全国高考数学试题汇编直线与圆的方程
高考数学直线与圆的方程复习题及答案
高考数学直线与圆的方程复习题及参考答案：一、选择题(每小题只有一个选项是正确的，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
)1.(2009•重庆市高三联合诊断性考试)将直线l1：y=2x绕原点逆时针旋转60°得直线l2，则直线l2到直线l3：x+2y-3=0的角为 ( )A.30°B.60°C.120°D.150°答案：A解析：记直线l1的斜率为k1，直线l3的斜率为k3，注意到k1k3=-1，l1⊥l3，依题意画出示意图，结合图形分析可知，直线l2到直线l3的角是30°，选A.2.(2009•湖北荆州质检二)过点P(1,2)，且方向向量v=(-1,1)的直线的方程为( )A.x-y-3=0B.x+y+3=0C.x+y-3=0D.x-y+3=0答案：C解析：方向向量为v=(-1,1)，则直线的斜率为-1，直线方程为y-2=-(x-1)即x+y-3=0，故选C.3.(2009•东城3月)设A、B为x轴上两点，点P的横坐标为2，且|PA|=|PB|，若直线PA的方程x-y+1=0，则直线PB的方程为 ( )A.2x+y-7=0B.2x-y-1=0C.x-2y+4=0D.x+y-5=0答案：D解析：因kPA=1，则kPB=-1，又A(-1,0)，点P的横坐标为2，则B(5,0)，直线PB的方程为x+y-5=0，故选D.4.过两点(-1,1)和(0,3)的直线在x轴上的截距为 ( )A.-32B.32C.3D.-3答案：A解析：由两点式，得y-31-3=x-0-1-0，即2x-y+3=0，令y=0，得x=-32，即在x轴上的截距为-32.5.直线x+a2y+6=0和(a-2)x+3ay+2a=0无公共点，则a的值是 ( )A.3B.0C.-1D.0或-1答案：D解析：当a=0时，两直线方程分别为x+6=0和x=0，显然无公共点;当a≠0时，-1a2=-a-23a，∴a=-1或a=3.而当a=3时，两直线重合，∴a=0或-1.6.两直线2x-my+4=0和2mx+3y-6=0的交点在第二象限，则m的取值范围是( )A.-32≤m≤2B.-32C.-32≤m<2D.-32答案：B解析：由2x-my+4=0，2mx+3y-6=0，解得两直线的交点坐标为(3m-6m2+3，4m+6m2+3)，由交点在第二象限知横坐标为负、纵坐标为正，故3m-6m2+3<0且4m+6m2+3>0⇒-327.(2009•福建，9)在平面直角坐标系中，若不等式组x+y-1≥0，x-1≤0，ax-y+1≥0，(a为常数)所表示的平面区域的面积等于2，则a的值为 ( )A.-5B.1C.2D.3答案：D解析：不等式组x+y-1≥0，x-1≤0，ax-y+1≥0所围成的区域如图所示.∵其面积为2，∴|AC|=4，∴C的坐标为(1,4)，代入ax-y+1=0，得a=3.故选D.8.(2009•陕西，4)过原点且倾斜角为60°的直线被圆x2+y2-4y=0所截得的弦长为( )A.3B.2C.6D.23答案：D解析：∵直线的方程为y=3x，圆心为(0,2)，半径r=2.由点到直线的距离公式得弦心距等于1，从而所求弦长等于222-12=23.故选D.9.(2009•西城4月，6)与直线x-y-4=0和圆x2+y2+2x-2y=0都相切的半径最小的圆的方程是 ( )A.(x+1)2+(y+1)2=2B.(x+1)2+(y+1)2=4C.(x-1)2+(y+1)2=2D.(x-1)2+(y+1)=4答案：C解析：圆x2+y2+2x-2y=0的圆心为(-1,1)，半径为2，过圆心(-1,1)与直线x-y-4=0垂直的直线方程为x+y=0，所求的圆的圆心在此直线上，排除A、B，圆心(-1,1)到直线x-y-4=0的距离为62=32，则所求的圆的半径为2，故选C.10.(2009•安阳，6)已知直线x+y=a与圆x2+y2=4交于A、B两点，且|OA→+OB→|=|OA→-OB→|，其中O为原点，则实数a的值为 ( )A.2B.-2C.2或-2D.6或-6答案：C解析：由|OA→+OB→|=|OA→-OB→|得|OA→+OB→|2=|OA→-OB→|2，OA→•OB→=0，OA→⊥OB→，三角形AOB为等腰直角三角形，圆心到直线的距离为2，即|a|2=2，a=±2，故选C.11.(2009•河南实验中学3月)若直线l：ax+by=1与圆C：x2+y2=1有两个不同交点，则点P(a，b)与圆C的位置关系是 ( )A.点在圆上B.点在圆内C.点在圆外D.不能确定答案：C解析：直线l：ax+by=1与圆C：x2+y2=1有两个不同交点，则1a2+b2<1，a2+b2>1，点P(a，b)在圆C外部，故选C.12.(2010•保定市高三摸底考试)从原点向圆x2+(y-6)2=4作两条切线，则这两条切线夹角的大小为 ( )A.π6B.π2C.arccos79D.arcsin229答案：C解析：如图，sin∠AOB=26=13，cos∠BOC=cos2∠AOB=1-2sin2∠AOB=1-29=79，∴∠BOC=arccos79，故选C.第Ⅱ卷(非选择题共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请将答案填在题中的横线上。
高考届高考数学精英解“直线与圆的方程”题
(7) 数学精英解“直线与圆的方程”题1.(湖北卷第10题) 已知直线1=+by a x （a,b 是非零常数）与圆x 2+y 2=100有公共点，且公共点的横坐标和纵坐标均为整数，那么这样的直线共有A.60条B.66条C.72条D.78条解答：找整点，这些点分别是：（10，0），（8，6），（6，8），（0，10），（-6，8），（-8，6），（-10，0），…，（8，-6）共12个点.过整点的直线分两类：一类是圆的割线，过这12点中的每两点可作21266C =条直线，其中的6条直径和8条平行于坐标轴的直线不合条件舍去，即割线有66-6-8=52条；一类是过不在坐标轴上的点可以作圆的8条切线也都符合条件.故这样的直线共有52+8=60条.答案为A.【说明】 直线是截距式，所以过原点和平行于坐标轴的直线都应除去，还有圆的切线我们不可忘哦.2.（北京卷第6题）若不等式组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤+≥≤+≥-ay x y y x y x 0220表示的平面区域是一个三角形，则a 的取值范围是 A.34≥a B.10≤<a C.341≤≤a D.3410≥≤<a a 或 解： 由不等式组的前三个条件已经确定一个三角形区域（如图阴影）.所以x+y=a 只能在图中两条虚线所夹区间之外,因此a 有两个范围.答案为D.【说明】 线性规划只要作出图形，问题便一目了然.3.（全国卷Ⅰ第6题）下面给出的四个点中，到直线10x y -+=，且位于1010x y x y +-<⎧⎨-+>⎩，表示的平面区域内的点是（ ） A ．(11)， B ．(11)-， C ．(11)--， D ．(11)-，解答：先看满足第一个条件的点，1-1+1=1,-1-1+1=-1,-1-(-1)+1=1,1-(-1)+1=3,排除D.再看满足x-y +1>0的点，可以排除B ，而A 不满足x+y -1<0,故只有C.【说明】 排除法，第一个条件和第二个条件有关联，列出各项，可以达到一箭双雕.4.（浙江卷第3题）直线210x y -+=关于直线1x =对称的直线方程是（ ） Ａ．210x y +-=Ｂ．210x y +-= Ｃ．230x y +-= Ｄ．230x y +-=解答：看选择支，哪个答案与已知直线相加除以2得x=1,能消y 的只有D.答案为D.【说明】 由于是选择题，我们可以不取点，两条直线相加除以2，就是对称轴了.5.（江苏卷第10题）在平面直角坐标系xOy 中，已知平面区域{}()100A x y x y x y =+，≤，且≥，≥，则平面区域{}()()B x y x y x y A =+-∈，，的面积为（ ）Ａ．2 Ｂ．1 Ｃ．12 Ｄ．14解答：令x+y=x,x-y=t,由题意可得平面区域B={（x,t ）|s ≤1,s+t ≥0,s-t ≥0}.画出可行域可得..11221=⨯⨯=∆AOB S 【而答】 答案为B.6.（天津卷第2题）设变量x y ，满足约束条件1133x y x y x y ⎧--⎪+⎨⎪-<⎩，，．≥≥则目标函数4z x y =+的最大值为（ ）Ａ．4 Ｂ．11 Ｃ．12 Ｄ．14解答： 只需画出线性规划区域，如下图可知，z =4x +y 在A （2，3）处取得最大值11.答案为B.【说明】 用图说话.7.（辽宁卷第8题）已知变量x 、y 满足约束条件 x y ••••y x x y x 则⎪⎩⎪⎨⎧≤-+≥≤+-,07,1,02的取值范围是（ ）A ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡6,59••B ．⎥⎦⎤⎝⎛∞-59,••∪[)∞+••,6 C ．(]3,••∞-∪[)∞+••,6 D ．[3，6] 解答：约束条件•y x x y x ⎪⎩⎪⎨⎧≤-+≥≤+-,07,1,02 所表示的区域如图所示：x y的几何意义是区域内的点与原点连线的斜率. 6,595254===OC OB •k •．．k . ∴x y ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡6,59••.答案为A.【说明】 本题考查线性规划问题及数形结合的思想.。
(完整版)全国高考数学直线与圆的方程试题汇编
全国高考数学试题汇编——直线与圆的方程一、选择题:1．（全国Ⅱ卷文科3）原点到直线052=-+y x 的距离为（ D )A ．1B ．3C ．2D ．52．（福建文科2）“a ＝1”是“直线x ＋y ＝0和直线x －ay ＝0互相垂直”的（ C ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．(四川理科4文科6）将直线3y x =绕原点逆时针旋转90︒，再向右平移1个单位，所得到的直线为（ A ）A ．1133y x =-+B ．113y x =-+C ．33y x =-D ．113y x =+解析：本题有新意，审题是关键．旋转90︒则与原直线垂直，故旋转后斜率为13-．再右移1得1(1)3y x =--． 选A ．本题一考两直线垂直的充要条件，二考平移法则．辅以平几背景之旋转变换．4．(全国I 卷理科10）若直线1x ya b+=通过点(cos sin )M αα，,则 （ B ）A ．221a b +≤B ．221a b +≥C ．22111a b+≤D ．22111a b +≥ 5．（重庆理科7）若过两点P 2）,P 2（5,6）的直线与x 轴相交于点P ，则点P 分有向线段12PP 所成的 比λ的值为( A ）A ．－13B ．－15C ．15D ．13（重庆文科4）若点P 分有向线段AB 所成的比为－13，则点B 分有向线段PA 所成的比是( A ）A ．－32B ．－12C ．12D ．36．（安徽理科8文科10）若过点(4,0)A 的直线l 与曲线22(2)1x y -+=有公共点，则直线l 的斜率的取值范围为 （ C ）A ．[B ．(C ．[D ．( 7．（辽宁文、理科3)圆221x y +=与直线2y kx =+没有．．公共点的充要条件是 ( C )A ．(k ∈B ．(,)k ∈-∞⋃+∞C ．(k ∈D ．(,)k ∈-∞⋃+∞8．（陕西文、理科5）0y m -+=与圆22220x y x +--=相切，则实数m 等于（ C )A B ． C ．- D ．-9．（安徽文科11)若A为不等式组0,0,2xyy x⎧⎪⎨⎪-⎩≤≥≤表示的平面区域,则当a从－2连续变化到1时，动直线x＋y＝a扫过A中的那部分区域的面积为( C ）A．