北师大版八年级上册第二章实数知识点及题型总结

第二章《实数》知识点梳理及题型解析
一、知识归纳
（一）平方根与开平方
1.平方根的含义
如果一个数的平方等于a，那么这个数就叫做 a 的平方根。

即 x2 a ，x叫做a的平方根。

2.平方根的性质与表示
⑴表示：正数 a 的平方根用 a 表示， a 叫做正平方根，也称为算术平
方根， a 叫做a的负平方根。

⑵一个正数有两个平方根： a （根指数2省略）
0 有一个平方根，为0，记作0 0 ；负数没有平方根
⑶ 平方与开平方互为逆运算
开平方：求一个数 a 的平方根的运算。

a2
a a 02
0 ）
a ==a a（a
a a 0
⑷ a 的双重非负性
a0且a0（应用较广）
例：x 4 4 x y 得知 x 4, y 0
⑸如果正数的小数点向右或者向左移动两位，它的正的平方根的小数点就相
应地向右或向左移动一位。

区分： 4 的平方根为____
4 的平方根为____4____
完全平方类
4＝2
93
3.计算 a 的方法
非完全平方类＝
7
7
精确到某位小数
* 若a b 0 ，则a b
（二）立方根和开立方
1．立方根的定义
如果一个数的立方等于 a ，呢么这个数叫做 a 的立方根，记作 3 a.
2.立方根的性质
任何实数都有唯一确定的立方根。

正数的立方根是一个正数。

负数的立方
根是一个负数。

０的立方根是０.
3.开立方与立方
开立方：求一个数的立方根的运算。

3
3
3 a3a3a3 a （a取任何数）
aa
*０的平方根和立方根都是０本身。

（三）推广：n 次方根
１.如果一个数的n次方（n是大于１的整数）等于a，这个数就叫做a的n次方根。

当n 为奇数时，这个数叫做 a 的奇次方根。

当n 为偶数时，这个数叫做 a 的偶次方根。

２. 正数的偶次方根有两个：n a ；０的偶次方根为０：n 0 0 ；负数没有偶次方根。

正数的奇次方根为正。

０的奇次方根为０。

负数的奇次方根为负。

（四）实数
1.实数：有理数和无理数统称为实数
实数的分类：
① 按属性分类：② 按符号分类
2.实数和数轴上的点的对应关系：
实数和数轴上的点一一对应，即每一个实数都可以用数轴上的一个点表示．
数轴上的每一个点都可以表示一个实数．
2
的画法：画边长为 1 的正方形的对角线
在数轴上表示无理数通常有两种情况：
①尺规可作的无理数，如
2
②尺规不可作的无理数，只能近似地表示，如π，1.010010001⋯⋯思考：
（ 1）－a2一定是负数吗？－a 一定是正数吗？
（ 2）大家都知道是一个无理数，那么－1在哪两个整数之间？（3）15 的整数部分为a, 小数部分为 b，则 a=, b=。

（4）判断下面的语句对不对？并说明判断的理由。

①无限小数都是无理数. ( )
②无理数都是无限小数.( )
③带根号的数都是无理数.( )
④有理数都是实数，实数不都是有理数.()
⑤实数都是无理数，无理数都是实数.()
⑥实数的绝对值都是非负实数.()
⑦有理数都可以表示成分数的形式。

()
3.实数大小比较的方法
一、平方法：比较
3
和3的大小
3
____ 3
22
二、根号法：比较 23 和 3 2 的大小 2 3____3 2
三、求差法：比较5
1
和 1 的大小5
1
____1
22
4.实数的三个非负性及性质
(1)在实数范围内，正数和零统称为非负数。

(2)非负数有三种形式
①任何一个实数 a 的绝对值是非负数，即|a| ≥ 0；
②任何一个实数 a 的平方是非负数，即a2≥0；
③任何非负数的算术平方根是非负数，即 a ≥0.
（3）非负数具有以下性质①非负数有最小值零；②非负数
之和仍是非负数；③几个非负数之和等于 0，则每个非
负数都等于 0.
二、题型解析【例 5】若32a1和3 13b 互为相反数，求a
的值。

题型一、有关概念的识别
b
.
， 3π，
【例 1】下面几个数：1.23， 1.010010001⋯，，，
其中，无理数的个数有（）
A、 1 B 、2C、 3D、4
【变式 1】下列说法中正确的是（）题型三、实数非负性的应用
A ．的平方根是±3 B. 1 的立方根是±1【例 6】已知实数 a、b、 c 满足， 2|a-1|+ 2b c +( c1)2 =0，求 a+b+c 的值。

C．=±1 D.是 5 的平方根的相反数
2
题型二、计算类型题
【例 2】设，则下列结论正确的是（）
A. B. C. D.
【例 7】若y x 1 1 x 1，求x，y的值。

【例 3】计算：
【例 8】已知：=0 ，求实数 a, b 的值
【例 4】先化简，再求值：
11b，其中 a=5 1
，b= 5 1 ．
a b b a( a b)22
【变式 1】 y 2 xx 2 x 2 5 ，求y x的平方根和算术平方根。

类型五、实数应用题
【例 10】有一个边长为 11cm 的正方形和一个长为13cm，宽为 8cm 的矩形，
要作一个面积为这两个图形的面积之和的正方形，问边长应为多少。

【变式 2】已知 (x-6) 2++|y+2z|=0 ，求 (x-y) 3-z3的值。

类型六、拓展提升
【例 11】已知的整数部分为a，小数部分为b，求 a2-b2的值 .
题型四、数形结合题
【例 9】如图，实数a、b在数轴上的位置，化简： a2b2(a b)2
【例 12】把下列无限循环小数化成分数：①②③。