥0，a＜0，判断f（x）的单调性和极值、最值，结合题意，可令最大值大于0，解不等式即可得到所求范围．本题考查导数的运用：求切线方程和单调性、极值和最值，考查分类讨论思想和转化思想，考查方程思想和运算能力，属于中档题．22.【答案】解：（1）由f′（x）=ae x-be-x+c，又由导函数f′（x）为偶函数，可知ae x-be-x+c=ae-x-be x+c，整理为：a（e x-e-x）=b（e-x-e x）①，又f′（0）=a-b+c=c+2②，联立①②，解方程组，得；（2）由（1）知f′（x）=e x+e-x-1≥2-1=1＞0，可得此时函数f（x）的增区间为（-∞，+∞）．（3）由（1）知f′（x））=e x+e-x+c=，x-x有极值点．②当c＜-2时，f′（x）=，由＞0，＜=0，故此时函数f（x）有两个极值点，由上知实数c的取值范围为（-∞，-2）．【解析】（1）依题意，f′（x）=ae x-be-x+c为偶函数，可得ae x-be-x+c=ae-x-be x+c，即a （e x-e-x）=b（e-x-e x）①，结合f′（0）=a-b+c=c+2②，联立①②即可求得a与b的值；（2）由（1）知f′（x）=e x+e-x-1，利用基本不等式可得f′（x）≥2-1=1＞0，由此知函数f（x）在（-∞，+∞）单调增；（3）由（1）知f′（x））=e x+e-x+c=，分c≥-2与c＜-2两类讨论，满足函数f（x）有两个极值点，即可求得实数c的取值范围．本题考查利用导数研究函数的单调性和极值，考查分类讨论思想与函数与方程思想的运用，考查逻辑思维能力与综合运算能力，属于难题．。
山东省2020年高二下学期期中数学试卷(理科)B卷
山东省2020年高二下学期期中数学试卷（理科）B卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分） (2019高二下·阜平月考) 如图所示的五个区域中，现有四种颜色可供选择．要求每一个区域只涂一种颜色，相邻区域所涂颜色不同，则不同的涂色方法种数为（）A . 24种B . 48种C . 72种D . 96种2. （2分） (2015高二上·河北期末) 在高校自主招生中，某学校获得5个推荐名额，其中清华大学2名，北京大学2名，复旦大学1名．并且北京大学和清华大学都要求必须有男生参加．学校通过选拔定下3男2女共5个推荐对象，则不同的推荐方法共有（）A . 20种B . 22种C . 24种D . 36种3. （2分）(2019·巢湖模拟) 某次考试共有12个选择题，每个选择题的分值为5分，每个选择题四个选项且只有一个选项是正确的，学生对12个选择题中每个题的四个选择项都没有把握，最后选择题的得分为分，学生对12个选择题中每个题的四个选项都能判断其中有一个选项是错误的，对其它三个选项都没有把握，选择题的得分为分，则的值为（）A .B .C .D .4. （2分）在如图所示的正方形中随机投掷10000 个点，则落入阴影部分（曲线C为正态分布N（﹣1，1）的密度曲线）的点的个数的估计值（）附“若X～N（μ，a2），则P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）=0.6826．p（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）=0.9544．A . 1193B . 1359C . 2718D . 34135. （2分）有两排座，前排11个座位，后排12个座位，现安排2人就坐，规定前排中间的3个坐位不能坐，并且这2人不左右相邻，那么不同排法的种数是（）A . 234B . 346C . 350D . 3636. （2分） (2018高二上·鹤岗月考) 的展开式中的系数是（）A . -20B . 20C . 15D . -157. （2分）在一次数学测试中，某同学有两道单选题（即四个答案选一个）不会做，他随意选了两个答案，则这两道单选题都答对的概率为（）A .B .C .D .8. （2分） (2017高三上·沈阳开学考) 某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是（）A . 0.8B . 0.75C . 0.6D . 