34B．1C．74D．210．（湖北文科5）在平面直角坐标系xOy中，满足不等式组,1x yx⎧⎪⎨<⎪⎩≤的点(,)x y的集合用阴影表示为下列图中的（ C ）11．（辽宁文科9）已知变量x、y满足约束条件10,310,10,y xy xy x+-⎧⎪--⎨⎪-+⎩≤≤≥则z＝2x+y的最大值为( B ) A．4 B．2 C．1 D．－412．（北京理科5）若实数x，y满足10x yx yx-+⎧⎪+⎨⎪⎩≥≥≤，则z=3x+y的最小值是（ B ）A．0 B．1 C．3D．9（北京文科6）若实数x，y满足10x yx yx-+⎧⎪+⎨⎪⎩≥≥≤,则z=x+2y的最小值是（ A ）A．0 B．21C．1 D．213．(福建理科8)若实数x、y满足错误!，则错误!的取值范围是（ C ）A．(0，1) B．（0，1］C．(1，+∞) D．[1，+∞）（福建文科10）若实数x、y满足20,0,2,x yxx-+⎧⎪>⎨⎪⎩≤≤则yx的取值范围是（ D ）A．（0,2）B．（0，2）C．（2,+∞) D．[2,+∞）14．（天津理科2文科3）设变量y x ,满足约束条件0121x y x y x y -⎧⎪+⎨⎪+⎩≥≤≥，则目标函数y x z +=5的最大值为A ．2B ．3C ．4D ．5 （ D ）15．（广东理科4）若变量x 、y 满足24025000x y x y x y +⎧⎪+⎪⎨⎪⎪⎩≤≤≥≥,则32z x y =+的最大值是（ C ）A ．90B ．80C ．70D ．4016．（湖南理科3）已知变量x 、y 满足条件1,0,290,x x y x y ⎧⎪-⎨⎪+-⎩≥≤≤则x+y 的最大值是（ C ）A ．2B ．5C ．6D ．8（湖南文科3）已知变量x 、y 满足条件120x y x y ⎧⎪⎨⎪-⎩≥≤≤，，，则x +y 是最小值是( C ）A ．4B ．3C ．2D ．117．（全国Ⅱ卷理科5文科6）设变量x ，y 满足约束条件：,22,2y x x y x ⎧⎪+⎨⎪-⎩≥≤≥则y x z 3-=的最小值为( D ）A ．－2B 。
2013-2017高考数学(文)真题分类汇编第9章直线与圆的方程.docx
第九章直线与圆的方程第一节直线的方程与两条直线的位置关系题型 100倾斜角与斜率的计算2014 年（ 2014 辽宁文 8）已知点A( 2,3)在抛物线C：22 px 的准线上，记C的焦点为 F ，则直线AFy的斜率为（）4B．1C．31A．4D．32题型 101直线的方程2014 年1.（2014福建文）已知直线l过圆 x2y 32 4 的圆心，且与直线x y10垂直，则 l 的6方程是（）.A. x y 2 0B. x y 2 0C. x y 3 0D. x y 3 02015 年1.（ 2015重庆文12）若点P 1,2在以坐标原点为圆心的圆上，则该圆在点P 处的切线方程为___________.1. 解析kOP20k1，所以 k1x 2 y 5 0 ．12 , k OP，所以切线方程为化简得02题型 102两直线的位置关系2014 年1. （ 2014 四川文9 ）设m R ，过定点A的动直线x my0 和过定点B的动直线mx y m 30交于点 P x, y，则 PA PB 的取值范围是（） .A.5, 25B. 10, 25C.10, 45D. 25, 45题型 103有关距离的计算及应用2016 年3.（ 2016上海文3）l1: 2x y10 ， l 2 : 2x y 1 0，则 l1, l2的距离为.251125 3.解析由题意 d2212.55题型 104对称问题——暂无第二节圆的方程题型 105用二元二次方程表示圆的充要条件2016 年1.（ 2016 浙江文 10）已知a R ，方程a2x2(a 2) y24x 8y 5a0 表示圆，则圆心坐标是_____，半径是 ______.1.2,4； 5解析由于此方程表示圆的方程，所以 a2a 2 ，解得 a 1 或2.当 a1时，带入得方程为 x2y24x 8 y 5 0 ，即x22225 ，所以圆心为y42, 4 ，半径为5；当a 2 时，带入得方程为 4x2 4 y24x8 y 10 0 ，即1225，此方程不表示圆的方程 .由上所述，圆心为x y2, 4，半径为 5 .124题型 106求圆的方程2013 年1.（ 2013江西文14）若圆C经过坐标原点和点4,0 ，且与直线y 1 相切，则圆C的方程是.2014 年1.（ 2014 山东文 14）圆心在直线x 2 y0 上的圆 C 与y轴的正半轴相切，圆 C 截x轴所得弦的长为 2 3 ，则圆C的标准方程为.2015 年1.（ 2015北京文 2）圆心为1,1且过原点的圆的方程是（） .A.x 122221 y 11 B. x 1y 1C.x 122222 y 12 D. x 1y 11.1,1 ，半径为2y22 .故选D.解析由已知得，圆心为 2 ，圆的方程为x 112.（ 2015江苏文 10）在平面直角坐标系xOy中，以点1,0 为圆心且与直线mx y2 m10m R相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为．2. 解析解法一（几何意义）：动直线 mx y2m10整理得 m x2y 10 ，则l经过定点M 2 , 1 ，故满足题意的圆与l切于M时，半径最大，从而r212102 2 ，故标准方程为x12y2 2 ．解法二（代数法——基本不等式）：由题意 r d m1m22m 1 m21m2112m12,22 ，当且仅当m 1 时，取“”．211m1m 2 m1m m故标准方程为x12y22．22m1m2m1，设 tm2m 1解法三（代数法——判别式）：由题意 r dm2m2，1m211222剟则t 1 m2m t10，因为 m R ，所以24t1⋯0，解得0t2，即d 的最大值为 2 ．3.（2015湖北文16x T(10)）如图所示，已知圆 C 与轴相切于点，，与 y轴正半轴交于两点 A ， B （ B 在 A 的上方），且| AB | 2 .yBC（1）圆（2）圆C 的标准方程为.AC 在点B处切线在x轴上的截距为O Tx.4. 解析(1)由条件可设圆C的标准方程为(x 1)2+ (y r )2r2（ r 为半径）.因为 AB 2 ，所以r1212 2 ，故圆C的标准方程为22x y2 2 .122中，令 x 0 ，得B 0，2 1 .(2) 在x 1y 22又 C 1， 2，所以 k BC21201，1所以圆 C 在点B处的切线斜率为1，即圆 C 在点B处的切线方程为y x2 1 .令 y 0 可得 x1 2 ，即圆 C 在点 B 处的切线在 x 轴上的截距为 1 2 .2016 年1.（ 2016 天津文 12）已知圆 C 的圆心在 x 轴的正半轴上，点 M 0, 5 在圆 C 上，且圆心到直线2 x y 0 的距离为45，则圆 C 的方程为 __________.51. ( x 2) 2y 2 9 解析C a,0a 0 ，则 | 2a |4 5 ，得 a2, r22 5 3 ，故圆 C 的55方程为 ( x2) 2 y 29 .2017 年1.（ 2017 天津卷文 12）设抛物线 y 2 4x 的焦点为 F ，准线为 l .已知点 C 在 l 上，以 C 为圆心的圆与 y 轴的正半轴相切于点A .若 FAC120 ，则圆的方程为.1. 解析 如图所示，设坐标原点为O ，由题意，得2 p 4 ，p1 ， OF1 ， l : x1 . 因为2FAC120 ，所以 AFO60 ， AO OF tan603 ，所以 C 的坐标为 ( 1, 3) ，rAC1，所以圆 C 的方程为 ( x 1)2 ( y3) 2 1 .yy 2=4xCAO Fxl题型 107点与圆的位置关系的判断2016 年1.（ 2016 四川文15）在平面直角坐标系中，当P( x, y) 不是原点时，定义 P 的“伴随点”为y xP x 2y 2 ,x 2，当 P 是原点时，定义“伴随点”为它自身，现有下列命题：y 2①若点 A 的“伴随点”是点 A ，则点 A 的“伴随点”是点A ；②单元圆上的“伴随点”还在单位圆上；③若两点关于 x 轴对称，则他们的“伴随点”关于 y 轴对称；④若三点在同一条直线上，则他们的“伴随点”一定共线 .其中的真命题是.1. ②③解析 对于①，若令A(1,1), 则其伴随点为A 1 , 1 ，而 A 1, 1 的伴随点为22 2 2， ，而不是 P ，故错误；11对于②， 令单位圆上点的坐标为 P(cos x,sin x) ，其伴随点为 P (sin x,cosx) 仍在单位圆上， 故②正确；对于③，设曲线f ( x, y) 0 关于 x 轴对称，则 f ( x,y)0 对曲线 f ( x, y)0 表示同一曲线，其伴随曲线分别为 fy2 ,x0 与 fy,x 0 也表示同一曲线，又因2y x 2y 2x 2y 2 2y 2xx为其伴随曲线分别为y x与yx的图像关于y 轴对称，所以③正确；对于fx 2y 2 ,x 2y 20fx 2y 2 ,x 2y 2 0④，直线 y kxb 上取点得，其伴随点y,x 2x 消参后轨迹是圆，故④错误.所以正x 2 y2y 2确的序号为②③ .题型 108与圆的方程有关的最值或取值范围问题2013 年1. (2013 重庆文2 24 上的动点， Q 是直线 x3 上的动点， 则 PQ4）设 P 是圆 x 3 y 1的最小值为（） .A. 6B.4C. 3D. 22. （ 2013 山 东 文 13 ） 过 点 3,1 作 圆 x222y 24 的 弦 ， 其 中 最 短 弦 的 长为 ．2014 年1.（ 20147）已知圆 C : x 22和两点 A m,0， B m,0m 0 ，若北京文3y 41圆mC 上存在点 P ，使得 APB90 ，则） .的最大值为（A. 7B. 6C.5D.42. （ 2014 新课标 2 文 12）设点 Mx 0 ,1 ，若在圆 O : x 2 y 21上存在点 N ，使得 OMN45°，则 x0的取值范围是（）A. 1,111C.2,2D.2，2 B.，2 2223（ 2014湖北文 17）已知圆O : x2y 2 1 和点A2,0 ，若定点B b，0b 2 和常数满足：圆 O 上任意一点M ，都有MB MA，则（Ⅰ） b；（Ⅱ）.（辽宁文20）如图所示，圆x2y24的切线与x轴正半轴， y轴正半轴围成一个三角形，4. 2014当该三角形面积最小时，切点为P .（ 1）求点P的坐标；（ 2）焦点在x 轴上的椭圆C过点P，且与直线l : y x+ 3 交于A， B 两点，若△PAB的面积为2 ，求 C 的标准方程.yPO x2017 年1.2017北京卷文12）已知点P在圆x y=1上，点A的坐标为2,0，O 为原点，则AO AP（22的最大值为 _________．1.解析解法一：利用坐标法求数量积.设点P x, y ，则AO AP2,0x2,y2x 4 ，且1剟x 1，当x 1 时，AO AP 的最大值为 6.解法二：利用数量积的定义 . AO AP AO AP cos 剟 AO AP221 6 .所以最大值是 6.y解法三：利用数量积的几何意义.如图所示，点 P 是单位圆上的动点，当 A ，PO ，P三点共线时，AP 的长度最大，且向量AO 与向量AP同向，易A O x得2 2 1 6 .2.（ 2017江苏卷13）在平面直角坐标系xOy 中，点 A12,0， B 0,6，点P 在圆O : x2y250上．若 PA PB,20，则点 P 的横坐标的取值范围是．2.解析不妨设P x0, y0，则 x02y0250，且易知x0 5 2,52．因为 PA PB AP BP x012, y0x0 , y0 6x02 12x0y02 6 y0 5012x0 6 y0, 20，故 2x0y05, 0 ．所以点 P x0 , y0在圆 O : x2y250上，且在直线 2 x y 5 0的左上方（含直线） .