【2020精品中考数学提分卷】2020二次函数的实际应用随堂小测+答案
2020年中考数学试题分类汇编之13二次函数(试题+详细答案)
2020年中考数学试题分类汇编之13二次函数一、选择题1．（2020安徽）（4分）如图，ABC ∆和DEF ∆都是边长为2的等边三角形，它们的边BC ，EF 在同一条直线l 上，点C ，E 重合．现将ABC ∆在直线l 向右移动，直至点B 与F 重合时停止移动．在此过程中，设点C 移动的距离为x ，两个三角形重叠部分的面积为y ，则y 随x 变化的函数图象大致为( )A ．B ．C ．D ．2.（2020福建）已知()111,P x y ，()222,P x y 是抛物线22y ax ax =-上的点，下列命题正确的是（ ）A. 若12|1||1|->-x x ，则12y y >B. 若12|1||1|->-x x ，则12y y <C. 若12|1||1|-=-x x ，则12y y =D. 若12y y =，则12x x =3．（2020陕西）在平面直角坐标系中，将抛物线y ＝x 2﹣（m ﹣1）x +m （m ＞1）沿y 轴向下平移3个单位．则平移后得到的抛物线的顶点一定在（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限4．（2020哈尔滨）（3分）将抛物线2y x =向上平移3个单位长度，再向右平移5个单位长度，所得到的拋物线为( ) A ．2(3)5y x =++ B ．2(3)5y x =-+ C ．2(5)3y x =++ D ．2(5)3y x =-+5．(2020杭州)（3分）设函数y ＝a （x ﹣h ）2+k （a ，h ，k 是实数，a ≠0），当x ＝1时，y ＝1；当x ＝8时，y ＝8，（ ） A ．若h ＝4，则a ＜0 B ．若h ＝5，则a ＞0C ．若h ＝6，则a ＜0D ．若h ＝7，则a ＞06．(2020杭州)（3分）在平面直角坐标系中，已知函数y 1＝x 2+ax +1，y 2＝x 2+bx +2，y 3＝x 2+cx +4，其中a ，b ，c 是正实数，且满足b 2＝ac ．设函数y 1，y 2，y 3的图象与x 轴的交点个数分别为M 1，M 2，M 3，（ ） A ．若M 1＝2，M 2＝2，则M 3＝0 B ．若M 1＝1，M 2＝0，则M 3＝0 C ．若M 1＝0，M 2＝2，则M 3＝0D ．若M 1＝0，M 2＝0，则M 3＝07．(2020天津)已知抛物线2y ax bx c =++（a ，b ，c 是常数0a ≠，1c >）经过点()2,0，其对称轴是直线12x =．有下列结论： ①0abc >①关于x 的方程2ax bx c a ++=有两个不等的实数根； ①12a <-． 其中，正确结论的个数是（ ） A ．0B ．1C ．2D ．38.（2020河北）如图，现要在抛物线(4)y x x =-上找点(,)P a b ，针对b 的不同取值，所找点P 的个数，三人的说法如下， 甲：若5b =，则点P 的个数为0； 乙：若4b =，则点P 的个数为1； 丙：若3b =，则点P 的个数为1． 下列判断正确的是（ ）A. 乙错，丙对B. 甲和乙都错C. 乙对，丙错D. 甲错，丙对9.（2020江西）在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，抛物线223y x x =--与y 轴交于点A ，与x 轴正半轴交于点B ，连接AB ，将Rt OAB ∆向右上方平移，得到'''Rt O A B ∆，且点'O ，'A 落在抛物线的对称轴上，点'B 落在抛物线上，则直线''A B 的表达式为（ ） A ．y x = B ．1y x =+ C ．12y x =+D ．2y x =+ 10.（2020四川绵阳）三孔桥横截面的三个孔都是呈抛物线形，两小孔形状、大小完全相同。
2020年中考数学复习专题练：《二次函数实际应用 》(含答案)
2020年中考数学复习专题练：《二次函数实际应用》1．金松科技生态农业养殖有限公司种植和销售一种绿色羊肚菌，已知该羊肚菌的成本是12元/千克，规定销售价格不低于成本，又不高于成本的两倍．经过市场调查发现，某天该羊肚菌的销售量y（千克）与销售价格x（元/千克）的函数关系如下图所示：（1）求y与x之间的函数解析式；（2）求这一天销售羊肚菌获得的利润W的最大值；（3）若该公司按每销售一千克提取1元用于捐资助学，且保证每天的销售利润不低于3600元，问该羊肚菌销售价格该如何确定．2．某超市以20元/千克的进货价购进了一批绿色食品，如果以30元/千克销售这些绿色食品，那么每天可售出400千克．由销售经验可知，每天的销售量y（千克）与销售单价x （元）（x≥30）存在如图所示的一次函数关系．（1）试求出y与x的函数关系式；（2）设该超市销售该绿色食品每天获得利润w元，当销售单价为何值时，每天可获得最大利润？最大利润是多少？3．为倡导节能环保，降低能源消耗，提倡环保型新能源开发，造福社会．某公司研发生产一种新型智能环保节能灯，成本为每件40元．市场调查发现，该智能环保节能灯每件售价y（元）与每天的销售量为x（件）的关系如图，为推广新产品，公司要求每天的销售量不少于1000件，每件利润不低于5元．（1）求每件销售单价y（元）与每天的销售量为x（件）的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围；（2）设该公司日销售利润为P元，求每天的最大销售利润是多少元？（3）在试销售过程中，受国家政策扶持，毎销售一件该智能环保节能灯国家给予公司补贴m（m≤40）元．在获得国家每件m元补贴后，公司的日销售利润随日销售量的增大而增大，则m的取值范围是（直接写出结果）．4．网络销售是一种重要的销售方式．某乡镇农贸公司新开设了一家网店，销售当地农产品．其中一种当地特产在网上试销售，其成本为每千克2元．公司在试销售期间，调查发现，每天销售量y（kg）与销售单价x（元）满足如图所示的函数关系（其中2＜x≤10）．（1）若5＜x≤10，求y与x之间的函数关系式；（2）销售单价x为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？5．现代城市绿化带在不断扩大，绿化用水的节约是一个非常重要的问题．如图1、图2所示，某喷灌设备由一根高度为0.64m的水管和一个旋转喷头组成，水管竖直安装在绿化带地面上，旋转喷头安装在水管顶部（水管顶部和旋转喷头口之间的长度、水管在喷灌区域上的占地面积均忽略不计），旋转喷头可以向周围喷出多种抛物线形水柱，从而在绿化带上喷灌出一块圆形区域．现测得喷的最远的水柱在距离水管的水平距离3m处达到最高，高度为1m．（1）求喷灌出的圆形区域的半径；（2）在边长为16m的正方形绿化带上固定安装三个该设备，喷灌区域可以完全覆盖该绿化带吗？如果可以，请说明理由；如果不可以，假设水管可以上下调整高度，求水管高度为多少时，喷灌区域恰好可以完全覆盖该绿化带．（以上需要画出示意图，并有必要的计算、推理过程）6．某商家在购进一款产品时，由于运输成本及产品成本的提高，该产品第x天的成本y（元/件）与x（天）之间的关系如图所示，并连续60天均以80元/件的价格出售，第x天该产品的销售量z（件）与x（天）满足关系式z＝x+15．（1）第25天，该商家的成本是元，获得的利润是元；（2）设第x天该商家出售该产品的利润为w元．①求w与x之间的函数关系式；②求出第几天的利润最大，最大利润是多少？7．某品牌服装公司经过市场调査，得到某种运动服的月销量y（件）是售价x（元/件）的一次函数，其售价、月销售量、月销售利润w（元）的三组对应值如下表：注：月销售利润＝月销售量×（售价一进价）售价x（元/件）130 150 180月销售量y（件）210 150 60月销售利润w（元）10500 10500 6000（1）求y关于x的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）；（2）当售价是多少时，月销售利润最大？最大利润是多少元？（3）为响应号召，该公司决定每售出1件服装，就捐赠a元（a＞0），商家规定该服装售价不得超过200元，月销售量仍满足上关系，若此时月销售最大利润仍可达9600元，求a的值．8．“武汉加油!中国加油!”疫情牵动万人心，每个人都在为抗击疫情而努力．某厂改造了10条口罩生产线，每条生产线每天可生产口罩500个．如果每增加一条生产线，每条生产线就会比原来少生产20个口罩．设增加x条生产线后，每条生产线每天可生产口罩y 个．（1）直接写出y与x之间的函数关系式；（2）若每天共生产口罩6000个，在投入人力物力尽可能少的情况下，应该增加几条生产线？（3）设该厂每天可以生产的口罩w个，请求出w与x的函数关系式，并求出增加多少条生产线时，每天生产的口罩数量最多，最多为多少个？9．九年级孟老师数学小组经过市场调查，得到某种运动服的月销量y（件）是售价x（元/件）的一次函数，其售价、月销售量、月销售利润w（元）的三组对应值如下表：售价x（元/件）130 150 180月销售量y（件）210 150 60月销售利润w（元）10500 10500 6000注：月销售利润＝月销售量×（售价﹣进价）（1）①求y关于x的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）；②运动服的进价是元/件；当售价是元/件时，月销利润最大，最大利润是元．（2）由于某种原因，该商品进价降低了m元/件（m＞0），商家规定该运动服售价不得低于150元/件，该商店在今后的售价中，月销售量与售价仍满足（1）中的函数关系式，若月销售量最大利润是12000元，求m的值．10．小明经过市场调查，整理出他妈妈商店里一种商品在第x（1≤x≤30）天的销售量的相关信息如下表：时间第x（天）1≤x≤20 20≤x≤30售价（元/件）x+30 50每天销量（件）160﹣4x已知该商品的进价为每件20元，设销售该商品的每天利润为y元．（1）求出y与x的函数关系式；（2）问销售该商品第几天时，当天销售利润最大，最大利润是多少？（3）该商品在销售过程中，共有多少天每天销售利润不低于2400元？请直接写出结果．11．我市某乡镇在“精准扶贫”活动中销售农产品，经分析发现月销售量y（万件与月份x （月）的关系为：每件产品的利润z（元）与月份x（月）的关系如表：x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 z19 18 17 16 15 14 13 12 10 10 10 10 （1）请你根据表格直接写出每件产品利润z（元）与月份x（月）的函数关系式；（2）若月利润w（万元）＝当月销售量y（万件）x当月每件产品的利润z（元），求月利润w（万元）与月份x（月）的关系式；（3）当x为何值时，月利润w有最大值，最大值为多少？12．某商品的进价为每件50元，售价为每件60元，每个月可卖出200件．若每件商品的售价上涨1元，则每个月少卖10件（每件售价不能高于72元），设每件商品的售价上涨x 元（x为正整数），每个月的销售量为y件．（1）求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围；（2）设每月的销售利润为w元，每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大月利润是多少元？13．某超市销售一种高档蔬菜“莼菜”，其进价为16元/kg．经市场调查发现：该商品的日销售量y（kg）是售价x（元/kg）的一次函数，其售价、日销售量对应值如表：售价x（元/kg）20 30 40日销售量y（kg）80 60 40（1）求y关于x的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）；（2）x为多少时，当天的销售利润w（元）最大？最大利润为多少？（3）由于产量日渐减少，该商品进价提高了a元/kg（a＞0），物价部门规定该商品售价不得超过36元/kg，该商店在今后的销售中，日销售量与售价仍然满足（1）中的函数关系．若日销售最大利润是864元，求a的值．14．为满足市场需求，新生活超市在端午节前夕购进价格为3元/个的粽子，根据市场预测，该品牌粽子每个售价4元时，每天能出售500个，并且售价每上涨0.1元，其销售量将减少10个，为了维护消费者利益，物价部门规定，该品牌粽子的售价不能超过进价的200%．（1）请你利用所学知识帮助超市给该品牌粽子定价，使超市每天的销售利润为800元．（2）定价为多少时每天的利润最大？最大利润是多少？15．甲船从A处起以15km/h的速度向正北方向航行，这时乙船从A的正东方向20km的B 处起以20km/h的速度向西航行，多长时间后，两船的距离最小？最小距离是多少？16．某商场经营一种海产品，进价是每千克20元，根据市场调查发现，每日的销售量y（千克）与售价x（元/千克）是一次函数关系，如图所示：（1）求y与x的函数关系式（不求自变量取值范围）；（2）某日该商场出售这种海产品获得了21000元的利润，该海产品的售价是多少？（3）若某日该商场这种海产品的销售量不少于650千克，该商场销售这种海产品获得的最大利润是多少？17．某网店专售一款电动牙刷，其成本为20元/支，销售中发现，该商品每天的销售量y（支）与销售单价x（元/支）之间存在如图所示的关系．（1）请求出y与x的函数关系式；（2）该款电动牙刷销售单价定为多少元时，每天销售利润最大？最大利润是多少元？（3）近期武汉爆发了“新型冠状病毒”疫情，该网店店主决定从每天获得的利润中抽出200元捐赠给武汉，为了保证捐款后每天剩余利润不低于550元，如何确定该款电动牙刷的售单价？18．某网店专售一品牌牙膏，其成本为22元/支，销售中发现，该商品每天的销售量y（支）与销售单价x（元/支）之间存在如图所示的关系．（1）请求出y与x之间的函数关系式；（2）该品牌牙膏销售单价定为多少元时，每天销售利润最大？最大利润是多少元？（3）在武汉爆发“新型冠状病毒”疫情期间，该网店店主决定从每天获得的利润中抽出100元捐赠给武汉，为了保证捐款后每天剩余的利润不低于350元，在抗“新型冠状病毒”疫情期间，市场监督管理局加大了对线上、线下商品销售的执法力度，对商品售价超过成本价的20%的商家进行处罚，请你给该网店店主提供一个合理化的销售单价范围．19．某工艺品厂生产一款工艺品，已知这款工艺品的生产成本为60元/件．经市场调研发现，这款工艺品每天的销售量y（件）与售价x（元/件）之间存在着如表所示的一次函数关系：售价x/（元/件）…70 90 …销售量y/件…3000 1000 …（1）求销售量y（件）与售价x（元/件）之间的函数关系式．（2）求每天的销售利润w（元）与售价x（元/件）之间的函数关系式．（3）如何定价才能使该工艺品厂每天获得的销售利润为40000元？20．如图，用一段长为30m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长为18m．设矩形菜园的边AB的长为xm，面积为Sm2．（I）写出S关于x的函数解析式，并求出x的取值范围；（Ⅱ）当该矩形菜园的面积为72m2时，求边AB的长；（Ⅲ）当边AB的长为多少时，该矩形菜园的面积最大？最大面积是多少？参考答案1．解：（1）①当12≤x≤20时，设y＝kx+b．代（12，2000），（20，400），得解得∴y＝﹣200x+4400②当20＜x≤24时，y＝400．综上，y＝（2）①当12≤x≤20时，W＝（x﹣12）y＝（x﹣12）（﹣200x+4400）＝﹣200（x﹣17）2+5000当x＝17时，W的最大值为5000；②当20＜x≤24时，W＝（x﹣12）y＝400x﹣4800．当x＝24时，W的最大值为4800．∴最大利润为5000元．（3）①当12≤x≤20时，W＝（x﹣12﹣1）y＝（x﹣13）（﹣2000x+4400）＝﹣200（x﹣17.5）2+4050令﹣200（x﹣17.5）2+4050＝3600x 1＝16，x2＝19∴定价为16≤x≤19②当20＜x≤24时，W＝400（x﹣13）＝400x﹣5200≥3600 ∴22≤x≤24．综上，销售价格确定为16≤x≤19或22≤x≤24．2．解：（1）设y与x的函数关系式为y＝kx+b，，得，即y与x的函数关系式是y＝﹣20x+1000（30≤x≤50）；（2）w＝（x﹣20）y＝（x﹣20）（﹣20x+1000）＝﹣20x2+1400x﹣20000＝﹣20（x﹣35）2+4500，故当x＝35时，w取得最大值，此时w＝4500，答：当销售单价为35元/千克时，每天可获得最大利润4500元．3．解：（1）设每件销售单价y（元）与每天的销售量为x（件）的函数关系式为y＝kx+b，把（1500，55）与（2000，50）代入y＝kx+b得，，解得：，∴每件销售单价y（元）与每天的销售量为x（件）的函数关系式为y＝﹣x+70，当y≥45时，﹣x+70≥45，解得：x≤2500，∴自变量x的取值范围1000≤x≤2500；（2）根据题意得，P＝（y﹣40）x＝（﹣x+70﹣40）x＝﹣x2+30x＝﹣（x ﹣1500）2+22500，∵﹣＜0，P有最大值，当x＜1500时，P随x的增大而增大，∴当x＝1500时，P的最大值为22500元，答：每天的最大销售利润是22500元；（3）由题意得，P＝（﹣x+70﹣40+m）x＝﹣x2+（30+m）x，∵对称轴为x＝50（30+m），∵1000≤x≤2500，∴x 的取值范围在对称轴的左侧时P 随x 的增大而增大，50（30+m ）≥2500，解得：m ≥20，∴m 的取值范围是：20≤m ≤40．故答案为：20≤m ≤40．4．解：（1）设y ＝kx +b ，把（5，600），（10，400）代入y ＝kx +b ， 得解得 ∴y ＝﹣40x +800．（2）设每天的销售利润为w 元当2＜x ≤5时，w ＝600（x ﹣2）＝600x ﹣1200当x ＝5时，w max ＝600×5﹣1200＝1800（元）；当5＜x ≤10时，w ＝（﹣40x +800）（x ﹣2）＝﹣40（x ﹣11）2+3240当x ＝10时，w max ＝﹣40×1+3240＝3200综上所述，当x ＝10时，每天的销售利润最大，最大是3200元．5．解：（1）根据题意，以水管在地面安装处为坐标原点，以该处和喷的最远的水柱落地处所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系，则喷的最远的水柱所在的抛物线顶点为（3，1），过（0，0.64）．可设该抛物线对应的函数表达式是y ＝a （x ﹣3） 2+1，代入（0，0.64），解得，a ＝﹣． 所以y ＝﹣ （x ﹣3） 2+1．令y ＝0，解得x 1＝﹣2（舍），x 2＝8.4 分所以，喷灌出的圆形区域的半径为8 m ．（2）在边长为16 m 的正方形绿化带上按如图的位置固定安装三个该设备，如图1，喷灌出的圆形区域的半径的最小值是＝，8＜，这样安装不能完全覆盖；如图2，设CD＝x，则BC＝16﹣x，DE＝8，AB＝16，由勾股定理得：82+x2＝（16﹣x）2+162解得：x＝14∴2r＝＝∴喷灌出的圆形区域的半径的最小值是，8＜，这样安装也不能完全覆盖；＜，如果喷灌区域可以完全覆盖该绿化带．则一个设备喷灌出的圆形区域的半径的最小值应为m．设水管向上调整a m，则调整后喷的最远的水柱所在的抛物线函数表达式是y＝﹣（x﹣3） 2+1+a．代入（，0），解得，a＝．0.64+＝答：水管高度为时，喷灌区域恰好可以完全覆盖该绿化带．6．解：（1）由图象可知，此时的产量为z＝25+15＝40（件），设直线BC的关系为y＝kx+b，∴，∴，∴y＝x+10，故第25天，该商家的成本是：25+10＝35（元）则第25天的利润为：（80﹣35）×40＝1800（元）；故答案为：35，1800；（2）①当0≤x≤20时，w＝（80﹣30）（x+15）＝50x+750，当20＜x≤60时，w＝[80﹣（x+10）]（x+15）＝﹣x2+55x+1050 ∴w＝．②当0≤x≤20时w＝（80﹣30）（x+15）＝50x+750，＝1750元；当x＝20时，w最大当20＜x≤60时，w＝﹣x2+55x+1050∵﹣1＜0，抛物线开口向下，对称轴为x＝∴当x＝27或x＝28时，w＝﹣272+55×27+1050＝1806（元）∵1806＞1750∴第27天或28天的利润最大，最大为1806元．7．解：（1）设y关于x的函数解析式为：y＝kx+b（k≠0）由题意得：，解得：∴y关于x的函数解析式为y＝﹣3x+600；（2）运动服的进价是：130﹣10500÷210＝80（元）月销售利润w＝（x﹣80）（﹣3x+600）＝﹣3x2+840x﹣48000＝﹣3（x﹣140）2+10800∴当售价是140元时，月销售利润最大，最大利润为10800元；（3）由题意得：w＝（x﹣80﹣a）（﹣3x+600）＝﹣3x2+（840+3a）x﹣48000﹣600a∴当x＝140+a时，w有最大值．∵a＞0，且a≤140﹣80∴140＜140+a≤170＜200∵商家规定该服装售价不得超过200元，此时月销售最大利润仍可达9600元，∴当x＝140+a时，有，解得，a＝120﹣80，或a＝120+80（舍去），故a＝120﹣80．8．解：（1）由题意可知该函数关系为一次函数，其解析式为：y＝500﹣20x；∴y与x之间的函数关系式为y＝500﹣20x（0≤x≤25，且x为整数）；（2）由题意得：（10+x）（500﹣20x）＝6000，整理得：x2﹣15x+50＝0，解得：x1＝5，x2＝10，∵尽可能投入少，∴x2＝10舍去．答：应该增加5条生产线．（3）w＝（10+x）（500﹣20x）＝﹣202+300x+5000＝﹣20（x﹣7.5）2+6125，∵a＝﹣20＜0，开口向下，∴当x＝7.5时，w最大，又∵x为整数，∴当x＝7或8时，w最大，最大值为6120．答：当增加7或8条生产线时，每天生产的口罩数量最多，为6120个．9．解：（1）设y关于x的函数解析式为：y＝kx+b（k≠0）由题意得：解得：∴y关于x的函数解析式为y＝﹣3x+600；（2）运动服的进价是：130﹣10500÷210＝80（元）月销售利润w＝（x﹣80）（﹣3x+600）＝﹣3x2+840x﹣48000＝﹣3（x﹣140）2+10800∴当售价是140元时，月销售利润最大，最大利润为10800元．故答案为：80；140；10800；（3）由题意得：w＝[x﹣（80﹣m）]（﹣3x+600）＝﹣3x2+（840﹣3m）x﹣48000+600m对称轴为x＝140﹣∵m＞0∴140﹣＜140＜150∵商家规定该运动服售价不得低于150元/件∴由二次函数的性质，可知当x＝150时，月销售量最大利润是12000元∴﹣3×1502+（840﹣3m）×150﹣48000+600m＝12000解得：m＝10∴m的值为10．10．（1）当1≤x＜20时，y＝（160﹣4x）（x+30﹣20）＝﹣4x2+120x+1600；当20≤x≤30时，y＝（50﹣20）（160﹣4x）＝﹣120x+4800；综上：y＝（2）当1≤x＜20时，y＝﹣4x2+120x+1600＝﹣4（x﹣15）2+2500∵a＝﹣4＜0∴当x＝15时，y有最大值，最大值为2500元；当20≤x≤30时，y＝﹣120x+4800；∵k＝﹣120＜0∴y随x的增大而减小∴当x＝20时，y有最大值，最大值为2400元，综上可知，当x＝15时，当天的销售利润最大，最大利润为2500元．（3）当1≤x＜20时，令y＝﹣4（x﹣15）2+2500＝2400，解得：x1＝10，x2＝20（舍）∵a＝﹣4＜0∴当1≤x＜20时，有10天每天销售利润不低于2400元；当20≤x≤30时，令y＝﹣120x+4800＝2400解得：x＝20由（2）可知，2400为此时间段的最大值．综上，共有11天每天销售利润不低于2400元．11．解：（1）观察表中数据可得，当1≤x≤8时，z＝﹣x+20；当9≤x≤12时，z＝10．∴z与x的关系式为：z＝；（2）当1≤x≤6时，w＝（﹣x+20）（x+8）＝﹣x2+12x+160；当7≤x≤8时，w＝（﹣x+20）（﹣x+20）＝x2﹣40x+400；当9≤x≤12时，w＝10（﹣x+20）＝﹣10x+200；∴w与x的关系式为：（3）当1≤x≤6时，w＝﹣x2+12x+160＝﹣（x﹣6）2+196，∴x＝6时，w有最大值为196；当7≤x≤8时，w＝x2﹣40x+400＝（x﹣20）2，w随x增大而减小，∴x＝7时，w有最大值为169；当9≤x≤12时，w＝﹣10x+200，w随x增大而减小，∴x＝9时，w有最大值为110；∵110＜169＜196，∴x＝6时，w有最大值为196．12．解：（1）由题意得：y＝200﹣10x∵每件售价不能高于72元∴1≤x≤12，且x为正整数；（2）由题意得：w＝（60+x﹣50）（200﹣10x）＝（10+x）（200﹣10x）＝﹣10x2+100x+2000＝﹣10（x﹣5）2+2250∴当x＝5时，60+x＝65时，即销售单价为65元时，每个月可获得最大利润，最大月利润是2250元．13．解：（1）①依题意设y＝kx+b，则有解得：∴y关于x的函数解析式为y＝﹣2x+120；（2）根据题意得，w＝（﹣2x+120）×（x﹣16）＝﹣2x2+152x﹣1920＝﹣2（x﹣38）2+968，∴当售价是38元/件时，日销售利润最大，最大利润是968元；（3）根据题意得，w＝（﹣2x+120）×（x﹣16﹣a）＝﹣2x2+（152+2a）x﹣1920﹣120a∵a＞0，对称轴为直线x＝﹣＝38+＞36，又∵﹣2＜0，售价不得超过36元/kg，∴当x≤36时，w随x的增大而增大，∴当x＝36时，w有最大值864元，∴﹣2×362+（152+2a ）×36﹣1920﹣120a ＝864，∴解得：a ＝2，∴a 的值为2．14．解：（1）设每个粽子的定价为x 元时，每天的利润为800元， 根据题意得，， 解得x 1＝7，x 2＝5，∵售价不能超过进价的200%，∴x ≤3×200%，即x ≤6，∴x ＝5，∴定价为5元时，每天的利润为800元．（2）设每个粽子的定价为m 元，则每天的利润为w ，则有： w ＝（m ﹣3）（500﹣10×）＝（m ﹣3）（500﹣100m +400）＝﹣100（m ﹣3）（m ﹣9）＝﹣100（m 2﹣12m +27）＝﹣100[（m ﹣6）2﹣9]＝﹣100（m ﹣6）2+900∵二次项系数为﹣100＜0，m ≤6，∴当定价为6元时，每天的利润最大，最大的利润是900元．15．解：根据题意画出示意图如下：设x 小时后，两船相距ykm ，根据题意，得：y2＝（15x）2+（20﹣20x）2＝225x2+400﹣800x+400x2＝（25x﹣16）2+144∴当x＝时，y2有最小值144，则y的最小值为12，答：小时后，两船的距离最小，最小距离是12km．16．解：（1）设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b，将（25，950），（40，800）代入可得：解得，∴y与x之间的函数关系式为y＝﹣10x+1200．（2）根据题目信息可得：（﹣10x+1200）（x﹣20）＝21000，整理可得：x2﹣140x+4500＝0，解得x＝50或x＝90．∴该海产品的售价是50元/kg或90元/kg．（3）设所获利润为W，则根据题目信息可得：W＝（﹣10x+1200）（x﹣20）＝﹣10（x﹣70）2+25000．∵﹣10x+1200≥650，∴x≤55．∴当x＝55时，W有最大值．W的最大值为：﹣10（55﹣70）2+25000＝22750（元）．∴该商场销售这种海产品获得的最大利润是22750元．17．解：（1）设y与x的函数关系式为y＝kx+b，将（30，100），（35，50）代入y＝kx+b，得，解得，∴y与x的函数关系式为y＝﹣10x+400；（2）设该款电动牙刷每天的销售利润为w 元，由题意得 w ＝（x ﹣20）•y＝（x ﹣20）（﹣10x +400）＝﹣10x 2+600x ﹣8000＝﹣10（x ﹣30）2+1000，∵﹣10＜0，∴当x ＝30时，w 有最大值，w 最大值为1000．答：该款电动牙刷销售单价定为30元时，每天销售利润最大，最大销售利润为1000 元；（3）设捐款后每天剩余利润为 z 元，由题意可得 z ＝﹣10x 2+600x ﹣8000﹣200＝﹣10x 2+600x ﹣8200，令z ＝550，即﹣10x 2+600x ﹣8200＝550，﹣10（x 2﹣60x +900）＝﹣250，x 2﹣60x +900＝25，解得x 1＝25，x 2＝35，画出每天剩余利润z 关于销售单价x 的函数关系图象如解图，由图象可得：当该款电动牙刷的销售单价每支不低于25元，且不高于35元时，可保证捐款后每天剩余利润不低于550 元．18．解：（1）根据题意设y ＝kx +b （k ≠0），将（30，100）、（35，50）代入得， 解得，∴y与x之间的关系式为y＝﹣10x+400；（2）设每天的利润为W元，则W＝（x﹣22）y＝（x﹣22）（﹣10x+400）＝﹣10x2+620x﹣8800＝﹣10（x﹣31）2+810，∴销售单价定为31元时，每天最大利润为810元．（3）﹣10x2+620x﹣8800﹣100＝350，解得x＝25或x＝37，结合图象和二次函数的特点得出25≤x≤37，又x≤22×（1+20%），综上可得25≤x≤26.4，∴按要求网店店主的销售单价范围为大于或等于25元且小于或等于26.4元．19．解：（1）设销售量y（件）与售价x（元/件）之间的函数关系式为y＝kx+b，，得，即销售量y（件）与售价x（元/件）之间的函数关系式是y＝﹣100x+10000；（2）由题意可得，w＝（x﹣60）y＝（x﹣60）（﹣100x+10000）＝﹣100x2+16000x+600000，即每天的销售利润w（元）与售价x（元/件）之间的函数关系式是w＝﹣100x2+16000x+600000；（3）当w＝40000时，40000＝﹣100x2+16000x+600000，解得，x1＝x2＝80，答：当定价为80元时，才能使该工艺品厂每天获得的销售利润为40000元．20．解：（Ⅰ）∵AB＝CD＝xm，∴BC＝（30﹣2x）m，由题意得S＝x（30﹣2x）＝﹣2x2+30x（6≤x＜15）；（Ⅱ）令s＝72得：﹣2x2+30x＝72，解得：x＝3或x＝12，当x＝3时，30﹣2x＝24＞18，∴x取12，答：AB的长为12米．（Ⅲ）∵S＝﹣2x2+30x＝﹣2（x﹣7.5）2+112.5，＝112.5，∴当x＝7.5时，S有最大值，S最大。
人教版2020年九年级数学上册 二次函数-函数的实际应用(含答案)
坐标系，如果喷头所在处 A（0，1.25），水流路线最高处 M（1，2.25），如果不考虑其他因
素，那么水池的半径至少要 m，才能使喷出的水流不至落到池外．
15.用一根长为 32 cm 的铁丝围成一个矩形，则围成矩形面积的最大值是
cm2.