0.459. （2分）已知命题P：在三角形ABC中，若A＞B，则sinA＞sinB；命题Q：若随机变量X服从正态分布N（1，σ2），且X在（0，1）内取值的概率为0.4，则X在（0，2）内取值的概率为0.8，下列命题中正确的是（）A . P∧QB . ￢P∧QC . P∧￢QD . ￢P∧￢Q10. （2分） (2020高二下·天津期末) 投掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次，记“硬币正面向上”为事件A,“骰子向上的点数是3”为事件B,则事件A，B中至少有一件发生的概率是（）A .B .C .D .11. （2分）(2019·绵阳模拟) 博览会安排了分别标有序号为“1号”“2号”“3号”的三辆车，等可能随机顺序前往酒店接嘉宾．某嘉宾突发奇想，设计两种乘车方案．方案一：不乘坐第一辆车，若第二辆车的车序号大于第一辆车的车序号，就乘坐此车，否则乘坐第三辆车；方案二：直接乘坐第一辆车．记方案一与方案二坐到“3号”车的概率分别为P1 ， P2 ，则（）A . P1•P2＝B . P1＝P2＝C . P1+P2＝D . P1＜P212. （2分） (2019高二下·韩城期末) 自2020年起,高考成绩由“ ”组成，其中第一个“3”指语文、数学、英语3科，第二个“3”指学生从物理、化学、生物、政治、历史、地理6科中任选3科作为选考科目，某同学计划从物理、化学、生物3科中任选两科，从政治、历史、地理3科中任选1科作为选考科目，则该同学3科选考科目的不同选法的种数为（）A . 6B . 7C . 8D . 9二、填空题． (共4题；共5分)13. （1分）(2016·赤峰模拟) 若（1+x）（1﹣ax）4的展开式中x2的系数为10，则实数a=________．14. （2分） (2020高二下·奉化期中) 设随机变量，则 ________；________15. （1分）(2019·定远模拟) 若随机变量，则，.已知随机变量，则 ________．16. （1分） (2018高二下·抚顺期末) 《中国诗词大会》节目组决定把《将进酒》、《山居秋暝》、《望岳》、《送杜少府之任蜀州》和另外确定的两首诗词排在后六场，并要求《将进酒》与《望岳》相邻，且《将进酒》排在《望岳》的前面，《山居秋暝》与《送杜少府之任蜀州》不相邻，且均不排在最后，则后六场开场诗词的排法有________种.（用数字作答）三、解答题 (共6题；共65分)17. （10分） (2016高二下·故城期中) 已知的展开式的系数和比（3x﹣1）n的展开式的系数和大992，求（2x﹣）2n的展开式中：（1）二项式系数最大的项；（2）系数的绝对值最大的项．18. （10分）(2020·广州模拟) 随着马拉松运动在全国各地逐渐兴起，参与马拉松训练与比赛的人数逐年增加．为此，某市对参加马拉松运动的情况进行了统计调査，其中一项是调査人员从参与马拉松运动的人中随机抽取100人，对其每月参与马拉松运动训练的夭数进行统计，得到以下统计表；平均每月进行训练的天数x人数156025（1）以这100人平均每月进行训练的天数位于各区间的频率代替该市参与马拉松训练的人平均每月进行训练的天数位于该区间的概率．从该市所有参与马拉松训练的人中随机抽取4个人，求恰好有2个人是“平均每月进行训练的天数不少于20天”的概率；（2）依据统计表，用分层抽样的方法从这100个人中抽取12个，再从抽取的12个人中随机抽取3个，表示抽取的是“平均每月进行训练的天数不少于20天”的人数，求的分布列及数学期望19. （5分） 6男4女站成一排，求满足下列条件的排法各有多少种？（用式子表达）（1）男甲必排在首位；（2）男甲、男乙必排在正中间；（3）男甲不在首位，男乙不在末位；（4）男甲、男乙必排在一起；（5）4名女生排在一起；（6）任何两个女生都不得相邻；（7）男生甲、乙、丙顺序一定．20. （15分） (2016高二下·吉林期中) 某次大型运动会的组委会为了搞好接待工作，招募了16名男志愿者和14名女志愿者，调查发现，男、女志愿者中分别有10人和6人喜爱运动，其余人不喜爱运动．（1）根据以上数据完成下面2×2列联表：喜爱运动不喜爱运动总计男1016女614总计30（2）能否在犯错误的概率不超过0.10的前提下认为性别与喜爱运动有关系？（3）已知喜欢运动的女志愿者中恰有4人会外语，如果从中抽取2人负责翻译工作，那么抽出的志愿者中至少有1人能胜任翻译工作的概率是多少？参考公式：K2= ，其中n=a+b+c+d．参考数据：P（K2≥k0）0.400.250.100.010k00.708 1.323 2.706 6.63521. （15分） (2018高三上·长春期中) 某权威机构发布了2014年度“城市居民幸福排行榜”，某市成为本年度城市最“幸福城”．