联立x2y250，得 x1 5 ， x2 1 ，如图所示，结合图形知x052,1 ．2x y50yB(1,7)O 5 2xA(-5,-5)2x-y+ 5=0评注也可以理解为点 P 在圆x2y212 x 6 y020 的内部来解决，与解析中的方法一致．000题型 109与圆的方程有关的轨迹问题2014 年1.（2014新课标Ⅰ文 20）已知点P 2,2，圆 C ：x2y28 y 0 ，过点 P 的动直线l与圆C交于A, B 两点，线段 AB 的中点为M， O 为坐标原点.（1）求M的轨迹方程；（ 2）当OP OM 时，求l的方程及△POM的面积.2015 年1.（ 2015 广东文 20）已知过原点的动直线l 与圆C1：x2y26x 5 0 相交于不同的两点 A ，B ．（ 1）求圆 C 1 的圆心坐标；（ 2）求线段 AB 的中点 M 的轨迹 C 的方程；（ 3）是否存在实数k ，使得直线 L ： yk x 4与曲线 C 只有一个交点？若存在，求出取值范围；若不存在，说明理由．1. 解析 （1）圆 C 1 的标准方程为 ( x 3)2y 24 ，所以圆心坐标为 C 1 3,0 .（ 2）设线段AB的中点M (x 0 , y 0 ) ，由圆的性质可得，C 1Ml ， l 斜率存在，设直线 l 的方程为 ymx ，则 k C 1M m1.又 y 0mx 0 ，所以y 0 y 01 ，x 0 3 x 02所以 x 0 2 3x 0 y 0 20 ，即 x3 y 29 .24因为动直线 l与圆 C 1 相交，所以 | 3m |2 ，得 m2 4m 2 1.5所以 y 02m 2 x 024x 0 2，即 3x 0 x 024x 0 2 ，55解得 x 05 0 ，又因为 0 x 0 , 3 5 x 0 , 3 .或 x 0，所以332所以M ( x 0 , y 0 ) 满足 x 03 y 0 29 5 x 0 , 3 ， 24 32即中点 M 的轨迹 C 的方程为 x3 y 29 5 x , 3 .24 3（ 3）由题意作图，如图所示.由题意知直线 L 表示过定点 T (4,0) ，斜率为 k 的直线 .329 55 , 2 5 结合图形，x y 2x , 3 表示的是一段关于 x 轴对称，起点为24 33 3 时针方向运动到5 , 2 5 的圆弧 .根据对称性，只需讨论在x 轴下方的圆弧 .3 32 5y5 2 52 5设 P,，则 k PT 3.33 5 7T(4,0)43Ok 的按逆xP3k 4k23而当直线 L 与轨迹 C 相切时，，k 21 23 .解得 k4在这里暂取 k3 2 53，所以 k PTk .，因为474结合图形， 可得对于 x 轴对称下方的圆弧，当2 5剟k 0 或 k 4 时，直线 L 与 x 轴下方的圆73弧有且只有一个交点 .根据对称性可知2 50 或 k4剟k时，直线 L 与 x 轴上方的圆弧有且73只有一个交点 .综上所述，当2 5剟k 2 5或 k 4时，直线 L 与曲线 C 只有一交点 .7732016 年uuur1.（ 2016 四川文9）已知正 △ ABC 的边长为 2 3 ，平面 ABC 内的动点 P ， M 满足 AP1 ，uuur uuuruuurPM MC ，则 BM2的最大值是（ ） .43493763D. 37 2 33A.B.C.44441.B 解 析正 三 角 形 ABC 的 对 称 中 心 为 O ， 易 得AOCAOBBOC120 ，uur uuur uuur OA OB OC .以 O 为 原 点 ， 直 线 OA 为 x 轴 建 立 平 面 直 角 坐 标 系 ， 如 图 所 示 .则A 2，0 ， B1， 3 ，C 1， 3 .uur1 ，得 x 222uuur uuurx 1, y3设 P(x, y) ，由已知 PAy 1 .又 PM PC ，所以 M，222222uuur x 1 y 33uuur 2x 1 y 3 3 x 1y3 3.所以 BM ,2.因此 BM2242它表示圆 ( x 2) 2 y 21上的点 x ，y 与点1， 3 3 距离平方的1 ，4uuur1222249所以 BM4 1 23 31.故选 B .max4yC2MPOAxB-2第三节 直线与圆、圆与圆的位置关系题型 110 直线与圆的位置关系2013 年1. (2013 陕西文 8）已知点， 在圆 O:x 2 y 2 1 外，则直线 ax 与圆 O 的位置关系M a b by 1是（ ） .A. 相切B. 相交C. 相离D. 不确定2.（ 2013 湖北文 14）已知圆 O ： x 2y25，直线l ： x cos y sin1（ 0π）．设圆O 上到直线 l 的距离等于 1 的点的个数为 k ，则 k2．2014 年1. （ 2014 安徽文 6）过点 P 3, 1 的直线 l 与圆 x2y 21有公共点， 则直线 l 的倾斜角的取值范围是（ ） .A. 0,B. 0,C. 0,D. 0,36 3 62015 年1. （ 2015 安徽文 8）直线 3x 4 y b 与圆 x2y 2 2x 2y 1 0相切，则 b 的值是（） .A ． 2或 12B ．2 或 12C ． 2或 12D ．2 或 121. 解析 记直线为 l ，圆的圆心为 O .由题意可得圆的标准方程为x221，则 O 1,1 .1 y 1由直线 l 与圆相切，可得d O, l3 4 b 1 ，解得 b2 或 b 12 .故选 D.32422. （ 2015 湖南文 13）若直线3x 4y5 0 与圆 x 2 y 2r 2 r 0 相交于 A ， B 两点，且AOB120 （ O 为坐标原点），则 r_____.2. 解析如图直线 3x4y 5 0与圆 x2y2r 2r0 交于 yBA, B 两点， O 为坐标原点， 且 AOB120 ，则圆心 0,0到直线-2O2x1r ，51r ，所以 rA3x 4 y5 0 的距离为422 .23223. （ 2015 山东文 13）过点 P 1 ， 3作圆 x 2 y 2 1的两条切线，切点分别为 A ，B ，则 PA PB.3. 解 析根 据 题 意 ， 作 出 图 形 ， 如 图 所 示 . 由 平 面 几 何 知 识 ， 得yPPA PB 由切线长定理，得APB 2 OPB.3 .OB 3 OPB 30 .在 Rt △OPB 中， tan OPB ，所以PB3可得APB 60 .AOB x所以 PA PB PA PB cosAPB333cos60.22016 年1.（ 2016 北京文 5）圆 x2y 22的圆心到直线 y x 3） .1 的距离为（A. 1B.2C. 2D.2 21. C 解析圆 x1 2y22的圆心坐标是 ( 1,0) ，半径长是2 .由点到直线的距离公式，可求得圆心 ( 1,0)到直线yx 3 即xy 30 的距离是2 .故选 C.2. 2016 全国甲文 6x 2y 2 2x 8y 13 0的圆心到直线 axy 10 的距离为 1 ，则 a（ ）圆( ).A.4B.3C. 3D. 234222.A 解析 将圆化为标准方程得，x 1y 4 4 ，则圆心 1,4 到直线 ax y 1 0 的距a 414.故选 A.离 d 1 ，解得aa213题型 111 直线与圆的相交关系及应用2013 年1. (2013安徽文 6）直线x 2 y 5 5 0 被圆 x2y 22x 4 y 0 截得的弦长为（） .A.1B. 2C.4D. 462. (2013浙江文 13）直线y2x 3 被圆x2y26x8y0 所截得的弦长等于__________. 3．(2013 福建文 20）如图，抛物线E : y24x 的焦点为F，准线 l 与x轴的交点为A，点 C 在抛物线 E 上，以C为圆心，CO为半径作圆，设圆 C 与准线 l 交于不同的两点 M ，N.y（ 1）若点C的纵坐标为 2 ，求MN；2AN ，求圆C的半径.（ 2）若AFAM MCNFA O x4. (2013 四川文 20）已知圆C的方程为x2( y 4)2 4 ，点 O 是坐标原点.直线l : y kx 与圆C交于M ， N 两点.（ 1）求k的取值范围；（ 2）设Q( m，n)是线段MN上的点，且2112 .请将n表示为m的函数 .22| OQ ||OM ||ON |2014 年1.（ 2014222 x 2 y a0 截直线 x y20 所得弦的长度为 4 ，则实数浙江文 5）已知圆 x ya 的值是（）.A．2B．4C．6D．82.（ 2014江苏 9）在平面直角坐标系xOy 中，直线 x 2 y3022被圆 x 2y14 截得的弦长为．3（. 2014 重庆文 14）已知直线x y a 0 与圆心为 C 的圆x2y 22x 4 y 40 相交于A，B两点，且AC BC ，则实数a的值为_________.2015 年1.（ 2015全国 1 文 20）文已知过点A 0,1且斜率为 k 的直线 l 与圆 C：x222y 31交于 M，N两点 .（ 1）求 k 的取值范围；（ 2）若 OM ON12，其中 O 为坐标原点，求MN .1. 解析（ 1）由l与圆交于 M , N 两点，所以直线的斜率必存在.设直线 l 的斜率为 k ，则直线 l 的方程为y kx1.由圆 C 的方程，可得圆心为 C 2 , 3 ，则 d C, l2k311 ，即k 21 ，解得147k 4733.（ 2）设M x1, y1， N x2 , y2，则 OM x1 , y1， ON x2 , y2，OM ON x1 x2y1 y212 .把直线 y kx 1 代入到x2y 321中，2得 k 2 1 x2 4 4k x 7 0 .x1 x27x244k由根与系数的关系，得k 2， x1k 2. 11则 x1x2y1y2x1 x2kx1k kx2k 4k11k 271 .1k 211 ，解得k所以直线 l 的方程为y x1.又圆心 C2,3到直线 l 的距离d C, l 2310，即直线 l 过圆心 C . 121所以 MN 2 .2016 年1.（ 2016 全国乙文 15）设直线y x 2a 与圆 C : x2y22ay 2 0 相交于A, B两点，若AB23，则圆 C 的面积为.1. 4x y2a0 ，圆的标准方程为x2y a 22解析由题意直线即为 a 2，a a2a2a 2所以圆心到直线的距离d，所以 AB22222 3 ，222故 a22r 2 4 ，所以 S r 2 4 .2. 2016全国丙文15）已知直线l : x3y60与圆x2y212交于 A 、 B 两点，过 A 、 B（分别作 l 的垂线与x轴交于 C 、 D 两点，则CD_________.2. 4解析由已知条件得圆x2y212 的圆心到直线 x3y60 的距离为66，则AB23，所以直线 AB 与 x 轴的212623 . 因为l AB的斜率22223 31夹角π，因此CD AB 4.6πcos6题型 112直线与圆的相切关系及应用2013 年1．（ 2013 广东文7）垂直于直线y x 1且与圆x2y 21相切于第一象限的直线方程是（）A．x y 2 0 B ．x y 1 0C．x y 1 0D．x y 2 02. (2013 天津文5）已知过点P2,2的直线与圆 (x1)2y2 5 相切，且与直线ax y 1 0垂直，则 a().A.1B. 1C. 2D.1 223. （ 2013 江苏 17）如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A(0,3)，直线 l : y 2 x 4 .设圆C的半径为1，圆心在 l上 .y（ 1）若圆心C也在直线y x 1上，过点 A 作圆C的切线，求切线的方程；Al（ 2）若圆C上存在点M，使MA2MO ，求圆心 C 的横坐标a的取值范围.O x2014 年1.（ 2014 大纲文 16）直线 l 1和 l 2是圆 x 2y 22 的两条切线，若 l 1与 l 2的交点为（ 1， 3），则 l 1与 l 2的夹角的正切值等于.2. （ 2014 江苏 18）如图所示，为了保护河上古桥 OA ，规划建一座新桥 BC ，同时设立一个圆形保护区．规划要求：新桥 BC 与河岸 AB 垂直；保护区的边界为圆心M 在线段 OA 上并与 BC相切的圆．且古桥两端O 和 A 到该圆上任意一点的距离均不少于80m ．经测量，点 A 位于点 O正北方向 60m 处，点 C 位于点 O 正东方向 170m 处（ OC北4 ．为河岸），tan BCOB3（ 1）求新桥 BC 的长；A （ 2）当 OM 多长时，圆形保护区的面积最大？60 mMO170 mC 东2015 年1. （ 2015 四川文10） 设直线 l 与抛物线 y 24x 相交于 A, B 两点，与圆 C ：x 2y 2 r 2 r0 相切于点 M ，且 M 为线段 AB 中点，若这样的直线l 恰有 4条，5 则 r 的取值范围是（ ） .A.1,3B.1,4C.2,3D.2,41. 解析 设直线 l 的方程为 x tym ，代入抛物线方程得 y 24ty 4m 0 ，则16t 2 16m 0 .又中点 M 2t 2 m,2t ，则 k MC k l1，即 m3 2t 2 .代入16t 2 16m ，可得 3 t 20 ，即 0 t 23 .5 m2 2t 2t 2又由圆心到直线的距离等于半径，可得d r 2 1 .1 t 21 t 2。