16.如图，在平面直角坐标系中，点 A 是抛物线 y=a(x-3)2+4 与 y 轴的交点，点 B 是这条抛物线
D.28 米
4.如图，假设篱笆（虚线部分）的长度 16m,则所围成矩形 ABCD 最大面积是（ ）
A．60 m2
B．63 m2
C．64 m2
D．66 m2
5.河北省赵县的赵州桥的桥拱是近似的抛物线形,建立如图所示的平面直角坐标系，其函数的
关系式为
，当水面离桥拱顶的高度 DO 是 4m 时，这时水面宽度 AB 为（ ）
11.便民商店经营一种商品，在销售过程中，发现一周利润 y(元)与每件销售价 x(元)之间的关
系满足 y=-2x2+80x+750，由于某种原因，售价只能满足 15≤x≤22，那么一周可获得的最大利
润是 元.
12.2013 年 5 月 26 日，中国羽毛球队蝉联苏迪曼杯团体赛冠军，成就了首个五连冠霸业.比赛 中羽毛球的某次运动路线可以看作是一条抛物线(如图).若不考虑外力因素，羽毛球行进高度
20.某商店购进一批成本为每件 30 元的商品，经调查发现，该商品每天的销售量 y(件)与销售 单价 x(元)之间满足一次函数关系，其图象如图所示． (1)求该商品每天的销售量 y 与销售单价 x 之间的函数关系式； (2)若商店按单价不低于成本价，且不高于 50 元销售，则销售单价定为多少，才能使销售该商 品每天获得的利润 w(元)最大？最大利润是多少？ (3)若商店要使销售该商品每天获得的利润不低于 800 元，则每天的销售量最少应为多少件？
2020年全国各地数学中考试题精选之二次函数(含答案)
2020年全国各地数学中考试题精选之二次函数一、单选题1.（2020·辽阳模拟）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，它与x轴的两个交点分别为（﹣1，0），（3，0）.对于下列命题：①b﹣2a=0；②abc＜0；③4a﹣2b+c＜0；④8a+c＞0.其中正确的有（）A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个2.（2020·杭州模拟）在平面直角坐标系中，已知m≠n，函数y=x²+（m+n）x+mn的图象与x轴有a个交点，函数y=mnx²+（m+n）x+1的图象与x轴有b个交点，则a与b的数量关系是（）A. a=bB. a=b-1C. a=b或a=b+1D. a=b或a=b-13.（2020·广西模拟）如图，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为直线x=1，与x轴的一个交点坐标为(−1,0)，其部分图象如图所示，下列结论：①2a+b=0；②b2−4ac<0；③当y>0时，x的取值范围是−1<x<3；④当x>0时，y随x增大而增大；⑤若t为任意实数，则有a+b≥at2+ bt，其中结论正确的个数是( )A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个4.（2020·铁岭模拟）二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，在下列说法中：①abc＞0；②a+b+c>0；③4a−2b+c>0；④当x>1时，y随着y的增大而增大.正确的说法个数是（）A. 1B. 2C. 3D. 45.（2020·东城模拟）若点A(1,y1),B(2,y2)在抛物线y=a(x+1)2+2(a<0)上，则下列结论正确的是（）A. 2>y1>y2B. 2>y2>y1C. y1>y2>2D. y2>y1>26.（2020·长丰模拟）若(−2,0)是二次函数y=ax2+bx(a>0)图象上一点，则抛物线y=a(x−2)2+ bx−2b的图象可能是（）A. B.C. D.7.（2020·南山模拟）已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴是直线x=1，其部分图象如图所示，下列说法中：①abc<0；②4a−2b+c<0；③若A（−12，y1）、B（32，y2）、C（−2，y3）是抛物线上的三点，则有y3<y1<y2；④若m，n（m<n）为方程a(x−3)(x+1)−2=0的两个根，则m>−1且n<3，以上说法正确的有（）A. ①②③④B. ②③④C. ①②④D. ①②③8.（2020·萧山模拟）已知二次函数y=a（x-2）2+c，当x=x1时，函数值为y1；当x=x2时，函数值为y2，若|x1-2|>|x2-2|，则下列表达式正确的是（）A. y1+y2>0B. y1-y2>0C. a（y1-y2）>0D. a（y1+y2）>09.（2020·西安模拟）二次函数y＝x2+bx+c的图象经过坐标原点O和点A(7，0)，直线AB交y轴于点B(0，﹣7)，动点C(x，y)在直线AB上，且1＜x＜7，过点C作x轴的垂线交抛物线于点D，则CD的最值情况是( )A. 有最小值9B. 有最大值9C. 有最小值8D. 有最大值810.（2020·广水模拟）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象如图所示，下列结论：①abc＞0；②2a+b＝0；③当m≠1时，a+b＞am2+bm；④a−b+c＞0；⑤若ax12+bx1＝ax22+bx2，且x1≠ x2，则x1+x2＝2.其中正确的有（）A. ①②③B. ②④C. ②⑤D. ②③⑤11.（2020·铜川模拟）若一个二次函数y=ax2−4ax+3(x≠0)的图像经过两点A(m+2,y1)、B(2−m,y2)，则下列关系正确的是（）A. y1=y2B. y1<y2C. y1>y2D. y1≥y212.（2020·连云模拟）竖直向上的小球离地面的高度h（米）与时间t（秒）的关系函数关系式为h=-2t2+mt+25 8，若小球经过74秒落地，则小球在上抛过程中，第（）秒离地面最高.A. 37B. 47C. 34D. 4313.（2020·红花岗模拟）如图，抛物线y＝﹣x2+2x+c+1交x轴于点A（a，0）和B（b，0），交y轴于点C，抛物线的顶点为D，下列四个命题：①抛物线的对称轴是直线x＝1；②若OC＝OB，则c＝2；③若M（x0，y0）是x轴上方抛物线上一点，则（x0﹣a）（x0﹣b）＜0；④抛物线上有两点P（x1，y1）和Q（x2，y2），若x1＜1＜x2，且x1+x2＞2，则y1＞y2.其中真命题个数是（）A. 1B. 2C. 3D. 414.（2020·柯桥模拟）在同一平面直角坐标系中，先将抛物线A：y＝x2﹣2通过左右平移得到抛物线B，再将抛物线B通过上下平移得到抛物线C：y＝x2﹣2x+2，则抛物线B的顶点坐标为（）A. （﹣1，2）B. （1，2）C. （1，﹣2）D. （﹣1，﹣2）15.（2020·台州模拟）抛物线y＝ax2+bx+c的顶点D（﹣1，2），与x轴的一个交点A在点（﹣3，0）和（﹣2，0）之间，其部分图象如图，则以下结论：①b2﹣4ac＜0；②a+b+c＞0；③c﹣a＝2；④方程ax2+bx+c ﹣2＝0有两个相等的实数根.其中正确的结论是（）A. ③④B. ②④C. ②③D. ①④16.（2020·绍兴模拟）抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴的两个交点坐标如图所示，下列说法中错误的是（）A. 一元二次方程﹣x2+bx+c＝0的解是x1＝﹣2，x2＝1B. 抛物线的对称轴是x=−12C. 当x＞1时，y随x的增大而增大D. 抛物线的顶点坐标是(−12,9 4 )17.（2020·湖州模拟）二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示，有以下结论：①3a﹣b＝0；②b2﹣4ac ＞0；③5a﹣2b+c＞0；④4b+3c＞0，其中错误结论的个数是（）A. 1B. 2C. 3D. 418.（2020·南充模拟）将抛物线y=x(x+2)向左平移1个单位后的解析式为（）A. y=x(x+1)B. y=x(x+3)C. y=(x−1)(x+1)D. y=(x+1)(x+3)19.（2020·沙湾模拟）二次函数y=−x2−1的图象是一条抛物线，下列关于该抛物线的说法正确的是（）A. 开口向上B. 对称轴是x=1C. 当x=0时，函数的最大值是-1D. 抛物线与x轴有两个交点20.（2020·峨眉山模拟）在平面直角坐标系中，已知a≠b，设函数y=(x+a)(x+b)的图像与x轴有M个交点，函数y=(ax+1)(bx+1)的图像与x轴有N个交点，则（）A. M=N−1或M=N+1B. M=N−1或M=N+2C. M=N或M=N+1D. M=N或M=N−121.（2020·峨眉山模拟）如图，二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象过点(−2,0)，对称轴为直线x= 1．有以下结论：①abc>0；②8a+c>0；③若A（x1，m），B（x2，m）是抛物线上的两点，当x=x1+x2时，y=c；④点M，N是抛物线与x轴的两个交点，若在x轴下方的抛物线上存在一点P，使得PM⊥PN，则a的取值范围为a≥1；3⑤若方程a(x+2)(4−x)=−2的两根为x1，x2，且x1＜x2，则﹣2≤ x1＜x2＜4．其中正确结论的序号是（）A. ①②④B. ①③④C. ①③⑤D. ①②③⑤22.（2020·旌阳模拟）已知y关于x的函数表达式是y=ax2−4x−a，下列结论错误的是（）A. 若a=−1，函数的最大值是5B. 若a=1，当x≥2时，y随x的增大而增大C. 无论a为何值时，函数图象一定经过点(1,−4)D. 无论a为何值时，函数图象与x轴都有两个交点23.（2020·新都模拟）关于二次函数y=x2−kx+k−1，以下结论：①抛物线交x轴有两个不同的交点；②不论k取何值，抛物线总是经过一个定点；③设抛物线交x轴于A、B两点，若AB=1，则k=4；④抛物线的顶点在y=−(x−1)2图象上；⑤抛物线交y轴于C点，若△ABC是等腰三角形，则k=−√2，0，1．其中正确的序号是（）A. ①②⑤B. ②③④C. ①④⑤D. ②④24.（2020·武侯模拟）如图是二次函数y＝ax2+bx+c的图象，其对称轴为直线x＝1，且与x轴的一个交点为A(3，0)，下列说法错误的是（）A. b2＞4acB. abc＜0C. 4a﹣2b+c＞0D. 当x＜﹣1时，y随x的增大而增大25.（2020·青白江模拟）已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，给出以下结论：①a+ b+c<0；②b2－4ac<0；③b+2a<0；④c<0.其中所有正确结论的序号是( )A. ③④B. ②③C. ①④D. ①②26.（2020·大邑模拟）已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为直线x=−2，与x轴的一个交点坐标为(−4,0)，其部分图象如图所示，下列结论：①当x<0时，y随x增大而增大；②抛物线一定过原点；③方程ax2+bx+c=0(a≠0)的解为x=0或x=−4；④当−4<x<0时，ax2+bx+ c>0；⑤a−b+c<0．其中结论错误的．．．个数有（）个A. 1B. 2C. 3D. 427.（2020·永州模拟）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，给出以下结论：①b2＞4ac；②2a+b＝0；③3a+c＞0；④4a﹣2b+c＜0：⑤9a+3b+c＜0．其中结论正确的个数有（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个28.（2020·怀化模拟）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴是直线x=−1，下列结论：①abc＜0；②2a+b=0；③a﹣b+c＞0；④4a﹣2b+c＜0其中正确的是（）A. ①②B. 只有①C. ③④D. ①④29.（2020·黄石模拟）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论中正确的是（）A. a＞0B. 当﹣1＜x＜3时，y＞0C. c＜0D. 当x≥1时，y随x的增大而增大30.（2020·乾县模拟）已知二次函数y=ax²-8ax（a为常数）的图象不经过第二象限，在自变量x的值满足2≤x≤3时，其对应的函数值y的最大值为3，则a的值为（）A. −14B. 14C. −15D. 15二、填空题31.（2020·海淀模拟）如图，在平面直角坐标系xOy中，有五个点A(2,0),B(0,−2),C(−2,4),D(4,−2),E(7,0)，将二次函数y=a(x−2)2+m(m≠0)的图象记为W．下列的判断中①点A一定不在W上；②点B，C，D可以同时在W上；③点C，E不可能同时在W上．所有正确结论的序号是________．32.（2020·长丰模拟）若抛物线y=x2−2kx+k2+1在−1≤x≤1时，始终在直线y=2的上方，则k的取值范围是________．33.（2020·新疆模拟）如图，二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象经过点(−12,0)，对称轴为直线x=1,下列5个结论：①abc<0；②a−2b+4c=0；③2a+b>0；④2c−3b<0；⑤a+b≤m(am+b).其中正确的结论为________. (注：只填写正确结论的序号)34.（2020·昌吉模拟）如图，抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是x=﹣1.且过点(12,0)，有下列结论：①abc<0；②a﹣2b+4c=0；③25a﹣10b+4c=0；④3b+2c<0；⑤a﹣b≥m（am﹣b）；其中所有正确的结论是________.（填写正确结论的序号）35.（2020·立山模拟）若二次函数y=mx2+(m−2)x+m的顶点在x轴上，则m=________.36.（2020·立山模拟）在同一平面直角坐标系中，若抛物线y=x2+(2m−1)x+2m−4与y=x2−(3m+n)x+n关于y轴对称，则符合条件的m=________；n=________.37.（2020·铁西模拟）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图，图象过点（﹣1，0），对称轴为直线x＝2，下列结论：①4a+b＝0；②9a+c＞3b；③,3a+c＞0；④当x＞﹣1时，y的值随x值的增大而增大.⑤4a+2b≥am2−bm（m为任意实数）其中正确的结论有________.（填序号）38.（2020·梧州模拟）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）经过点A（1，-1）、B（3，3），且当1≤x≤3时，-1≤y≤3，则a的取值范围是________39.（2020·南充模拟）如图，抛物线y=x2+ax+2经过点P(−2，2)，Q(m，n).若点Q到y轴的距离小于2，则n的取值范围是________.40.（2020·海曙模拟）如图，已知△ABC中，∠ACB＝90°，D是斜边AB上一点，BD＝2AD，CD＝4，则S△ACD 的最大值为________.三、综合题41.如图，已知二次函数y=-x2+bx+c的图像经过点A（4，-5），点B（0，3）。
2020中考数学 三轮复习 二次函数的实际应用(含答案)
2020中考数学三轮复习二次函数的实际应用（含答案）1.从地面竖直向上抛出一小球,小球的高度h(单位:m)与小球运动时间t(单位: s)之间的函数关系如图3所示.下列结论:①小球在空中经过的路程是40 m;②小球抛出3秒后,速度越来越快;③小球抛出3秒时速度为0;④小球的高度h=30 m时,t=1.5 s.其中正确的是()图1A.①④B.①②C.②③④D.②③x2刻画,斜坡可以用一次函2.如图4,将一个小球从斜坡的点O处抛出,小球的抛出路线可以用二次函数y=4x-12x刻画,下列结论错误的是()数y=12图2A.当小球抛出高度达到7.5 m时,小球距O点水平距离为3 mB.小球距O点水平距离超过4 m时呈下降趋势C.小球落地点距O点水平距离为7 mD.斜坡的坡度为1∶23.如图5,利用一个直角墙角修建一个梯形储料场ABCD,其中∠C=120°.若新建墙BC与CD总长为12 m,则该梯形储料场ABCD的最大面积是()图3A .18 m 2B .18√3 m 2C .24√3 m 2D .45√32m 24. 北中环桥是省城太原的一座跨汾河大桥,它由五个高度不同,跨径也不同的抛物线型钢拱通过吊杆,拉索与主梁相连.最高的钢拱如图1所示,此钢拱(近似看成二次函数的图象——抛物线)在同一竖直平面内,与拱脚所在的水平面相交于A ,B 两点,拱高为78米(即最高点O 到AB 的距离为78米),跨径为90米(即AB=90米),以最高点O 为坐标原点,以平行于AB 的直线为x 轴建立平面直角坐标系,则此抛物线型钢拱的函数表达式为 ( )图4A .y=26675x 2B .y=-26675x 2C .y=131350x 2D .y=-131350x 25.如图2是拱形大桥的示意图,桥拱与桥面的交点为O ,B ,以点O 为原点,水平直线OB 为x 轴,建立平面直角坐标系,桥的拱形可近似看成抛物线y=-1400(x -80)2+16,桥拱与桥墩AC 的交点C 恰好在水面CD 处,有AC ⊥x 轴,若OA=10米,则桥面离水面的高度AC 为( )图5A .16940米 B .174米C .16740米D .154米6.中考体考前,某初三学生对自己某次实心球训练的录像进行分析,发现实心球飞行高度y (米)与水平距离x (米)之间的关系为y=-112x 2+23x+53,由此可知该生此次实心球训练的成绩为 米.7. 如图6,一块矩形土地ABCD 由篱笆围着,并且由一条与CD 边平行的篱笆EF 分开.已知篱笆的总长为900 m(篱笆的厚度忽略不计),当AB= m 时,矩形土地ABCD 的面积最大.图68.某服装店购进单价为15元的童装若干件,销售一段时间后发现:当销售价为25元时平均每天能售出8件,而当销售价每降低2元时,平均每天能多售出4件,当每件的定价为元时,该服装店平均每天的销售利润最大.9.竖直上抛的小球离地高度是它运动时间的二次函数,小军相隔1秒依次竖直向上抛出两个小球,假设两个小球离手时离地高度相同,在各自抛出后1.1秒时达到相同的最大离地高度,第一个小球抛出后t秒时在空中与第二个小球的离地高度相同,则t=.10.某宾馆有若干间标准房,当标准房的价格为200元时,每天入住的房间数为60间,经市场调查表明,该宾馆每间标准房的价格在170~240元之间(含170元,240元)浮动时,每天入住的房间数y(间)与每间标准房的价格x(元)的数据如下表:x(元)…190200210220…y(间)…65605550…(1)根据所给数据在坐标系中描出相应的点,并画出图象.(2)求y关于x的函数表达式,并写出自变量x的取值范围.(3)设客房的日营业额为w(元),若不考虑其他因素,问宾馆标准房的价格定为多少元时,客房的日营业额最大?最大为多少元?图711.随着新农村的建设和旧城的改造,我们的家园越来越美丽.小明家附近广场中央新修了个圆形喷水池,在水池中心竖直安装了一根高为2米的喷水管,它喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1米处达到最高,水柱落地处离池中心3米.(1)请你建立适当的平面直角坐标系,并求出水柱抛物线的函数解析式;(2)求出水柱的最大高度是多少.图812.某农场拟建一间矩形种牛饲养室,饲养室的一面靠现有墙(墙足够长),已知计划中的建筑材料可建围墙的总长度为50 m.设饲养室长为x(m),占地面积为y(m2).(1)如图9①,问饲养室长x为多少时,占地面积y最大?(2)如图9②,现要求在图中所示位置留2 m宽的门,且仍使饲养室的占地面积最大.小敏说:“只要饲养室长比(1)中的长多2 m就行了.”请你通过计算,判断小敏的说法是否正确.图9参考答案1.D2.A3.C4.B 6.10 7.1508.22 设每件的定价为x 元,每天的销售利润为y 元. 根据题意,得y=(x -15)=-2x 2+88x -870. ∴y=-2x 2+88x -870=-2(x -22)2+98. ∵a=-2<0, ∴抛物线开口向下,∴当x=22时,y 最大值=98.故答案为22.9.1.6 设各自抛出后1.1秒时达到相同的最大离地高度h ,则第一个小球的离地高度y=a (t -1.1)2+h (a ≠0), 由题意a (t -1.1)2+h=a (t -1-1.1)2+h , 解得t=1.6.故第一个小球抛出后1.6秒时在空中与第二个小球的离地高度相同. 10.解:(1)如图所示.(2)设y=kx +b (k ≠0),把(200,60)和(220,50)代入, 得{200k +b =60,220k +b =50,解得{k =-12,b =160. ∴y=-12x +160(170≤x ≤240). (3)w=x ·y=x ·-12x +160=-12x 2+160x.∴函数w=-12x 2+160x 图象的对称轴为直线x=-1602×(-12)=160,∵-12<0,∴在170≤x ≤240范围内,w 随x 的增大而减小. 故当x=170时,w 有最大值,最大值为12750元.11.(1)由于题目所给数据均与水池中心相关,故可选取水池中心为原点,原点与水柱落地点所在直线为x 轴,喷水管所在直线为y 轴,建立平面直角坐标系,再利用顶点式求解函数关系式; (2)抛物线顶点的纵坐标即为水柱的最大高度.解:(1)如图,以喷水管与地面交点为原点,原点与水柱落地点所在直线为x 轴,喷水管所在直线为y 轴,建立平面直角坐标系.由题意可设抛物线的函数解析式为y=a (x -1)2+h (0≤x ≤3). 抛物线过点(0,2)和(3,0),代入抛物线解析式可得 {4a +ℎ=0,a +ℎ=2.解得{a =-23,ℎ=83.所以抛物线的解析式为y=-23(x -1)2+83(0≤x ≤3).化为一般式为y=-23x 2+43x +2(0≤x ≤3).(2)由(1)抛物线的解析式为y=-23(x -1)2+83(0≤x ≤3)可知当x=1时,y 最大值=83. 所以抛物线水柱的最大高度为83 m . 12.解:(1)∵y=x ·50-x 2=-12(x -25)2+6252,∴当x=25时,占地面积y 最大. (2)y=x ·50-(x -2)2=-12(x -26)2+338,∴当x=26时,占地面积y 最大. 即当饲养室长为26 m 时,占地面积最大. ∵26-25=1≠2, ∴小敏的说法不正确.。
2020人教版中考数学专题《 二次函数几何方面的应用》含解答
2020中考数学专题《 二次函数几何方面的应用》含解答一、选择题1. 如图，抛物线4412-=x y 与x 轴交于A 、B 两点，P 是以点C （0,3）为圆心，2为半径的圆上的动点，Q 是线段PA 的中点，连结OQ .则线段OQ 的最大值是（ ）A ．3B ．241C ．27D ．4【答案】C【解析】连接PB ，令4412-=x y =0，得x=4±，故A （-4，），（4，0），∴O 是AB 的中点，又Q 是线段PA 的中点，∴OQ=12PB ，点B 是圆C外一点，当PB 过圆心C 时，PB 最大，OQ 也最大，此时OC=3，OB=4，由勾股定理可得BC=5，PB=BC+PC=5+2=7，OQ=12PB=72，故选C.2. 如图，在ABC ∆中，AB=AC=5，BC=45，D 为边AB 上一动点(B 点除外)，以CD 为一边作正方形CDEF ，连接BE ，则BDE ∆面积的最大值为 .【答案】8【解析】过D作DG⊥BC于G，过A作AN⊥BC于N，过E作EH⊥HG于H，延长ED交BC于M.易证△EHD≌△DGC，可设DG=HE=x，∵AB=AC=5，BC=AN⊥BC，∴BN=12，AN==∵G⊥BC，AN⊥BC，∴DG∥AN，∴2BG BNDG AN==，∴BG=2x，CG=HD=4 - 2x；易证△HED∽△GMD，于是HE HDGM GD=，xGM=，即MG2=，所以S △BDE=12BM×HD=12×（2x2）×（- 2x）=252x-+=2582x⎛-+⎝⎭，当x=时，S△BDE的最大值为8.3. 如图,直线l1∥l2∥l3,A,B,C分别为直线l1,l2,l3上的动点,连接AB,BC,AC,线段AC交直线l2于点D.设直线l1,l2之间的距离为m,直线l2,l3之间的距离为n,若∠ABC＝90°,BD＝4,且23mn=,则m+n 的最大值为________.【答案】253【解析】过点B作BE⊥l1于点E,作BF⊥l3于点F,过点A作AN⊥l2于点N,过点C作CM⊥l2于点M,设AE＝x,CF＝y,则BN＝x,BM＝y,∵BD＝4,∴DM＝y－4,DN＝4－x,∵∠ABC＝90°,且∠AEB＝∠BFC＝90°,∠CMD＝∠AND＝90°,易得△AEB∽△BFC,△CMD∽△AND,∴AE BEBF CF=,即x mn y=,mn＝xy,∴AN DNCM DM=,即42=43m xn y-=-,∴y＝10－32x,∵2=3mn,∴n＝32m,m+n＝52m,∵mn ＝xy＝x(10－32x)＝－32x2+10x＝32m2,当x＝103时,mn取得最大值为503,∴32m2＝503,∴m最大＝103,∴m+n＝52m＝253.4. 如图，正方形ABCD 中，AB=12, AE =41AB ，点P 在BC 上运动 （不与B 、C 重合），过点P作PQ ⊥EP ，交CD 于点Q ，则CQ 的最大值为.【答案】4【解析】在正方形ABCD 中，∵AB=12, AE =41AB=3，∴BC=AB=12，BE=9，设BP=x ，则CP=12-x.∵PQ ⊥EP ，∴∠EPQ=∠B=∠C=90°，∴∠BEP+∠BPE=∠CPQ+∠BPE=90°，∴∠BEP=∠CPQ ，∴△EBP ∽△PCQ ，∴BE PC BP CQ =，∴912x x CQ -=，整理得CQ=4)6(912+--x ，∴当x=6时，CQ 取得最大值为4.故答案为4.5．如图，顶点为M 的抛物线23y ax bx =++与x 轴交于(1,0)A -，B 两点，与y 轴交于点C ，过点C 作CD y ⊥轴交抛物线与另一个点D ，作DE x ⊥轴，垂足为点E ．双曲线6(0)y x x=>经过点D ，连接MD ，BD ． (1)求抛物线的解析式．(2)点N ，F 分别是x 轴，y 轴上的两点，当M ，D ，N ，F 为顶点的四边形周长最小时，求出点N ，F 的坐标；(3)动点P 从点O 出发，以每秒1个单位长度的速度沿OC 方向运动，运动时间为t 秒，当t 为何值时，BPD ∠的度数最大？（请直接写出结果）【解题过程】（1）当0x =时20033y a b =⨯+⨯+= 所以3OC =，(0,3)C ，因为CD y ⊥轴，DE x ⊥轴，CO EO ⊥， 所以四边形OEDC 为矩形，又因为双曲线6(0)y x x =>经过点D ，所以6OEDC S =矩形,所以2OEDCS CD OC ==矩形,所以(2,3)D将点(1,0)A -、(2,3)D 代入抛物线23y ax bx =++得 304233a b a b -+=⎧⎨++=⎩ 解得12a b =-⎧⎨=⎩所以抛物线的表达式为223y x x =-++． （2）解：作点D 关于x 轴的对称点H ，作点M 关于y 轴的对称点I ，如图（1）由图形轴对称的性质可知FM FI =，ND NH =，所以四边形MDNF 的周长MD DN FN FM MD NH FN FI =+++=+++，因为MD 是定值，所以当NH FN FI ++最小时，四边形MDNF 的周长最小， 因为两点之间线段最短，所以当I 、F 、N 、H 在同一条直线上时NH FN FI ++最小所以当I 、F 、N 、H 在同一条直线上时，四边形MDNF 的周长最小，连接HI ，交x 轴于点N ，交y 轴于点F ，因为抛物线的表达式为223y x x =-++，所以点M 的坐标为(1,4)， 由轴对称的性质可得，(1,4)I -，(2,3)H -， 设直线HI 的表达式为y mx n =+，所以423m n m n -+=⎧⎨+=-⎩，解得7353m n ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 所以直线HI 的表达式为7533y x =-+， 当0x =时，53y =，当0y =时，75033x =-+，所以57x =， 所以5(0,)3F ，5(,0)7N ，所以当M ，D ，N ，F 为顶点的四边形周长最小时，5(0,)3F ，5(,0)7N ．（3）解：本题的答案为9-．解题分析：如图（2），当两点A 、B 距离是定值，直线CD 是一条固定的直线，点P 在直线CD 上移动，由下图可以看出只有当过A 、B 的圆与直线CD 相切时APB ∠最大．所以可作T e 过点B 、D ，且与直线OC 相切，切点为P ，此时BPD ∠的度数最大， 由已知，可得OP t =， (0,)P t因为直线OC 与T e 相切， 所以TP OC ⊥，所以直线PT 的解析式为y t =因为抛物线的表达式为223y x x =-++， 所以点B 的坐标为(3,0)， 因为点B (3,0)、点(2,3)D可以求得直线BD 的垂直平分线的解析式为1233y x =+联立y t =与1233y x =+，得32x t =-，y t = 直线PT 与直线BD 的交点即为点M ，所以(32,)M t t -因为MB MC =,可得32t -=解得9t =-9t =+（舍去）所以当9t =-BPD ∠的度数最大．6．