随后，该市某校学生会组织部分同学，用“10分制”随机调查“阳光”社区人们的幸福度．现从调查人群中随机抽取16名，如图所示的茎叶图记录了他们的幸福度分数（以小数点前的一位数字为茎，小数点后的一位数字为叶）：（1）指出这组数据的众数和中位数；（2）若幸福度不低于9．5分，则称该人的幸福度为“极幸福”．求从这16人中随机选取3人，至多有1人是“极幸福”的概率；（3）以这16人的样本数据来估计整个社区的总体数据，若从该社区（人数很多）任选3人，记表示抽到“极幸福”的人数，求的分布列及数学期望．22. （10分）(2017·万载模拟) 为响应国建“精准扶贫，产业扶贫”的战略，某市面向全国征召《扶贫政策》义务宣传志愿者，从年龄在[20，45]的500名志愿者中随机抽取100名，其年龄频率分布直方图如图所示（1）求图中x的值（2）在抽出的100名志愿者中按年龄采取分层抽样的方法抽取10名参加中心广场的宣传活动，再从这10名志愿者中选取3名担任主要负责人，记这3名志愿者中“年龄低于35岁”的人数为Y，求Y的分布列及数学期望．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)答案：1-1、考点：解析：答案：2-1、考点：解析：答案：3-1、考点：解析：答案：4-1、考点：解析：答案：5-1、考点：解析：答案：6-1、考点：解析：答案：7-1、考点：解析：答案：8-1、考点：解析：答案：9-1、考点：解析：答案：10-1、考点：解析：答案：11-1、考点：解析：答案：12-1、考点：解析：二、填空题． (共4题；共5分)答案：13-1、考点：解析：答案：14-1、考点：解析：答案：15-1、考点：解析：答案：16-1、考点：解析：三、解答题 (共6题；共65分)答案：17-1、答案：17-2、考点：解析：答案：18-1、答案：18-2、考点：解析：答案：19-1、考点：解析：答案：20-1、答案：20-2、答案：20-3、考点：解析：答案：21-1、答案：21-2、答案：21-3、考点：解析：答案：22-1、答案：22-2、考点：解析：。
2020年湖北高二(下)期中数学试卷解析版
A. 0.95
B. 0.75
C. 0.52
D. 0.35
5. 已知 i 是虚数单位，复数 z= ，则在复平面上复数 z 对应的点位于（ ）
A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限
6. 随着国家二孩政策的全面放开，为了调查一线城市和非一线城市的二孩生育意愿， 某机构用简单随机抽样方法从不同地区调查了 100 位育龄妇女，结果如表．
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P（K2≥k0） k0
附：K2=
0.025 0.010 0.005 0.001 5.024 6.635 7.879 10.828
法分别求得相关系数 r 如表：
甲乙
丙
丁
r 0.85 0.80 -0.82 -0.90
则这四位同学的试验结果能体现出 A、B 两变量有更强的线性相关性的是______．
14. 若
（x，y∈R），则 x+y 的值等于______．
15. 我们知道：在平面内，点（x0，y0）到直线 Ax+By+C=0 的距离公式为 ，通过类比的方法，可求得：在空间中，点（3，1，-1）到平面 x+2y+2z+3=0 的距 离为______．
非一线
一线
总计
愿生
45
20
65
不愿生
13
22
35
总计 附表： P（K2≥k）
58 0.050
42 0.010
100 0.001
k
3.841
6.635
10.828
由 K2=
算得，K2=
≈9.616 参照附表，得到的正
确结论是（ ）
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岳口高中2020年度高二期中考试数学试卷一、选择题（5分×10=50分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