2023年高考数学真题题源解密(新高考全国卷)专题11 直线与圆(解析版)
专题11直线与圆目录一览2023真题展现考向一直线与圆相切考向二直线与圆相交真题考查解读近年真题对比考向一直线与圆相切考向二直线与圆的位置关系命题规律解密名校模拟探源易错易混速记/二级结论速记考向一直线与圆相切1．（2023•新高考Ⅰ•第6题）过点（0，﹣2）与圆x 2+y 2﹣4x ﹣1＝0相切的两条直线的夹角为α，则sin α＝（）A ．1B ．154C ．104D ．64【答案】B解：圆x 2+y 2﹣4x ﹣1＝0可化为（x ﹣2）2+y 2＝5，则圆心C （2，0），半径为r =5；设P （0，﹣2），切线为PA 、PB ，则PC =22+22=22，△PAC中，sin �2=5cos �2==3所以sin α＝2sin �2cos �2=2×5×3=154．故选：B ．考向二直线与圆相交2．（2023•新高考Ⅱ•第15题）已知直线x ﹣my +1＝0与⊙C ：（x ﹣1）2+y 2＝4交于A ，B 两点，写出满足“△ABC 面积为85”的m 的一个值．【答案】2（或﹣2或12或−12）解：由圆C ：（x ﹣1）2+y 2＝4，可得圆心坐标为C （1，0），半径为r ＝2，因为△ABC 的面积为85，可得S △ABC =12×2×2×sin ∠ACB =85，解得sin ∠ACB =45，设12∠ACB ＝θ所以∴2sin θcos θ=45，可得2푠푖푛휃 푠휃푠푖푛2휃+ 푠2휃=45，∴2푡푎푛휃푡푎푛2휃+1=45，∴tan θ=12或tan θ＝2，∴cos θ=cos θ=∴圆心眼到直线x ﹣my +1＝0的距离d===解得m ＝±12或m ＝±2．故答案为：2（或﹣2或12或−12）．【命题意图】考查直线的倾斜角与斜率、直线方程、两直线平行与垂直、距离公式、圆的方程、直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系．【考查要点】常考查直线与圆的位置关系、动点与圆、圆与圆的关系。
2019-2020年高考数学总复习专题9.1直线方程和圆的方程试题含解析
2019-2020年高考数学总复习专题9.1直线方程和圆的方程试题含解析 【三年高考】 1．【xx 江苏高考，10】在平面直角坐标系中，以点为圆心且与直线)(012R m m y mx ∈=---相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为【答案】【考点定位】直线与圆位置关系2．【xx 江苏，理9】在平面直角坐标系中，直线被圆截得的弦长为 .【答案】【解析】圆的圆心为，半径为，点到直线的距离为2222(1)33512d +⨯--==+，所求弦长为22925522455l r d =-=-=． 【考点】直线与圆相交的弦长问题．3．【xx 江苏，理12】在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为x 2＋y 2－8x ＋15＝0，若直线y ＝kx －2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，则k 的最大值是__________．【答案】4. 【xx 高考新课标2理数改编】圆的圆心到直线的距离为1，则a ＝ ．【答案】【解析】试题分析：圆的方程可化为，所以圆心坐标为，由点到直线的距离公式得：考点：圆的方程、点到直线的距离公式.【名师点睛】直线与圆的位置关系的判断方法(1)几何法：由圆心到直线的距离d与半径长r的大小关系来判断．若d>r，则直线与圆相离；若d＝r，则直线与圆相切；若d<r，则直线与圆相交．(2)代数法：联立直线与圆的方程，消元后得到关于x(或y)的一元二次方程，根据一元二次方程的解的个数(也就是方程组解的个数)来判断．如果Δ<0，方程无实数解，从而方程组也无实数解，那么直线与圆相离；如果Δ＝0，方程有唯一实数解，从而方程组也有唯一一组实数解，那么直线与圆相切；如果Δ>0，方程有两个不同的实数解，从而方程组也有两组不同的实数解，那么直线与圆相交．提醒：直线与圆的位置关系的判断多用几何法．5. 【xx高考新课标3理数】已知直线：与圆交于两点，过分别做的垂线与轴交于两点，若，则__________________.【答案】4考点：直线与圆的位置关系．【技巧点拨】解决直线与圆的综合问题时，一方面，要注意运用解析几何的基本思想方法(即几何问题代数化)，把它转化为代数问题；另一方面，由于直线与圆和平面几何联系得非常紧密，因此，准确地作出图形，并充分挖掘几何图形中所隐含的条件，利用几何知识使问题较为简捷地得到解决．6．【xx高考山东文数改编】已知圆M：截直线所得线段的长度是，则圆M与圆N：的位置关系是．【答案】相交【解析】由（）得（），所以圆的圆心为，半径为，因为圆截直线所得线段的长度是，所以=MN ==，，因为，所以圆与圆相交． 考点：1.直线与圆的位置关系；2.圆与圆的位置关系.【名师点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系问题，是高考常考知识内容.本题综合性较强，具有“无图考图”的显著特点，解答此类问题，注重“圆的特征直角三角形”是关键，本题能较好的考查考生分析问题解决问题的能力、基本计算能力等.7.【xx 高考北京文数改编】圆的圆心到直线的距离为 ．【答案】【解析】试题分析：圆心坐标为，由点到直线的距离公式可知．考点：直线与圆的位置关系【名师点睛】点到直线(即)的距离公式记忆容易，对于知求，很方便.8．【xx 高考上海文科】已知平行直线012:,012:21=++=-+y x l y x l ，则的距离________.【答案】 【解析】试题分析：利用两平行线间距离公式得d 5=== 考点：两平行线间距离公式.【名师点睛】确定两平行线间距离，关键是注意应用公式的条件，即的系数应该分别相同，本题较为容易，主要考查考生的基本运算能力.9．【xx 高考浙江文数】已知，方程222(2)4850a x a y x y a +++++=表示圆，则圆心坐标是_____，半径是______.【答案】；5．【解析】试题分析：由题意，，时方程为，即，圆心为，半径为5，时方程为224448100x y x y ++++=，不表示圆．考点：圆的标准方程.【易错点睛】由方程222(2)4850a x a y x y a +++++=表示圆可得的方程，解得的值，一定要注意检验的值是否符合题意，否则很容易出现错误．10.【xx 高考天津文数】已知圆C 的圆心在x 轴的正半轴上，点在圆C 上，且圆心到直线 的距离为，则圆C 的方程为__________.【答案】【解析】 试题分析：设，则2|2|452,25355a a r =⇒==+=，故圆C 的方程为 考点：直线与圆位置关系【名师点睛】求圆的方程有两种方法：(1)代数法：即用“待定系数法”求圆的方程．①若已知条件与圆的圆心和半径有关，则设圆的标准方程，列出关于a ，b ，r 的方程组求解．②若已知条件没有明确给出圆的圆心或半径，则选择圆的一般方程，列出关于D ，E ，F 的方程组求解．(2)几何法：通过研究圆的性质，直线和圆的关系等求出圆心、半径，进而写出圆的标准方程．11．【xx 高考新课标2，理7】过三点，，的圆交y 轴于M ，N 两点，则________.【答案】412.【xx 高考陕西，理15】设曲线在点（0,1）处的切线与曲线上点处的切线垂直，则的坐标为 ．【答案】【解析】因为，所以，所以曲线在点处的切线的斜率，设的坐标为（），则，因为，所以，所以曲线在点处的切线的斜率，因为，所以，即，解得，因为，所以，所以，即的坐标是，所以答案应填：．13.【xx 高考湖北，理14】如图，圆与轴相切于点，与轴正半轴交于两点（在的上方）， 且．（Ⅰ）圆的标准．．方程为 ； （Ⅱ）过点任作一条直线与圆相交于两点，下列三个结论：①； ②； ③．其中正确结论的序号是 . （写出所有正确结论的序号）【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）①②③【解析】（Ⅰ）依题意，设（为圆的半径），因为，所以，所以圆心，故圆的标准方程为.（Ⅱ）联立方程组，解得或，因为在的上方，所以，，令直线的方程为，此时，，所以，，，，因为，，所以. 所以2221(21)22222NBMANA MB -==-=-+，222121222222NBMANA MB +=+=+=-+14．【xx 陕西高考理第12题】若圆的半径为1，其圆心与点关于直线对称，则圆的标准方程为_______.【答案】【解析】因为圆心与点关于直线对称，所以圆心坐标为.所以圆的标准方程为：,故答案为.【xx 年高考命题预测】纵观近几年各地高考试题，对直线方程和圆的方程这部分的考查，主要考查直线的方程、圆的方程，从题型来看，高考中一般以选择题和填空的形式考查，难度较低，部分省份会在解答题中，这部分内容作为一问，和作为进一步研究其他问题的基础出现，难度较高，虽然全国各地对这部分内容的教材不同，故对这部分内容的侧重点不同，但从直线方程和圆的方程的基础知识，解析几何的基本思想的考查角度来说，有共同之处，恰当地关注图形的几何特征，提高解题效率．对直线方程的考查．一般会和倾斜角、斜率、直线方向向量或者其他知识结合．平面内两条直线的位置关系的考查，属于简单题，主要以两条直线平行、垂直为主，以小题的形式出现．对圆的方程的考查，在高考中应一般在选择题、填空题中出现，关注确定圆的条件．预测xx年对这一部分考查不会有太大变化．【xx年高考考点定位】高考对直线的方程和圆的方程的考查有二种主要形式：一是考查直线的方程；二是考查平面内两条直线的位置关系；三是考查圆的方程．【考点1】直线的方程【备考知识梳理】1、直线的倾斜角和斜率(1)直线的的斜率为k，倾斜角为α，它们的关系为：k＝tanα；(2)若Ａ（x1,y1），Ｂ（x２,y２），则．2.直线的方程a.点斜式：；b.斜截式：；c.两点式：；d.截距式：；e.一般式：，其中A、B不同时为0.【规律方法技巧】1. 斜率的定义是，其中是切斜角，故可结合正切函数的图象研究切斜角的范围与斜率的取值范围以及斜率的变化趋势．2. 直线的方向向量也是体现直线倾斜程度的量，若是直线的方向向量，则（）．3.平行或者垂直的两条直线之间的斜率关系要倍加注意.3.直线的五种直线方程，应注意每个方程的适用范围，解答完后应检验不适合直线方程的情形是否也满足已知条件．【考点针对训练】1.