如图所示，二次函数2(1)2y k x =-+的图象与一次函数2y kx k =-+的图象交于A ,B 两点，点B在点A 的右侧，直线AB 分别于x 轴、y 轴交于C 、D 两点，且0k <. （1）求A ,B 两点横坐标；（2）若△OAB 是以OA 为腰的等腰三角形，求k 的值；（3）二次函数图象的对称轴与x 轴交于点E ,是否存在实数k ，使得2ODC BEC ∠=∠，若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由.【解题过程】（1）∵A 、B 是与的交点，，∵点在点的右侧，点横坐标是，点横坐标.（2）由（1）可知和∵由两点间距离公式可得：2(1)2y k x =-+2y kx k =-+∴2(1)22y k x y kx k ⎧=-+⎨=-+⎩∴2(1)2=(1)2k x k x -+-+∴(1)(2)0k x x --=∴11x =22x =∴11=12x y ⎧⎨=⎩22=22+x y k ⎧⎨=⎩B A ∴(1,2)A(2,2+k)B ∴A1B 2(1,2)A (2,2+k)B(0,0)O ∴OA OB AB =∵△OAB 是以为腰的等腰三角形分为两种情况：或当∵当或综上所述，或或.（3）存在，或【提示】由（1）可知和.根据题意分为两种情况：点在点左侧，点在点右侧.当点在点左侧时如图1，过点作轴于点，作的垂直平分线交轴于点，连接 ∵ 设=m ，由（1）可知和.在Rt △BFH 中，由得∵∵， ∵当点在点右侧时如图，过点作轴于点，作的垂直平分线交轴于点，连接OA ∴=OA AB =OA OB =OA AB ∴24k =∴2k =±0k <∴2k =-=OA OB ∴2(2)1k +=∴1k =-3k =-∴1k =-2k =-3k =-k =k =(1,2)A (2,2+k)B BC B C B C ∴2+k>0∴0>k>-2B BH x ⊥H BE x F BF =BF EF ∴2BFH BEC ∠=∠=BF EF (1,2)A (2,2+k)B ∴(1,0)E (2,0)H ∴1EH =∴1FH m =-222=BH FH BF +222(2)(1)k m m ++-=∴2452k k m ++=∴243=12k k FH m ----=∴242tan 43BH k BFH FH k k +∠==---2ODC BEC ∠=∠∴=ODC BFH ∠∠∴tan tan ODC BFH ∠=∠2(1,1)C k -∴2=1OC k -=2OD k-∴211tan 2OC k ODC OD k k -∠===--∴214243k k k k +-=---∴k =0k <∴k =B C ∴2+k<0∴k<-2B BM x ⊥M BE x N BN∵ 由（1）可知和.设在Rt △BMN 中，由得∵∵∵， ∵综上所述，或.23．（2019江西省，23，12分）特例感知(1)如图1，对于抛物线121+--=x x y ，1222+--=x x y ，1323+--=x x y 下列结论正确的序号是；①抛物线1y ，2y ，3y 都经过点C(0，1)；②抛物线2y ，3y的对称轴由抛物线1y 的对称轴依次向左平移21个单位得到；③抛物线1y ，2y ，3y 与直线y=1的交点中，相邻两点之间的距离相等.形成概念 (2)把满足12+--=nx x y n （n 为正整数）的抛物线称为“系列平移抛物线”.=BN EN ∴2BNM BEC ∠=∠(1,2)A (2,2+k)B ∴(1,0)E (2,0)M ∴1EM ===n BN EN ∴1MN n =-222BN MN BM =+222(2)(1)n k n =++-∴2452k k n ++=∴243MN=12k k n ----==(2)BM k -+∴242tan +4+3BM kBNM MN k k +∠==2ODC BEC ∠=∠∴=ODC BNM ∠∠∴tan tan ODC BNM ∠=∠2(1,1)C k -∴2=1OC k -=2OD k -∴211tan 2OC k ODC OD k k -∠===--∴2142+4+3k k k k +-=∴23830k k ++=∴k 2k <-∴kk =k知识应用在(2)中，如图2.①“系列平移抛物线”的顶点依次为1P ，2P ，3P ，…，nP ，用含n 的代数式表示顶点nP 的坐标，并写出该顶点纵坐标y 与横坐标x 之间的关系式；②“系列平移抛物线”存在“系列整数点(横、纵坐标均为整数的点)”：1C ，2C ，3C ，…，nC ，其横坐标分别为-k-1，-k-2，-k-3，…，-k-n(k 为正整数)，判断相邻两点之间的距离是否都相等，若相等，直接写出相邻两点之间的距离；若不相等，说明理由；③在②中，直线y=1分别交“系列平移抛物线”于点1A ，2A ，3A ，…，n A ，连接n n A C ，11--n n AC ，判断nn A C ，11--n n A C 是否平行？并说明理由.【解题过程】解：（1）对于抛物线121+--=x x y ，1222+--=x x y ，1323+--=x x y 来说，∵抛物线1y ，2y ，3y 都经过点C(0，1)，∴①正确；∵抛物线1y ，2y ，3y 的对称轴分别为：21)1(211-=-⨯--=x ，1)1(222-=-⨯--=x ，23)1(233-=-⨯--=x 的∴抛物线2y ，3y的对称轴由抛物线1y 的对称轴依次向左平移21个单位得到，∴②正确；∵抛物线1y ，2y ，3y 与直线y=1的另一个交点的横坐标分别为：-1、-2、-3， ∴抛物线1y ，2y ，3y 与直线y=1的交点中，相邻两点之间的距离相等.∴③正确.答案：①②③（2）①由12+--=nx x y n 可知，顶点坐标为nP （2n -，442+n ），∴该顶点纵坐标y 与横坐标x 之间的关系式为144)2(44222+=+-=+=x x n y ；②当横坐标分别为-k-1，-k-2，-k-3，…，-k-n(k 为正整数)，对应的纵坐标为：12+--k k ，122+--k k ，132+--k k ，…，12+--nk k ，∴1C 2C 2222)]12()1[()]2()1[(+---+--+-----=k k k k k k2222)121()21(-+++--+++--=k k k k k k21k +=，2C 3C 2222)]13()12[()]3()2[(+---+--+-----=k k k k k k2222)1312()32(-+++--+++--=k k k k k k21k +=，…，1-n C n C 2222)}1(]1)1({[)}()]1({[+---+---+------=nk k k n k n k n k2222]11)1([)1(-+++---++++--=nk k k n k n k n k21k +=，∴相邻两点的距离相等，且距离为：21k +.③将y=1代入12+--=nx x y n 可得112=+--nx x ，∴x=-n （0舍去），∴点1A （-1，1），2A （-2，1），3A （-3，1），…，nA （-n ，1）.∵当横坐标分别为-k-1，-k-2，-k-3，…，-k-n(k 为正整数)，对应的纵坐标为：12+--k k ，122+--k k ，132+--k k ，…，12+--nk k ，∴点1C （-k-1，12+--k k ），2C （-k-2，122+--k k ），3C （-k-3，132+--k k ），…，n C（-k-n ，12+--nk k ）.设nn A C ，11--n n A C 的解析式分别为：y=px+q ，y=mx+n ，则⎩⎨⎧+--=+--=+-1)(12nk k q p n k q np ，⎩⎨⎧+---=+---=+--1)1()]1([1)1(2k n k n m n k n m n ， 解得p=k+n ，m=k+n-1， ∴p ≠m ∴nn A C ，11--n n A C 不平行.23．（2019·山西）综合与探究 如图,抛物线y ＝ax2+bx+6经过点A （－2,0）,B(4,0)两点,与y 轴交于点C.点D 是抛物线上一个动点,设点D 的横坐标为m(1<m<4).连接AC,BC,DB,DC. (1)求抛物线的函数表达式;(2)当△BCD 的面积等于△AOC 的面积的34时,求m 的值;(3)在(2)的条件下,若点M 是x 轴上一动点,点N 是抛物线上一动点,试判断是否存在这样的点M,使得以点B,D,M,N 为顶点的四边形是平行四边形.若存在,请直接写出点M 的坐标;若不存在,请说明理由.第23题图【解题过程】(1)∵抛物线y ＝ax2+bx+6经过点A （－2,0）,B(4,0)两点,∴426016460a b a b -+=⎧⎨++=⎩,解之,得:3432a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,∴抛物线的函数表达式为:233642y x x =-++;(2)作直线DE ⊥x 轴于点E,交BC 于点G,作CF ⊥DE,垂足为点F,∵点A 的坐标为(－2,0),∴OA ＝2,由x ＝0,得y ＝6,∴点C 的坐标为(0,6),∴OC ＝6,∴S △AOC ＝12OA ·OC＝6,∴S △BCD ＝34S △AOC ＝92.设直线BC 的函数表达式为y ＝kx+n,由B,C 两点的坐标得:406k n n +=⎧⎨=⎩,解之,得:326k n ⎧=-⎪⎨⎪=⎩,∴直线BC 的函数表达式为:y ＝－32x+6.∴点G 的坐标为(m,－32m+6),∴DG ＝233642m m -++－(－32m+6)＝2334m m-+.∵点B 的坐标为(4,0),∴OB ＝4,∴S △BCD ＝S △CDG+S △BDG ＝2364m m -+.∴2364m m -+＝92,解之,得m1＝3,m2＝1,∴m 的值为3.(3)存在点M,其坐标为:M1(8,0),M2(0,0),M3(14,0),M4(－14,0).25．（2019·常德）如图11，已知二次函数图象的顶点坐标为A （1，4），与坐标轴交于B 、C 、D 三点，且B 点的坐标为（－1，0）． （1）求二次函数的解析式；（2）在二次函数图象位于x 轴上方部分有两个动点M 、N ，且点N 在点M 的左侧，过M 、N 作x 轴的垂线交x 轴于点G 、H 两点，当四边形MNHG 为矩形时，求该矩形周长的最大值；（3）当矩形MNHG 的周长最大时，能否在二次函数图象上找到一点P ，使△PNC 的面积是矩形MNHG 面积的916，若存在，求出该点的横坐标，若不存在，请说明理由．【解题过程】（1）设抛物线的解析式为y ＝()214a x -+，把B （－1，0）代入解析式得：4a ＋4＝0，解得a ＝－1，∴y ＝－()214x -+＝－223x x ++；（2）∵四边形MNHG 为矩形，∴MN ∥x 轴，设MG ＝NH ＝n ，把y ＝n 代入y ＝－223x x ++，即n ＝－223x x ++，∴223x x n -+-＝0，由根与系数关系得M N x x +＝2，M N x x •＝n －3，∵()2M N x x -＝()2+M N x x －4M N x x •，∴()2MN x x -＝4－4（n －3）＝16－4n ，∴MN＝MNHG 周长为C ，则C ＝2（MN ＋MG）＝2（n ）＝2n t ，则n ＝4－2t ，∴C ＝－22t＋4t ＋8＝－2()2110t -+，∵－2＜0，∴t ＝1时，周长有最大值，最大值为10；（3）在（2）的条件下，当矩形周长最大时t ＝11，n ＝3，MN ＝2，∵D（0，3），∴此时N 与D 重合，∴MNHG S V ＝2×3＝6，∴PNC S V ＝916MNHG S V ＝278，又∵当y ＝0时0＝－223x x ++，解得1x ＝－1，2x ＝＝3，∴C （3，0），∵D （0，3），直线CD 的解析式为y ＝－x+3，∴过P 做y 轴的平行线，交直线CD 于点Q ，设P 横坐标为m ，则P （m ，－223m m ++），Q （m ，－3m +），∴PQ ＝｜（－223m m ++）－（－3m +）｜，当P 在Q 的上方时，PQ ＝－23m m +，∴PNCS V ＝12·PQ ·OC ＝278，－23m m +＝94，解得m ＝32；当P 在Q的下方时，PQ ＝23m m -，即23m m -＝94，解得1m=，2m （舍去）；∴P 横坐标为32或．25．（2019·衡阳）如图，二次函数y ＝x2＋bx ＋c 的图象与x 轴交于点A （－1，0）和点B （3，0），与y 轴交于点N ，以AB 为边在x 轴上方作正方形ABCD ，点P 是x 轴上一动点，连接CP ，过点P 作CP 的垂线与y 轴交于点E.（1）求该抛物线的函数关系表达式；（2）当点P 在线段OB （点P 不与O 、B 重合）上运动至何处时，线段OE 的长有最大值？并求出这个最大值； （3）在第四象限的抛物线上任取一点M ，连接MN 、MB ，请问：△MBN 的面积是否存在最大值？若存在，求出此时点M 的坐标；若不存在，请说明理由.解：（1）把A （－1，0），B （3，0）代入y ＝x2＋bx ＋c ，得01,093,b c b c =-+⎧⎨=++⎩解得2,3.b c =-⎧⎨=-⎩∴该抛物线的函数表达式为y ＝x2－2 x －3； （2）∵CP ⊥EB ，∴∠OPE ＋∠BCP ＝90°，∵∠OPE ＋∠OEP ＝90°，∴∠OEP ＝∠BPC ，∴tan ∠OEP ＝tan ∠BPC ．∴OP OE ＝BCPB ．设OE ＝y ，OP ＝x ，∴y x ＝43x -．整理，得y ＝－14x2＋x ＝－14（x －32）2＋916．∴当OP ＝32时，OE 有最大值，最大值为916，此时点P 在（32，0）处.（3）过点M 作MF ⊥x 轴交BN 于点F ， ∵N （0，－3），B （3，0），∴直线的解析式为y ＝－3 m. 设M （m,m2－2 m －3）,则MF ＝m2－3m ，∴△MBN 的面积＝12OB·MF ＝32( m2－3m) ＝32( m －32) 2 －278. 点M 的坐标为（32，－278）时，△MBN 的面积存在最大值.24．（2019·武汉，24，12分）已知抛物线C1：y ＝（x －1）2－4和C2：y ＝x2 （1） 如何将抛物线C1平移得到抛物线C2？（2） 如图1，抛物线C1与x 轴正半轴交于点A ，直线43y x b=-+经过点A ，交抛物线C1于另一点B ．请你在线段AB 上取点P ，过点P 作直线PQ ∥y 轴交抛物线C1于点Q ，连接AQ① 若AP ＝AQ ，求点P 的横坐标② 若PA ＝PQ ，直接写出点P 的横坐标（3） 如图2，△MNE 的顶点M 、N 在抛物线C2上，点M 在点N 右边，两条直线ME 、NE 与抛物线C2均有唯一公共点，ME 、NE 均与y 轴不平行．若△MNE 的面积为2，设M 、N 两点的横坐标分别为m 、n ，求m 与n 的数量关系【解题过程】（1）先向左平移1个单位，在向上平移4个单位（2）①kAB ＝43-和A （3，0）易求AB ：y ＝443x -+∵AP ＝AQ ，PQ ⊥AO ．∠PAO ＝∠QAO∴AQ ：y ＝443x -联立244333y x y x x ⎧=-⎪⎨⎪=--⎩得23-10+3=0x x ∴13Q x = ②设P （t ，4-+43x ）则Q （t ，2-2+3t t ）易求：PQ ＝22++73t t -，PA ＝()533t -∵PA ＝PQ∴23760t t --=∴23Q x =-（3）设ME ：()21y k x m m =-+联立()212y k x m m y x ⎧=-+⎪⎨=⎪⎩则22110x k x k m m -+-=∴221144k k m m ∆=-+∴()211202k m k m-==即∴22ME y mx m =-： 同理：22NE y nx n =-：()()()()2222,2111()222222m n E mn m n m n n mn m mn m n n mn n m mn m +⎛⎫∴ ⎪⎝⎭++⎛⎫⎛⎫⎡⎤∴-+-⨯---⨯----= ⎪ ⎪⎣⎦⎝⎭⎝⎭化简得：33() ()42m nm n---= 3()82m n m n∴-=-=即25．（2019·黄冈）如图①在平面直角坐标系xOy中，已知A(－2，2)，B(－2，0)，C(0，2)，D(2，0)四点，动点M个单位长度的速度沿B→C→D运动(M不与点B、点D重合)，设运动时间为t(秒).(1)求经过A、C、D三点的抛物线的解析式；(2)点P在(1)中的抛物线上，当M为BC的中点时，若△PAM≌△PBM，求点P的坐标；(3)当M在CD上运动时，如图②.过点M作MF⊥x轴，垂足为F，ME⊥AB，垂足为E.设矩形MEBF 与△BCD重叠部分的面积为S，求S与t的函数关系式，并求出S的最大值；(4)点Q为x轴上一点，直线AQ与直线BC交于点H，与y轴交于点K.是否存在点Q，使得△HOK 为等腰三角形?若存在，直接写出符合条件的所有Q点的坐标；若不存在，请说明理由.【解题过程】28．（2019·陇南）如图，抛物线y＝ax2+bx+4交x轴于A（﹣3，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C，连接AC，BC．点P是第一象限内抛物线上的一个动点，点P的横坐标为m．（1）求此抛物线的表达式；（2）过点P作PM⊥x轴，垂足为点M，PM交BC于点Q．试探究点P在运动过程中，是否存在这样的点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出此时点Q的坐标，若不存在，请说明理由；（3）过点P作PN⊥BC，垂足为点N．请用含m的代数式表示线段PN的长，并求出当m为何值时PN有最大值，最大值是多少？解：（1）由二次函数交点式表达式得：y＝a（x+3）（x﹣4）＝a（x2﹣x﹣12）= ax2﹣ax﹣12a，∵抛物线y＝ax2+bx+4，∴﹣12a＝4，解得：a＝﹣，∴抛物线的表达式为y＝﹣x2+x+4；（2）存在，理由：点A、B、C的坐标分别为（﹣3，0）、（4，0）、（0，4），则AC＝5，AB＝7，BC＝4，∠OAB＝∠OBA＝45°，将点B、C的坐标代入一次函数表达式：y＝kx+b并解得：y＝﹣x+4…①，同理可得直线AC的表达式为：y＝x+4，设直线AC的中点为P（﹣，4），过点P与CA垂直直线的表达式中的k值为﹣，同理可得过点P与直线AC垂直直线的表达式为：y＝﹣x+…②，①当AC＝AQ时，如图1，则AC＝AQ＝5，设：QM＝MB＝n，则AM＝7﹣n，由勾股定理得：（7﹣n）2+n2＝25，解得：n＝3或4（舍去4），故点Q（1，3）；②当AC＝CQ时，如图1，CQ＝5，则BQ＝BC﹣CQ＝4﹣5，则QM＝MB＝，故点Q（，）；③当CQ＝AQ时，联立①②并解得：x＝（舍去）；故点Q的坐标为：Q（1，3）或（，）；（3）设点P（m，﹣m2+m+4），则点Q（m，﹣m+4），∵OB＝OC，∴∠ABC＝∠OCB＝45°＝∠PQN，PN＝PQsin∠PQN＝（﹣m2+m+4+m﹣4）＝﹣m2+m，∵﹣＜0，∴PN有最大值，当m＝时，PN的最大值为：．1. （2019·湖州）如图1，在平面直角坐标系xOy中，四边形OABC是矩形，点A，C分别在x轴和y轴的正半轴上，连结AC，OA＝3，tan∠OAC＝，D是BC的中点．（1）求OC的长及点D的坐标；（2）如图2，M是线段OC上的点，OM＝23OC，点P是线段OM上的一个动点，经过P，D，B三点的抛物线交x轴的正半轴于点E，连结DE交AB于点F．①将△DBF沿DE所在的直线翻折，若点B恰好落在AC上，求此时BF的长和点E的坐标；②以线段DF为边，在DF所在的直线的右上方作等边△DFG，当动点P从点O运动到点M时，点G也随之运动，请直接写出点G的运动路径的长．【思路分析】（1）Rt△AOC中，由正切三角函数，可求OC的长；再由矩形的性质及线段中点的定义锁定点D的坐标．（2）①由翻折可知DB＝DB'＝DC，从而∠DCA＝∠DB C'＝30°．通过解直角三角形得到FA＝FB＝2，在Rt△AEF中，AE＝AF•tan∠AFE＝2×＝32，从而求得点E的坐标．②按一找点G的运动起点与终点，从而找到点G的路径，二求该路径的长即可锁定答案．如答图2和答图3，表示动点P从点O运动到点M时，点G也随之运动时的起点、与终点的位置，G点的路径是一条线段．【解题过程】（1）在Rt△AOC中，由tan∠OAC＝3＝OCOA，OA＝3，得OC＝OA•tan∠OAC＝3×∵四边形OABC是矩形，点D为BC的中点，∴D(32)．（2）①如答图1，易知∠OAC＝∠ACB＝30°．而由折叠可知DB＝DB'＝DC，从而∠DCA＝∠DB C'＝30°．∴∠BDF＝∠B DF'＝30°．∴∠DFB＝∠AFE＝60°．Rt△DBF中，易求BF＝2．∴AF＝AB－BF＝．Rt△AEF中，AE＝AF•tan∠AFE＝32．∴OE＝92，E(92，0)．综上，BF的长为，点E的坐标为E(92，0)．②6．【知识点】矩形性质；解直角三角形；翻折（轴对称）；等腰三角形；等边三角形；二次函数；动态问题；数形结合思想；探究性问题；压轴题；原创题2. （2019·天津）在平面直角坐标系中，O为原点，点A(6，0),点B在y轴的正半轴上，∠ABO=30°，矩形CODE的顶点D,E,C分别在OA,AB,OB上，OD=2.（1）如图①，求点E的坐标；（2）将矩形CODE沿x轴向右平移，得到矩形C’O’D’E’,点C,O,D,E的对应点分别为C’,O’,D’,E’,设OO’=t,矩形C’O’D’E’与△ABO重叠部分的面积为S①如图②，当矩形C’O’D’E’与△ABO重叠部分为五边形时，C’E’,E’D’分别与AB相交于点M,F，试用含有t的式子表示S，并直接写出t的取值范围；S≤t的取值范围（直接写出结果即可）【思路分析】(1)由题意知OA=6，OD=2，∴AD=4，由矩形CODE得DE∥BO，∴∠AED=∠ABO=30°，∴DE=tan60°AD=E的坐标为（2，（2）①由平移得，O’C’=D’E’=，ME’=OO’=t，根据E’D’∥BO，得∠E’FM=∠OBA=30°,Rt△ME’F中，，S△ME’F=211''22ME FE t==g g；S矩形C’O’D’E’=''''2C O O D==gS=S矩形C’O’D’E’-S△ME’F=2，因为重叠部分是五边形，所以t的取值范围是0<t<2；②当时，2，此时2>，所以重叠部分不是五边形；当S=时，2t2-=，此时2>，所以重叠部分不是五边形；当2<t<4时，重叠部分是四边形如图③所示，当4<t<6时，重叠部分是三角形如图④所示.当2<t<4时,11('')'')))22t)22S MO FD O D t t=+=--=-g g当4<t<6时,211''(6t)))22S O A O M t t==--=-g所以，当S=-t=4.5,不在2<t<4范围内；当S=时S=-t=2.5；当时，2)S t-，此时t=，综上所述，t的取值范围是2.5≤t≤【解题过程】(1)∵A（6,0），∴OA=6，∵OD=2,∴AD=4，由矩形CODE得DE∥BO，∴∠AED=∠ABO=30°，∴DE=tan60°AD=E的坐标为（2，(2)①由平移得，O’C’=D’E’=,O’D’=C’E’=2，ME’=OO’=t，根据E’D’∥BO，得∠E’FM=∠OBA=30°,Rt△ME’F中，，S△ME’F=211''222ME FE t==g g；S矩形C’O’D’E’= ''''2C O O D==gS=S矩形C’O’D’E’-S△ME’F=2t2-，因为重叠部分是五边形，所以t的取值范围是0<t<2；②2.5≤t≤26．（2019·长沙）如图，抛物线26y ax ax=+(a为常数，a＞0)与x轴交于O，A两点，点B为抛物线的顶点，点D的坐标为(t，0)(﹣3＜t＜0)，连接BD并延长与过O，A，B三点的⊙P相交于点C．（1）求点A的坐标；（2）过点C作⊙P的切线CE交x轴于点E．①如图1，求证：CE=DE；②如图2，连接AC，BE，BO，当a=，∠CAE=∠OBE时，求11OD OE-的值．【解题过程】(1)令ax2＋6ax＝0，∴ax(x＋6)＝0，所以A(﹣6，0)，(2)连接PC ，连接PB 延长交x 轴于点M ，∵⊙P 过O 、A 、B 三点，B 为顶点，∴PM ⊥OA ，∠PBC ＋∠BOM ＝90°， 又∵PC ＝PB ，∴∠PCB ＝∠PBC ，∴CE 为切线，∴∠PCB ＋∠ECD ＝90°， 又∵∠BDP ＝∠CDE ，∴∠ECD ＝∠CDE ，∴CE ＝DE ； (3)解：设OE ＝m ，即E(m ，0)，由切割定理：CE2＝OE·AE ，(m －t)2＝m(m ＋6)推出m ＝t t 262+①∵∠CAE ＝∠CBD ，已知∠CAE ＝∠OBE ，∠CBO ＝∠EBO ，由角平分线定理：OE DOBE BD =即()()m t m t -=++++27327322推出m ＝66--t t②由①②得t t 262+＝66--t t推出t2＋18t ＋36＝0，∴t2＝﹣18t ﹣36，∴616311112=+-=--=-t t m t OEOD 25．（2019·益阳）在平面直角坐标系xOy 中，顶点为A 的抛物线与x 轴交于B 、C 两点，与y 轴交于点D ，已知A(1，4)，B(3，0). (1)求抛物线对应的二次函数表达式；(2)探究：如图1，连接OA ，作DE ∥OA 交BA 的延长线于点E ，连接OE 交AD 于点F ，M 是BE 的中点，则OM 是否将四边形OBAD 分成面积相等的两部分？请说明理由；(3)应用：如图2，P （m ，n ）是抛物线在第四象限的图象上的点，且m+m=-1，连接PA 、PC ，在线段PC 上确定一点N ，使AN 平分四边形ADCP 的面积，求点N 的坐标.提示：若点A 、B 的坐标分别为(1x ，1y )，(2x ，2y )，则线段AB 的中点坐标为(221x x +，221y y +) .第25题图1 第25题图2【解题过程】解：(1)抛物线的顶点为A(1，4)，设函数表达式为4)1(2+-=x a y ， ∵抛物线经过点B(3，0)，∴04)13(2=+-a ，解得a=-1. ∴抛物线对应的二次函数表达式为4)1(2+--=x y ，即322++-=xxy .(2)OM 将四边形OBAD 分成面积相等的两部分.理由如下：∵DE ∥OA ， ∴OEAODA S S △△=（同底等高的两个三角形面积相等）.∴AOMOEA AOM ODA S S S S △△△△+=+，即OMEOMAD S S △四边形=.∵M 是BE 的中点， ∴OBMOME S S △△=∴OBMOMAD S S △四边形=,即OM 将四边形OBAD 分成面积相等的两部分.（3）∵点P(m ，n)是抛物线322++-=x x y 的图象上的点， ∴322++-=m m n .∵m+n=-1， ∴n=-m-1，代入上式，得3212++-=--m m m ，解得m=4(m=1不合题意，舍去)， ∴点P 的坐标为(4，-5).如图，过点D 作DQ ∥CA 交PC 的延长线于点Q ，第25题答图由(2)知点N 为PQ 的中点，设经过点C(-1，0)，P(4，-5)的直线对应的函数表达式为y=kx+b,则⎩⎨⎧-=+=+-540b k b k ，解得⎩⎨⎧-=-=11b k . ∴直线CP 对应的函数表达式为y=-x-1.同理，直线AC 对应的函数表达式为y=2x+2.∵直线DQ ∥CA ，故设直线DQ 对应的函数表达式为y=2x+b ， ∵经过点D(0，3)，∴直线DQ 对应的函数表达式为y=2x+3.解方程组⎩⎨⎧+=--=321x y x y 得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=3134y x ， ∴点Q 的坐标为（3134，-）.∵点N 为PQ 的中点，∴点N的横坐标为342434=+-，点N 的纵坐标为372531-=-，∴点N 的坐标为（3734-，）26．（2019·娄底）如图（14），抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于点A （－1，0），点B （3，0），与y 轴交于点C ，且过点D （2，－3）．点P 、Q 是抛物线2y ax bx c =++上的动点． （1）求抛物线的解析式；（2）当点P 在直线OD 下方时，求△POD 面积的最大值．（3）直线OQ 与线段BC 相交于点E ，当△OBE 与△ABC 相似时，求点Q 的坐标．解：（1）方法一、将点A （－1，0），点B （3，0），点D （2，3）代入2y ax bx c =++得0930423a b c a b c a b c -+=⎧⎪++=⎨⎪++=-⎩，解得123a b c =⎧⎪=-⎨⎪=-⎩∴抛物线的解析式为223y x x =--方法二、∵抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于点A （－1，0），点B （3，0）， ∴设抛物线的解析式为()()13y a x x =+-． 又∵抛物线过点 D （2，－3）， ∴()()21233a +-=- ∴1a =∴()()211323y x x x x =⨯+-=--．（2）如图，设PD 与y 轴相交于点F ，OD 与抛物线相交于点G ，设P 坐标为（2,23m m m --），则直线PD 的解析式为23y mx m =--，它与y 轴的交点坐标为F （0，－2m －3），则OF ＝2m+3．∴()()()21112323222ODP S OF D P m m m m ∆=⨯-=+-=-++点的横坐标点的横坐标 由于点P 在直线OD 下方，所以322m -<<．∴当()1122214b m a =-=-=⨯-时，△POD 面积的最大值2211114933242416ODPS m m ∆⎛⎫=-++=-+⨯+= ⎪⎝⎭（3）①由223y x x =--得抛物线与y 轴的交点C （0，－3），结合A （－1，0）得直线AC 的解析式为33y x =--，∴当OE ∥AC 时，△OBE 与△ABC 相似；此时直线OE 的解析式为3y x =-．