）1．已知直线1l 的方向向量(1,3)a =-r, 若直线2l 过（0，5）且21l l ⊥，则直线2l 的方程为A ．3150x y -+=B ．3150x y +-=C ．350x y -+=D ．350x y +-=2、和直线3450x y -+=关于x 轴对称的直线方程为A 、3450x y +-=B 、3450x y ++=C 、3450x y -+-=D 、3450x y -++=3．“m =21”是“直线(m +2)x +3my +1=0与直线(m －2)x +(m +2)y －3=0垂直”的 （ ）A ．充分必要条件B ．充分而不必要条件C ．必要而不充分条件D ．既不充分也不必要条件 4． 如果椭圆1162522=+yx 上一点P 到焦点F 1的距离为6，则点P 到另一个焦点F 2的距离为（ ） A ． 5 B ． 4 C ．8 D ． 65．已知点(,)P x y4=，则动点P 的轨迹是( ) A ．椭圆 B ．双曲线 C ．两条射线 D ．以上都不对6．过点(2,1)-的直线中，被圆04222=+-+y x y x 截得的弦长最短的直线方程是（ ） A ．10x y +-= B ．10x y ++= C ．30x y -+= D ．30x y --= 7．椭圆221x my +=的焦点在y 轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m 的值为（ ） A ．14B ．12C ． 2D ．4 8． 若双曲线1922=-my x 的渐近线l 方程为x y 35±=，则双曲线焦点F 到渐近线l 的距离为 ( ) A ．2B ．14C ．5D ．259、椭圆22221x y a b +=(a >b>0)则双曲线22221x y a b -=的离心率为 A ．54 B．23 D10．双曲线两条渐近线的夹角为60º，该双曲线的离心率为（ ）A ．3或2B ．332或2 C ．3或2 D ．332或2 二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11、圆221x y +=上的点到直线34250x y +-=的距离的最小值为________________.12. 设变量x y ，满足约束条件30023x y x y x -+⎧⎪+⎨⎪-⎩≥，≥，≤≤，则目标函数2x y +的最小值为 ．13．双曲线122=-y m x 上的点到左准线的距离是到的左焦点距离的31，则m= . 14．圆心在直线2x-y-7=0上的圆C 与y 轴交于两点A(0,-4)、B(0,-2)，则圆的方程为_________. 15．已知平面上有两定点A ，B ，同一平面上一动点P 与两定点的连线的斜率乘积等于常数m(m R ∈)，对于下面5种曲线:① 直线；② 圆；③ 抛物线；④ 双曲线；⑤ 椭圆.则动点P 的轨迹方程是____________________(将所有可能的情况都写出来)三、解答题（共6道题，75分。
要求书写规范）16（12分）已知ΔABC 的三边所在的直线的方程分别是AB l ：5120x y --=，BC l ：340x y ++=， CA l ：5120x y -+=．（Ⅰ）求BC 边上的高所在的直线的方程；（Ⅱ）求∠A 的大小．17．(12分)已知椭圆的准线平行于x 轴，长轴长是短轴长的3倍, 且过点(2,3). （Ⅰ）求椭圆的离心率； （Ⅱ）求椭圆的标准方程，并写出准线方程。
18．(12分)设直线l 与圆222:C x y r +=交于A 、B 两点，O 为坐标原点，已知A 点的坐标为(3,1)A ．（Ⅰ）当原点O 到直线l 的距离为3时，求直线l 方程；（Ⅱ）当0OA OB ⋅=u u u r u u u r时，求直线l 的方程。
19、（12分）已知圆221:10240O x y x +++=，圆222:10240O x y x +--=都内切于动圆，试求动圆圆心的轨迹方程。
20．（13分） 直线1+=x y 与双曲线C ：)0(12222>=-b b y x 恒有公共点. （Ⅰ）求双曲线C 的 离心率e 的取值范围； （Ⅱ）若直线)(:R m m x y l ∈+=过双曲线C 的右焦点F ，与双曲线交于P 、Q 两点，并且满足51=，求双曲线C 的方程.21．(14分)已知椭圆C :2222by a x +=1(a ＞b ＞0)的离心率为36,短轴一个端点到右焦点的距离为3.(Ⅰ)求椭圆C 的方程;(Ⅱ)设直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点，坐标原点O 到直线l 的距离为23，求△AOB 面积的最大值.参考答案一．ABBBB AACBD二．11、 4 ； 12、 3 13．8114.(x-2)2+(y+3)2=5 15.①②○4○5三、16．