已知直线过直线和的交点，且与直线垂直，则直线的方程为________【答案】【解析】由题意得：直线可设为，又过直线和的交点，所以直线的方程为2.过点引直线，使点，到它的距离相等，则这条直线的方程为．【答案】【解析】显然直符合题意，此直线过线段的中点，又，时方程为，化简为，因此所求直线方程为或．【考点2】两条直线的位置关系【备考知识梳理】（1）若l 1，l 2均存在斜率且不重合：①l 1//l 2 k 1=k 2；②l 1l 2 k 1k 2=－1；③（2）若0:,0:22221111=++=++C y B x A l C y B x A l 当时，平行或重合，代入检验；当时，相交；当时，．【规律方法技巧】1．与已知直线垂直及平行的直线系的设法与直线22(00)Ax By C A B ≠＋＋＝＋垂直和平行的直线方程可设为：(1)垂直：；(2)平行：.2．转化思想在对称问题中的应用对称问题一般是将线与线的对称转化为点与点的对称，利用坐标转移法．【考点针对训练】1.若直线l 1：x ＋2y －4＝0与l 2：mx ＋(2－m )y －3＝0平行，则实数m 的值为 ．【答案】【解析】由题意得：2.已知直线，直线()()2:2220l m x m y -+++=，且，则的值为____.【答案】-1或-2【解析】根据两直线平形当斜率存在时，需满足斜率相等，纵截距不等，所以当时，显然两直线平行，符合题意；当时，，，若平行需满足且，解得：，综上，答案为-1或-2.【考点3】几种距离【备考知识梳理】(1)两点间的距离：平面上的两点间的距离公式：(2)点到直线的距离：点到直线的距离.(3)两条平行线间的距离：两条平行线与间的距离.【规律方法技巧】1．点到直线的距离问题可直接代入点到直线的距离公式去求．注意直线方程为一般式．2．动点到两定点距离相等，一般不直接利用两点间距离公式处理，而是转化为动点在两定点所在线段的垂直平分线上，从而计算简便，如本例中|PA |＝|PB |这一条件的转化处理．1.已知直线与直线平行，则它们之间的距离是 ．【答案】2【解析】由题意，，所以直线方程为，即，.2.已知直线l 1：ax+2y+6=0，l 2：x+（a 1）y+a 21=0，若l 1⊥l 2，则a= ，若 l 1∥l 2，则a= ，此时l 1和l 2之间的距离为 ．【答案】， 1，；【考点4】圆的方程【备考知识梳理】标准式：，其中点（a ，b ）为圆心，r>0，r 为半径，圆的标准方程中有三个待定系数，使用该方程的最大优点是可以方便地看出圆的圆心坐标与半径的大小． 一般式：022=++++F Ey Dx y x ，其中为圆心为半径，，圆的一般方程中也有三个待定系数，即D 、E 、F ．若已知条件中没有直接给出圆心的坐标（如题目为：已知一个圆经过三个点，求圆的方程），则往往使用圆的一般方程求圆方程．【规律方法技巧】1．二元二次方程是圆方程的充要条件“A=C ≠0且B=0”是一个一般的二元二次方程022=+++++F Ey Dx Cy Bxy Ax 表示圆的必要条件．二元二次方程022=+++++F Ey Dx Cy Bxy Ax 表示圆的充要条件为“A=C ≠0、B=0且”，它可根据圆的一般方程推导而得．2．确定一个圆的方程，需要三个独立条件．“选形式、定参数”是求圆的方程的基本方法：是指根据题设条件恰当选择圆的方程的形式，进而确定其中的三个参数．3．求圆的方程时，要注意应用圆的几何性质简化运算．(1)圆心在过切点且与切线垂直的直线上．(2)圆心在任一弦的中垂线上．(3)两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线．1．已知圆的圆心为抛物线的焦点,且与直线相切,则该圆的方程为_________________.【答案】【解析】抛物线的焦点为（1,0），所以圆的圆心为（1,0），圆心到直线的距离，所以所求圆的方程为．2．已知圆与直线及都相切，圆心在直线上，则圆的方程为______________________.【答案】【解析】直线与直线两条平行线的距离，圆的半径，由，得，由，得，直径的两个端点，，因此圆心坐标，圆的方程．【两年模拟详解析】1．【xx届江苏省如东高级中学高三2月摸底】在平面直角坐标系中,已知过点的直线与圆相切,且与直线垂直,则实数__________．【答案】2．【xx届湖南省长沙市长郡中学高三下第六次月考理科】若直线和直线将圆分成长度相等的四段弧，则．【答案】18【解析】试题分析：由题意得：圆心到两直线距离相等，且等于，因此或，即18考点：直线与圆位置关系3．【xx届江苏省扬州中学高三12月月考】已知动圆与直线相切于点，圆被轴所截得的弦长为，则满足条件的所有圆的半径之积是．【答案】【解析】试题分析：设圆心，半径为，根据圆被轴所截得的弦长为得：，又切点是，所以，且，所以解得或，从而或，，所以答案应填：．考点：1、直线与圆相切；2、直线与圆相交；3、圆的标准方程．4．【xx 届南京市、盐城市高三年级第二次模拟】在平面直角坐标系中，直线与直线相交于点，则当实数变化时，点到直线的距离的最大值为______.【答案】【解析】 由题意得，直线的斜率为，且经过点,直线的斜率为，且经过点，且直线所以点落在以为直径的圆上，其中圆心坐标，半径为，则圆心到直线的距离为，所以点到直线的最大距离为。
高考数学最新真题专题解析—直线与圆(新高考卷)
高考数学最新真题专题解析—直线与圆（新高考卷）【母题来源】2022年新高考I卷【母题题文】写出与圆x2+y2=1和(x−3)2+(y−4)2=16都相切的一条直线的方程【答案】x+1=07x−24y−25=03x+4y−5=0(填一条即可)【分析】本题考查了圆与圆的公切线问题，涉及圆与圆的位置关系、点到直线的距离等知识，属较难题．【解答】解：方法1:显然直线的斜率不为0，不妨设直线方程为x+by+c=0，于是√1+b2=1，√1+b2=4．故c2=1+b2 ①，|3+4b+c|=|4c|.于是3+4b+c=4c或3+4b+c=−4c，再结合 ①解得{b=0c=1或{b=−247c=−257或{b=43c=−53，所以直线方程有三条，分别为x+1=0，7x−24y−25=0，3x+4y−5=0．(填一条即可)方法2:设圆x2+y2=1的圆心O(0,0)，半径为r1=1，圆(x−3)2+ (y−4)2=16的圆心C(3,4)，半径r2=4，则|OC|=5=r1+r2，因此两圆外切，由图像可知，共有三条直线符合条件，显然 x +1=0 符合题意； 又由方程 (x −3)2+(y −4)2=16 和 x 2+y 2=1 相减可得方程 3x +4y −5=0 ，即为过两圆公共切点的切线方程，又易知两圆圆心所在直线 OC 的方程为 4x −3y =0 ，直线 OC 与直线 x +1=0 的交点为 (−1,−43) ，设过该点的直线为 y +43=k(x +1) ，则|k−43|√k 2+1=1 ，解得 k =724 ，从而该切线的方程为 7x −24y −25=0.( 填一条即可 ) 【母题来源】2022年新高考II 卷【母题题文】设点A(−2,3)，B(0,a)，直线AB 关于直线y =a 的对称直线为l ，已知l 与圆C:(x +3)2+(y +2)2=1有公共点，则a 的取值范围为 ． 【答案】[13,32] 【分析】本题考查直线关于直线对称的直线求法，直线与圆的位置关系的应用，属于中档题． 【解答】解：因为k AB=a−32，所以AB关于直线y=a的对称直线为(3−a)x−2y+2a=0，所以√4+(3−a)2⩽1，整理可得6a2−11a+3⩽0,解得13≤a≤32．【命题意图】考察直线倾斜角与斜率，考察直线方程，考察直线平行与垂直，考察直线交点坐标，点到直线距离公式。
2024高考一轮复习数学重难点11九种直线和圆的方程的解题方法(核心考点讲与练含答案
2024高考一轮复习专项重难点11 九种直线和圆的方程的解题方法（核心考点讲与练）能力拓展题型一：直接法求直线方程一、单选题1．（2022·全国·高三专题练习）直线l 经过两条直线10x y -+=和2320x y ++=的交点，且平行于直线240x y -+=，则直线l 的方程为（）A ．210x y --=B ．210x y -+=C ．220x y -+=D ．220x y +-=2．（2022·全国·高三专题练习（文））若经过点(1,2)P --的直线与圆225x y +=相切，则该直线在y 轴上的截距为()A ．52B ．5C ．52-D ．5-3．（2022·浙江·高三专题练习）如图，圆1C 、2C 在第一象限，且与x 轴，直线2:2l y =均相切，则圆心1C 、2C 所在直线的方程为（）A ．2y x =B ．22y x =C ．24y x =D ．y x=4．（2022·重庆·高三开学考试）若直线l 交圆22:420C x y x y +-+=于A 、B 两点，且弦AB 的中点为()1,0M ，则l 方程为（）A ．10x y --=B ．10x y -+=C ．10x y +-=D ．10x y ++=二、多选题5．（2022·全国·高三专题练习）过点()2,3A 且在两坐标轴上截距相等的直线方程为（）A ．320x y -=B ．230x y -=C ．5x y +=D ．1x y -=-6．（2022·全国·高三专题练习）已知(1,2)A ，(3,4)B -，(2,0)C -，则（）A ．直线0x y -=与线段AB 有公共点B ．直线AB 的倾斜角大于135︒C ．ABC 的边BC 上的中线所在直线的方程为2y =D ．ABC 的边BC 上的高所在直线的方程为470x y -+=7．（2022·全国·高三专题练习）已知直线l 过点P （－1，1），且与直线1:230l x y -+=以及x 轴围成一个底边在x 轴上的等腰三角形，则下列结论正确的是（）A ．直线l 与直线l 1的斜率互为相反数B ．所围成的等腰三角形面积为1C ．直线l 关于原点的对称直线方程为210x y +-=D ．原点到直线l 8．（2021·全国·模拟预测）已知平面上的线段l 及点P ，任取l 上一点Q ，称线段PQ 长度的最小值为点P 到线段l 的距离，记作(,)d P l .已知线段1:(122)l x y =--≤≤，21:()20l x y =-≤≤，点P 为平面上一点，且满足12(,)(,)d P l d P l =，若点P 的轨迹为曲线C ，A ，B 是第一象限内曲线C 上两点，点(10)F ，且54AF =，BF =）A ．曲线C 关于x 轴对称B ．点A 的坐标为1,14⎛⎫⎪⎝⎭C ．点B 的坐标为35,22⎛⎫⎪⎝⎭D ．FAB 的面积为1916题型二：待定系数法求直线方程一、单选题1．（2022·内蒙古·满洲里市教研培训中心模拟预测（理））已知抛物线C ：22y px =的焦点F 的坐标为()20，，准线与x 轴交于点A ，点M 在第一象限且在抛物线C 上，则当MA MF取得最大值时，直线MA 的方程为（）A ．24y x =+B ．24y x =--C ．y =x +2D ．2y x =--2．（2022·全国·高三专题练习）若直线1:2330l x y --=与2l 互相平行，且2l 过点(2,1)，则直线2l 的方程为（）A ．3270x y +-=B ．3240x y -+=C ．2330x y -+=D ．2310x y --=3．（2022·全国·高三专题练习）已知直线:20l ax y a +-+=在x 轴与y 轴上的截距相等，则实数a 的值是（）A ．1B ．﹣1C ．﹣2或1D ．2或14．（2022·全国·高三专题练习）过点()1,2作直线l ，满足在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线l 有（）条.A ．1B ．2C ．3D ．4二、多选题5．（2021·重庆梁平·高三阶段练习）已知直线l 10y -+=，则下列结论正确的是（）A ．直线l 的倾斜角是3πB ．