又∵2233y x x y x ⎧=--⎨=-⎩的解为111232x y ⎧-=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩，221232x y ⎧-=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩∴Q的坐标为⎝⎭和⎝⎭． ②如图，作EN ⊥y 轴于N ，由A （－1，0），B （3，0），C （0，－3）得AB ＝3－(－1)＝4，BO ＝3，BC= 当BE OB BA BC=即4BE =时 ，△OBE 与△ABC 相似；此时BE＝ 又∵△OBC ∽△ONE ，∴NB ＝NE ＝2，此时E 点坐标为（1，－2），直线OE 的方程为2y x =-．又∵2232y x x y x ⎧=--⎨=-⎩的解为11x y ⎧=⎪⎨=-⎪⎩，22x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩∴Q的坐标为-和(．综上所述，Q的坐标为⎝⎭，⎝⎭-，(．3. （2019·攀枝花）已知抛物线y ＝－x2＋bx ＋c 的对称轴为直线x ＝1，其图象与x 轴相交于A 、B 两点，与y 轴交于点C （0,3）． （1）求b ，c 的值；（2）直线l 与x 轴交于点P ．①如图1，若l ∥y 轴，且与线段AC 及抛物线分别相交于点E 、F ，点C 关于直线x ＝1的对称点为D ，求四边形CEDF 面积的最大值；②如图2，若直线l 与线段BC 相交于点Q ，当△PCQ ∽△CAP 时，求直线l 的表达式．【思路分析】（1）由抛物线y ＝－x2＋bx ＋c 的对称轴为直线x ＝1，得－2b-＝1，解得b ＝2，把点C （0,3）代入抛物线y ＝－x2＋bx ＋c 得c ＝3． （2）①由题意先求得点D ，A ，B 的坐标，ACl 的解析式，设F (e, －e2＋2e ＋3)，则E (e, －e ＋3) ，进而得EF ＝－e2＋3e ，因为CD ⊥EF ，所以S 四边形CEDF ＝12CD·EF ，利用二次函数的顶点式求出最大值；②根据相似三角形的性质得l ∥AC ，∠ACP ＝∠BCO ．作PH ⊥AC 于点H ，设P (m,0)，根据tan ∠ACP ＝13，得关于m 的方程33m m -+＝13，解之可得点P 的坐标，进而得直线l 的表达式．【解题过程】解：（1）由题可知123bc ⎧-=⎪-⎨⎪=⎩，，解得23.b c =⎧⎨=⎩，（2）①由题意可知D （2，3），CD ⊥EF ，∴CD ＝2． 由（1）可知A (3,0)，B (－1,0) ∴ACl ：y ＝－x ＋3设F (e, －e2＋2e ＋3)，则E (e, －e ＋3) ∴EF ＝－e2＋3e∴S 四边形CEDF ＝12CD·EF ＝－e2＋3e ＝－（e －32）2＋94.∴当e ＝32时，四边形CEDF 的面积最大，最大值为94.②由（1）可知∠OAC ＝∠OCA ＝45°， 由△PCQ ∽△CAP 可得∠QPC ＝∠PCA ∴l ∥AC ．由△PCQ ∽△CAP 可得∠QCP ＝∠OAC ＝45°， ∴∠QCP ＝∠OCA ，∴∠ACP ＝∠BCO ，由B （－1，0），C （0，3），可得tan ∠BCO ＝13， ∴tan ∠ACP ＝13，作PH ⊥AC 于点H ，设P (m,0)，则AP ＝3－m.∴PH ＝AH＝(3－m)，CH＝ (3＋m)∴)m -＝PH CH ＝tan ∠ACP ＝13， 即33m m -+＝13，解得m ＝32 ． ∴P (32,0)，∴l ：y ＝－x ＋32．【知识点】二次函数的性质；一次函数的表达式；相似三角形的性质；锐角三角函数； 分式方程， 声明：试28．（2019·苏州，26，10）如图①，抛物线y ＝﹣x2+（a+1）x ﹣a 与x 轴交于A ，B 两点（点A 位于点B 的左侧），与y 轴交于点C ．已知△ABC 的面积是6． （1）求a 的值；（2）求△ABC 外接圆圆心的坐标；（3）如图②，P 是抛物线上一点，Q 为射线CA 上一点，且P 、Q 两点均在第三象限内，Q 、A 是位于直线BP 同侧的不同两点，若点P 到x 轴的距离为d ，△QPB 的面积为2d ，且∠PAQ ＝∠AQB ，求点Q 的坐标．图①图②（第28题）【解题过程】解：（1）∵y＝﹣x2+（a+1）x﹣a令y＝0，即﹣x2+（a+1）x﹣a＝0 解得x1＝a，x2＝1由图象知a＜0∴A（a，0），B（1，0）∵s△ABC＝6，∴()()1162a a--=，解得a＝﹣3，（a＝4舍去）（2）设直线AC：y＝kx+b，由A（﹣3，0），C（0，3），可得﹣3k+b＝0，且b＝3，∴k＝1，即直线AC：y＝x+3，A、C的中点D坐标为（32-，32），∴线段AC的垂直平分线解析式为y＝﹣x，线段AB的垂直平分线为x＝﹣1，代入y＝﹣x，解得y＝1，∴△ABC外接圆圆心的坐标（﹣1，1）；（3）作PM⊥x轴，则11422BAPs AB PM d=⋅=⨯⨯V，∵PABPQB Ss=VV，∴A、Q到PB的距离相等，∴AQ∥PB设直线PB解析式为y＝x+b，∵直线经过点B（1，0），所以直线PB的解析式为y＝x﹣1，联立，解得45xy=-⎧⎨=-⎩，∴点P坐标为（﹣4，﹣5），又∵∠PAQ ＝∠AQB可得：△PBQ≌△ABP（AAS），∴PQ＝AB＝4，设Q（m，m+3），由PQ＝4得：222(4)(35)4m m++++=解得：m＝﹣4，m＝﹣8（舍去），∴Q坐标为（﹣4，﹣1）4. （2019·眉山）如图1，在正方形ABCD中，AE平分∠CBA交BC于点E，过点C作CF⊥AE，交AE的延长线于点G，交AB的延长线于点F．（1）求证：BE=BF．；（2）如图2，连接BG、BD，求证：BG平分∠DBF；（3）如图3，连接DG交AC于点M，求AEDM的值．【思路分析】（1）根据抛物线的交点式直接写出抛物线解析式即可，将解析式配方，得到顶点式，可得顶点坐标；（2）设点P的坐标为（a，241620999a a--+），用含a的式子表示出PE的长，进而用含a的式子表示出矩形PEFG的周长，再利用二次函数的最大值求解即可；（3）根据题意，证得△AMN∽△BDM，易得AB=6，AD=DB=5，根据△DMN为等腰三角形有三种可能：①MN=DM ，利用△AMN ≌△BDM ，易得AN 的值；②DN=MN ，利用△DAM ∽△BAD 的性质，可得AN 的值；③DN=DM ，不成立.【解题过程】解：（1）抛物线的解析式为：y=()()4519x x -+-=241620999x x --+.配方得：y=()24249x -++，∴顶点D 的坐标为（-2，4）.（2）设点P 的坐标为（a ，241620999a a --+），则PE=241620999a a --+，PG=2（-2-a ）=-4-2a ，∴矩形PEFG 的周长=2（PE+PG ）=2（24162042999a a a --+--）=286832999a a ---=28172259418a ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭，∵89-＜0，∴当a=174-时，矩形PEFG 的周长最大，此时点P 的横坐标为174-. （3）存在.∵DA=DB ，∴∠DAB=∠DBA.∵∠AMN+∠DMN=∠MDB+∠DBA ，又∵∠DMN=∠DBA ，∴∠AMN=∠MDB ，∴△AMN ∽△BDM ，∴AN AMMB DB =,易求得AB=6，AD=DB=5. △DMN 为等腰三角形有三种可能：①当MN=DM 时，则△AMN ≌△BDM ，∴AM=BD=5，∴AN=MB=1；②当DN=MN 时，则∠ADM=∠DMN=∠DBA ，又∵∠DAM=∠BAD ，∴△DAM ∽△BAD ，∴AD2=AM ⋅AB ，∴AM=256，∴BM=6-256=116，∵AN AM MB DB =，∴61156AN =，∴AN=5536.③DN=DM 不成立.∵∠DNM ＞∠DAB ，而∠DAB=∠DMN ，∴∠DNM ＞∠DMN ，∴DN=DM.综上所述，存在点M 满足要求，此时AN 的长为1或5536.5. （2019·乐山）如图，已知抛物线)6)(2(-+=x x a y 与x 轴相交于A 、B 两点，与y 轴交于C点，且tan23=∠CAB .设抛物线的顶点为M ，对称轴交x 轴于点N .（1）求抛物线的解析式；（2）P 为抛物线的对称轴上一点，)0,(n Q 为x 轴上一点，且PC PQ ⊥. ①当点P 在线段MN (含端点)上运动时，求n 的变化范围； ②当n 取最大值时，求点P 到线段CQ 的距离；③当n 取最大值时，将线段CQ 向上平移t 个单位长度，使得线段CQ 与抛物线有两个交点，求t 的取值范围.解：（1）根据题意得： )0,2(-A ,)0,6(B ，在AOC Rt ∆中，Θ23tan ==∠AO CO CAO ,且2=OA ,得3=CO ，)3,0(C ∴,将C 点坐标代入)6)(2(-+=x x a y 得：41-=a ，故抛物线解析式为：)6)(2(41-+-=x x y ；（2）①由（1）知，抛物线的对称轴为：2=x ，顶点M ()4,2， 设P 点坐标为)2(m ，（其中40≤≤m ），则222)3(2-+=m PC ，222)2(-+=n m PQ ，2223n CQ +=， ΘPC PQ ⊥,∴在PCQ Rt ∆中，由勾股定理得：222CQ PQ PC =+, 即2222223)2()3(2n n m m +=-++-+，整理得：)43(212+-=m m n 87)23(212+-=m （40≤≤m ），∴当23=m 时，n 取得最小值为87；当4=m 时，n 取得最大值为4，所以，487≤≤n ；②由①知：当n 取最大值4时，4=m ，∴)4,2(P ，)0,4(Q ，则5=PC ,52=PQ ,5=CQ ，设点P 到线段CQ 距离为h ，由PQPC h CQ S PCQ ⋅=⋅=∆2121，得：2=⋅=CQ PQPC h ，故点P 到线段CQ 距离为2；③由②可知：当n 取最大值4时，)0,4(Q ，∴线段CQ 的解析式为：343+-=x y ， 设线段CQ 向上平移t 个单位长度后的解析式为：tx y ++-=343，当线段CQ 向上平移，使点Q 恰好在抛物线上时，线段CQ 与抛物线有两个交点， 此时对应的点'Q 的纵坐标为：3)64)(24(41=-+-， 将)3,4('Q 代入tx y ++-=343得：3=t ，① ② ③当线段CQ 继续向上平移，线段CQ 与抛物线只有一个交点时，联解⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++-=-+-=t x y x x y 343)6)(2(41 ，得：t x x x ++-=-+-343)6)(2(41，化简得：0472=+-t x x ， 由01649=-=∆t ，得1649=t ，∴当线段CQ 与抛物线有两个交点时，16493<≤t .6.（2019·潍坊）如图，在平面直角坐标系xoy 中，O 为坐标原点，点A （4，0），点B （0，4），△ABO 的中线AC 与y 轴交于点C ，且⊙M 经过O ，A ，C 三点． （1）求圆心M 的坐标；（2）若直线AD 与⊙M 相切于点A ，交y 轴于点D ，求直线AD 的函数表达式； （3）在过点B 且以圆心M 为顶点的抛物线上有一动点P ，过点P 作PE ∥y 轴，交直线AD 于点E ．若以PE 为半径的⊙P 与直线AD 相交于另一点F ．当EF=P 的坐标．【思路分析】（1）先求出点C的坐标，根据M为AC的中点求得坐标；（2）先证明Rt△AOC∽Rt △DOA，求出OD的长，从而求出点D的坐标，利用待定系数法求AD的解析式；（3）利用顶点式求出抛物线的解析式，过点P作PH⊥EF，垂足为H，设出点P的坐标，根据Rt△EHP∽Rt△DOA，得到EH ODPE AD=，求出EH与PE的关系式，即可求解．【解题过程】（1）∵AC是△ABO的中线∴点C的坐标为（0，2）∵∠AOC=90°∴线段AC是⊙M的直径∴点M为线段AC的中点∴圆心M的坐标为（2，1）（2）∵AD与⊙M相切于点A∴AC⊥AD∴Rt△AOC∽Rt△DOA∴12 OC OA OA OD==∵OA=4，∴OD=8∴点D的坐标为（0，－8）设直线AD的函数表达式为y=kx+b可得：048k bb=+⎧⎨-=⎩∴k=2，b=－8∴直线AD的函数表达式为：y=2x－8（3）设抛物线2(2)1y a x=-+，且过点（0，4）∴4=a(0－2)2+1∴34 a=所以，抛物线的关系式为：23344y x x =-+设点P （m ，23344m m -+），则点E （m ，2m －8） ∴235124PE m m =-+过点P 作PH ⊥EF ，垂足为H在Rt △DOA 中，AD ==∵PE ∥y 轴∴Rt △EHP ∽Rt △DOA∴EH OD PE AD ==∴23(512)4EH m m =-+∵EF =∴23(512)4m m =-+化简，得：2320280m m -+=解之，得：m1=2，m2=143.所以点P 为（2，1）或（143，193）【知识点】二次函数综合，圆的基本性质，一次函数、二次函数的解析式，相似三角形的判定和性质7. (2019·泰安)若二次函数y ＝ax2+bx+c 的图象与x 轴、y 轴分别交于点A(3,0)、B(0,－2),且过点C(2,－2).(1)求二次函数表达式;(2)若点P 为抛物线上第一象限内的点,且S △PBA ＝4,求点P 的坐标;(3)在抛物线上(AB 下方)是否存在点M,使∠ABO ＝∠ABM ？若存在,求出点M 到y 轴的距离;若不存在,请说明理由.【思路分析】(1)利用待定系数法,将三点坐标代入解析式,可求得a,b,c 的值;(2)连接PO,将△ABP 转化为容易求的图形面积,通过割补表示出面积,进而解方程,得到点P 的坐标;(3)作MD ∥y 轴,得到等腰三角形DBM,利用两点间距离公式,得到MD,MB 的表达式,通过解方程MD ＝MB,得到M 的坐标. 【解题过程】(1)∵抛物线y ＝ax2+bx+c 过点(0,－2),∴c ＝－2,又∵抛物线过点(3,0)(2,－2)∴9320 4222a b a b +-=⎧⎨+-=-⎩,解得23 43a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩,∴抛物线的表达式为224233y x x =--;(2)连接PO,设点P(224,233m m m --),则S △PAB ＝S △POA+S △AOB －S △POB ＝2124113(2)32223322m m m ⨯⋅--+⨯⨯-⨯g ＝23m m -,由题意得:m2－3m ＝4,∴m ＝4,或m ＝－1(舍去),∴224233m m --＝103,∴点P 的坐标为(4,103).(3)设直线AB 的表达式为y ＝kx+n,∵直线AB 过点A(3,0),B(0,－2),∴3k+n ＝0,n ＝－2,解之,得:k ＝23,n ＝－2,∴直线AB 的表达式为:y ＝23x －2,设存在点M 满足题意,点M 的坐标为(t,224233t t --).过点M 作ME ⊥y 轴,垂足为E,作MD ⊥x 轴交于AB 于点D,则D 的坐标为(t,23t －2),MD ＝2223t t -+,BE ＝|224+33t t -|.又MD ∥y 轴,∴∠ABO ＝∠MDB,又∵∠ABO ＝∠ABM,∴∠MDB＝∠。
中考数学每日一练：二次函数的实际应用-几何问题练习题及答案_2020年综合题版
，抛物线 经过 、 、
（1） 求抛物线 的函数解析式及顶点 的坐标；
（2） 将抛物线 和
同时先向右平移4个单位长度，再向下平移
个单位长度，得到抛物线
和□
，在向下平移过程中，
与轴交于点 ，
与
重叠部分的面积记为 ，试探究：
当 为何值时， 有最大值，并求出 的最大值；
（3） 在（2）的条件下，当 取最大值时，设此时抛物线 的顶点为 ，若点 是轴上的动点，点 是抛物线
（1） 当平行四边形PQNM为矩形时，求∠PQM的正切值；
（2） 当点N在△ABC内，求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；
（3） 当过点P且平行于BC的直线经过平行四边形PQNM一边的中点时，直接写出x的值．
考点： 二次函数的实际应用-几何问题;平行四边形的性质;锐角三角函数的定义;
答案
2020年 中 考 数 学 ： 函 数 _二 次 函 数 _二 次 函 数 的 实 际 应 用 -几 何 问 题 练 习 题 答 案
1.答案：
2.答案：
3.答案：
4.答案：
5.答案：
（1） 求这个二次函数的解析式及点C的坐标；
（2） 过点B的直线
交抛物线的对称轴于点D，联结BC，求∠CBD的余切值；
（3） 点P为抛物线上一个动点，当∠PBA=∠CBD时，求点P的坐标.
考点： 待定系数法求二次函数解析式;二次函数的实际应用-几何问题;
答案
~~第3题~~ (2017玉林.中考模拟) 已知抛物线y= x2+1（如图所示）．
中考数学每日一练：二次函数的实际应用-几何问题练习题及答案_2020年综合
题版
2020年 中 考 数 学 ： 函 数 _二 次 函 数 _二 次 函 数 的 实 际 应 用 -几 何 问 题 练 习 题
2020中考数学 三轮复习 二次函数的实际应用(含答案)
2020中考数学三轮复习二次函数的实际应用（含答案）1.从地面竖直向上抛出一小球,小球的高度h(单位:m)与小球运动时间t(单位: s)之间的函数关系如图3所示.下列结论:①小球在空中经过的路程是40 m;②小球抛出3秒后,速度越来越快;③小球抛出3秒时速度为0;④小球的高度h=30 m时,t=1.5 s.其中正确的是()图1A.①④B.①②C.②③④D.②③x2刻画,斜坡可以用一次函2.如图4,将一个小球从斜坡的点O处抛出,小球的抛出路线可以用二次函数y=4x-12x刻画,下列结论错误的是()数y=12图2A.当小球抛出高度达到7.5 m时,小球距O点水平距离为3 mB.小球距O点水平距离超过4 m时呈下降趋势C.小球落地点距O点水平距离为7 mD.斜坡的坡度为1∶23.如图5,利用一个直角墙角修建一个梯形储料场ABCD,其中∠C=120°.若新建墙BC与CD总长为12 m,则该梯形储料场ABCD的最大面积是()图3A .18 m 2B .18√3 m 2C .24√3 m 2D .45√32m 24. 北中环桥是省城太原的一座跨汾河大桥,它由五个高度不同,跨径也不同的抛物线型钢拱通过吊杆,拉索与主梁相连.最高的钢拱如图1所示,此钢拱(近似看成二次函数的图象——抛物线)在同一竖直平面内,与拱脚所在的水平面相交于A ,B 两点,拱高为78米(即最高点O 到AB 的距离为78米),跨径为90米(即AB=90米),以最高点O 为坐标原点,以平行于AB 的直线为x 轴建立平面直角坐标系,则此抛物线型钢拱的函数表达式为 ( )图4A .y=26675x 2B .y=-26675x 2C .y=131350x 2D .y=-131350x 25.如图2是拱形大桥的示意图,桥拱与桥面的交点为O ,B ,以点O 为原点,水平直线OB 为x 轴,建立平面直角坐标系,桥的拱形可近似看成抛物线y=-1400(x -80)2+16,桥拱与桥墩AC 的交点C 恰好在水面CD 处,有AC ⊥x 轴,若OA=10米,则桥面离水面的高度AC 为( )图5A .16940米 B .174米C .16740米D .154米6.中考体考前,某初三学生对自己某次实心球训练的录像进行分析,发现实心球飞行高度y (米)与水平距离x (米)之间的关系为y=-112x 2+23x+53,由此可知该生此次实心球训练的成绩为 米.7. 如图6,一块矩形土地ABCD 由篱笆围着,并且由一条与CD 边平行的篱笆EF 分开.已知篱笆的总长为900 m(篱笆的厚度忽略不计),当AB= m 时,矩形土地ABCD 的面积最大.图68.某服装店购进单价为15元的童装若干件,销售一段时间后发现:当销售价为25元时平均每天能售出8件,而当销售价每降低2元时,平均每天能多售出4件,当每件的定价为元时,该服装店平均每天的销售利润最大.9.竖直上抛的小球离地高度是它运动时间的二次函数,小军相隔1秒依次竖直向上抛出两个小球,假设两个小球离手时离地高度相同,在各自抛出后1.1秒时达到相同的最大离地高度,第一个小球抛出后t秒时在空中与第二个小球的离地高度相同,则t=.10.某宾馆有若干间标准房,当标准房的价格为200元时,每天入住的房间数为60间,经市场调查表明,该宾馆每间标准房的价格在170~240元之间(含170元,240元)浮动时,每天入住的房间数y(间)与每间标准房的价格x(元)的数据如下表:x(元)…190200210220…y(间)…65605550…(1)根据所给数据在坐标系中描出相应的点,并画出图象.(2)求y关于x的函数表达式,并写出自变量x的取值范围.(3)设客房的日营业额为w(元),若不考虑其他因素,问宾馆标准房的价格定为多少元时,客房的日营业额最大?最大为多少元?图711.随着新农村的建设和旧城的改造,我们的家园越来越美丽.小明家附近广场中央新修了个圆形喷水池,在水池中心竖直安装了一根高为2米的喷水管,它喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1米处达到最高,水柱落地处离池中心3米.(1)请你建立适当的平面直角坐标系,并求出水柱抛物线的函数解析式;(2)求出水柱的最大高度是多少.图812.某农场拟建一间矩形种牛饲养室,饲养室的一面靠现有墙(墙足够长),已知计划中的建筑材料可建围墙的总长度为50 m.设饲养室长为x(m),占地面积为y(m2).(1)如图9①,问饲养室长x为多少时,占地面积y最大?(2)如图9②,现要求在图中所示位置留2 m宽的门,且仍使饲养室的占地面积最大.小敏说:“只要饲养室长比(1)中的长多2 m就行了.”请你通过计算,判断小敏的说法是否正确.图9参考答案1.D2.A3.C4.B 6.10 7.1508.22 设每件的定价为x 元,每天的销售利润为y 元. 根据题意,得y=(x -15)=-2x 2+88x -870. ∴y=-2x 2+88x -870=-2(x -22)2+98. ∵a=-2<0, ∴抛物线开口向下,∴当x=22时,y 最大值=98.故答案为22.9.1.6 设各自抛出后1.1秒时达到相同的最大离地高度h ,则第一个小球的离地高度y=a (t -1.1)2+h (a ≠0), 由题意a (t -1.1)2+h=a (t -1-1.1)2+h , 解得t=1.6.故第一个小球抛出后1.6秒时在空中与第二个小球的离地高度相同. 10.解:(1)如图所示.(2)设y=kx +b (k ≠0),把(200,60)和(220,50)代入, 得{200k +b =60,220k +b =50,解得{k =-12,b =160. ∴y=-12x +160(170≤x ≤240). (3)w=x ·y=x ·-12x +160=-12x 2+160x.∴函数w=-12x 2+160x 图象的对称轴为直线x=-1602×(-12)=160,∵-12<0,∴在170≤x ≤240范围内,w 随x 的增大而减小. 故当x=170时,w 有最大值,最大值为12750元.11.(1)由于题目所给数据均与水池中心相关,故可选取水池中心为原点,原点与水柱落地点所在直线为x 轴,喷水管所在直线为y 轴,建立平面直角坐标系,再利用顶点式求解函数关系式; (2)抛物线顶点的纵坐标即为水柱的最大高度.解:(1)如图,以喷水管与地面交点为原点,原点与水柱落地点所在直线为x 轴,喷水管所在直线为y 轴,建立平面直角坐标系.由题意可设抛物线的函数解析式为y=a (x -1)2+h (0≤x ≤3). 抛物线过点(0,2)和(3,0),代入抛物线解析式可得 {4a +ℎ=0,a +ℎ=2.解得{a =-23,ℎ=83.所以抛物线的解析式为y=-23(x -1)2+83(0≤x ≤3).化为一般式为y=-23x 2+43x +2(0≤x ≤3).(2)由(1)抛物线的解析式为y=-23(x -1)2+83(0≤x ≤3)可知当x=1时,y 最大值=83. 所以抛物线水柱的最大高度为83 m . 12.解:(1)∵y=x ·50-x 2=-12(x -25)2+6252,∴当x=25时,占地面积y 最大. (2)y=x ·50-(x -2)2=-12(x -26)2+338,∴当x=26时,占地面积y 最大. 即当饲养室长为26 m 时,占地面积最大. ∵26-25=1≠2, ∴小敏的说法不正确.。
2020年中考数学题型04二次函数的实际应用题【含解析】
2020年中考数学题里。
4二次函数的实际应用题一、单选题1.如图，修道的截面由抛物线和长方形速固构成，长方形的长期是13，宽比是4用按照图中所示的I平面直角坐标系，地物线可以用尸-忆表示.在抛物线型拱璧上需要安装两排灯，使它们离地面的高度相等，如果灯离地面的高度不超过8m那么两排灯的水平距离最小是()A. 2JB B, 4^ C, 4、伤加 D. 4bm【答案】D［分析］根据长方形的长0A,是12m,宽0C是4m,可得顶点的横坐标和点C的坐标，即可求出抛物线解析式，再把V=8代入解析式即可得结论.［详解］根据题意，得法⑵心4.所以抛物线的顶点横坐标为6,bb I艮1 - 3 =6, b=2.'：C(0, 4),4,所以抛物线解析式为：1尸-6j~+2x+4=-6 （/_6） -+10当产8时,18=- 6 （犬-6尸+10,解得:上 =6+2/，上二=6-2招.则局-々=4 后.所以两排灯的水平，距圈最小是4后.政选！ D.【点睛】本题考查了二次函数的应用，链决本题的关健是把实际问题转化为二次函数问题解决.2使用家用燃气灶烧开同一壶水所需的燃气量产（单位：标）与旋钮的旋转角度” （单位，度）10“ < /《90° ）近似满足函数关系尸=/+从+c （&沪0）,如图记录了某种家用节能燃气灶烧开同一壶水的旋钮的旋转角度.，与燃气量产的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出此燃气灶烧开一壶水最节省燃气的旋钮的旋转角度约为（）也：0150 ................. 千0136 •…-<0.125 .……:...... ，6 is 5Z―72 弋度A. 33。
B. 36QC. 42aD. 499【答案】C【分析】据题意和二次函数的性质, 可以确定出时称x的取值范围，从而可以解答本题,【详解】解，由图象可知,物统开口向上,18+54该函数的对称轴xA 2 且xV54,/.36<z<54?即对称轴位于直线x= 36与直线A=54之间且靠近直线L36,【点睹】本题考查二次函数的应用，解答本题的关健是明确题意.利用数形结合的思想解答,3.某校校园内有一个大正方形花坛，如图甲所示，它由四个边长为3米的小正方形组成，且每个小正方形的种植方案相同,其中的一个小正方形ABCD如图乙所示，DG=1米，A8=AF=x米，在五边形EFBCG区域上种植花卉，则大正方形花坛种植花卉的面积y与x的函数图象大致是( )甲乙【答案】A【详解】534二2圮>（妒=2 , 5△比广2DG XDE二2 xi父㈠一乂）= 2,$心?八底6=$5N八1 2 3-x 1 2 1 15 1 2 1 159 —x2- ----- -x z+-x + - --x2 +-x + - 7的-S-S/E L 2 2 = 2 22，则尸4乂（ 2 2 2）=-2^-,VAE<AD, Ax<3,综上可得：^ = -2^+^ + 3° （0<x<3）,故选 A.考点，动点问题的函数图象；动点型.4.某建筑物，从10m高的窗口乩用水管向外喷水，喷出的水呈撷物线状(抛物线所在的平面与墙面建40直〕，如图所示，如杲抛物线的最高点加离墙1m,离地面3 m,则水流落地点力离墙的距离如是( )【答案】B40 【分析】以OB 为芯轴，0A 为y 轴建立平面直角坐标系，A 点坐标为（0, 10）, M 点的坐标为（1, 3）, 设出抛物统的解析式，代入解答球的函数解析式，进一步求得问题的解. 40【详解】解，设抛物统的解析式为/=式*-。
2020-2021全国中考数学二次函数的综合中考模拟和真题汇总附答案解析
2020-2021全国中考数学二次函数的综合中考模拟和真题汇总附答案解析一、二次函数1．（6分）（2015•牡丹江）如图，抛物线y=x2+bx+c经过点A（﹣1，0），B（3，0）．请解答下列问题：（1）求抛物线的解析式；（2）点E（2，m）在抛物线上，抛物线的对称轴与x轴交于点H，点F是AE中点，连接FH，求线段FH的长．注：抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴是x=﹣．【答案】（1）y=-2x-3；（2）．【解析】试题分析：（1）把A,B两点坐标代入，求待定系数b,c，进而确定抛物线的解析式；（2）连接BE，点F是AE中点，H是AB中点，则FH为三角形ABE的中位线，求出BE的长，FH就知道了，先由抛物线解析式求出点E坐标，根据勾股定理可求BE，再根据三角形中位线定理求线段HF的长．试题解析：（1）∵抛物线y=x2+bx+c经过点A（﹣1，0），B（3，0），∴把A,B两点坐标代入得：，解得：，∴抛物线的解析式是：y=-2x-3；（2）∵点E（2，m）在抛物线上，∴把E点坐标代入抛物线解析式y=-2x-3得：m=4﹣4﹣3=﹣3，∴E（2，﹣3），∴BE==．∵点F是AE中点，点H是抛物线的对称轴与x轴交点，即H为AB的中点，∴FH是三角形ABE的中位线，∴FH=BE=×=．∴线段FH的长．考点：1．待定系数法求抛物线的解析式；2．勾股定理；3．三角形中位线定理．2．如图，在直角坐标系xOy中，二次函数y=x2+（2k﹣1）x+k+1的图象与x轴相交于O、A两点．（1）求这个二次函数的解析式；（2）在这条抛物线的对称轴右边的图象上有一点B，使△AOB的面积等于6，求点B的坐标；（3）对于（2）中的点B，在此抛物线上是否存在点P，使∠POB=90°？若存在，求出点P 的坐标，并求出△POB的面积；若不存在，请说明理由．【答案】（1）y=x2﹣3x。