解:：（Ⅰ）设BC 边上的高所在的直线的斜率为k ，由题意知 13BC k =-∵BC 边上的高所在的直线与直线BC 垂直 ∴113BC k k k ⨯=-=- 即3k =由 51205120x y x y --=⎧⎨-+=⎩解得33x y =⎧⎨=⎩ ∴点A 的坐标为(3,3)A 代(3,3)A 入点斜式方程得 360x y --=（Ⅱ）由题意知15ACk =、5AB k = 由到角公式的15125tan 115155AB Ac AB Ac k k A k k --===++⨯ ∴12tan 5A arc ∠=17.（Ⅰ）33c e a b ===（Ⅱ）椭圆： 154522=+x y准线：y =18. （Ⅰ）∵(3,1)A 在圆C 上，∴210r =，圆的方程为2210x y +=设直线l 的方程为：1(3)y k x -=-，即 130kx y k -+-=3= 43k ⇒=- 此时直线l 的方程为 43150x y +-=当直线l 的斜率不存在时，直线l ；3x =也符合要求 ∴直线l 的方程为43150x y +-= 或 3x =.（Ⅱ）由条件得OA 的斜率为13∵0OA OB ⋅=u u ur u u u r ∴OB 的斜率为3-，OB 所在直线的方程为3y x =-由22103x y y x⎧+=⎨=-⎩解得B 点的坐标为(1,3)-或(1,3)- 由两点式求得直线l 的方程为250x y --= 或250x y +-=.19、解：圆221:10240O x y y +++= 即为22(5)1x y ++=所以圆O 1的圆心为O 1（－5，0）,半径r 1=1圆222:10240O x y x +--= 即为22(5)49x y -+=所以圆O 2的圆心为O 2（5，0）,半径r 2=7，设所求动圆圆心M 的坐标为(x,y),半径为r则1||1r O M =+且2||7r O M =+ 所以12||||6O M O M -=6= 化简得221(3).916x y x -=≥ 20（13分）（Ⅰ）把y=x +1代入双曲线.02)1(2122222222=-+-=-b x x b b y x 得整理得.0)1(24)2(222=+---b x x b当b 2=2时，直线与双曲线有一个交点，这时.2=e当b 2≠2时，直线与双曲线恒有公共点∆⇔=16+8(b 2－2)(1+b 2)≥0恒成立.即b 4－b 2≥0恒成立. ∵.1,022≥∴>b b ∴.26.23222222≥∴≥+==e b ac e 综上所述e 的取值范围为 ).,26[+∞（Ⅱ）设F （c ，0），则直线l 的方程为.c x y -=把.022)(122222222=--+=--=b y c y b by x c x y 得代入双曲线整理得.022)2(222222=-++-b c b y cb y b设两交点为.22,22),,(),,(22222122212211--=--=+b b c b y y b cb y y y x Q y x P 则∵.51,5121y y =∴= ∴.225,226222221221--=--=b b c b y b cb y ∴.7.51)2(92,2,0.52)2(9222222222242==-+∴=->-=-b b b b c b b c b b b c Θ ∴所求双曲线C 的方程为 .17222=-y x22. (14分)解析：（Ⅰ）设椭圆的半焦距为c，依题意c a a ⎧=⎪⎨⎪=⎩1b ∴=，∴所求椭圆方程为2213x y +=．（Ⅱ）设11()A x y ，，22()B x y ，． （1）当AB x ⊥轴时，AB =． （2）当AB 与x 轴不垂直时，设直线AB 的方程为y kx m =+=，得223(1)4m k =+．把y kx m =+代入椭圆方程，整理得222(31)6330k x kmx m +++-=，122631kmx x k -∴+=+，21223(1)31m x x k -=+． 22221(1)()AB k x x ∴=+-22222223612(1)(1)(31)31k m m k k k ⎡⎤-=+-⎢⎥++⎣⎦ 22222222212(1)(31)3(1)(91)(31)(31)k k m k k k k ++-++==++2422212121233(0)34196123696k k k k k k=+=+≠+=++⨯+++≤． 当且仅当2219k k =，即k =时等号成立．当0k =时，AB =综上所述max 2AB =．∴当AB 最大时，AOB △面积取最大值max 12S AB =⨯=．。