若直线m：10x +=，则l m ⊥C ．点到直线l 的距离是2D ．过与直线l 40y --=6．（2022·全国·高三专题练习）下列命题正确的是（）A ．已知点3(2,)A -，(3,2)B --，若直线(1)1y k x =-+与线段AB 有交点，则34k ≥或4k ≤-B ．1m =是直线1l ：10mx y +-=与直线2l ：()220m x my -+-=垂直的充分不必要条件C ．经过点()1,1且在x 轴和y 轴上的截距都相等的直线的方程为20x y +-=D ．已知直线1l ：10ax y -+=，2l ：10x ay ++=，R a ∈，和两点(0,1)A ，(1,0)B -，如果1l 与2l 交于点M ，则MA MB⋅的最大值是1.7．（2022·全国·高三专题练习）下列说法错误．．的是（）A ．若直线210a x y -+=与直线20x ay --=互相垂直，则1a =-B ．直线sin 20x y α++=的倾斜角的取值范围是30,,)44[πππ⎡⎤⋃⎢⎥⎣⎦C ．()()()()0,1,2,1,3,4,1,2A B CD -四点不在同一个圆上D ．经过点()1,1且在x 轴和y 轴上截距都相等的直线方程为20x y +-=8．（2021·全国·高三专题练习）直线l 与圆22(2)2x y -+=相切，且l 在x 轴、y 轴上的截距相等，则直线l 的方程可能是A ．0x y +=B ．20x y +-+=C ．0x y -=D ．40x y +-=三、填空题9．（2022·全国·高三专题练习（理））已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，过焦点F 的直线C 交于11(,)A x y ，22(,)B x y 两点，若21154x x -=，则直线AB 的方程为______．10．（2020·黑龙江·哈师大附中高三期末（理））若过点()1,1A 的直线l 将圆()()22:324C x y -+-=的周长分为2:1两部分，则直线l 的斜率为___________.四、解答题11．（2022·全国·高三专题练习）已知圆C ：()()22214x y -+-=，直线l ：()()423360m x m y m ----=.(1)过点()4,2P -，作圆C 的切线1l ，求切线1l 的方程；(2)判断直线l 与圆C 是否相交，若相交，求出直线l 被圆截得的弦长最短时m 的值及最短弦长；若不相交，请说明理由.12．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上，左右焦点分别为1F ，2F ，且12||2F F =，点3(1,2在椭圆C 上.（1）求椭圆C 的方程；（2）过1F 的直线l 与椭圆C 相交于,A B 两点，且2AF B ∆的面积为7，求以2F 为圆心且与直线l 相切的圆的方程.题型三：已知两直线位置关系求参数值或范围一、单选题1．（2022·四川凉山·三模（理））已知直线1:210l x y -+=，2:10l x ay +-=，且12l l ⊥，点()1,2P 到直线2l 的距离d =（）A BC ．5D ．52．（2022·辽宁·二模）己知直线:0l ax y a ++=，直线:0m x ay a ++=，则l m ∥的充要条件是（）A ．1a =-B ．1a =C ．1a =±D ．0a =二、多选题3．（2021·重庆一中高三阶段练习）下列说法正确的有（）A ．若m ∈R ，则“1m =”是“1l ：330x my m -+=与2l ：()20m x y m +--=平行”的充要条件B ．当圆222110x y x +--=截直线l ：()1y kx k =+∈R 所得的弦长最短时，1k =-C ．若圆1C ：222x y t +=+与圆2C ：()()22349x y -++=有且仅有两条公切线，则()2,6t ∈D ．直线l ：tan 412022y x =-︒⋅+的倾斜角为139°4．（2021·广东·高三阶段练习）已知直线l 过点()1,2M 且与圆C ：()2225x y -+=相切，直线l 与x 轴交于点N ，点P 是圆C 上的动点，则下列结论中正确的有（）A ．点N 的坐标为()3,0-B ．MNP △面积的最大值为10C ．当直线l 与直线10ax y -+=垂直时，2a =D ．tan MNP ∠的最大值为43三、填空题5．（2022·陕西·安康市高新中学三模（理））若双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的一条渐近线l 与直线:20g ax by a ++=平行，则直线l ，g 间的距离为______．6．（2022·天津·二模）在平面直角坐标系xOy 中，已知圆222:(62)4560C x y m x my m m +---+-=，直线l 经过点(1,2)-，若对任意的实数m ，直线l 被圆C 截得的弦长都是定值，则直线l 的方程为___________.四、解答题7．（2022·全国·高三专题练习）已知曲线32y x x =+-在点0P 处的切线1l 平行于直线410x y --=，且点0P 在第三象限．(1)求0P 的坐标；(2)若直线1l l ⊥，且l 也过切点0P ，求直线l 的方程．8．（2020·江苏·南京师大附中模拟预测）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知圆221:(4)1C x y ++=，圆222:(4)4C x y -+=，A 是第一象限内的一点，其坐标为(,)t t ．（1）若1212AC AC →→⋅=-，求t 的值；（2）过A 点作斜率为k 的直线l ，①若直线l 和圆1C ，圆2C 均相切，求k 的值；②若直线l 和圆2C ，圆2C 分别相交于,A B 和,C D ，且AB CD =，求t 的最小值．题型四：求解直线的定点一、单选题1．（2022·山东滨州·二模）已知直线()22:1(32)250l m m x m y m +++---=，圆22:20C x y x +-=，则直线l 与圆C 的位置关系是（）A ．相离B ．相切C ．相交D ．不确定2．（2022·陕西·榆林市教育科学研究所模拟预测（理））在平面直角坐标系xOy 中，已知圆22:1O x y +=，若曲线12y k x =-+上存在四个点()1,2,3,4i P i =，过动点Pi 作圆O 的两条切线，A ，B 为切点，满足32i iP A PB ⋅= ，则k 的取值范围为（）A ．4,3∞⎛⎫-- ⎪⎝⎭B ．4,03⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．(,7)(4,13)--∞-- D ．4(7,)1)30(,--- 二、多选题3．（2022·湖南·长沙市明德中学二模）已知O 为坐标原点，点()P a b ，在直线()40l kx y k --=∈R ：上，PA PB ，是圆222x y +=的两条切线，A B ，为切点，则（）A ．直线l 恒过定点()04，B ．当PAB △为正三角形时，OP =C ．当PA PB ⊥时，k 的取值范围为()-∞+∞ ，D ．当14PO PA ⋅=时，a b +的最大值为4．（2022·江苏盐城·三模）设直线l ：()220mx y m m R --+=∈，交圆C ：()()22349x y -+-=于A ，B 两点，则下列说法正确的有（）A ．直线l 恒过定点()1,2B ．弦AB 长的最小值为4C ．当1m =时，圆C 关于直线l 对称的圆的方程为：()()22439x y -+-=D ．过坐标原点O 作直线l 的垂线，垂足为点M ，则线段MC5．（2022·重庆·高三阶段练习）在平面直角坐标系xOy 中，圆22:1O x y +=，若曲线12y k x =-+上存在四个点()1,2,3,4=i P i ，过动点i P 作圆O 的两条切线，A ，B 为切点，满足32i iP A PB ⋅= ，则k 的值可能为（）A ．-7B ．-5C ．-2D ．–1三、双空题6．（2022·北京房山·二模）已知圆()()22:121C x y -+-=和直线():1l y k x =+，则圆心坐标为___________；若点P 在圆C 上运动，P 到直线l 的距离记为()d k ，则()d k 的最大值为___________.四、填空题7．（2022·河南焦作·三模（文））已知()f x 是定义在R 上的奇函数，其图象关于点(2,0)对称，当[0,2]x ∈时，2()1(1)f x x =---，若方程()(2)0f x k x --=的所有根的和为6，则实数k 的取值范围是______．五、解答题8．（2022·全国·高三专题练习）O 为坐标原点，动点M 在椭圆22:12x C y +=上，过M 作x 轴的垂线，垂足为N ，点P 满足2NP NM =.(1)求点P 的轨迹方程；(2)设点Q 在直线3x =-上，且1OP PQ =，直线l 过点P 且垂直于OQ ，求证：直线过定点.9．（2022·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系xoy 中，如图，已知椭圆22195x y+=的左、右顶点为A 、B ，右焦点为F ，设过点(,)T t m 的直线TA 、TB 与此椭圆分别交于点1(M x ，1)y 、2(N x ，2)y ，其中0m >，10y >，20y <(1)设动点P 满足()()13PF PB PF PB +-=，求点P 的轨迹方程；(2)设12x =，213x =，求点T 的坐标；(3)若点T 在点P 的轨迹上运动，问直线MN 是否经过x 轴上的一定点，若是，求出定点的坐标；若不是，说明理由.题型五：直线相关的对称问题一、单选题1．（2022·全国·高三专题练习（理））集合M 在平面直角坐标系中表示线段的长度之和记为M .若集合(){}22,925A x y xy =≤+≤，(){},B x y y x m ==+，(){},2C x y y kx k ==+-则下列说法中不正确的有（）A ．若AB ⋂≠∅，则实数m 的取值范围为{m m -≤≤B ．存在k ∈R ，使AC ⋂≠∅C ．无论k 取何值，都有A C ⋂≠∅D ．A C的最大值为42．（2022·全国·高三专题练习）已知平面向量12312312,,,1,,60e e e e e e e e ︒==== .若对区间1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦内的三个任意的实数123,,λλλ,都有11223312312e e e e e e λλλ++++,则向量1e 与3 e 夹角的最大值的余弦值为（）A ．36-B ．C ．D ．二、多选题3．（2022·全国·模拟预测）已知直线:50l x y -+=，过直线上任意一点M 作圆()22:34C x y -+=的两条切线，切点分别为A ，B ，则有（）A ．四边形MACB 面积的最小值为B ．AMB ∠最大度数为60°C ．直线AB 过定点15,22⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．AB 4．（2022·福建三明·模拟预测）已知直线l ：10kx y k --+=与圆C ：()()222216x y -++=相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，下列说法正确的是（）A ．AB的最小值为B ．若圆C 关于直线l 对称，则3k =C ．若2ACB CAB ∠=∠，则1k =或17k =-D ．若A ，B ，C ，O 四点共圆，则13k =-三、填空题5．（2022·全国·模拟预测）已知平面内点,05n n A ⎛⎫- ⎪⎝⎭，,05n n B ⎛⎫ ⎪⎝⎭()*n ∈N ，点n C 满足n n n n AC B C ⊥．