（2）点B的坐标为：（4，4）。
2020年中考数学试题精选50题二次函数及其应用
2020年全国中考数学试题精选50题:二次函数及其应用一、单选题1。
(2020·玉林）把二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象作关于x轴的对称变换,所得图象的解析式为y＝﹣a（x﹣1)2+4a，若(m﹣1)a+b+c≤0，则m的最大值是（)A。
﹣4 B. 0 C. 2D. 62.（2020·铁岭）如图,二次函数的图象的对称轴是直线,则以下四个结论中:① ，② ，③ ，④ .正确的个数是( ）A. 1B. 2 C。
3D. 43.(2020·盘锦）如图，四边形是边长为1的正方形，点是射线上的动点（点不与点，点重合），点在线段的延长线上，且，连接，将绕点顺时针旋转90°得到，连接。
设，四边形的面积为，下列图象能正确反映出与的函数关系的是（）A. B.C。
D.4。
（2020·阜新）已知二次函数，则下列关于这个函数图象和性质的说法,正确的是（)A. 图象的开口向上B. 图象的顶点坐标是C。
当时，y随x的增大而增大 D。
图象与x 轴有唯一交点5。
（2020·丹东）如图，二次函数（）的图象与轴交于，两点，与轴交于点，点坐标为,点在与之间（不包括这两点），抛物线的顶点为，对称轴为直线，有以下结论：① ;②若点，点是函数图象上的两点，则；③ ；④ 可以是等腰直角三形。
其中正确的有（)A。
1个 B. 2个 C。
3个 D. 4个6.（2020·镇江）点P（m，n)在以y轴为对称轴的二次函数y ＝x2+ax+4的图象上.则m﹣n的最大值等于（）A. B. 4 C。
﹣D. ﹣7。
（2020·绵阳）三孔桥横截面的三个孔都呈抛物线形，两小孔形状、大小完全相同．当水面刚好淹没小孔时,大孔水面宽度为10米，孔顶离水面1。
5米；当水位下降，大孔水面宽度为14米时，单个小孔的水面宽度为4米，若大孔水面宽度为20米，则单个小孔的水面宽度为（）A。
中考数学总复习《二次函数的实际应用》专项测试卷带答案
中考数学总复习《二次函数的实际应用》专项测试卷带答案学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________【A层·基础过关】1.如图1,质量为m的小球从某高处由静止开始下落到竖直放置的轻弹簧上并压缩弹簧(已知自然状态下,弹簧的初始长度为12cm).从小球刚接触弹簧到将弹簧压缩至最短的过程中(不计空气阻力,弹簧在整个过程中始终发生弹性形变),得到小球的速度v( cm/s)和弹簧被压缩的长度Δl(cm)之间的关系图象如图2所示.根据图象,下列说法正确的是( )A.小球从刚接触弹簧就开始减速B.当弹簧被压缩至最短时,小球的速度最大C.当小球的速度最大时,弹簧的长度为2 cmD.当小球下落至最低点时,弹簧的长度为6 cm2.在如图所示的平面直角坐标系中,有一斜坡OA,从点O处抛出一个小球,落到点)处.小球在空中所经过的路线是抛物线y=-x2+bx的一部分.则抛物线最高点A(3,32的坐标是.3.(2024·自贡中考)九(1)班劳动实践基地内有一块面积足够大的平整空地,地上两段围墙AB⊥CD于点O(如图),其中AB上的EO段围墙空缺.同学们测得AE=6.6 m,OE=1.4 m,OB=6 m,OC=5 m,OD=3 m,班长买来可切断的围栏16 m,准备利用已有围墙,围出一块封闭的矩形菜地,则该菜地最大面积是m2.4.距离地面有一定高度的某发射装置竖直向上发射物体,物体离地面的高度h(米)与物体运动的时间t(秒)之间满足函数关系h=-5t2+mt+n,其图象如图所示,物体运动的最高点离地面20米,物体从发射到落地的运动时间为3秒.设w表示0秒到t 秒时h的值的“极差”(即0秒到t秒时h的最大值与最小值的差),则当0≤t≤1时,w 的取值范围是;当2≤t≤3时,w的取值范围是.5.(2024·广东中考)广东省全力实施“百县千镇万村高质量发展工程”,2023年农产品进出口总额居全国首位,其中荔枝鲜果远销欧美.某果商以每吨2万元的价格收购早熟荔枝,销往国外,若按每吨5万元出售,平均每天可售出100吨.市场调查反映:如果每吨降价1万元,每天销售量相应增加50吨.该果商如何定价才能使每天的“利润”或“销售收入”最大?并求出其最大值.6.端午节吃粽子是中华民族的传统习俗,市场上猪肉粽进价比豆沙粽进价每盒贵10元,一盒猪肉粽加两盒豆沙粽的进价为100元.(1)求每盒猪肉粽和豆沙粽的进价;(2)在销售中,某商家发现当每盒猪肉粽售价为50元时,每天可售出100盒,若每盒售价提高1元,则每天少售出2盒.设每盒猪肉粽售价为a元,销售猪肉粽的利润为w元,求该商家每天销售猪肉粽获得的最大利润.【B层·能力提升】7.(2024·黔南一模)如图1是某公园喷水头喷出的水柱.如图2是其示意图,点O处有一个喷水头,距离喷水头8 m的M处有一棵高度是2.3 m的树,距离这棵树10 m 的N处有一面高2.2 m的围墙(点O,M,N在同一直线上).建立如图2所示的平面直角坐标系.已知浇灌时,喷水头喷出的水柱的竖直高度y(单位:m)与水平距离x(单位:m)近似满足函数关系y=ax2+bx+c(a<0).某次喷水浇灌时,测得x与y的几组数据如表:x02610121416y00.882.162.802.882.802.56(1)根据上述数据,求这些数据满足的函数关系式.(2)判断喷水头喷出的水柱能否越过这棵树,并请说明理由.(3)在另一次喷水浇灌时,已知喷水头喷出的水柱的竖直高度y与水平距离x近似满足函数关系y=-0.04x2+bx.假设喷水头喷出的水柱能够越过这棵树,且不会浇到墙外,求出b的取值范围.8.(2024·无锡模拟)某服饰有限公司生产了一款夏季服装,通过实体商店和网上商店两种途径进行销售,销售一段时间后,该公司对这种商品的销售情况,进行了为期30天的跟踪调查,其中实体商店的日销售量y (百件)与时间(t 为整数,单位:天)的函数关系为:y 1=-15t 2+6t ,网上商店的日销售量(百件)与时间(t 为整数,单位:天)的部分对应值如图所示.(1)求y 2与t 的函数关系式,并写出自变量t 的取值范围;(2)在跟踪调查的30天中,设实体商店和网上商店的日销售总量为y (百件),求y 与t 的函数关系式;当t 为何值时,日销售总量y 达到最大?并求出此时的最大值.9.(2024·扬州模拟)如图,某跳水运动员在10米跳台上进行跳水训练,水面边缘点E 的坐标为(-1,-10),运动员(将运动员看成一点)在空中运动的路线是经过原点O 的抛物线.在跳某个规定动作时,运动员在空中最高处A 点的坐标为(34,916),正常情况下,运动员在距水面高度5米之前,必须完成规定的翻腾、打开动作,并调整好入水姿势,否则就会失误,运动员入水后,运动路线为另一条抛物线.(1)求运动员在空中运动时对应抛物线的解析式,并求出入水处点B的坐标.(2)若运动员在空中调整好入水姿势时,恰好距点E的水平距离为4米,问该运动员此次跳水会不会失误?通过计算说明理由.10.(2024·泰州一模)制作简易水流装置设计方案如图,CD是进水通道,AB是出水通道,OE是圆柱形容器的底面直径,从CD将圆柱形容器注满水,内部安装调节器,水流从B处流出且呈抛物线形.以点O为坐标原点,EO所在直线为x轴,OA所在直线为y轴建立平面直角坐标系xOy,水流最终落到x轴上的点M处.示意图已知AB∥x轴,AB=5 cm,OM=15 cm,点B为水流抛物线的顶点,点A,B,O,E,M在同一平面内,水流所在抛物线的函数表达式为y=ax2+bx+15(a≠0)任务一求水流抛物线的函数表达式;任务二现有一个底面半径为3 cm,高为11 cm的圆柱形水杯,将该水杯底面圆的圆心恰好在M处,水流是否能流到圆柱形水杯内?请通过计算说明理由.(圆柱形水杯的厚度忽略不计)任务三还是任务二的水杯,水杯的底面圆的圆心P在x轴上运动,为了使水流能流到圆柱形水杯内,直接写出OP长的取值范围.请根据活动过程完成任务一、任务二和任务三.【C层·素养挑战】11.(2024·吉林中考)小明利用一次函数和二次函数知识,设计了一个计算程序,其程序框图如图(1)所示,输入x的值为-2时,输出y的值为1;输入x的值为2时,输出y的值为3;输入x的值为3时,输出y的值为6.(1)直接写出k,a,b的值.(2)小明在平面直角坐标系中画出了关于x的函数图象,如图(2).Ⅰ.当y随x的增大而增大时,求x的取值范围.Ⅱ.若关于x的方程ax2+bx+3-t=0(t为实数),在0<x<4时无解,求t的取值范围.Ⅲ.若在函数图象上有点P,Q(P与Q不重合).P的横坐标为m,Q的横坐标为-m+1.小明对P,Q之间(含P,Q两点)的图象进行研究,当图象对应函数的最大值与最小值均不随m的变化而变化时,直接写出m的取值范围.参考答案【A层·基础过关】1.(2024·遵义红花岗一模)如图1,质量为m的小球从某高处由静止开始下落到竖直放置的轻弹簧上并压缩弹簧(已知自然状态下,弹簧的初始长度为12cm).从小球刚接触弹簧到将弹簧压缩至最短的过程中(不计空气阻力,弹簧在整个过程中始终发生弹性形变),得到小球的速度v( cm/s)和弹簧被压缩的长度Δl(cm)之间的关系图象如图2所示.根据图象,下列说法正确的是(D)A.小球从刚接触弹簧就开始减速B.当弹簧被压缩至最短时,小球的速度最大C.当小球的速度最大时,弹簧的长度为2 cmD.当小球下落至最低点时,弹簧的长度为6 cm2.(2024·青海中考改编)在如图所示的平面直角坐标系中,有一斜坡OA,从点O处抛出一个小球,落到点A(3,32)处.小球在空中所经过的路线是抛物线y=-x2+bx的一部分.则抛物线最高点的坐标是(74,4916).3.(2024·自贡中考)九(1)班劳动实践基地内有一块面积足够大的平整空地,地上两段围墙AB⊥CD于点O(如图),其中AB上的EO段围墙空缺.同学们测得AE= 6.6 m,OE=1.4 m,OB=6 m,OC=5 m,OD=3 m,班长买来可切断的围栏16 m,准备利用已有围墙,围出一块封闭的矩形菜地,则该菜地最大面积是46.4m2.4.距离地面有一定高度的某发射装置竖直向上发射物体,物体离地面的高度h(米)与物体运动的时间t(秒)之间满足函数关系h=-5t2+mt+n,其图象如图所示,物体运动的最高点离地面20米,物体从发射到落地的运动时间为3秒.设w表示0秒到t 秒时h的值的“极差”(即0秒到t秒时h的最大值与最小值的差),则当0≤t≤1时,w 的取值范围是0≤w≤5;当2≤t≤3时,w的取值范围是5≤w≤20.5.(2024·广东中考)广东省全力实施“百县千镇万村高质量发展工程”,2023年农产品进出口总额居全国首位,其中荔枝鲜果远销欧美.某果商以每吨2万元的价格收购早熟荔枝,销往国外,若按每吨5万元出售,平均每天可售出100吨.市场调查反映:如果每吨降价1万元,每天销售量相应增加50吨.该果商如何定价才能使每天的“利润”或“销售收入”最大?并求出其最大值.【解析】设该果商定价x万元时每天的“利润”为w万元w=(x-2)[100+50(5-x)]=-50(x-4.5)2+312.5∵-50<0∴w随x的增大而减小∴当x=4.5时,w有最大值,最大值为312.5万元.答:该果商定价为4.5万元时才能使每天的“利润”或“销售收入”最大,其最大值为312.5万元.6.端午节吃粽子是中华民族的传统习俗,市场上猪肉粽进价比豆沙粽进价每盒贵10元,一盒猪肉粽加两盒豆沙粽的进价为100元.(1)求每盒猪肉粽和豆沙粽的进价;(2)在销售中,某商家发现当每盒猪肉粽售价为50元时,每天可售出100盒,若每盒售价提高1元,则每天少售出2盒.设每盒猪肉粽售价为a元,销售猪肉粽的利润为w元,求该商家每天销售猪肉粽获得的最大利润.【解析】(1)设每盒猪肉粽的进价为x元,每盒豆沙粽的进价为y元由题意得{x-y=10x+2y=100,解得{x=40 y=30∴每盒猪肉粽的进价为40元,每盒豆沙粽的进价为30元;(2)w=(a-40)[100-2(a-50)]=-2(a-70)2+1 800,∵-2<0,∴当a=70时,w有最大值,最大值为1 800元.∴该商家每天销售猪肉粽获得的最大利润为1 800元.【B层·能力提升】7.(2024·黔南一模)如图1是某公园喷水头喷出的水柱.如图2是其示意图,点O处有一个喷水头,距离喷水头8 m的M处有一棵高度是2.3 m的树,距离这棵树10 m 的N处有一面高2.2 m的围墙(点O,M,N在同一直线上).建立如图2所示的平面直角坐标系.已知浇灌时,喷水头喷出的水柱的竖直高度y(单位:m)与水平距离x(单位:m)近似满足函数关系y=ax2+bx+c(a<0).某次喷水浇灌时,测得x与y的几组数据如表:x02610121416y00.882.162.802.882.802.56(1)根据上述数据,求这些数据满足的函数关系式.(2)判断喷水头喷出的水柱能否越过这棵树,并请说明理由.(3)在另一次喷水浇灌时,已知喷水头喷出的水柱的竖直高度y与水平距离x近似满足函数关系y=-0.04x2+bx.假设喷水头喷出的水柱能够越过这棵树,且不会浇到墙外,求出b的取值范围.【解析】(1)由题意,根据抛物线过原点,设抛物线解析式为y =ax 2+bx 把x =2,y =0.88和x =6,y =2.16代入y =ax 2+bx 得:{4a +2b =0.8836a +6b =2.16解得{a =-0.02b =0.48∴抛物线解析式为y =-0.02x 2+0.48x. (2)由题意,当x =8时,y =-0.02×82+0.48×8=2.56. ∵2.56>2.3∴喷水头喷出的水柱能越过这棵树. (3)∵喷水头喷出的水柱能够越过这棵树 ∴当x =8时,y >2.3 即-0.04×82+8b >2.3 ∴b >243400∵喷水头喷出的水柱不会浇到墙外 ∴当x =18时,y <2.2 即-0.04×182+18b <2.2,∴b <379450抛物线对称轴为x =-b2×(-0.04)=b2×0.04∵喷水头喷出的水柱能够越过这棵树,且不会浇到墙外 ∴对称轴所在直线在围墙与喷水头中点的左侧. ∴b 2×0.04<182=9,∴b <1825.∴243400<b <1825.8.(2024·无锡模拟)某服饰有限公司生产了一款夏季服装,通过实体商店和网上商店两种途径进行销售,销售一段时间后,该公司对这种商品的销售情况,进行了为期30天的跟踪调查,其中实体商店的日销售量y (百件)与时间(t 为整数,单位:天)的函数关系为:y 1=-15t 2+6t ,网上商店的日销售量(百件)与时间(t 为整数,单位:天)的部分对应值如图所示.(1)求y 2与t 的函数关系式,并写出自变量t 的取值范围;(2)在跟踪调查的30天中,设实体商店和网上商店的日销售总量为y (百件),求y 与t 的函数关系式;当t 为何值时,日销售总量y 达到最大?并求出此时的最大值. 【解析】(1)当0≤t ≤10时,设y 2=kt ∵(10,40)在其图像上,∴10k =40,∴k =4 ∴y 2与t 的函数关系式为y 2=4t ; 当10≤t ≤30时,设y 2=mt +n 将(10,40),(30,60)代入得{10m +n =4030m +n =60,解得{m =1n =30∴y 2与t 的函数关系式为y 2=t +30综上所述,y 2与t 的函数关系式为y 2={4t (0≤t ≤10且为整数)t +30(10<t ≤30且为整数);(2)依题意得y =y 1+y 2,当0≤t ≤10时,y =-15t 2+6t +4t =-15t 2+10t =-15(t -25)2+125,∴t =10时,y最大=80;当10<t ≤30时,y =-15t 2+6t +t +30=-15t 2+7t +30=-15(t -352)2+3654∵t 为整数,∴t =17或18时,y 最大=91.2∵91.2>80,∴当t =17或18时,日销售总量y 达到最大,最大值为91.2百件.9.(2024·扬州模拟)如图,某跳水运动员在10米跳台上进行跳水训练,水面边缘点E 的坐标为(-1,-10),运动员(将运动员看成一点)在空中运动的路线是经过原点O 的抛物线.在跳某个规定动作时,运动员在空中最高处A 点的坐标为(34,916),正常情况下,运动员在距水面高度5米之前,必须完成规定的翻腾、打开动作,并调整好入水姿势,否则就会失误,运动员入水后,运动路线为另一条抛物线.(1)求运动员在空中运动时对应抛物线的解析式,并求出入水处点B 的坐标. (2)若运动员在空中调整好入水姿势时,恰好距点E 的水平距离为4米,问该运动员此次跳水会不会失误?通过计算说明理由. 【解析】∵运动员在空中最高处A 点的坐标为(34,916),∴A 点为抛物线的顶点,∴设该抛物线的解析式为y =a (x -34)2+916∵该抛物线经过点(0,0),∴916a =-916∴a =-1∴抛物线的解析式为y =-(x -34)2+916=-x 2+32x. ∵跳水运动员在10米跳台上进行跳水训练 ∴令y =-10,则-x 2+32x =-10∴x =4或x =-52,∴B (4,-10);(2)该运动员此次跳水不会失误,理由:∵运动员在空中调整好入水姿势时,恰好距点E 的水平距离为4米,点E 的坐标为(-1,-10),∴运动员在空中调整好入水姿势时的点的横坐标为3当x=3时,y=-32+3×32=-92∴运动员距水面高度为10-92=5.5(米)∵5.5>5,∴该运动员此次跳水不会失误.10.(2024·泰州一模)制作简易水流装置设计方案如图,CD是进水通道,AB是出水通道,OE是圆柱形容器的底面直径,从CD将圆柱形容器注满水,内部安装调节器,水流从B处流出且呈抛物线形.以点O为坐标原点,EO所在直线为x轴,OA所在直线为y轴建立平面直角坐标系xOy,水流最终落到x轴上的点M处.示意图已知AB∥x轴,AB=5 cm,OM=15 cm,点B为水流抛物线的顶点,点A,B,O,E,M在同一平面内,水流所在抛物线的函数表达式为y=ax2+bx+15(a≠0)任务一求水流抛物线的函数表达式;任务二现有一个底面半径为3 cm,高为11 cm的圆柱形水杯,将该水杯底面圆的圆心恰好在M处,水流是否能流到圆柱形水杯内?请通过计算说明理由.(圆柱形水杯的厚度忽略不计)任务还是任务二的水杯,水杯的底面圆的圆心P在x轴上运动,为了使水流能流到圆柱形水杯内,直接写出OP长的取值范围.三请根据活动过程完成任务一、任务二和任务三.【解析】任务一:∵AB∥x轴,AB=5 cm,点B为水流抛物线的顶点,∴抛物线的对称轴为x=5.∴-b=5.∴b=-10a.2a把点M(15,0)代入抛物线y=ax2+bx+15得:15a+b+1=0把b=-10a代入15a+b+1=0 得:15a-10a+1=0,解得a=-1,∴b=25x2+2x+15.∴水流抛物线的函数表达式为y=-15任务二:圆柱形水杯最左端到点O的距离是15-3=12,当x=12时×122+2×12+15=10.2,∵11>10.2y=-15∴水流不能流到圆柱形水杯内.任务三:2+3√5<OP<8+3√5.【C层·素养挑战】11.(2024·吉林中考)小明利用一次函数和二次函数知识,设计了一个计算程序,其程序框图如图(1)所示,输入x的值为-2时,输出y的值为1;输入x的值为2时,输出y的值为3;输入x的值为3时,输出y的值为6.(1)直接写出k,a,b的值.(2)小明在平面直角坐标系中画出了关于x的函数图象,如图(2).Ⅰ.当y 随x 的增大而增大时,求x 的取值范围.Ⅱ.若关于x 的方程ax 2+bx +3-t =0(t 为实数),在0<x <4时无解,求t 的取值范围. Ⅲ.若在函数图象上有点P ,Q (P 与Q 不重合).P 的横坐标为m ,Q 的横坐标为-m +1.小明对P ,Q 之间(含P ,Q 两点)的图象进行研究,当图象对应函数的最大值与最小值均不随m 的变化而变化时,直接写出m 的取值范围. 【解析】(1)∵x =-2<0 ∴将x =-2,y =1代入y =kx +3 得-2k +3=1,解得k =1. ∵x =2>0,x =3>0∴将x =2,y =3,x =3,y =6代入 y =ax 2+bx +3得{4a +2b +3=39a +3b +3=6,解得{a =1b =-2. (2)Ⅰ.∵k =1,a =1,b =-2∴一次函数解析式为y =x +3,二次函数解析式为y =x 2-2x +3. 当x >0时,y =x 2-2x +3,对称轴为直线x =1,开口向上 ∴当x ≥1时,y 随x 的增大而增大; 当x ≤0时,y =x +3,k =1>0∴当x ≤0时,y 随x 的增大而增大. 综上,x 的取值范围为x ≤0或x ≥1.Ⅱ.∵ax 2+bx +3-t =0∴ax 2+bx +3=t 在0<x <4时无解∴问题转化为抛物线y =x 2-2x +3与直线y =t 在0<x <4时无交点.∵对于y=x2-2x+3,当x=1时,y=2∴顶点为(1,2),如图:∴当t=2时,抛物线y=x2-2x+3与直线y=t在0<x<4时正好有一个交点;当t<2时,抛物线y=x2-2x+3与直线y=t在0<x<4时没有交点.当x=4时,y=16-8+3=11∴当t≥11时,抛物线y=x2-2x+3与直线y=t在0<x<4时没有交点∴当t<2或t≥11时,抛物线y=x2-2x+3与直线y=t在0<x<4时没有交点即当t<2或t≥11时,关于x的方程ax2+bx+3-t=0(t为实数),在0<x<4时无解.Ⅲ.∵x P=m,x Q=-m+1∴m+(-m+1)2=1 2∴点P,Q关于直线x=12对称.当x=1时,y最小值=1-2+3=2,当x=0时,y最大值=3.∵图象对应函数的最大值与最小值均不随m的变化而变化,而当x=2时,y=3,当x=-1时,y=2∴①当m>12时,如图:由题意得{-1≤-m+1≤01≤m≤2∴1≤m≤2;时,如图:②当m<12由题意得{-1≤m≤01≤-m+1≤2∴-1≤m≤0.综上,-1≤m≤0或1≤m≤2.。
2020年中考数学专项训练： 二次函数的实际应用(含答案)
课时训练(十四)二次函数的实际应用(限时:40分钟)|夯实基础|1.[2019·临沂]从地面竖直向上抛出一小球,小球的高度h(单位:m)与小球运动时间t(单位:s)之间的函数关系如图K14-1所示.下列结论:①小球在空中经过的路程是40 m;①小球抛出3秒后,速度越来越快;③小球抛出3秒时速度为0;④小球的高度h=30 m时,t=1.5 s.其中正确的是()图K14-1A.①④B.①②C.②③④D.②③2.[2018·连云港]已知学校航模组设计制作的火箭的升空高度h(m)与飞行时间t(s)满足函数表达式h=-t2+24t+1,则下列说法中正确的是()A.点火后9 s和点火后13 s的升空高度相同B.点火后24 s火箭落于地面C.点火后10 s的升空高度为139 mD.火箭升空的最大高度为145 m,为了使该商品的销售金额最大,那么m的值应该3.销售某种商品,如果单价上涨m%,则售出的数量就减少m150为.x2, 4.河北省赵县赵州桥的桥拱是近似的抛物线,建立如图K14-2所示的平面直角坐标系,其函数关系式为y=-125当水面离桥拱顶的高度DO是4 m时,水面宽度AB=m.图K14-25.[2019·毕节]某山区不仅有美丽风光,也有许多令人喜爱的土特产,为实现脱贫奔小康,某村组织村民加工包装土特产销售给游客,以增加村民收入.已知某种土特产每袋成本10元.试销阶段每袋的销售价x(元)与该土特产的日销售量y(袋)之间的关系如下表:x(元) 15 20 30 …y(袋) 25 20 10 …若日销售量y是销售价x的一次函数,试求:(1)日销售量y(袋)与销售价x(元)的函数关系式.(2)假设后续销售情况与试销阶段效果相同,要使这种土特产每日销售的利润最大,每袋的销售价应定为多少元?每日销售的最大利润是多少元?6.[2019·湘潭]湘潭政府工作报告中强调,2019年着重推进乡村振兴战略,做优做响湘莲等特色农产品品牌.小亮调查了一家湘潭特产店A,B两种湘莲礼盒一个月的销售情况,A种湘莲礼盒进价72元/盒,售价120元/盒,B种湘莲礼盒进价40元/盒,售价80元/盒,这两种湘莲礼盒这个月平均每天的销售总额为2800元,平均每天的总利润为1280元.(1)求该店平均每天销售这两种湘莲礼盒各多少盒?(2)小亮调查发现,A种湘莲礼盒售价每降3元可多卖1盒.若B种湘莲礼盒的售价和销量不变,当A种湘莲礼盒每盒降价多少元时,这两种湘莲礼盒平均每天的总利润最大,最大是多少元?7.[2018·扬州]“扬州漆器”名扬天下,某网店专门销售某种品牌的漆器笔筒,成本为30元/件,每天销售量y(件)与销售单价x(元)之间存在一次函数关系,如图K14-3所示.(1)求y与x之间的函数关系式.(2)如果规定每天漆器笔筒的销售量不低于240件,当销售单价为多少元时,每天获取的利润最大,最大利润是多少?(3)该网店店主热心公益事业,决定从每天的销售利润中捐出150元给希望工程,为了保证捐款后每天剩余利润不低于3600元,试确定该漆器笔筒销售单价的范围.图K14-3|拓展提升|8.某商人将进价为8元的商品按每件10元出售,每天可销售100件,已知这种商品的售价每提高2元,其销量就要减少10件,为了使每天所赚利润最多,该商人应将售价(为偶数)提高 ()A.8元或10元B.12元C.8元D.10元9.如图K14-4,一个拱形桥架可以近似看作是由等腰梯形ABD8D1和其上方的抛物线D1OD8组成.若建立如图所示的直角坐标系,跨度AB=44米,∠A=45°,AC1=4米,点D2的坐标为(-13,-1.69),则桥架的拱高OH=米.图K14-410.[2019·随州]某食品厂生产一种半成品食材,成本为2元/千克,每天的产量p(百千克)与销售价格x(元/千克)满足函数关系式p=1x+8,从市场反馈的信息发现,该半成品食材每天的市场需求量q(百千克)与销售价格x(元/千2克)满足一次函数关系,部分数据如下表:销售价格x(元/千克) 2 4 (10)市场需求量q(百千克) 12 10 (4)已知按物价部门规定销售价格x不低于2元/千克且不高于10元/千克.(1)直接写出q与x的函数关系式,并注明自变量x的取值范围.(2)当每天的产量小于或等于市场需求量时,这种半成品食材能全部售出,而当每天的产量大于市场需求量时,只能售出符合市场需求量的半成品食材,剩余的食材由于保质期短而只能废弃.①当每天的半成品食材能全部售出时,求x的取值范围;②求厂家每天获得的利润y(百元)与销售价格x的函数关系式.(3)在(2)的条件下,当x为元/千克时,利润y有最大值;若要使每天的利润不低于24(百元),并尽可能地减少半成品食材的浪费,则x应定为元/千克.【参考答案】1.D [解析]①由图象知小球在空中达到的最大高度是40 m .故①错误. ②小球抛出3秒后,速度越来越快.故②正确. ③小球抛出3秒时达到最高点,即速度为0.故③正确. ④设函数解析式为:h=a (t -3)2+40,把O (0,0)代入,得0=a (0-3)2+40,解得a=-409, ∴函数解析式为h=-409(t -3)2+40. 把h=30代入解析式,得30=-409(t -3)2+40,解得t=4.5或t=1.5.∴小球的高度h=30 m 时,t=1.5 s 或4.5 s,故④错误. 故选D .2.D [解析]A .当t=9时,h=-81+216+1=136,当t=13时,h=-169+312+1=144,升空高度不相同,故A 选项说法错误; B .当t=24时,h=-576+576+1=1,火箭的升空高度是1 m,故B 选项说法错误; C .当t=10时,h=-100+240+1=141,故C 选项说法错误; D .根据题意可得,最大高度为4ac -b 24a=-4-576-4=145(m),故D 选项说法正确.故选D .3.25 [解析]设原价为1,销售量为y , 则现在的单价是(1+m %),销售量是1-m150y ,根据销售额的计算方法得: 销售额w=(1+m %)1-m150y ,w=-115000(m 2-50m -15000)y , w=-115000(m -25)2+2524·y ,∵y 是已知的正数, ∴当-115000(m -25)2+2524最大时,w 最大,根据二次函数的性质,当m=25时,w 最大.4.20 [解析]由已知水面离桥拱顶的高度DO 是4 m 知点B 的纵坐标为-4,把y=-4代入y=-125x 2,得-4=-125x 2,解得x=±10,所以这时水面宽度AB 为20 m .5.解:(1)根据表格的数据,设日销售量y (袋)与销售价x (元)的函数关系式为y=kx +b ,得 {25=15k +b ,20=20k +b ,解得{k =-1,b =40,故日销售量y (袋)与销售价x (元)的函数关系式为y=-x +40. (2)设利润为w 元,依题意,得 w=(x -10)(-x +40)=-x 2+50x -400,整理得w=-(x -25)2+225. ∵-1<0,∴当x=25时,w 取得最大值,最大值为225.答:要使这种土特产每日销售的利润最大,每袋的销售价应定为25元,每日销售的最大利润是225元. 6.解:(1)根据题意,可设平均每天销售A 种礼盒x 盒,B 种礼盒y 盒, 则有{(120-72)x +(80-40)y =1280,120x +80y =2800,解得{x =10,y =20.故该店平均每天销售A 种礼盒10盒,B 种礼盒20盒.(2)设A 种湘莲礼盒降价m 元/盒,总利润为W 元,依题意,总利润W=(120-m -72)10+m 3+20×(80-40).化简得W=-13m 2+6m +1280=-13(m -9)2+1307.∵a=-13<0,∴当m=9(符合实际)时,W 取得最大值1307.故当A 种湘莲礼盒每盒降价9元时,这两种湘莲礼盒平均每天的总利润最大,最大是1307元. 7.解:(1)设y 与x 之间的关系式为y=kx +b (k ≠0,b 为常数).由题意得:{40k +b =300,55k +b =150,解得:{k =-10,b =700.∴y=-10x +700. (2)根据题意得y ≥240, 即-10x +700≥240,解得x ≤46.设利润为w 元,由题意,w=(x -30)·y=(x -30)(-10x +700),则w=-10x 2+1000x -21000=-10(x -50)2+4000, ∵-10<0,∴x<50时,w 随x 的增大而增大,∴x=46时,w 最大=-10×(46-50)2+4000=3840.答:当销售单价为46元时,每天获取的利润最大,最大利润是3840元. (3)设剩余利润为z (元), 则z=w -150=-10(x -50)2+3850. 当z=3600时,-10(x -50)2+3850=3600, 解得:x 1=55,x 2=45.z=-10(x -50)2+3850的图象如图所示,由图象得:当45≤x ≤55时,捐款后每天剩余利润不低于3600元. 答:单价的范围是45≤x ≤55.8.A [解析]设这种商品的售价为x 元,每天所赚的利润为y 元,依题意,得y=(x -8)·100-10×x -102=-5x 2+190x -1200=-5(x -19)2+605, ∵-5<0,∴抛物线开口向下,函数有最大值, 即当x=19时,y 的最大值为605, ∵售价为偶数, ∴x 为18或20, 当x=18时,y=600, 当x=20时,y=600,∴x 为18和20时,y 的值相同,∴商品售价应提高18-10=8(元)或20-10=10(元), 故选:A .9.7.24 [解析]设抛物线D 1OD 8的解析式为y=ax 2,将x=-13,y=-1.69代入,解得a=-1100. ∵D 1D 8=C 1C 8=AB -2AC 1=36(米),∴点D 1的横坐标是-18,代入y=-1100x 2可得y=-3.24. 又∵∠A=45°, ∴D 1C 1=AC 1=4米, ∴OH=3.24+4=7.24 (米).10.解:(1)设q 与x 的函数解析式为q=kx +b , 由表格可知函数图象经过点(2,12),(4,10), 所以有{2k +b =12,4k +b =10,解得{k =-1,b =14,∴q 与x 的函数解析式为q=-x +14,x 的取值范围为2≤x ≤10. (2)①由题意可知当每天的半成品食材能全部售出时, 有p ≤q ,即12x +8≤-x +14,解得x ≤4, 又因为2≤x ≤10,所以2≤x ≤4.②由①知,当2≤x ≤4时, y=(x -2)p=(x -2)12x +8=12x 2+7x -16; 当4<x ≤10时,y=(x -2)q -2(p -q )=(x -2)(-x +14)-212x +8-(-x +14)=-x 2+13x -16.综上可得y={12x 2+7x -16(2≤x ≤4),-x 2+13x -16(4<x ≤10).(3)1325。
2020年《二次函数》解答题中考题汇编4答案与解析
答案与解析一．二次函数图象与系数的关系1．【分析】（1）利用待定系数法解决问题即可． （2）函数y 1的图象经过点（r ，0），其中r ≠0，可得r 2+br +a ＝0，推出1++＝0，即a （）2+b •+1＝0，推出是方程ax 2+bx +1的根，可得结论． （3）由题意a ＞0，∴m＝，n＝，根据m +n ＝0，构建方程可得结论． 【解答】解：（1）由题意，得到﹣＝3，解得b ＝﹣6， ∵函数y 1的图象经过（a ，﹣6）， ∴a2﹣6a +a ＝﹣6， 解得a ＝2或a ＝3， ∴函数y 1＝x 2﹣6x +2或y 1＝x 2﹣6x +3．（2）∵函数y 1的图象经过点（r ，0），其中r ≠0， ∴r 2+br +a ＝0，∴1++＝0， 即a（）2+b•+1＝0， ∴是方程ax 2+bx +1＝0的根，即函数y 2的图象经过点（，0）． （3）由题意a ＞0，∴m ＝，n ＝，∵m +n ＝0， ∴+＝0，∴（4a ﹣b 2）（a +1）＝0，∵a +1＞0， ∴4a ﹣b 2＝0，∴m ＝n ＝0． 二．待定系数法求二次函数解析式2．【分析】（1）把解析式化成顶点式即可求得；（2）根据顶点式求得坐标，根据题意得到关于a 的方程解方程求得a 的值，从而求得抛物线的解析式；（3）根据对称轴得到其对称点，再根据二次函数的增减性写出m 的取值．【解答】解：（1）∵抛物线y ＝ax 2﹣2ax ﹣3+2a 2＝a （x ﹣1）2+2a 2﹣a ﹣3．∴抛物线的对称轴为直线x ＝1；（2）∵抛物线的顶点在x 轴上，∴2a 2﹣a ﹣3＝0， 江南汇教育网版权所有 转载必究 江南汇教育网 版权所有 转载必究 江南汇教育网版权所有 转载必究 江南汇教育网版权所有 转载必究 江南汇教育网版权所有 转载必究 江南汇教育网解得a＝或a ＝﹣1，∴抛物线为y ＝x 2﹣3x +或y ＝﹣x 2+2x ﹣1； （3）∵抛物线的对称轴为x ＝1，则Q （3，y 2）关于x ＝1对称点的坐标为（﹣1，y 2），∴当a ＞0，﹣1＜m ＜3时，y 1＜y 2；当a ＜0，m ＜﹣1或m ＞3时，y 1＜y 2．3．【分析】（1）先求出点B ，点A 坐标，代入解析式可求c 的值，即可求解； （2）先求出点M ，点N 坐标，即可求解． 【解答】解：（1）∵抛物线y ＝﹣x 2+2x +c 与y 轴正半轴交于点B ， ∴点B （0，c ）， ∵OA ＝OB ＝c ，∴点A （c ，0）， ∴0＝﹣c 2+2c +c ，∴c ＝3或0（舍去）， ∴抛物线解析式为：y ＝﹣x 2+2x +3，∵y ＝﹣x 2+2x +3＝﹣（x ﹣1）2+4， ∴顶点G 的坐标为（1，4）；（2）∵y ＝﹣x 2+2x +3＝﹣（x ﹣1）2+4， ∴对称轴为直线x ＝1，∵点M ，N 为抛物线上两点（点M 在点N 的左侧），且到对称轴的距离分别为3个单位长度和5个单位长度，∴点M 的横坐标为﹣2或4，点N 的横坐标为6， ∴点M 坐标为（﹣2，﹣5）或（4，﹣5），点N 坐标为（6，﹣21），∵点Q 为抛物线上点M ，N 之间（含点M ，N ）的一个动点， ∴﹣21≤y Q ≤4或﹣21≤y Q ≤﹣5．三．抛物线与x 轴的交点 4．【分析】（1）抛物线的对称轴为x ＝2，即﹣b ＝2，解得：b ＝﹣4，即可求解； （2）求出点B 、C 的坐标分别为（1，﹣3）、（3，﹣3），则BC ＝2，而四边形PBCQ 为平行四边形，则PQ ＝BC ＝2，故x 2﹣x 1＝2，即可求解． 【解答】解：（1）直线与抛物线的对称轴交于点D （2，﹣3）， 故抛物线的对称轴为x ＝2，即﹣b ＝2，解得：b ＝﹣4，故抛物线的表达式为：y ＝x 2﹣4x ； （2）把y ＝﹣3代入y ＝x 2﹣4x 并解得x ＝1或3，故点B 、C 的坐标分别为（1，﹣3）、（3，﹣3），则BC ＝2， ∵四边形PBCQ 为平行四边形， ∴PQ ＝BC ＝2，故x 2﹣x 1＝2，又∵y 1＝x 12﹣4x 1，y 2＝x 22﹣4x 2，|y 1﹣y 2|＝2，故|（x 12﹣4x 1）﹣（x 22﹣4x 2）|＝2，|x 1+x 2﹣4|＝1．∴x 1+x 2＝5或x 1+x 2＝3， 江南汇教育网版权所有 转载必究 江南汇教育网 版权所有 转载必究 江南汇教育网 版权所有 转载必究 江南汇教育网版权所有 转载必究 江南汇教育网版权所有 转载必究 江南汇教育网由，解得； 由，解得．5．【分析】（1）由y ＝﹣x 2+（a +1）x ﹣a ，令y ＝0，即﹣x 2+（a +1）x ﹣a ＝0，可求出A 、B 坐标结合三角形的面积，解出a ＝﹣3；（2）根据题意P 的纵坐标为±3，分别代入解析式即可求得横坐标，从而求得P 的坐标． 【解答】解：（1）∵y ＝﹣x 2+（a +1）x ﹣a ，令x ＝0，则y ＝﹣a ， ∴C （0，﹣a ），令y ＝0，即﹣x 2+（a +1）x ﹣a ＝0 解得x 1＝a ，x 2＝1由图象知：a ＜0 ∴A （a ，0），B （1，0）∵S △ABC ＝6 ∴（1﹣a ）（﹣a ）＝6 解得：a ＝﹣3，（a ＝4舍去）；（2）∵a ＝﹣3， ∴C （0，3），∵S △ABP ＝S △ABC ． ∴P 点的纵坐标为±3，把y ＝3代入y ＝﹣x 2﹣2x +3得﹣x 2﹣2x +3＝3，解得x ＝﹣2或x ＝0（与点C 重合，舍去）； 把y ＝﹣3代入y ＝﹣x 2﹣2x +3得﹣x 2﹣2x +3＝﹣3，解得x ＝﹣1+或x ＝﹣1﹣，∴P 点的坐标为（﹣2，3）或（﹣1+，﹣3）或（﹣1﹣，﹣3）． 四．二次函数综合题6．【分析】（1）运用待定系数法即可求解； （2）先求出点C 的坐标，根据抛物线与x 轴的两个交点，可求对称轴，找到点C 关于对称轴的对应点；先运用待定系数法求出直线BC 的解析式，再根据互相平行的两直线的关系求出与BC 平行的直线AP 2的解析式，联立抛物线解析式即可求解． 【解答】解：（1）根据题意得， 解得． 故抛物线的解析式为y ＝﹣x 2+2x +3；（2）二次函数y ＝﹣x 2+2x +3的对称轴是x ＝（﹣1+3）÷2＝1，当x ＝0时，y ＝3，则C （0，3），点C 关于对称轴的对应点P 1（2，3），设直线BC 的解析式为y ＝kx +3， 江南汇教育网 版权所有 转载必究 江南汇教育网 版权所有 转载必究 江南汇教育网 版权所有 转载必究 江南汇教育网 版权所有 转载必究 江南汇教育网 版权所有 转载必究 江南汇教育网则3k +3＝0，解得k ＝﹣1．则直线BC 的解析式为y ＝﹣x +3， 设与BC 平行的直线AP 2的解析式为y ＝﹣x +m ， 则1+m ＝0， 解得m ＝﹣1．则与BC 平行的直线AP 2的解析式为y ＝﹣x ﹣1， 联立抛物线解析式得， 解得，（舍去）．P 2（4，﹣5）．综上所述，P 1（2，3），P 2（4，﹣5）． 7．【分析】（1）根据平移规律：上加下减，左加右减，直接写出平移后的解析式； （2）过点A 作AC ⊥x 轴于点C ，过B 作BD ⊥AC 于点D ，设A （a ，（a ﹣2）2﹣6），则BD ＝a ﹣2，AC ＝|（a ﹣2）2﹣6|，再证明△ABD ≌△OAC ，由全等三角形的性质得a 的方程求得a 便可得A 的坐标；（3）由两直线解析式分别与抛物线的解析式联立方程组，求出M 、N 点的坐标，进而求得MN 的解析式，再根据解析式的特征得出MN 经过一个定点．【解答】解：（1）∵抛物线C ：y ＝（x ﹣2）2向下平移6个单位长度得到抛物线C 1， ∴C 1：y ＝（x ﹣2）2﹣6，∵将抛物线C 1向左平移2个单位长度得到抛物线C 2．∴C 2：y ＝（x ﹣2+2）2﹣6，即y ＝x 2﹣6；（2）过点A 作AC ⊥x 轴于点C ，过B 作BD ⊥AC 于点D ，如图1，设A （a ，（a ﹣2）2﹣6），则BD ＝a ﹣2，AC ＝|（a ﹣2）2﹣6|，∵∠BAO ＝∠ACO ＝90°， ∴∠BAD +∠OAC ＝∠OAC +∠AOC ＝90°，∴∠BAD ＝∠AOC ， ∵AB＝OA ，∠ADB ＝∠OCA ， ∴△ABD ≌△OAC （AAS ）， ∴BD ＝AC ，∴a ﹣2＝|（a ﹣2）2﹣6|， 江南汇教育网 版权所有 转载必究 江南汇教育网 版权所有 转载必究 江南汇教育网版权所有 转载必究 江南汇教育网 版权所有 转载必究 江南汇教育网版权所有 转载必究 江南汇教育网解得，a ＝4，或a ＝﹣1（舍），或a ＝0（舍），或a ＝5，∴A （4，﹣2）或（5，3）；（3）把y ＝kx 代入y ＝x 2﹣6中得，x 2﹣kx ﹣6＝0， ∴x E +x F ＝k ，∴M（）， 把y ＝﹣x 代入y ＝x 2﹣6中得，x 2+x ﹣6＝0， ∴，∴N （，）， 设MN 的解析式为y ＝mx +n （m ≠0），则 ，解得，， ∴直线MN 的解析式为：，当x ＝0时，y ＝2，∴直线MN ：经过定点（0，2）， 即直线MN 经过一个定点． 8．【分析】（1）令x ＝0，由y ＝﹣x +2，得A 点坐标，令y ＝0，由y ＝﹣x +2，得C 点坐标，将A 、C 的坐标代入抛物线的解析式便可求得抛物线的解析式，进而由二次函数解析式令y ＝0，便可求得B 点坐标； （2）过M 点作MN ⊥x 轴，与AC 交于点N ，设M （a ，），则N （a ，），由三角形的面积公式表示出四边形的面积关于a 的函数关系式，再根据二次函数的性质求得最大值，并求得a 的值，便可得M 点的坐标； 江南汇教育网版权所有 转载必究 江南汇教育网版权所有 转载必究 江南汇教育网 版权所有 转载必究 江南汇教育网版权所有 转载必究 江南汇教育网 版权所有 转载必究 江南汇教育网（3）根据旋转性质，求得O ′点和A ′点的坐标，令O ′点和A ′点在抛物线上时，求出m 的最大和最小值便可．【解答】解：（1）令x ＝0，得y ＝﹣x +2＝2， ∴A （0，2），令y ＝0，得y ＝﹣x +2＝0，解得，x ＝4，∴C （4，0）， 把A 、C 两点代入y ＝﹣x 2+bx +c 得， ，解得， ∴抛物线的解析式为， 令y ＝0，得＝0， 解得，x ＝4，或x ＝﹣2， ∴B （﹣2，0）； （2）过M 点作MN ⊥x 轴，与AC 交于点N ，如图1，设M （a，），则N （a ，）， ∴＝， ∵，∴S 四边形ABCM ＝S △ACM +S △ABC ＝，∴当a ＝2时，四边形ABCM 面积最大，其最大值为8， 此时M 的坐标为（2，2）； （3）∵将线段OA 绕x 轴上的动点P （m ，0）顺时针旋转90°得到线段O ′A ′，如图2， 江南汇教育网 版权所有 转载必究 江南汇教育网 版权所有 转载必究 江南汇教育网 版权所有 转载必究 江南汇教育网 版权所有 转载必究 江南汇教育网版权所有 转载必究 江南汇教育网∴PO′＝PO ＝m ，O ′A ′＝OA ＝2， ∴O ′（m ，m ），A ′（m +2，m ）， 当A ′（m +2，m ）在抛物线上时，有， 解得，m ＝﹣3， 当点O ′（m ，m ）在抛物线上时，有， 解得，m ＝﹣4或2， ∴当﹣3﹣≤m ≤﹣4或﹣3+≤m ≤2时，线段O ′A ′与抛物线只有一个公共点．9．【分析】（1）将点（3，12）和（﹣2，﹣3）代入抛物线表达式，即可求解； （2）由题意得：PD ＝DE ＝3时，以P 、D 、E 为顶点的三角形与△AOC 全等，分点P 在抛物线对称轴右侧、点P 在抛物线对称轴的左侧两种情况，分别求解即可． 【解答】解：（1）将点（3，12）和（﹣2，﹣3）代入抛物线表达式得，解得， 故抛物线的表达式为：y ＝x 2+2x ﹣3；（2）抛物线的对称轴为x ＝﹣1，令y ＝0，则x ＝﹣3或1，令x ＝0，则y ＝﹣3， 故点A 、B 的坐标分别为（﹣3，0）、（1，0）；点C （0，﹣3）， 故OA ＝OC ＝3，∵∠PDE ＝∠AOC ＝90°， ∴当PD ＝DE ＝3时，以P 、D 、E 为顶点的三角形与△AOC 全等， 设点P （m ，n ），当点P 在抛物线对称轴右侧时，m ﹣（﹣1）＝3，解得：m ＝2， 故n ＝22+2×2﹣3＝5，故点P （2，5），故点E （﹣1，2）或（﹣1，8）； 当点P 在抛物线对称轴的左侧时，由抛物线的对称性可得，点P （﹣4，5），此时点E 坐标同上，综上，点P 的坐标为（2，5）或（﹣4，5）；点E 的坐标为（﹣1，2）或（﹣1，8）． 江南汇教育网版权所有 转载必究 江南汇教育网 版权所有 转载必究 江南汇教育网版权所有 转载必究 江南汇教育网 版权所有 转载必究 江南汇教育网版权所有 转载必究 江南汇教育网10．【分析】（1）抛物线y ＝ax 2+bx ﹣2，则c ＝﹣2，故OC ＝2，而OA ＝2OC ＝8OB ，则OA ＝4，OB ＝，确定点A 、B 、C 的坐标；即可求解； （2）抛物线的对称轴为x ＝﹣，当PC ∥AB 时，点P 、C 的纵坐标相同，即可求解； （3）△P AC 的面积S ＝S △PHA +S △PHC ＝PH ×OA ，即可求解． 【解答】解：（1）抛物线y ＝ax 2+bx ﹣2，则c ＝﹣2，故OC ＝2， 而OA ＝2OC ＝8OB ，则OA ＝4，OB ＝，故点A 、B 、C 的坐标分别为（﹣4，0）、（，0）、（0，﹣2）； 则y ＝a （x +4）（x ﹣）＝a （x 2+x ﹣2）＝ax 2+bx ﹣2，故a ＝1， 故抛物线的表达式为：y ＝x 2+x ﹣2； （2）抛物线的对称轴为x ＝﹣，当PC ∥AB 时，点P 、C 的纵坐标相同，根据函数的对称性得点P（﹣，﹣2）；（3）过点P 作PH ∥y 轴交AC 于点H ， 设P （x ，x 2+﹣2），由点A 、C 的坐标得，直线AC 的表达式为：y ＝﹣x ﹣2， 江南汇教育网版权所有 转载必究 江南汇教育网 版权所有 转载必究 江南汇教育网 版权所有 转载必究 江南汇教育网 版权所有 转载必究 江南汇教育网版权所有 转载必究 江南汇教育网则△P AC 的面积S ＝S △PHA +S △PHC＝PH ×OA＝×4×（﹣x ﹣2﹣x 2﹣x +2）＝﹣2（x +2）2+8， ∵﹣2＜0， ∴S 有最大值，当x ＝﹣2时，S 的最大值为8，此时点P （﹣2，﹣5）． 11．【分析】（1）根据交点式设出抛物线的解析式，再将点C 坐标代入抛物线交点式中，即可求出a ，即可得出结论；（2）①先利用待定系数法求出直线AC 的解析式，再利用相似三角形得出比例式求出BF ，进而得出点E 坐标，最后用待定系数法，即可得出结论； ②Ⅰ、当点R 在直线l 右侧时，先确定出点Q 的坐标，设点P （x ，﹣x 2+x +4）（1＜x ＜4），得出PG ＝x ﹣1，GQ ＝﹣x 2+x +3，再利用三垂线构造出△PQG ≌△QRH （AAS ），得出RH ＝GQ ＝﹣x 2+x +3，QH ＝PG ＝x ﹣1，进而得出R （﹣x 2+x +4，2﹣x ），最后代入直线BD 的解析式中，即可求出x 的值，即可得出结论；Ⅱ、当R 在直线l 左侧时，同Ⅰ的方法即可得出结论． 【解答】解：（1）∵抛物线y ＝ax 2+bx +c 经过A （﹣2，0），B （4，0），∴设抛物线的解析式为y ＝a （x +2）（x ﹣4）， 将点C 坐标（0，4）代入抛物线的解析式为y ＝a （x +2）（x ﹣4）中，得﹣8a ＝4， ∴a＝﹣， ∴抛物线的解析式为y ＝﹣（x +2）（x ﹣4）＝﹣x 2+x +4； （2）①如图1， 设直线AC 的解析式为y ＝kx +b '， 将点A （﹣2，0），C （0，4），代入y ＝kx +b '中，得， ∴，∴直线AC 的解析式为y ＝2x +4， 过点E 作EF ⊥x 轴于F ，∴OD ∥EF ， ∴△BOD ∽△BFE ， ∴，∵B （4，0）， ∴OB ＝4， ∵BD ＝5DE ，∴＝＝， ∴BF ＝×OB ＝×4＝， 江南汇教育网版权所有 转载必究 江南汇教育网 版权所有 转载必究 江南汇教育网版权所有 转载必究 江南汇教育网 版权所有 转载必究 江南汇教育网版权所有 转载必究 江南汇教育网∴OF ＝BF ﹣OB＝﹣4＝，将x ＝﹣代入直线AC ：y ＝2x +4中，得y ＝2×（﹣）+4＝， ∴E （﹣，）， 设直线BD 的解析式为y ＝mx +n ， ∴，∴， ∴直线BD 的解析式为y ＝﹣x +2； ②Ⅰ、当点R 在直线l 右侧时， ∵抛物线与x 轴的交点坐标为A （﹣2，0）和B （4，0）， ∴抛物线的对称轴为直线x ＝1， ∴点Q （1，1），如图2，设点P （x，﹣x 2+x +4）（1＜x ＜4）， 过点P 作PG ⊥l 于G ，过点R 作RH ⊥l 于H ， ∴PG ＝x ﹣1，GQ ＝﹣x 2+x +4﹣1＝﹣x 2+x +3， ∵PG ⊥l ，∴∠PGQ ＝90°， ∴∠GPQ +∠PQG ＝90°，∵△PQR 是以点Q 为直角顶点的等腰直角三角形， ∴PQ ＝RQ ，∠PQR ＝90°，∴∠PQG +∠RQH ＝90°， ∴∠GPQ ＝∠HQR ，∴△PQG ≌△QRH （AAS ），∴RH ＝GQ ＝﹣x 2+x +3，QH ＝PG ＝x ﹣1， ∴R （﹣x 2+x +4，2﹣x ） 由①知，直线BD 的解析式为y ＝﹣x +2，∴﹣（﹣x 2+x +4）+2＝2﹣x ， ∴x ＝2或x ＝﹣4（舍）， 当x ＝2时，y ＝﹣x 2+x +4＝﹣×4+2+4＝4， ∴P （2，4），Ⅱ、当点R 在直线l 左侧时，记作R '， 设点P '（x ，﹣x 2+x +4）（1＜x ＜4）， 江南汇教育网版权所有 转载必究 江南汇教育网 版权所有 转载必究 江南汇教育网 版权所有 转载必究 江南汇教育网 版权所有 转载必究 江南汇教育网版权所有 转载必究 江南汇教育网过点P '作P 'G '⊥l 于G '，过点R '作R 'H '⊥l 于H ，∴P 'G '＝x ﹣1，G 'Q ＝﹣x 2+x +4﹣1＝﹣x 2+x +3， 同Ⅰ的方法得，△P 'QG '≌△QR 'H '（AAS ）， ∴R 'H '＝G 'Q＝﹣x 2+x +3，QH '＝P 'G '＝x ﹣1， ∴R '（x 2﹣x ﹣2，x ）， 由①知，直线BD 的解析式为y＝﹣x +2， ∴﹣（x 2﹣x ﹣2）+2＝x ， ∴x ＝﹣1+或x ＝﹣1﹣（舍）， 当x ＝﹣1+时，y ＝﹣x 2+x +4＝2﹣4， ∴P '（﹣1+，2﹣4），即满足条件的点P 的坐标为（2，4）或（﹣1+，2﹣4）．12．【分析】（1）利用待定系数法解决问题即可． （2）①如图1中，过点A 作AN ⊥x 轴于N ，过点P 作PM ⊥AN 于M ．证明AM ＝PM ＝m ，根据AM +MN ＝AM +OP ＝AN ，构建关系式即可解决问题． ②如图2中，由题意AB ⊥y 轴，求出P A ，PB 的长即可解决问题． （3））如图3中，过点A 作AH ⊥x 轴于H ，过点P 作PK ⊥AH 于K ，过点B 作BE ⊥KP 交KP 的延长线于E ．设B （b ，6ab 2+n ），由P A ＝2PB ，推出A [﹣2b ，a （﹣2b ﹣m ）2+n ]，由BE ∥AK ，推出＝＝，推出AK ＝2BE ，由此构建关系式，证明m ＝﹣2b 即可解决问题．【解答】解：（1）由题意m ＝2，n ＝4， ∴y 1＝a （x ﹣2）2+4，把（0，2）代入得到a＝﹣． （2）①如图1中，过点A 作AN ⊥x 轴于N ，过点P 作PM ⊥AN 于M ． ∵y 1＝a （x ﹣m ）2+n ＝ax 2﹣2amx +am 2+n ，∴P （0，am 2+n ）， 江南汇教育网版权所有 转载必究 江南汇教育网 版权所有 转载必究 江南汇教育网版权所有 转载必究 江南汇教育网 版权所有 转载必究 江南汇教育网 版权所有 转载必究 江南汇教育网∵A （m ，n ），∴PM ＝m ，AN ＝n ，∵∠APM ＝45°，∴AM ＝PM ＝m ，∴m +am 2+n ＝n ，∵m ＞0， ∴am ＝﹣1． ②如图2中，由题意AB ⊥y 轴， ∵P （0，am 2+n ），当y ＝am 2+n 时，am 2+n ＝6ax 2+n ， 解得x ＝±m ， ∴B （﹣m ，am 2+n ）， ∴PB ＝m ， ∵AP ＝2m ， ∴＝＝2．（3）如图3中，过点A 作AH ⊥x 轴于H ，过点P 作PK ⊥AH 于K ，过点B 作BE ⊥KP 交KP 的延长线于E ． 江南汇教育网版权所有 转载必究 江南汇教育网版权所有 转载必究 江南汇教育网版权所有 转载必究 江南汇教育网 版权所有 转载必究 江南汇教育网版权所有 转载必究 江南汇教育网设B （b ，6ab 2+n ）， ∵P A ＝2PB ， ∴点A 的横坐标为﹣2b ， ∴A [﹣2b ，a （﹣2b ﹣m ）2+n ]， ∵BE ∥AK ， ∴＝＝， ∴AK ＝2BE ， ∴a （﹣2b ﹣m ）2+n ﹣am 2﹣n ＝2（am 2+n ﹣6ab 2﹣n ）， 整理得：m 2﹣2bm ﹣8b 2＝0， ∴（m ﹣4b ）（m +2b ）＝0， ∵m ﹣4b ＞0，∴m +2b ＝0， ∴m ＝﹣2b ，∴A （m ，n ）， ∴点A 是抛物线C 1的顶点．13．【分析】（1）将点A 、C 的坐标代入抛物线表达式即可求解； （2）点A （﹣4，0），OB ＝OA ＝4，故点B （0，4），即可求出AB 的表达式；OP 将△AOC 的面积分成1：2的两部分，则AP ＝AC 或AC ，即可求解； （3）△AMQ 的周长＝AM +AQ +MQ ＝AM +A ′M 最小，即可求解； （4）分AC 是边、AC 是对角线两种情况，分别求解即可．【解答】解：（1）将点A 、C 的坐标代入抛物线表达式得：，解得， 故抛物线的表达式为：y ＝x 2+2x ；（2）点A （﹣4，0），OB ＝OA ＝4，故点B （0，4）， 设直线AB 的解析式为y ＝kx +4，将点A 坐标代入得，﹣4k +4＝0， ∴k ＝1．∴直线AB 的表达式为：y ＝x +4；则∠ABO ＝45°，故cos ∠ABO ＝； 对于y ＝x 2+2x ，函数的对称轴为x ＝﹣2，故点M （﹣2，﹣2）； OP 将△AOC 的面积分成1：2的两部分，则AP ＝AC 或AC ， 则，即，解得：y P ＝2或4，故点P （﹣2，2）或（0，4）； 江南汇教育网版权所有 转载必究 江南汇教育网 版权所有 转载必究 江南汇教育网版权所有 转载必究 江南汇教育网 版权所有 转载必究 江南汇教育网版权所有 转载必究 江南汇教育网故答案为：y ＝x +4；（﹣2，﹣2）；；（﹣2，2）或（0，4）；（3）△AMQ 的周长＝AM +AQ +MQ ＝AM +A ′M 最小， 点A ′（4，0）， 设直线A ′M 的表达式为：y ＝kx +b ，则，解得，故直线A ′M 的表达式为：y＝x ﹣， 令x ＝0，则y ＝﹣，故点Q （0，﹣）； （4）存在，理由： 设点N （m ，n ），而点A 、C 、O 的坐标分别为（﹣4，0）、（2，6）、（0，0），①当AC 是边时， 点A 向右平移6个单位向上平移6个单位得到点C ，同样点O （N ）向右平移6个单位向上平移6个单位得到点N （O ），即0±6＝m ，0±6＝n ，解得：m ＝n ＝±6，故点N （6，6）或（﹣6，﹣6）； ②当AC 是对角线时， 由中点公式得：﹣4+2＝m +0，6+0＝n +0， 解得：m ＝﹣2，n ＝6，故点N （﹣2，6）； 综上，点N 的坐标为（6，6）或（﹣6，﹣6）或（﹣2，6）． 14．【分析】（Ⅰ）将A （1，0）代入抛物线的解析式求出b ＝2，由配方法可求出顶点坐标； （Ⅱ）①根据题意得出a ＝1，b ＝﹣m ﹣1．求出抛物线的解析式为y ＝x 2﹣（m +1）x +m ．则点C （0，m ），点E （m +1，m ），过点A 作AH ⊥l 于点H ，由点A （1，0），得点H （1，m ）．根据题意求出m 的值，可求出CF 的长，则可得出答案；②得出CN ＝EF＝．求出MC＝﹣m ，当MC≥，即m ≤﹣1时，当MC ＜，即﹣1＜m ＜0时，根据MN 的最小值可分别求出m 的值即可． 【解答】解：（Ⅰ）当a ＝1，m ＝﹣3时，抛物线的解析式为y ＝x 2+bx ﹣3．∵抛物线经过点A （1，0）， ∴0＝1+b ﹣3，解得b ＝2， ∴抛物线的解析式为y ＝x 2+2x ﹣3．∵y ＝x 2+2x ﹣3＝（x +1）2﹣4， ∴抛物线的顶点坐标为（﹣1，﹣4）． （Ⅱ）①∵抛物线y ＝ax 2+bx +m 经过点A （1，0）和M （m ，0），m ＜0，∴0＝a +b +m ，0＝am 2+bm +m ，即am +b +1＝0． ∴a ＝1，b ＝﹣m ﹣1．∴抛物线的解析式为y ＝x 2﹣（m +1）x +m ． 根据题意得，点C （0，m ），点E （m +1，m ），过点A 作AH ⊥l 于点H ，由点A （1，0），得点H （1，m ）． 江南汇教育网 版权所有 转载必究 江南汇教育网版权所有 转载必究 江南汇教育网 版权所有 转载必究 江南汇教育网 版权所有 转载必究 江南汇教育网版权所有 转载必究 江南汇教育网在Rt △EAH 中，EH ＝1﹣（m +1）＝﹣m ，HA ＝0﹣m ＝﹣m ， ∴AE ＝＝﹣m ， ∵AE ＝EF ＝2，∴﹣m ＝2， 解得m ＝﹣2． 此时，点E （﹣1，﹣2），点C （0，﹣2），有EC ＝1．∵点F 在y 轴上， ∴在Rt △EFC 中，CF ＝＝． ∴点F 的坐标为（0，﹣2﹣）或（0，﹣2+）．②由N 是EF 的中点，连接CN ，CM ，得CN ＝EF＝． 根据题意，点N 在以点C 为圆心、为半径的圆上， 由点M （m ，0），点C （0，m ），得MO ＝﹣m ，CO ＝﹣m ， ∴在Rt △MCO 中，MC ＝＝﹣m ． 当MC ≥，即m ≤﹣1时，满足条件的点N 在线段MC 上． MN 的最小值为MC ﹣NC＝﹣m ﹣＝，解得m ＝﹣； 当MC ＜，即﹣1＜m ＜0时，满足条件的点N 落在线段CM 的延长线上，MN 的最小值为NC ﹣MC ＝﹣（﹣m ）＝，解得m ＝﹣．∴当m 的值为﹣或﹣时，MN 的最小值是．15．【分析】（1）函数y ＝﹣3x ﹣3的图象与x 轴，y 轴分别交于A ，C 两点，则点A 、C 的坐标分别为（﹣1，0）、（0，﹣3），将点A 、B 、C 的坐标代入抛物线表达式，即可求解； （2）证明△BCD ≌△BCM （AAS ），则CM ＝CD ＝2，故OM ＝3﹣2＝1，故点M （0，﹣1），即可求解； 江南汇教育网版权所有 转载必究 江南汇教育网版权所有 转载必究 江南汇教育网版权所有 转载必究 江南汇教育网 版权所有 转载必究 江南汇教育网 版权所有 转载必究 江南汇教育网（3）过点P 作PN ∥x 轴交BC 于点N ，则△PFN ∽△AFB，则，而S △BFP ＝mS △BAF ，则＝，解得：m ＝PN ，即可求解． 