设n C 到直线()3410x y n n +++=的距离的最大值为n a ，若数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n S m <恒成立，则实数m 能取的最小值是______．6．（2022·天津·南开中学模拟预测）已知圆221:(1)(2)4C x y -+-=和圆222:(2)(1)2C x y -+-=交于,A B 两点，直线l 与直线AB 平行，且与圆2C 相切，与圆1C 交于点,M N ，则MN =__________．7．（2022·广东佛山·模拟预测）已知点()1,0A ，()3,0B ，若2PA PB ⋅=，则点P 到直线l ：340x y -+=的距离的最小值为____________．四、解答题8．（2022·安徽·蚌埠二中模拟预测（理））在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为22224x t ty t ⎧=-⎨=+⎩(t 为参数)．(1)求C 与坐标轴交点的直角坐标；(2)以坐标原点O 为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 与坐标轴的交点是否共圆，若共圆，求出该圆的极坐标方程；若不共圆，请说明理由.9．（2022·安徽·寿县第一中学高三阶段练习（理））已知直线:sin cos 0l x y a θθ++=，圆()()221:324C x y a +--=，圆2222:340Cx y a a +-+=(1)若4θ=，求直线l 的倾斜角；(2)设直线l 截两圆的弦长分别为12,d d ，当23πθ=时，求12d d ⋅的最大值并求此时a 的值.10．（2022·江西南昌·一模（理））已知面积为ABO （O 是坐标原点）的三个顶点都在抛物线()2:20E y px p =>上，过点(),2P p -作抛物线E 的两条切线分别交y 轴于M ，N 两点.(1)求p 的值；(2)求PMN 的外接圆的方程.题型六：几何法求圆的方程一、多选题1．（2022·广东·模拟预测）三角形的外心、重心、垂心所在的直线称为欧拉线．已知圆O '的圆心在OAB 的欧拉线l 上，O 为坐标原点，点()4,1B 与点()1,4A 在圆O '上，且满足O A O B '⊥'，则下列说法正确的是（）A ．圆O '的方程为224430x y x y +--+=B ．l 的方程为0x y -=C ．圆O '上的点到l 的最大距离为3D ．若点(),x y 在圆O '上，则x y -的取值范围是⎡-⎣二、填空题2．（2022·河北·模拟预测）圆心为(1,2)C -，且截直线350x y ++=所得弦长为的圆的方程为___________.3．（2022·河南·高三阶段练习（文））已知㮋圆1C ：()2221024x y b b+=<<的离心率为12，1F 和2F 是1C 的左右焦点，M 是1C 上的动点，点N 在线段1F M 的延长线上，2MN MF =，线段2F N 的中点为P ，则1F P 的最大值为______．4．（2022·天津·高三专题练习）已知圆C 过点(0,1)(2,1)P Q 、两点，且圆心C 在x 轴上，经过点(1,0)M -且倾斜角为钝角的直线l 交圆C 于A ，B 两点，若0CA CB ⋅= (C 为圆心)，则该直线l 的斜率为________．5．（2022·全国·高三专题练习）已知圆C ：(x －2)2＋y 2＝2，直线l ：y ＝k (x ＋2)与x 轴交于点A ，过l 上一点P 作圆C 的切线，切点为T ，若|PA |PT |，则实数k 的取值范围是______________．三、解答题6．（2022·内蒙古呼和浩特·二模（理））拋物线C 的顶点为坐标原点O ，焦点在x 轴上，直线l ：2x =交C 于P ，Q 两点，且OP OQ ⊥．已知点M 的坐标为()4,0，M 与直线l 相切．(1)求抛物线C 和M 的标准方程；(2)已知点()8,4N ，点1A ，2A 是C 上的两个点，且直线1NA ，2NA 均与M 相切．判断直线12A A 与M 的位置关系，并说明理由．7．（2022·江苏·南京市第五高级中学一模）已知O 为坐标原点，抛物线E ：22x py =（p ＞0），过点C （0，2）作直线l 交抛物线E 于点A 、B （其中点A 在第一象限），4OA OB ⋅=- 且AC CB λ= （λ＞0）.(1)求抛物线E 的方程；(2)当λ=2时，过点A 、B 的圆与抛物线E 在点A 处有共同的切线，求该圆的方程8．（2022·全国·高三专题练习）已知平面直角坐标系上一动点(),P x y 到点()2,0A -的距离是点P 到点()10B ,的距离的2倍．（1）求点P 的轨迹方程：（2）若点P 与点Q 关于点()1,4-对称，求P 、Q 两点间距离的最大值；（3）若过点A 的直线l 与点P 的轨迹C 相交于E 、F 两点，()2,0M ，则是否存在直线l ，使BFM S △取得最大值，若存在，求出此时的方程，若不存在，请说明理由．题型七：待定系数法求圆的方程一、单选题1．（2016·天津市红桥区教师发展中心高三学业考试）已知圆M 的半径为1，若此圆同时与x 轴和直线y =相切，则圆M 的标准方程可能是（）A ．22((1)1x y -+-=B ．22(1)(1x y -+=C ．22(1)(1x y -++=D ．22((1)1x y ++=二、填空题2．（2022·四川眉山·三模（文））已知函数()()()2112819f x x x x =+--.过点()() 1,1A f --作曲线()y f x =两条切线，两切线与曲线()y f x =另外的公共点分别为B 、C ，则ABC 外接圆的方程为___________.3．（2022·安徽·高三阶段练习（文））已知抛物线2:8C x y =，过点(2,2)N -作抛物线C 的两条切线NA ，NB ，切点分别为点A ，B ，以AB 为直径的圆交x 轴于P ，Q 两点，则PQ =_______．4．（2022·天津·高三专题练习）已知抛物线C ：24y x =的焦点为F ，抛物线C 上一点A 位于第一象限，且满足3AF =，则以点A 为圆心，AF 为半径的圆的方程为______.三、解答题5．（2022·全国·高三专题练习）已知圆C 经过点A (0，2)，B (2，0)，圆C 的圆心在圆x 2＋y 2＝2的内部，且直线3x ＋4y ＋5＝0被圆C 所截得的弦长为点P 为圆C 上异于A ，B 的任意一点，直线PA 与x 轴交于点M ，直线PB 与y 轴交于点N .(1)求圆C 的方程；(2)若直线y ＝x ＋1与圆C 交于A 1，A 2两点，求12BA BA →→；(3)求证：|AN |·|BM |为定值.6．（2021·江西·高三阶段练习（理））已知圆C 过点(2,1)-，(6,3)，(2,3)-．(1)求C 的标准方程；(2)若点(,)P x y 在C 上运动，求34x y -的取值范围．7．（2021·全国·模拟预测）已知点()1,1P 在抛物线C ：()220y px p =>上，过点P 作圆E ：()()22220y x r r +=->的两条切线，切点为A ，B ，延长PA ，PB 交抛物线于C ，D .（1）当直线AB 抛物线焦点时，求抛物线C 的方程与圆E 的方程；（2）证明：对于任意()0,1r ∈，直线CD 恒过定点.8．（2019·云南·二模（理））已知O 是坐标原点，抛物线C ：2x y =的焦点为F ，过F 且斜率为1的直线l 交抛物线C 于A 、B 两点，Q 为抛物线C 的准线上一点，且2AQB π∠=.（1）求Q 点的坐标；（2）设与直线l 垂直的直线与抛物线C 交于M 、N 两点，过点M 、N 分别作抛物线C 的切线1l 、2l ，设直线1l 与2l 交于点P ，若OP OQ ⊥，求MON ∆外接圆的标准方程.题型八：几何法求弦长一、单选题1．（2022·全国·模拟预测）已知直线l 过点(A ，则直线l 被圆O ：2212x y +=截得的弦长的最小值为（）A ．3B ．6C ．D ．2．（2022·全国·模拟预测）过点()2,2A ，作倾斜角为π3的直线l ，则直线l被圆22:16O x y +=-弦长为（）A．12-B．2C．3D．6-二、多选题3．（2022·广东·模拟预测）已知圆221:(1)1C x y ++=和圆222:(4)4C x y -+=，过圆2C 上任意一点P 作圆1C 的两条切线，设两切点分别为,A B ，则（）A ．线段ABB ．线段ABC ．当直线AP 与圆2C 相切时，原点O 到直线AP 的距离为65D ．当直线AP 平分圆2C 的周长时，原点O 到直线AP 的距离为45三、填空题4．（2022·河北唐山·三模）直线:0+-=l x m 与圆22:480+--=C x y x 交于A 、B 两点，且6⋅=- CA CB ，则实数m =_______．四、解答题5．（2022·全国·高三专题练习）已知点()()1,0M m m ->，不垂直于x 轴的直线l 与椭圆22:143x y C +=相交于()11,A x y ，()22,B x y 两点.(1)若M 为线段AB 的中点，证明：212112y y x x ->-；(2)设C 的左焦点为F ，若M 在∠AFB 的角平分线所在直线上，且l 被圆224x y +=截得的弦长为l 的方程.6．（2021·湖北·武汉市第六中学高三阶段练习）已知圆O ：x 2＋y 2=2，过点A （1，1）的直线交圆O 所得的，且与x 轴的交点为双曲线E ：2222x y a b -=1的右焦点F （c ，0）（c ＞2），双曲线E 的离心率为32．(1)求双曲线E 的方程；(2)若直线y =kx ＋m （k ＜0，k ≠m ＞0）交y 轴于点P ，交x 轴于点Q ，交双曲线右支于点M ，N 两点，当满足关系111||||||PM PN PQ +=时，求实数m 的值．7．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>0y -=过E 的上顶点A 和左焦点1F .(1)求E 的方程；(2)设直线l 与椭圆E 相切，又与圆22:4O x y +=交于M ，N 两点（O 为坐标原点），求OMN 面积的最大值，并求出此时直线l 的方程.题型九：利用点到直线的距离解决圆上点与直线上点的距离问题一、单选题1．（2022·江苏扬州·模拟预测）已知直线():130l a x y -+-=，圆22:(1)5C x y -+=.则“32a =”是“l 与C 相切”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2．（2022·重庆南开中学模拟预测）已知圆2220x y x a +-+=上仅存在一个点到直线30x -+=的距离为1，则实数a 的值为（）A ．-2B ．C ．-1D ．03．（2022·全国·高三专题练习（文））圆O ：222x y +=上点P 到直线l ：3410x y +=距离的最小值为（）A 1B ．2C ．2D ．04．（2022·安徽·寿县第一中学高三阶段练习（理））过直线34110x y -+=上一动点P 作圆22:2210C x y x y +--+=的两条切线，切点分别为,A B ，则四边形PACB 的面积的最小值为（）AB C ．3D二、多选题5．（2022·湖南·长郡中学高三阶段练习）已知点P 在圆22:4O x y +=上，点()3,0A ，()0,4B ，则（）A ．点P 到直线AB 的距离最大值为225B ．满足AP BP ⊥的点P 有2个C ．过点B 作圆O 的两切线，切点分别为M ､N ，则直线MN 的方程为1y =D ．2PA PB +的最小值是6．（2022·重庆·二模）已知点(),P x y 是圆()22:14C x y -+=上的任意一点，直线()):1130l m x y m ++-+=，则下列结论正确的是（）A ．直线l 与圆C 的位置关系只有相交和相切两种B ．圆C 的圆心到直线lC ．点P 到直线43160++=x y 距离的最小值为2D ．点P 可能在圆221x y +=上三、填空题7．（2022·四川省泸县第二中学模拟预测（理））过直线0x y m --=上动点P 作圆2:(2)(3)1M x y -+-=的一条切线，切点为A ，若使得1PA =的点P 有两个，则实数m 的取值范围为___________．8．（2022·贵州遵义·三模（理））圆22:2O x y +=上点P 到直线3410:x y l +=距离的最小值为__________．四、解答题9．（2022·广东茂名·模拟预测）已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，直线2y x =-与抛物线C 交于A ，B 两点.（1）求FAB 的面积；（2）过抛物线C 上一点Р作圆()22:34M x y -+=的两条斜率都存在的切线，分别与抛物线C 交于异于点P 的两点D ，E .证明：直线DE 与圆M 相切.高考一轮复习专项。