【解答】解：（1）一次函数y ＝﹣3x ﹣3的图象与x 轴，y 轴分别交于A ，C 两点，则点A 、C 的坐标分别为（﹣1，0）、（0，﹣3）， 将点A 、B 、C 的坐标代入抛物线表达式得，解得， 故抛物线的表达式为：y ＝x 2﹣2x ﹣3；（2）设直线BE 交y 轴于点M ，从抛物线表达式知，抛物线的对称轴为x ＝1， ∵CD ∥x 轴交抛物线于点D ，故点D （2，﹣3），由点B 、C 的坐标知，直线BC 与AB 的夹角为45°，即∠MCB ＝∠DCB ＝45°， ∵BC 恰好平分∠DBE ，故∠MBC ＝∠DBC ，而BC ＝BC ， 故△BCD ≌△BCM （AAS ），∴CM ＝CD ＝2，故OM ＝3﹣2＝1，故点M （0，﹣1）， 设直线BE 的表达式为：y ＝kx +b，则，解得， 故直线BE 的表达式为：y ＝x ﹣1；（3）过点P 作PN ∥x 轴交BC 于点N ， 则△PFN ∽△AFB ，则， 江南汇教育网版权所有 转载必究 江南汇教育网版权所有 转载必究 江南汇教育网 版权所有 转载必究 江南汇教育网 版权所有 转载必究 江南汇教育网版权所有 转载必究 江南汇教育网而S △BFP ＝mS △BAF，则＝，解得：m＝PN ， ①当m ＝时，则PN ＝2， 设点P （t ，t 2﹣2t ﹣3），由点B 、C 的坐标知，直线BC 的表达式为：y ＝x ﹣3，当x ＝t ﹣2时，y ＝t ﹣5，故点N （t ﹣2，t ﹣5），故t ﹣5＝t 2﹣2t ﹣3，解得：t ＝1或2，故点P （2，﹣3）或（1，﹣4）； ②m ＝PN ＝[t ﹣（t 2﹣2t ）]＝﹣（t ﹣）2+， ∵＜0，故m 的最大值为． 16．【分析】（1）由题意设抛物线L 2的解析式为y ＝a （x +1）（x ﹣4），利用待定系数法求出a 即可解决问题． （2）由题意BP ＝AP ，如图1中，当A ，C ，P 共线时，BP ﹣PC 的值最大，此时点P 为直线AC 与直线x＝的交点．（3）由题意，顶点D （，﹣），∠PDQ 不可能是直角，第一种情形：当∠DPQ ＝90°时，①如图3﹣1中，当△QDP ∽△ABC 时．②如图3﹣2中，当△DQP ∽△ABC 时．第二种情形：当∠DQP ＝90°．①如图3﹣3中，当△PDQ ∽△ABC 时．②当△DPQ ∽△ABC 时，分别求解即可解决问题． 【解答】解：（1）当y ＝0时，x 2﹣x ﹣2＝0，解得x ＝﹣1或4， ∴A （﹣1，0），B （4，0），C （0，﹣2），由题意设抛物线L 2的解析式为y ＝a （x +1）（x ﹣4）， 把（2，﹣12）代入y ＝a （x +1）（x ﹣4），﹣12＝﹣6a ， 解得a ＝2，∴抛物线的解析式为y ＝2（x +1）（x ﹣4）＝2x 2﹣6x ﹣8．（2）∵抛物线L 2与L 1是“共根抛物线”，A （﹣1，0），B （4，0）， ∴抛物线L 1，L 2的对称轴是直线x ＝， ∴点P 在直线x＝上， ∴BP ＝AP ，如图1中，当A ，C ，P 共线时，BP ﹣PC 的值最大， 此时点P 为直线AC 与直线x ＝的交点，∵直线AC 的解析式为y ＝﹣2x ﹣2， ∴P （，﹣5） 江南汇教育网 版权所有 转载必究 江南汇教育网 版权所有 转载必究 江南汇教育网 版权所有 转载必究 江南汇教育网 版权所有 转载必究 江南汇教育网版权所有 转载必究 江南汇教育网（3）由题意，AB ＝5，CB ＝2，CA＝， ∴AB2＝BC 2+AC 2， ∴∠ACB ＝90°，CB ＝2CA ， ∵y ＝x 2﹣x ﹣2＝（x ﹣）2﹣， ∴顶点D （，﹣）， 由题意，∠PDQ 不可能是直角，第一种情形：当∠DPQ ＝90°时， ①如图3﹣1中，当△QDP ∽△ABC 时，＝＝， 设Q （x ，x 2﹣x ﹣2），则P （，x 2﹣x ﹣2）， ∴DP ＝x 2﹣x ﹣2﹣（﹣）＝x 2﹣x +，QP ＝x ﹣， ∵PD ＝2QP ， ∴2x ﹣3＝x 2﹣x +，解得x ＝或（舍弃）， ∴P （，）．②如图3﹣2中，当△DQP ∽△ABC 时，同法可得PQ ＝2PD ， 江南汇教育网版权所有 转载必究 江南汇教育网 版权所有 转载必究 江南汇教育网 版权所有 转载必究 江南汇教育网 版权所有 转载必究 江南汇教育网版权所有 转载必究 江南汇教育网x ﹣＝x 2﹣3x+， 解得x ＝或（舍弃）， ∴P（，﹣）． 第二种情形：当∠DQP ＝90°． ①如图3﹣3中，当△PDQ ∽△ABC 时，＝＝， 过点Q 作QM ⊥PD 于M ．则△QDM ∽△PDQ ， ∴＝＝，由图3﹣3可知，M （，），Q （，）， ∴MD ＝8，MQ ＝4， ∴DQ＝4， 由＝，可得PD ＝10， ∵D（，﹣）∴P（，）． ②当△DPQ ∽△ABC 时，过点Q 作QM ⊥PD 于M ． 同法可得M （，﹣），Q （，﹣）， ∴DM ＝，QM ＝1，QD ＝， 由＝，可得PD ＝， ∴P （，﹣）．综上所述：P 点坐标为（，）或（，﹣）或（，）或（，﹣）． 17．【分析】（1）将点A 、B 的坐标代入抛物线表达式，即可求解； （2）PN ＝PQ sin45°＝（﹣m 2+m ）＝﹣（m ﹣2）2+，即可求解； （3）分AC ＝CQ 、AC ＝AQ 、CQ ＝AQ 三种情况，分别求解即可． 江南汇教育网版权所有 转载必究 江南汇教育网 版权所有 转载必究 江南汇教育网版权所有 转载必究 江南汇教育网 版权所有 转载必究 江南汇教育网版权所有 转载必究 江南汇教育网【解答】解：（1）将点A 、B 的坐标代入抛物线表达式得，解得， 故抛物线的表达式为：y＝﹣x 2+x +4； （2）由抛物线的表达式知，点C （0，4），由点B 、C 的坐标得，直线BC 的表达式为：y ＝﹣x +4； 设点M （m ，0），则点P （m，﹣m 2+m +4），点Q （m ，﹣m +4）， ∴PQ ＝﹣m 2+m +4+m ﹣4＝﹣m 2+m ， ∵OB ＝OC ，故∠ABC ＝∠OCB ＝45°， ∴∠PQN ＝∠BQM ＝45°， ∴PN ＝PQ sin45°＝（﹣m 2+m ）＝﹣（m ﹣2）2+， ∵﹣＜0，故当m ＝2时，PN有最大值为；（3）存在，理由： 点A 、C 的坐标分别为（﹣3，0）、（0，4），则AC ＝5，①当AC ＝CQ 时，过点Q 作QE ⊥y 轴于点E ，则CQ 2＝CE 2+EQ 2，即m 2+[4﹣（﹣m +4）]2＝25，解得：m ＝±（舍去负值）， 故点Q （，）； ②当AC ＝AQ 时，则AQ ＝AC ＝5， 在Rt △AMQ 中，由勾股定理得：[m ﹣（﹣3）]2+（﹣m +4）2＝25，解得：m ＝1或0（舍去0）， 故点Q （1，3）；③当CQ ＝AQ 时，则2m 2＝[m ﹣（﹣3）]2+（﹣m +4）2，解得：m＝（舍去）； 综上，点Q 的坐标为（1，3）或（，）． 18．【分析】（1）将点O 、A 、B 的坐标代入抛物线表达式，即可求解； 江南汇教育网版权所有 转载必究 江南汇教育网 版权所有 转载必究 江南汇教育网版权所有 转载必究 江南汇教育网 版权所有 转载必究 江南汇教育网 版权所有 转载必究 江南汇教育网（2）由点B 的坐标知，直线BO 的倾斜角为30°，则OB 中垂线（CD ）与x 正半轴的夹角为60°，故设CD 的表达式为：y ＝﹣x +b ，而OB 中点的坐标为（，），将该点坐标代入CD 表达式，即可求解； （3）过点P 作y 轴额平行线交CD 于点Q ，PQ＝﹣x +﹣（x 2﹣x ）＝﹣x 2﹣x +，即可求解． 【解答】解：（1）将点O 、A 、B 的坐标代入抛物线表达式得，解得， 故抛物线的表达式为：y ＝x 2﹣x ； （2）由点B 的坐标知，直线BO 的倾斜角为30°，则OB 中垂线（CD ）与x 正半轴的夹角为60°， 故设CD 的表达式为：y ＝﹣x +b ，而OB 中点的坐标为（，）， 将该点坐标代入CD 表达式并解得：b ＝，故直线CD 的表达式为：y＝﹣x +； （3）设点P （x ，x 2﹣x ），则点Q （x ，﹣x +）， 则PQ＝﹣x+﹣（x 2﹣x ）＝﹣x 2﹣x+， ∵＜0，故PQ 有最大值，此时点P 的坐标为（﹣，）．19．【分析】（1）先求出点A ，点B 坐标，利用待定系数法可求解析式； （2）分两种情况讨论，利用平行线之间的距离相等，可求OP 解析式，EP ''的解析式，联立方程组可求解； 江南汇教育网版权所有 转载必究 江南汇教育网版权所有 转载必究 江南汇教育网版权所有 转载必究 江南汇教育网版权所有 转载必究 江南汇教育网 版权所有 转载必究 江南汇教育网（3）过点M 作MF ⊥AC ，交AB 于F ，设点M （m，m 2﹣m ﹣2），则点F （m，m ﹣2），可求MF 的长，由三角形面积公式可求△MAB 的面积＝﹣（m ﹣2）2+4，利用二次函数的性质可求点M 坐标，过点O 作∠KOB ＝30°，过点N 作KN ⊥OK 于K 点，过点M 作MP ⊥OK 于P ，延长MF 交直线KO 于Q ，由直角三角形的性质可得KN＝ON ，可得MN +ON ＝MN +KN ，则当点M ，点N ，点K 三点共线，且垂直于OK 时，MN +ON 有最小值，即最小值为MP ，由直角三角形的性质可求解． 【解答】解：（1）∵直线y ＝x ﹣2与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ， ∴点A （4，0），点B （0，﹣2），设抛物线解析式为：y ＝a （x +1）（x ﹣4）， ∴﹣2＝﹣4a ， ∴a ＝， ∴抛物线解析式为：y＝（x +1）（x ﹣4）＝x 2﹣x ﹣2； （2）如图1，当点P 在直线AB 上方时，过点O 作OP ∥AB ，交抛物线于点P ， ∵OP ∥AB ，∴△ABP 和△ABO 是等底等高的两个三角形， ∴S△P AB ＝S △ABO ， ∵OP ∥AB ，∴直线PO 的解析式为y ＝x ， 联立方程组可得， 解得：或， ∴点P （2+2，1+）或（2﹣2，1﹣）；当点P ''在直线AB 下方时，在OB 的延长线上截取BE ＝OB ＝2，过点E 作EP ''∥AB ，交 江南汇教育网版权所有 转载必究 江南汇教育网 版权所有 转载必究 江南汇教育网版权所有 转载必究 江南汇教育网版权所有 转载必究 江南汇教育网 版权所有 转载必究 江南汇教育网抛物线于点P ''，连接AP ''，BP ''，∴AB ∥EP ''∥OP ，OB ＝BE ，∴S △AP ''B ＝S △ABO ， ∵EP ''∥AB ，且过点E （0，﹣4）， ∴直线EP ''解析式为y＝x ﹣4， 联立方程组可得， 解得， ∴点P ''（2，﹣3）， 综上所述：点P 坐标为（2+2，1+）或（2﹣2，1﹣）或（2，﹣3）；（3）如图2，过点M 作MF ⊥AC ，交AB 于F ，设点M （m ，m 2﹣m ﹣2），则点F （m ，m ﹣2）， ∴MF ＝m ﹣2﹣（m 2﹣m ﹣2）＝﹣（m ﹣2）2+2，∴△MAB 的面积＝×4×[﹣（m ﹣2）2+2]＝﹣（m ﹣2）2+4， ∴当m ＝2时，△MAB 的面积有最大值， ∴点M （2，﹣3），如图3，过点O 作∠KOB ＝30°，过点N 作KN ⊥OK 于K 点，过点M 作MP ⊥OK 于P ，延长MF 交直线KO 于Q ，∵∠KOB ＝30°，KN ⊥OK ， ∴KN ＝ON ，∴MN +ON ＝MN +KN ，∴当点M ，点N ，点K 三点共线，且垂直于OK 时，MN +ON 有最小值，即最小值为MP ，∵∠KOB ＝30°， 江南汇教育网版权所有 转载必究 江南汇教育网 版权所有 转载必究 江南汇教育网版权所有 转载必究 江南汇教育网 版权所有 转载必究 江南汇教育网 版权所有 转载必究 江南汇教育网∴直线OK 解析式为y＝x ，当x ＝2时，点Q （2，2）， ∴QM ＝2+3， ∵OB ∥QM ， ∴∠PQM ＝∠PON ＝30°， ∴PM ＝QM ＝+， ∴MN +ON 的最小值为+．20．【分析】（1）设抛物线的解析式为y ＝a （x ﹣1）（x ﹣4），将点C 的坐标代入可求得a 的值，从而得到抛物线的解析式； （2）过点D 作DG ⊥x 轴于点G ，交BC 于点F ，过点A 作AK ⊥x 轴交BC 的延长线于点K ，证明△AKE ∽△DFE ，得出，则，求出直线BC 的解析式为y ＝x ﹣2，设D （m ，m ﹣2），则F （m ，m ﹣2），可得出的关系式，由二次函数的性质可得出结论； （3）设P （a ，），①当点P 在直线BQ 右侧时，如图2，过点P 作PN ⊥x 轴于点N ，过点Q 作QM ⊥直线PN 于点M ，得出Q （a ，a ﹣2），将点Q 的坐标代入抛物线的解析式求得a 的值即可，②当点P 在直线BQ 左侧时，由①的方法同理可得点Q 的坐标为（a ，2），代入抛物线的解析可得出答案．【解答】解：（1）设抛物线的解析式为y ＝a （x +1）（x ﹣4）． ∵将C （0，﹣2）代入得：4a ＝2，解得a ＝， ∴抛物线的解析式为y ＝（x +1）（x ﹣4），即y ＝x 2﹣x ﹣2． （2）过点D 作DG ⊥x 轴于点G ，交BC 于点F ，过点A 作AK ⊥x 轴交BC 的延长线于点K ，∴AK ∥DG ， ∴△AKE ∽△DFE ， ∴， ∴， 设直线BC 的解析式为y ＝kx +b ， 江南汇教育网 版权所有 转载必究 江南汇教育网 版权所有 转载必究 江南汇教育网版权所有 转载必究 江南汇教育网版权所有 转载必究 江南汇教育网版权所有 转载必究 江南汇教育网∴，解得，∴直线BC 的解析式为y ＝x ﹣2， ∵A （﹣1，0）， ∴y ＝﹣﹣2＝﹣，∴AK ＝， 设D （m ，m ﹣2），则F （m，m ﹣2）， ∴DF ＝m +2＝﹣+2m ． ∴m ＝﹣． ∴当m ＝2时，有最大值，最大值是． （3）符合条件的点P 的坐标为（）或（）．∵l ∥BC ，∴直线l 的解析式为y ＝x ， 设P （a，）， ①当点P 在直线BQ 右侧时，如图2，过点P 作PN ⊥x 轴于点N ，过点Q 作QM ⊥直线PN 于点M ，∵A （﹣1，0），C （0，﹣2），B （4，0）， ∴AC ＝，AB ＝5，BC ＝2， ∵AC 2+BC 2＝AB 2， ∴∠ACB ＝90°，∵△PQB ∽△CAB ， 江南汇教育网版权所有 转载必究 江南汇教育网 版权所有 转载必究 江南汇教育网版权所有 转载必究 江南汇教育网 版权所有 转载必究 江南汇教育网版权所有 转载必究 江南汇教育网∴，∵∠QMP ＝∠BNP ＝90°， ∴∠MQP +∠MPQ ＝90°，∠MPQ +∠BPN ＝90°， ∴∠MQP ＝∠BPN ， ∴△QPM ∽△PBN ， ∴＝， ∴QM＝，PM＝（a ﹣4）＝a ﹣2， ∴MN ＝a ﹣2，BN ﹣QM ＝a ﹣4﹣a ﹣4， ∴Q （a ，a ﹣2）， 将点Q 的坐标代入抛物线的解析式得a ﹣2＝a ﹣2， 解得a ＝0（舍去）或a＝．∴P （）． ②当点P 在直线BQ 左侧时， 由①的方法同理可得点Q 的坐标为（a ，2）． 此时点P 的坐标为（）． 21．【分析】（1）由题意抛物线的顶点A （2，﹣1），可以假设抛物线的解析式为y ＝a （x ﹣2）2﹣1，把点B 坐标代入求出a 即可． （2）由题意P （m ，m 2﹣m ﹣），求出d 2，PF 2（用m 表示）即可解决问题． （3）如图，过点Q 作QH ⊥直线l 于H ，过点D 作DN ⊥直线l 于N ．因为△DFQ 的周长＝DF +DQ +FQ ，DF 是定值＝＝2，推出DQ +QF 的值最小时，△DFQ 的周长最小，再根据垂线段最短解决问题即可． 【解答】（1）解：由题意抛物线的顶点A （2，﹣1），可以假设抛物线的解析式为y ＝a （x ﹣2）2﹣1， ∵抛物线经过B （0，﹣）， ∴﹣＝4a ﹣1， ∴a＝ ∴抛物线的解析式为y ＝（x ﹣2）2﹣1． （2）证明：∵P （m ，n ）， 江南汇教育网 版权所有 转载必究 江南汇教育网版权所有 转载必究 江南汇教育网版权所有 转载必究 江南汇教育网版权所有 转载必究 江南汇教育网版权所有 转载必究 江南汇教育网∴n ＝（m ﹣2）2﹣1＝m 2﹣m ﹣， ∴P （m ，m 2﹣m ﹣）， ∴d＝m 2﹣m ﹣﹣（﹣3）＝m 2﹣m +， ∵F （2，1）， ∴PF ＝＝，∵d 2＝m 4﹣m 3+m 2﹣m +，PF 2＝m 4﹣m 3+m 2﹣m +， ∴d 2＝PF 2，∴PF ＝d ．（3）如图，过点Q 作QH ⊥直线l 于H ，过点D 作DN ⊥直线l 于N ． ∵△DFQ 的周长＝DF +DQ +FQ ，DF 是定值＝＝2， ∴DQ+QF 的值最小时，△DFQ 的周长最小， 由（2）可知QF ＝QH ， ∴DQ +QF ＝DQ +QH ，根据垂线段最短可知，当D ，Q ，H 共线时，DQ +QH 的值最小，此时点H 与N 重合，点Q 在线段DN 上，∴DQ +QH 的最小值为6， ∴△DFQ 的周长的最小值为2+6，此时Q （4，﹣）． 22．【分析】（1）如图，连接CD ，CB ，过点C 作CM ⊥AB 于M ．设⊙C 的半径为r ．在Rt △BCM 中，利用勾股定理求出半径以及点C 的坐标即可解决问题． （2）结论：AE 是⊙C 的切线．连接AC ，CE ．求出抛物线的解析式，推出点E 的坐标，求出AC ，AE ，CE ，利用勾股定理的逆定理证明∠CAE ＝90°即可解决问题．【解答】解：（1）如图，连接CD ，CB ，过点C 作CM ⊥AB 于M ．设⊙C 的半径为r ． ∵与y 轴相切于点D （0，4），∴CD ⊥OD ， ∵∠CDO ＝∠CMO ＝∠DOM ＝90°， ∴四边形ODCM 是矩形， ∴CM ＝OD ＝4，CD ＝OM ＝r ，∵B （8，0）， 江南汇教育网版权所有 转载必究 江南汇教育网版权所有 转载必究 江南汇教育网 版权所有 转载必究 江南汇教育网版权所有 转载必究 江南汇教育网版权所有 转载必究 江南汇教育网。
2020年九年级数学中考专题复习 二次函数(含答案)
11. 【答案】x<1 或 x>3 【解析】∵直线 y＝x＋m 和抛物线 y＝x2＋bx＋c 都经过点 A(1， 0)和 B(3，2)，∴根据图象可知，不等式 x2＋bx＋c＞x＋m 的解集为 x＜1 或 x＞3.
12. 【答案】－4 【解析】由题意可知，x1，x2 为方程 2x2－4x－1＝0 的两根，所以 x1 ＋x2＝2，x1x2＝－12，则x11＋x12＝x1x＋1xx2 2＝－21＝－4.
(2)∵tan∠PDB＝5， 4
∴CF＝5， DF 4
∴DF＝4CF＝4×2.5＝2，(6 分) 55
∵△CFD∽△CEP，
∴PE＝CE， DF CF
∴PE＝DF·CE＝2×1＝0.8. CF 2.5
∵P(1，c－a)，C(0，c)，
∴PE＝PQ－OC＝c－(c－a)＝a，
∴a＝0.8，(8 分) ∴y＝0.8x2－1.6x＋c. 把 A(－0.5，0)代入得：0.8×(－0.5)2－1.6×(－0.5)＋c＝0，
10. 【答案】0<a≤5 【解析】设未来 30 天每天获得的利润为 y，y＝(110－40－t)(20＋ 4t)－(20＋4t)a 化简，得 y＝－4t2＋(260－4a)t＋1400－20a，每天缴纳电商平台推广费用后的 利润随天数 t(t 为整数)的增大而增大，则－（260－4a）≥30，解得 a≤5，又∵a＞0，∴a 的
A. b≥5 B. b≥1 或 b≤－1 4
C. b≥2 D. 1≤b≤2
5. 若抛物线 y＝x2－2x＋3 不动，将．平．面．直．角．坐．标．系．xOy 先沿水平方向向右平移 1 个单
位，再沿铅直方向向上平移 3 个单位，则原抛物线图象的解析式应变为( ) A. y＝(x－2)2＋3 B. y＝(x－2)2＋5 C. y＝x2－1 D. y＝x2＋4
2020-2021全国中考数学二次函数的综合中考模拟和真题汇总附答案
2020-2021全国中考数学二次函数的综合中考模拟和真题汇总附答案一、二次函数1．如图，对称轴为直线x 1=-的抛物线()2y ax bx c a 0=++≠与x 轴相交于A 、B 两点，其中A 点的坐标为（－3，0）．（1）求点B 的坐标；（2）已知a 1=，C 为抛物线与y 轴的交点．①若点P 在抛物线上，且POC BOC S 4S ∆∆=，求点P 的坐标；②设点Q 是线段AC 上的动点，作QD ⊥x 轴交抛物线于点D ，求线段QD 长度的最大值． 【答案】（1）点B 的坐标为（1，0）. （2）①点P 的坐标为（4，21）或（－4，5）. ②线段QD 长度的最大值为94. 【解析】 【分析】（1）由抛物线的对称性直接得点B 的坐标．（2）①用待定系数法求出抛物线的解析式，从而可得点C 的坐标，得到BOC S ∆，设出点P 的坐标，根据POC BOC S 4S ∆∆=列式求解即可求得点P 的坐标．②用待定系数法求出直线AC 的解析式，由点Q 在线段AC 上，可设点Q 的坐标为(q,-q-3)，从而由QD ⊥x 轴交抛物线于点D ，得点D 的坐标为(q,q 2+2q-3)，从而线段QD 等于两点纵坐标之差，列出函数关系式应用二次函数最值原理求解. 【详解】解：（1）∵A 、B 两点关于对称轴x 1=-对称 ，且A 点的坐标为（－3，0）， ∴点B 的坐标为（1，0）.（2）①∵抛物线a 1=，对称轴为x 1=-，经过点A （－3，0），∴2a 1b12a 9a 3b c 0=⎧⎪⎪-=-⎨⎪-+=⎪⎩，解得a 1b 2c 3=⎧⎪=⎨⎪=-⎩.∴抛物线的解析式为2y x 2x 3=+-.∴B 点的坐标为（0，－3）.∴OB=1，OC=3.∴BOC 13S 1322∆=⨯⨯=. 设点P 的坐标为(p,p 2+2p-3)，则POC 13S 3p p 22∆=⨯⨯=. ∵POC BOC S 4S ∆∆=，∴3p 62=，解得p 4=±. 当p 4=时2p 2p 321+-=；当p 4=-时，2p 2p 35+-=， ∴点P 的坐标为（4，21）或（－4，5）.②设直线AC 的解析式为y kx b =+，将点A ，C 的坐标代入，得：3k b 0b 3-+=⎧⎨=-⎩，解得：k 1b 3=-⎧⎨=-⎩. ∴直线AC 的解析式为y x 3=--.∵点Q 在线段AC 上，∴设点Q 的坐标为(q,-q-3). 又∵QD ⊥x 轴交抛物线于点D ，∴点D 的坐标为(q,q 2+2q-3).∴()22239QD q 3q 2q 3q 3q q 24⎛⎫=---+-=--=-++ ⎪⎝⎭.∵a 10<=-，-3302<<- ∴线段QD 长度的最大值为94.2．如图，直线AB 和抛物线的交点是A （0，﹣3），B （5，9），已知抛物线的顶点D 的横坐标是2．（1）求抛物线的解析式及顶点坐标；（2）在x 轴上是否存在一点C ，与A ，B 组成等腰三角形？若存在，求出点C 的坐标，若不在，请说明理由；（3）在直线AB 的下方抛物线上找一点P ，连接PA ，PB 使得△PAB 的面积最大，并求出这个最大值．【答案】（1）21248355y x x =--，顶点D （2，635-）；（2）C （10±0）或（5222±0）或（9710，0）；（3）752【解析】 【分析】（1）抛物线的顶点D 的横坐标是2，则x 2ba=-=2，抛物线过A （0，﹣3），则：函数的表达式为：y =ax 2+bx ﹣3，把B 点坐标代入函数表达式，即可求解； （2）分AB =AC 、AB =BC 、AC =BC ，三种情况求解即可；（3）由S △PAB 12=•PH •x B ，即可求解． 【详解】（1）抛物线的顶点D 的横坐标是2，则x 2ba=-=2①，抛物线过A （0，﹣3），则：函数的表达式为：y =ax 2+bx ﹣3，把B 点坐标代入上式得：9=25a +5b ﹣3②，联立①、②解得：a 125=，b 485=-，c =﹣3，∴抛物线的解析式为：y 125=x 2485-x ﹣3． 当x =2时，y 635=-，即顶点D 的坐标为（2，635-）； （2）A （0，﹣3），B （5，9），则AB =13，设点C 坐标（m ，0），分三种情况讨论： ①当AB =AC 时，则：（m ）2+（﹣3）2=132，解得：m 10，即点C 坐标为：（10，0）或（﹣10，0）；②当AB =BC 时，则：（5﹣m ）2+92=132，解得：m =5222±，即：点C 坐标为（5222+，0）或（5﹣220）；③当AC =BC 时，则：5﹣m ）2+92=（m ）2+（﹣3）2，解得：m =9710，则点C 坐标为（9710，0）．综上所述：存在，点C的坐标为：（±410，0）或（5222±，0）或（9710，0）；（3）过点P作y轴的平行线交AB于点H．设直线AB的表达式为y=kx﹣3，把点B坐标代入上式，9=5k﹣3，则k125=，故函数的表达式为：y125=x﹣3，设点P坐标为（m，12 5m2485-m﹣3），则点H坐标为（m，125m﹣3），S△PAB12=•PH•x B52=（125-m2+12m）=－6m2+30m=25756()22m--+，当m=52时，S△PAB取得最大值为：752．答：△PAB的面积最大值为752．【点睛】本题是二次函数综合题．主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．3．已知，点M为二次函数y＝﹣（x﹣b）2+4b+1图象的顶点，直线y＝mx+5分别交x轴正半轴，y轴于点A，B．（1）判断顶点M是否在直线y＝4x+1上，并说明理由．（2）如图1，若二次函数图象也经过点A，B，且mx+5＞﹣（x﹣b）2+4b+1，根据图象，写出x的取值范围．（3）如图2，点A坐标为（5，0），点M在△AOB内，若点C（14，y1），D（34，y2）都在二次函数图象上，试比较y1与y2的大小．【答案】（1）点M在直线y＝4x+1上；理由见解析；（2）x的取值范围是x＜0或x＞5；（3）①当0＜b＜12时，y1＞y2，②当b＝12时，y1＝y2，③当12＜b＜45时，y1＜y2．【解析】【分析】（1）根据顶点式解析式，可得顶点坐标，根据点的坐标代入函数解析式检验，可得答案；（2）根据待定系数法，可得二次函数的解析式，根据函数图象与不等式的关系：图象在下方的函数值小，可得答案；（3）根据解方程组，可得顶点M的纵坐标的范围，根据二次函数的性质，可得答案．【详解】（1）点M为二次函数y＝﹣（x﹣b）2+4b+1图象的顶点，∴M的坐标是（b，4b+1），把x＝b代入y＝4x+1，得y＝4b+1，∴点M在直线y＝4x+1上；（2）如图1，直线y＝mx+5交y轴于点B，∴B点坐标为（0，5）又B在抛物线上，∴5＝﹣（0﹣b）2+4b+1＝5，解得b＝2，二次函数的解析是为y＝﹣（x﹣2）2+9，当y＝0时，﹣（x﹣2）2+9＝0，解得x1＝5，x2＝﹣1，∴A（5，0）．由图象，得当mx+5＞﹣（x﹣b）2+4b+1时，x的取值范围是x＜0或x＞5；（3）如图2，∵直线y＝4x+1与直线AB交于点E，与y轴交于F，A（5，0），B（0，5）得直线AB的解析式为y＝﹣x+5，联立EF，AB得方程组415 y xy x=+⎧⎨=-+⎩，解得45215 xy⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴点E（45，215），F（0，1）．点M在△AOB内，1＜4b+1＜215，∴0＜b＜45．当点C，D关于抛物线的对称轴对称时，b﹣14＝34﹣b，∴b＝12，且二次函数图象开口向下，顶点M在直线y＝4x+1上，综上：①当0＜b＜12时，y1＞y2，②当b＝12时，y1＝y2，③当12＜b＜45时，y1＜y2．【点睛】本题考查了二次函数综合题，解（1）的关键是把点的坐标代入函数解析式检验；解（2）的关键是利用函数图不等式的关系：图象在上方的函数值大；解（3）的关键是解方程组得出顶点M的纵坐标的范围，又利用了二次函数的性质：a＜0时，点与对称轴的距离越小函数值越大．4．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+2x+c与x轴交于A（﹣1，0）B（3，0）两点，与y轴交于点C，点D是该抛物线的顶点．（1）求抛物线的解析式和直线AC的解析式；（2）请在y轴上找一点M，使△BDM的周长最小，求出点M的坐标；（3）试探究：在拋物线上是否存在点P，使以点A，P，C为顶点，AC为直角边的三角形是直角三角形？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）抛物线解析式为y=﹣x2+2x+3；直线AC的解析式为y=3x+3；（2）点M的坐标为（0，3）；（3）符合条件的点P的坐标为（73，209）或（103，﹣139），【解析】分析：（1）设交点式y=a（x+1）（x-3），展开得到-2a=2，然后求出a即可得到抛物线解析式；再确定C（0，3），然后利用待定系数法求直线AC的解析式；（2）利用二次函数的性质确定D的坐标为（1，4），作B点关于y轴的对称点B′，连接DB′交y轴于M，如图1，则B′（-3，0），利用两点之间线段最短可判断此时MB+MD的值最小，则此时△BDM的周长最小，然后求出直线DB′的解析式即可得到点M的坐标；（3）过点C作AC的垂线交抛物线于另一点P，如图2，利用两直线垂直一次项系数互为负倒数设直线PC的解析式为y=-13x+b，把C点坐标代入求出b得到直线PC的解析式为y=-13x+3，再解方程组223133y x xy x⎧-++⎪⎨-+⎪⎩＝＝得此时P点坐标；当过点A作AC的垂线交抛物线于另一点P时，利用同样的方法可求出此时P点坐标．详解：（1）设抛物线解析式为y=a（x+1）（x﹣3），即y=ax2﹣2ax﹣3a，∴﹣2a=2，解得a=﹣1，∴抛物线解析式为y=﹣x2+2x+3；当x=0时，y=﹣x2+2x+3=3，则C（0，3），设直线AC的解析式为y=px+q，把A（﹣1，0），C（0，3）代入得3p qq-+=⎧⎨=⎩，解得33pq=⎧⎨=⎩，∴直线AC的解析式为y=3x+3；（2）∵y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，∴顶点D的坐标为（1，4），作B点关于y轴的对称点B′，连接DB′交y轴于M，如图1，则B′（﹣3，0），∵MB=MB′，∴MB+MD=MB′+MD=DB′，此时MB+MD的值最小，而BD的值不变，∴此时△BDM的周长最小，易得直线DB′的解析式为y=x+3，当x=0时，y=x+3=3，∴点M的坐标为（0，3）；（3）存在．过点C作AC的垂线交抛物线于另一点P，如图2，∵直线AC的解析式为y=3x+3，∴直线PC的解析式可设为y=﹣13x+b，把C（0，3）代入得b=3，∴直线PC的解析式为y=﹣13x+3，解方程组223133y x xy x⎧-++⎪⎨-+⎪⎩＝＝，解得3xy=⎧⎨=⎩或73209xy⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，则此时P点坐标为（73，209）；过点A作AC的垂线交抛物线于另一点P，直线PC的解析式可设为y=﹣x+b，把A（﹣1，0）代入得13+b=0，解得b=﹣13，∴直线PC的解析式为y=﹣13x﹣13，解方程组2231133y x x y x ⎧-++⎪⎨--⎪⎩＝＝，解得10x y =-⎧⎨=⎩或103139x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，则此时P 点坐标为（103，﹣139）. 综上所述，符合条件的点P 的坐标为（73，209）或（103，﹣139）. 点睛：本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质；会利用待定系数法求函数解析式，理解两直线垂直时一次项系数的关系，通过解方程组求把两函数的交点坐标；理解坐标与图形性质，会运用两点之间线段最短解决最短路径问题；会运用分类讨论的思想解决数学问题．5．已知抛物线26y x x c =-++.（1）若该抛物线与x 轴有公共点，求c 的取值范围；（Ⅱ）设该抛物线与直线21y x =+交于M ，N两点，若MN =C 的值； （Ⅲ）点P ，点Q 是抛物线上位于第一象限的不同两点，,PA QB 都垂直于x 轴，垂足分别为A ，B ，若OPA OQB ∆≅∆，求c 的取值范围.【答案】（I ）9c -…；（Ⅱ）2c =-；（Ⅲ）c 的取值范围是2174c -<< 【解析】 【分析】(1) 抛物线与x 轴有公共点，则判别式为非负数，列不等式求解即可;(2)求出二次函数与直线的交点，并根据勾股定理求出MN 的长度，列方程即可求解; (3)由OPA OQB ∆≅∆可知，P ,Q 两点的坐标特点，设坐标得到设点P 的坐标为(, )m n ，则点Q 的坐标为(,)n m ，代入二次函数，得到n,m 的关系，则只需保证该方程有正根即可求解. 【详解】解：（I ）∵抛物线26y x x c =-++与x 轴有交点，∴一元二次方程260x x c -++=有实根。
2020-2021全国中考数学二次函数的综合中考模拟和真题汇总含详细答案
2020-2021全国中考数学二次函数的综合中考模拟和真题汇总含详细答案一、二次函数1．如图，关于x 的二次函数y=x 2+bx+c 的图象与x 轴交于点A （1，0）和点B 与y 轴交于点C （0，3），抛物线的对称轴与x 轴交于点D ．（1）求二次函数的表达式；（2）在y 轴上是否存在一点P ，使△PBC 为等腰三角形？若存在．请求出点P 的坐标； （3）有一个点M 从点A 出发，以每秒1个单位的速度在AB 上向点B 运动，另一个点N 从点D 与点M 同时出发，以每秒2个单位的速度在抛物线的对称轴上运动，当点M 到达点B 时，点M 、N 同时停止运动，问点M 、N 运动到何处时，△MNB 面积最大，试求出最大面积．【答案】（1）二次函数的表达式为：y=x 2﹣4x+3；（2）点P 的坐标为：（0，2（0，3﹣2）或（0，-3）或（0，0）；（3）当点M 出发1秒到达D 点时，△MNB 面积最大，最大面积是1．此时点N 在对称轴上x 轴上方2个单位处或点N 在对称轴上x 轴下方2个单位处． 【解析】 【分析】（1）把A （1，0）和C （0，3）代入y=x 2+bx+c 得方程组，解方程组即可得二次函数的表达式；（2）先求出点B 的坐标，再根据勾股定理求得BC 的长，当△PBC 为等腰三角形时分三种情况进行讨论：①CP=CB ；②BP=BC ；③PB=PC ；分别根据这三种情况求出点P 的坐标； （3）设AM=t 则DN=2t ，由AB=2，得BM=2﹣t ，S △MNB=12×（2﹣t ）×2t=﹣t 2+2t ，把解析式化为顶点式，根据二次函数的性质即可得△MNB 最大面积；此时点M 在D 点，点N 在对称轴上x 轴上方2个单位处或点N 在对称轴上x 轴下方2个单位处． 【详解】解：（1）把A （1，0）和C （0，3）代入y=x 2+bx+c ，103b c c ++=⎧⎨=⎩解得：b=﹣4，c=3，∴二次函数的表达式为：y=x 2﹣4x+3； （2）令y=0，则x 2﹣4x+3=0，解得：x=1或x=3，∴B（3，0），∴BC=32，点P在y轴上，当△PBC为等腰三角形时分三种情况进行讨论：如图1，①当CP=CB时，PC=32，∴OP=OC+PC=3+32或OP=PC﹣OC=32﹣3∴P1（0，3+32），P2（0，3﹣32）；②当PB=PC时，OP=OB=3，∴P3（0，-3）；③当BP=BC时，∵OC=OB=3∴此时P与O重合，∴P4（0，0）；综上所述，点P的坐标为：（0，3+32）或（0，3﹣32）或（﹣3，0）或（0，0）；（3）如图2，设AM=t，由AB=2，得BM=2﹣t，则DN=2t，∴S△MNB=1×（2﹣t）×2t=﹣t2+2t=﹣（t﹣1）2+1，2当点M出发1秒到达D点时，△MNB面积最大，最大面积是1．此时点N在对称轴上x 轴上方2个单位处或点N在对称轴上x轴下方2个单位处．2．如图，抛物线y ＝12x 2+bx ﹣2与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于C 点，且A （﹣1，0）．（1）求抛物线的解析式及顶点D 的坐标； （2）判断△ABC 的形状，证明你的结论；（3）点M 是抛物线对称轴上的一个动点，当MC +MA 的值最小时，求点M 的坐标．【答案】（1）抛物线的解析式为y ＝213x -22x ﹣2，顶点D 的坐标为 （32，﹣258）；（2）△ABC 是直角三角形，证明见解析；（3）点M 的坐标为（32，﹣54）． 【解析】 【分析】（1）因为点A 在抛物线上，所以将点A 代入函数解析式即可求得答案；（2）由函数解析式可以求得其与x 轴、y 轴的交点坐标，即可求得AB 、BC 、AC 的长，由勾股定理的逆定理可得三角形的形状；（3）根据抛物线的性质可得点A 与点B 关于对称轴x 32=对称，求出点B ，C 的坐标，根据轴对称性，可得MA ＝MB ，两点之间线段最短可知，MC +MB 的值最小．则BC 与直线x 32=交点即为M 点，利用得到系数法求出直线BC 的解析式，即可得到点M 的坐标． 【详解】（1）∵点A （﹣1，0）在抛物线y 212x =+bx ﹣2上，∴2112⨯-+（）b ×（﹣1）﹣2＝0，解得：b 32=-，∴抛物线的解析式为y 21322x =-x ﹣2． y 21322x =-x ﹣212=（x 2﹣3x ﹣4 ）21325228x =--（），∴顶点D 的坐标为 （32528，-）． （2）当x ＝0时y ＝﹣2，∴C （0，﹣2），OC ＝2． 当y ＝0时，21322x -x ﹣2＝0，∴x 1＝﹣1，x 2＝4，∴B （4，0），∴OA ＝1，OB ＝4，AB ＝5．∵AB 2＝25，AC 2＝OA 2+OC 2＝5，BC 2＝OC 2+OB 2＝20，∴AC 2+BC 2＝AB 2．∴△ABC 是直角三角形．（3）∵顶点D的坐标为（325 28，-），∴抛物线的对称轴为x32=．∵抛物线y12=x2+bx﹣2与x轴交于A，B两点，∴点A与点B关于对称轴x32=对称．∵A（﹣1，0），∴点B的坐标为（4，0），当x＝0时，y21322x=-x﹣2＝﹣2，则点C 的坐标为（0，﹣2），则BC与直线x32=交点即为M点，如图，根据轴对称性，可得：MA＝MB，两点之间线段最短可知，MC+MB的值最小．设直线BC的解析式为y＝kx+b，把C（0，﹣2），B（4，0）代入，可得：240bk b=-⎧⎨+=⎩，解得：122kb⎧=⎪⎨⎪=-⎩，∴y12=x﹣2．当x32=时，y1352224=⨯-=-，∴点M的坐标为（3524-，）．【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、一次函数的解析式、直角三角形的性质及判定、轴对称性质，解决本题的关键是利用待定系数法求函数的解析式．3．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线的顶点坐标为（2，0），且经过点（4，1），如图，直线y=14x与抛物线交于A、B两点，直线l为y=﹣1．（1）求抛物线的解析式；（2）在l上是否存在一点P，使PA+PB取得最小值？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．（3）知F（x0，y0）为平面内一定点，M（m，n）为抛物线上一动点，且点M到直线l的距离与点M到点F的距离总是相等，求定点F的坐标．【答案】（1）抛物线的解析式为y=14x 2﹣x+1．（2）点P 的坐标为（2813，﹣1）．（3）定点F 的坐标为（2，1）． 【解析】分析：（1）由抛物线的顶点坐标为（2，0），可设抛物线的解析式为y=a （x-2）2，由抛物线过点（4，1），利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；（2）联立直线AB 与抛物线解析式成方程组，通过解方程组可求出点A 、B 的坐标，作点B 关于直线l 的对称点B′，连接AB′交直线l 于点P ，此时PA+PB 取得最小值，根据点B 的坐标可得出点B′的坐标，根据点A 、B′的坐标利用待定系数法可求出直线AB′的解析式，再利用一次函数图象上点的坐标特征即可求出点P 的坐标；（3）由点M 到直线l 的距离与点M 到点F 的距离总是相等结合二次函数图象上点的坐标特征，即可得出（1-12-12y 0）m 2+（2-2x 0+2y 0）m+x 02+y 02-2y 0-3=0，由m 的任意性可得出关于x 0、y 0的方程组，解之即可求出顶点F 的坐标． 详解：（1）∵抛物线的顶点坐标为（2，0）， 设抛物线的解析式为y=a （x-2）2． ∵该抛物线经过点（4，1），∴1=4a ，解得：a=14，∴抛物线的解析式为y=14（x-2）2=14x 2-x+1．（2）联立直线AB 与抛物线解析式成方程组，得：214114y x y x x ⎧⎪⎪⎨⎪-+⎪⎩＝＝，解得：11114x y ⎧⎪⎨⎪⎩＝＝，2241x y ⎧⎨⎩＝＝， ∴点A 的坐标为（1，14），点B 的坐标为（4，1）． 作点B 关于直线l 的对称点B′，连接AB′交直线l 于点P ，此时PA+PB 取得最小值（如图1所示）．∵点B （4，1），直线l 为y=-1， ∴点B′的坐标为（4，-3）．设直线AB′的解析式为y=kx+b （k≠0）， 将A （1，14）、B′（4，-3）代入y=kx+b ，得： 1443k b k b ⎧+⎪⎨⎪+-⎩＝＝，解得：131243k b ⎧-⎪⎪⎨⎪⎪⎩＝＝， ∴直线AB′的解析式为y=-1312x+43， 当y=-1时，有-1312x+43=-1， 解得：x=2813， ∴点P 的坐标为（2813，-1）． （3）∵点M 到直线l 的距离与点M 到点F 的距离总是相等， ∴（m-x 0）2+（n-y 0）2=（n+1）2， ∴m 2-2x 0m+x 02-2y 0n+y 02=2n+1． ∵M （m ，n ）为抛物线上一动点， ∴n=14m 2-m+1， ∴m 2-2x 0m+x 02-2y 0（14m 2-m+1）+y 02=2（14m 2-m+1）+1， 整理得：（1-12-12y 0）m 2+（2-2x 0+2y 0）m+x 02+y 02-2y 0-3=0． ∵m 为任意值，∴00 22000 1110222220230yx yx y y⎧--⎪⎪-+⎨⎪+--⎪⎩＝＝＝，∴021xy⎧⎨⎩＝＝，∴定点F的坐标为（2，1）．点睛：本题考查了待定系数法求二次（一次）函数解析式、二次（一次）函数图象上点的坐标特征、轴对称中的最短路径问题以及解方程组，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出二次函数解析式；（2）利用两点之间线段最短找出点P的位置；（3）根据点M到直线l的距离与点M到点F的距离总是相等结合二次函数图象上点的坐标特征，找出关于x0、y0的方程组．4．如图，直线AB和抛物线的交点是A（0，﹣3），B（5，9），已知抛物线的顶点D的横坐标是2．（1）求抛物线的解析式及顶点坐标；（2）在x轴上是否存在一点C，与A，B组成等腰三角形？若存在，求出点C的坐标，若不在，请说明理由；（3）在直线AB的下方抛物线上找一点P，连接PA，PB使得△PAB的面积最大，并求出这个最大值．【答案】（1）21248355y x x=--，顶点D（2，635-）；（2）C（10±0）或（5222±0）或（9710，0）；（3）752【解析】【分析】（1）抛物线的顶点D 的横坐标是2，则x 2ba=-=2，抛物线过A （0，﹣3），则：函数的表达式为：y =ax 2+bx ﹣3，把B 点坐标代入函数表达式，即可求解； （2）分AB =AC 、AB =BC 、AC =BC ，三种情况求解即可；（3）由S △PAB 12=•PH •x B ，即可求解． 【详解】（1）抛物线的顶点D 的横坐标是2，则x 2ba=-=2①，抛物线过A （0，﹣3），则：函数的表达式为：y =ax 2+bx ﹣3，把B 点坐标代入上式得：9=25a +5b ﹣3②，联立①、②解得：a 125=，b 485=-，c =﹣3，∴抛物线的解析式为：y 125=x 2485-x ﹣3． 当x =2时，y 635=-，即顶点D 的坐标为（2，635-）； （2）A （0，﹣3），B （5，9），则AB =13，设点C 坐标（m ，0），分三种情况讨论：①当AB =AC 时，则：（m ）2+（﹣3）2=132，解得：m ，即点C 坐标为：（，0）或（﹣，0）；②当AB =BC 时，则：（5﹣m ）2+92=132，解得：m =5±，即：点C 坐标为（5+，0）或（5﹣0）；③当AC =BC 时，则：5﹣m ）2+92=（m ）2+（﹣3）2，解得：m =9710，则点C 坐标为（9710，0）．综上所述：存在，点C 的坐标为：（，0）或（5±0）或（9710，0）； （3）过点P 作y 轴的平行线交AB 于点H ．设直线AB 的表达式为y =kx ﹣3，把点B 坐标代入上式，9=5k ﹣3，则k 125=，故函数的表达式为：y 125=x ﹣3，设点P 坐标为（m ，125m 2485-m ﹣3），则点H 坐标为（m ，125m ﹣3），S △PAB 12=•PH •x B 52=（125-m 2+12m ）=－6m 2+30m =25756()22m --+，当m =52时，S △PAB 取得最大值为：752． 答：△PAB 的面积最大值为752．【点睛】本题是二次函数综合题．主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．5．如图，在平面直角坐标系中有一直角三角形AOB，O为坐标原点，OA＝1，tan∠BAO＝3，将此三角形绕原点O逆时针旋转90°，得到△DOC，抛物线y＝ax2+bx+c经过点A、B、C．（1）求抛物线的解析式；（2）若点P是第二象限内抛物线上的动点，其横坐标为t，设抛物线对称轴l与x轴交于一点E，连接PE，交CD于F，求以C、E、F为顶点三角形与△COD相似时点P的坐标．【答案】（1）抛物线的解析式为y=﹣x2﹣2x+3；（2）当△CEF与△COD相似时，P点的坐标为（﹣1，4）或（﹣2，3）．【解析】【分析】（1）根据正切函数，可得OB，根据旋转的性质，可得△DOC≌△AOB，根据待定系数法，可得函数解析式；（2）分两种情况讨论：①当∠CEF＝90°时，△CEF∽△COD，此时点P在对称轴上，即点P为抛物线的顶点；②当∠CFE＝90°时，△CFE∽△COD，过点P作PM⊥x轴于M点，得到△EFC∽△EMP，根据相似三角形的性质，可得PM与ME的关系，解方程，可得t的值，根据自变量与函数值的对应关系，可得答案．【详解】（1）在Rt △AOB 中，OA ＝1，tan ∠BAO OBOA==3，∴OB ＝3OA ＝3． ∵△DOC 是由△AOB 绕点O 逆时针旋转90°而得到的，∴△DOC ≌△AOB ，∴OC ＝OB ＝3，OD ＝OA ＝1，∴A ，B ，C 的坐标分别为（1，0），（0，3），（﹣3，0），代入解析式为09303a b c a b c c ++=⎧⎪-+=⎨⎪=⎩，解得：123a b c =-⎧⎪=-⎨⎪=⎩，抛物线的解析式为y ＝﹣x 2﹣2x +3；（2）∵抛物线的解析式为y ＝﹣x 2﹣2x +3，∴对称轴为l 2ba=-=-1，∴E 点坐标为（﹣1，0），如图，分两种情况讨论：①当∠CEF ＝90°时，△CEF ∽△COD ，此时点P 在对称轴上，即点P 为抛物线的顶点，P （﹣1，4）；②当∠CFE ＝90°时，△CFE ∽△COD ，过点P 作PM ⊥x 轴于M 点，∵∠CFE=∠PME=90°，∠CEF=∠PEM ，∴△EFC ∽△EMP ，∴13EM EF OD MP CF CO ===，∴MP ＝3ME ． ∵点P 的横坐标为t ，∴P （t ，﹣t 2﹣2t +3）．∵P 在第二象限，∴PM ＝﹣t 2﹣2t +3，ME ＝﹣1﹣t ，t ＜0，∴﹣t 2﹣2t +3＝3（﹣1﹣t ），解得：t 1＝﹣2，t 2＝3（与t ＜0矛盾，舍去）．当t ＝﹣2时，y ＝﹣（﹣2）2﹣2×（﹣2）+3＝3，∴P （﹣2，3）．综上所述：当△CEF 与△COD 相似时，P 点的坐标为（﹣1，4）或（﹣2，3）． 【点睛】本题是二次函数综合题．解（1）的关键是利用旋转的性质得出OC ，OD 的长，又利用了待定系数法；解（2）的关键是利用相似三角形的性质得出MP ＝3ME ．6．已知，m ，n 是一元二次方程x 2+4x +3=0的两个实数根，且|m |＜|n |，抛物线y =x 2+bx +c 的图象经过点A （m ，0），B （0，n ），如图所示． （1）求这个抛物线的解析式；（2）设（1）中的抛物线与x 轴的另一个交点为抛物线的顶点为D ，求出点C ，D 的坐标，并判断△BCD 的形状；（3）点P 是直线BC 上的一个动点（点P 不与点B 和点C 重合），过点P 作x 轴的垂线，交抛物线于点M ，点Q 在直线BC 上，距离点P为2个单位长度，设点P 的横坐标为t ，△PMQ 的面积为S ，求出S 与t 之间的函数关系式．【答案】（1）223y x x =--；（2）C （3，0），D （1，﹣4），△BCD 是直角三角形；（3）2213(03)2213(03)22t t t S t t t t ⎧-+⎪⎪=⎨⎪-⎪⎩＜＜＜或＞ 【解析】试题分析：（1）先解一元二次方程，然后用待定系数法求出抛物线解析式；（2）先解方程求出抛物线与x 轴的交点，再判断出△BOC 和△BED 都是等腰直角三角形，从而得到结论；（3）先求出QF=1，再分两种情况，当点P 在点M 上方和下方，分别计算即可． 试题解析：解（1）∵2+430x x +=，∴11x =-，23x =-，∵m ，n 是一元二次方程2+430x x +=的两个实数根，且|m|＜|n|，∴m=﹣1，n=﹣3，∵抛物线223y x x =--的图象经过点A （m ，0），B （0，n ），∴10{3b c c -+==-，∴2{3b c =-=-，∴抛物线解析式为223y x x =--；（2）令y=0，则2230x x --=，∴11x =-，23x =，∴C （3，0），∵223y x x =--=2(1)4x --，∴顶点坐标D （1，﹣4），过点D 作DE ⊥y 轴，∵OB=OC=3，∴BE=DE=1，∴△BOC 和△BED 都是等腰直角三角形，∴∠OBC=∠DBE=45°，∴∠CBD=90°，∴△BCD 是直角三角形；（3）如图，∵B （0，﹣3），C （3，0），∴直线BC 解析式为y=x ﹣3，∵点P 的横坐标为t ，PM ⊥x 轴，∴点M 的横坐标为t ，∵点P 在直线BC 上，点M 在抛物线上，∴P （t ，t ﹣3），M （t ，223t t --），过点Q 作QF ⊥PM ，∴△PQF 是等腰直角三角形，∵2，∴QF=1．①当点P 在点M 上方时，即0＜t ＜3时，PM=t ﹣3﹣（223t t --）=23t t -+，∴S=12PM×QF=21(3)2t t -+=21322t t -+，②如图3，当点P 在点M 下方时，即t ＜0或t＞3时，PM=223t t --﹣（t ﹣3）=23t t -，∴S=12PM×QF=12（23t t -）=21322t t -． 综上所述，S=2213 (03)22{13 (03)22t t t t t t t 或-+<<-．考点：二次函数综合题；分类讨论．7．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y ＝x 2﹣2x +a ﹣3，当a ＝0时，抛物线与y 轴交于点A ，将点A 向右平移4个单位长度，得到点B ．（1）求点B 的坐标；（2）将抛物线在直线y ＝a 上方的部分沿直线y ＝a 翻折，图象的其他部分保持不变，得到一个新的图象，记为图形M ，若图形M 与线段AB 恰有两个公共点，结合函数的图象，求a 的取值范围．【答案】（1）A （0，﹣3），B （4，﹣3）；（2）﹣3＜a ≤0；【解析】【分析】（1）由题意直接可求A ，根据平移点的特点求B ；（2）图形M 与线段AB 恰有两个公共点，y ＝a 要在AB 线段的上方，当函数经过点A 时，AB 与函数两个交点的临界点；【详解】解：（1）A （0，﹣3），B （4，﹣3）；（2）当函数经过点A 时，a ＝0，∵图形M 与线段AB 恰有两个公共点，∴y ＝a 要在AB 线段的上方，∴a ＞﹣3∴﹣3＜a ≤0；【点睛】本题二次函数的图象及性质；熟练掌握二次函数图象的特点，函数与线段相交的交点情况是解题的关键．8．如果一条抛物线y ＝ax 2+bx +c (a ≠0)与x 轴有两个交点，那么以抛物线的顶点和这两个交点为顶点的三角形称为这条抛物线的“抛物线三角形”，[a ，b ，c ]称为“抛物线系数”．(1)任意抛物线都有“抛物线三角形”是 (填“真”或“假”)命题；(2)若一条抛物线系数为[1，0，﹣2]，则其“抛物线三角形”的面积为 ；(3)若一条抛物线系数为[﹣1，2b ，0]，其“抛物线三角形”是个直角三角形，求该抛物线的解析式；(4)在(3)的前提下，该抛物线的顶点为A ，与x 轴交于O ，B 两点，在抛物线上是否存在一点P ，过P 作PQ ⊥x 轴于点Q ，使得△BPQ ∽△OAB ？如果存在，求出P 点坐标；如果不存在，请说明理由．【答案】（1）假；（2）3）y ＝－x 2＋2x 或y ＝－x 2－2x ；（4）P （1，1）或P （－1，－3）或P （1，－3）或（－1，1）．【解析】分析：（1）当△＞0时，抛物线与x 轴有两个交点，由此可得出结论；（2）根据“抛物线三角形”定义得到22y x =-，由此可得出结论；（3）根据“抛物线三角形”定义得到y ＝－x 2＋2bx ，它与x 轴交于点（0，0）和（2b ，0）；当抛物线三角形是直角三角形时，根据对称性可知它一定是等腰直角三角形，由抛物线顶点为（b ，b 2），以及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到2122b b =⨯，解方程即可得到结论； （4）分两种情况讨论：①当抛物线为y ＝－x 2＋2x 时，②当抛物线为y ＝－x 2－2x 时． 详解：（1）当△＞0时，抛物线与x 轴有两个交点，此时抛物线才有“抛物线三角形”，故此命题为假命题；（2）由题意得：22y x =-，令y =0，得：x=，∴ S=122⨯=12x x ； （3）依题意：y ＝－x 2＋2bx ，它与x 轴交于点（0，0）和（2b ，0）；当抛物线三角形是直角三角形时，根据对称性可知它一定是等腰直角三角形．∵y ＝－x 2＋2bx =22()x b b --+，∴顶点为（b ，b 2），由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到：2122b b =⨯，∴2b b =，解得：b ＝0（舍去）或b ＝±1， ∴y ＝－x 2＋2x 或y ＝－x 2－2x ．（4）①当抛物线为y ＝－x 2＋2x 时．∵△AOB 为等腰直角三角形，且△BPQ ∽△OAB ，∴△BPQ 为等腰直角三角形，设P （a ，－a 2＋2a ），∴Q （（a ，0）， 则｜－a 2＋2a ｜＝｜2－a ｜，即(2)2a a a -=-．∵a －2≠0，∴1a =，∴a =±1，∴P （1，1）或（－1， －3）．②当抛物线为y ＝－x 2－2x 时．∵△AOB 为等腰直角三角形，且△BPQ ∽△OAB ，∴△BPQ 为等腰直角三角形，设P （a ，－a 2－2a ），∴Q （（a ，0），则｜－a 2－2a ｜＝｜2+a ｜，即(2)2a a a +=+．∵a +2≠0，∴1a =，∴a =±1，∴P （1，－3，）或（－1，1）．综上所述：P （1，1）或P （－1，－3）或P （1，－3，）或（－1，1）．点睛：本题是二次函数综合题．考查了二次函数的性质以及“抛物线三角形”的定义．解题的关键是弄懂“抛物线三角形”的定义以及分类讨论．9．某商场购进一批单价为4元的日用品．若按每件5元的价格销售，每月能卖出3万件；若按每件6元的价格销售，每月能卖出2万件，假定每月销售件数y （件）与价格x （元/件）之间满足一次函数关系．（1）试求y 与x 之间的函数关系式；（2）当销售价格定为多少时，才能使每月的利润最大？每月的最大利润是多少？【答案】（1）y 10000x 80000=-+（2）当销售价格定为6元时，每月的利润最大，每月的最大利润为40000元【解析】解：（1）由题意，可设y=kx+b ，把（5，30000），（6，20000）代入得：5k b 300006k b 20000+=⎧⎨+=⎩，解得：k 10000b 80000=-⎧⎨=⎩。
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二次函数的实际应用
1．★在A 市中学生男子足球比赛中，某队守门员踢出的足球飞行高度y (m)与水平距离x (m)
之间满足关系式y ＝－18
x 2＋1.5x ，则足球飞出的最远距离是( ) A ．8 m B ．12 m C ．15 m D ．20 m
2．★王大爷用200 m 的竹篱笆围成一个长方形的养鸡场，则能围成的养鸡场的最大面积是
( )
A ．50 m 2
B ．100 m 2
C ．200 m 2
D ．2500 m 2
3．我国最新研制的38 mm 高射炮炮弹的飞行高度y (m)与飞行时间x (s)满足关系式y ＝ax
2＋bx ，若该炮弹在第3秒和第11秒的飞行高度相同，则下列哪一个时间的高度最高( )
A ．第4秒
B ．第7秒
C ．第10秒
D ．第15秒
4．一所中学的大门近似于抛物线(如图Y －15)，若大门的跨度AB ＝10 m ，大门最高点C 距离地面6 m ，则该二次函数的表达式是____________．
图Y －15
图Y －16
.如图Y －16是一条单向行驶的隧道的截面图，其截面图是抛物线，且表达式为y ＝－13
x 2＋3.那么一辆宽为2米，载物高度为2.5米的载货汽车________(填“能”或“不能”)安全通过该隧道．
6．为了响应政府提出的由中国制造向中国创造转型的号召，某公司自主设计了一款成本为40元/件的可控温杯，并投放市场进行试销售，经过调查发现该产品每天的销售量y (件)与销售单价x (元)/件满足一次函数关系：y ＝－10x ＋1200.
(1)求出利润S (元)与销售单价x (元)/件之间的表达式；(利润＝销售额－成本)
(2)当销售单价定为多少时，该公司每天获取的利润最大？最大利润是多少元？
参考答案
1．B [解析] 足球飞出距离最远时，y ＝0，即－18
x 2＋1.5x ＝0，解得x ＝0或x ＝12，所以足球飞出的最远距离是12 m ．本题容易出错的地方是不理解飞出最远距离的意义，导致无法求解．
2．D
3．B [解析] 根据抛物线的对称性知对称轴为直线x ＝3＋(11－3)÷2＝7，所以第7秒时，炮弹的飞行高度最高．
4．y ＝－625
(x －5)2＋6 [解析] 根据题意，抛物线的顶点坐标为(5，6)．设抛物线的表达式为y ＝a (x －5)2＋6.又因为抛物线过点(0，0)，所以0＝a (0－5)2＋6，解得a ＝－625
，故所求抛物线的表达式为y ＝－625
(x －5)2＋6. 5．能 [解析] 当x ＝1时，y ＝－13
×12＋3≈2.67＞2.5(m)，所以该汽车能安全通过隧道． 6．解：(1)根据题意，得S ＝(x －40)y ＝(x －40)(－10x ＋1200)＝－10x 2
＋1600x －48000，其中x ＞40.
所以利润S (元)与销售单价x (元件)之间的表达式是S ＝－10x 2＋1600x －48000(x ＞40)． (2)S ＝－10x 2＋1600x －48000.因为a ＝－10＜0，所以当x ＝－b 2a ＝－16002×（－10）
＝80时，S 有最大值，最大值是＝－10×802＋1600×80－48000＝16000(元)．
答：当销售单价定为80元/件时，销售利润最大，最大利润是16000元．。