直线和圆的方程十年高考题(含答案)
直线和圆的方程●考点阐释解析几何是用代数方法来研究几何问题的一门数学学科．在建立坐标系后，平面上的点与有序实数对之间建立起对应关系，从而使平面上某些曲线与某些方程之间建立对应关系；使平面图形的某些性质（形状、位置、大小）可以用相应的数、式表示出来；使平面上某些几何问题可以转化为相应的代数问题来研究．学习解析几何，要特别重视以下几方面：（1）熟练掌握图形、图形性质与方程、数式的相互转化和利用； （2）与代数、三角、平面几何密切联系和灵活运用． ●试题类编 一、选择题1.（2003北京春文12，理10）已知直线ax +by +c =0（abc ≠0）与圆x 2+y 2=1相切，则三条边长分别为|a |，|b |，|c |的三角形（ ）A.是锐角三角形B.是直角三角形C.是钝角三角形D.不存在2.（2003北京春理，12）在直角坐标系xOy 中，已知△AOB 三边所在直线的方程分别为x =0，y =0，2x +3y =30，则△AOB 内部和边上整点（即横、纵坐标均为整数的点）的总数是（ ）A.95B.91C.88D.753.（2002京皖春文，8）到两坐标轴距离相等的点的轨迹方程是（ ） A.x －y =0 B.x +y =0 C.|x |－y =0D.|x |－|y |=04.（2002京皖春理，8）圆2x 2＋2y 2＝1与直线x sin θ＋y －1＝0（θ∈R ,θ≠2＋k π，k ∈Z ）的位置关系是（ ）A.相交B.相切C.相离D.不确定的5.（2002全国文）若直线（1+a ）x +y +1=0与圆x 2＋y 2－2x ＝0相切，则a 的值为（ ） A.1，－1B.2，－2C.1D.－16.（2002全国理）圆（x －1）2＋y 2＝1的圆心到直线y =33x 的距离是（ ） A.21 B.23 C.1D.37.（2002北京，2）在平面直角坐标系中，已知两点A （co s 80°,sin80°）,B （co s 20°，sin20°），则|AB |的值是（ ）A.21B.22 C.23 D.18.（2002北京文，6）若直线l ：y ＝kx 3-与直线2x ＋3y －6＝0的交点位于第一象限，则直线l 的倾斜角的取值范围是（ ）A.)3,6[ππB.)2,6(ππ C.)2,3(ππ D.]2,6[ππ 9.（2002北京理，6）给定四条曲线：①x 2＋y 2＝25，②4922y x +＝1，③x 2＋42y ＝1，④42x ＋y 2＝1．其中与直线x +y －5=0仅有一个交点的曲线是（ ）A.①②③B.②③④C.①②④D.①③④10.（2001全国文，2）过点A （1，－1）、B （－1，1）且圆心在直线x ＋y －2＝0上的圆的方程是（ ）A.（x －3）2＋（y ＋1）2＝4B.（x ＋3）2＋（y －1）2＝4C.（x －1）2＋（y －1）2＝4D.（x ＋1）2＋（y ＋1）2＝411.（2001上海春，14）若直线x =1的倾斜角为α，则α（ ） A.等于0B.等于4πC.等于2π D.不存在12.（2001天津理，6）设A 、B 是x 轴上的两点，点P 的横坐标为2且|PA |=|PB |，若直线PA 的方程为x －y +1=0，则直线PB 的方程是（ ）A.x +y －5=0B.2x －y －1=0C.2y －x －4=0D.2x +y －7=013.（2001京皖春，6）设动点P 在直线x =1上，O 为坐标原点．以OP 为直角边，点O 为直角顶点作等腰Rt △OP Q ，则动点Q 的轨迹是（ ）A.圆B.两条平行直线C.抛物线D.双曲线14.（2000京皖春，4）下列方程的曲线关于x =y 对称的是（ ） A.x 2－x ＋y 2＝1B.x 2y ＋xy 2＝1C.x －y =1D.x 2－y 2＝115.（2000京皖春，6）直线（23-）x +y =3和直线x +（32-）y =2的位置关系是（ ）A.相交不垂直B.垂直C.平行D.重合16.（2000全国，10）过原点的直线与圆x 2＋y 2＋4x ＋3＝0相切，若切点在第三象限，则该直线的方程是（ ）A.y =3xB.y =－3xC.y =33xD.y =－33x 17.（2000全国文，8）已知两条直线l 1：y =x ，l 2：ax －y =0，其中a 为实数，当这两条直线的夹角在（0，12π）内变动时，a 的取值范围是（ ）A.（0，1）B.（3,33）C.（33，1）∪（1，3）D.（1，3）18.（1999全国文，6）曲线x 2+y 2+22x －22y =0关于（ ）A.直线x =2轴对称B.直线y =－x 轴对称C.点（－2，2）中心对称D.点（－2，0）中心对称19.（1999上海，13）直线y =33x 绕原点按逆时针方向旋转30°后所得直线与圆 （x －2）2+y 2=3的位置关系是（ ）A.直线过圆心B.直线与圆相交，但不过圆心C.直线与圆相切D.直线与圆没有公共点20.（1999全国，9）直线3x +y －23=0截圆x 2＋y 2＝4得的劣弧所对的圆心角为（ ） A.6π B.4π C ．3π D.2π21.（1998全国，4）两条直线A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0垂直的充要条件是（ ） A.A 1A 2＋B 1B 2＝0 B.A 1A 2－B 1B 2＝0 C.12121-=B B A AD.2121A A B B =1 22.（1998上海）设a 、b 、c 分别是△ABC 中∠A 、∠B 、∠C 所对边的边长，则直线sin A ·x +ay +c =0与bx －sin B ·y +sin C =0的位置关系是（ ）A.平行B.重合C.垂直D.相交但不垂直23.（1998全国文，3）已知直线x =a （a >0）和圆（x －1）2+y 2=4相切，那么a 的值是（ ） A.5B.4C.3D.224.（1997全国，2）如果直线ax +2y +2=0与直线3x －y －2=0平行，那么系数a 等于（ ） A.－3B.－6C.－23D.32 25.（1997全国文，9）如果直线l 将圆x 2+y 2－2x －4y =0平分，且不通过第四象限，那么直线l 的斜率的取值范围是（ ）A.［0，2］B.［0，1］C.［0，21］D.［0，21） 26.（1995上海，8）下列四个命题中的真命题是（ ） A.经过定点P 0（x 0，y 0）的直线都可以用方程y －y 0=k （x －x 0）表示B.经过任意两个不同的点P 1（x 1，y 1）、P 2（x 2，y 2）的直线都可以用方程（y －y 1）·（x 2－x 1）=（x －x 1）（y 2－y 1）表示C.不经过原点的直线都可以用方程1=+bya x 表示D.经过定点A （0，b ）的直线都可以用方程y =kx +b 表示27.（1995全国文，8）圆x 2＋y 2－2x ＝0和x 2＋y 2＋4y ＝0的位置关系是（ ）A.相离B.外切C.相交D.内切28.（1995全国，5）图7—1中的直线l 1、l 2、l 3的斜率分别为k 1、k 2、k 3，则（ ）A.k 1＜k 2＜k 3B.k 3＜k 1＜k 2C.k 3＜k 2＜k 1D.k 1＜k 3＜k 229.（1994全国文，3）点（0，5）到直线y =2x 的距离是（ ） A.25B.5 C.23D.25 二、填空题30.（2003上海春，2）直线y =1与直线y =3x +3的夹角为_____.31.（2003上海春，7）若经过两点A （－1，0）、B （0，2）的直线l 与圆（x －1）2+ （y －a ）2=1相切，则a =_____.32.（2002北京文，16）圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0上的动点Q 到直线3x ＋4y ＋8＝0距离的最小值为 ．33.（2002北京理，16）已知P 是直线3x +4y +8=0上的动点，PA ，PB 是圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0的两条切线，A 、B 是切点，C 是圆心，那么四边形PACB 面积的最小值为 ．34.（2002上海文，6）已知圆x 2＋（y －1）2＝1的圆外一点P （－2，0），过点P 作圆的切线，则两条切线夹角的正切值是 ．35.（2002上海理，6）已知圆（x ＋1）2＋y 2＝1和圆外一点P （0，2），过点P 作圆的切线，则两条切线夹角的正切值是 ．36.（2002上海春，8）设曲线C 1和C 2的方程分别为F 1（x ，y ）＝0和F 2（x ，y ）＝0，图7—1则点P （a ，b ） C 1∩C 2的一个充分条件为 ．37.（2001上海，11）已知两个圆：x 2＋y 2＝1①与x 2＋（y －3）2＝1②，则由①式减去②式可得上述两圆的对称轴方程．将上述命题在曲线仍为圆的情况下加以推广，即要求得到一个更一般的命题，而已知命题应成为所推广命题的一个特例．推广的命题为：38.（2001上海春，6）圆心在直线y =x 上且与x 轴相切于点（1，0）的圆的方程为 . 39.（2000上海春，11）集合A ＝｛（x ，y ）|x 2＋y 2＝4｝，B ＝｛（x ，y ）|(x －3)2＋(y －4)2＝r 2｝，其中r ＞0，若A ∩B 中有且仅有一个元素，则r 的值是_____.40.（1997上海）设圆x 2+y 2－4x －5=0的弦AB 的中点为P （3，1），则直线AB 的方程是 .41.（1994上海）以点C （－2，3）为圆心且与y 轴相切的圆的方程是 . 三、解答题42.（2003京春文，20）设A （－c ，0），B （c ，0）（c >0）为两定点，动点P 到A 点的距离与到B 点的距离的比为定值a （a >0），求P 点的轨迹.43.（2003京春理，22）已知动圆过定点P （1，0），且与定直线l ：x =－1相切，点C 在l 上.（Ⅰ）求动圆圆心的轨迹M 的方程； （Ⅱ）设过点P ，且斜率为－3的直线与曲线M 相交于A 、B 两点.（i ）问：△ABC 能否为正三角形？若能，求点C 的坐标；若不能，说明理由； （ii ）当△ABC 为钝角三角形时，求这种点C 的纵坐标的取值范围.44.（2002全国文，21）已知点P 到两个定点M （－1，0）、N （1，0）距离的比为2，点N 到直线PM 的距离为1．求直线PN 的方程．45.（1997全国文，25）已知圆满足：①截y 轴所得弦长为2；②被x 轴分成两段圆弧，其弧长的比为3∶1；③圆心到直线l ：x －2y =0的距离为55，求该圆的方程. 46.（1997全国理，25）设圆满足： （1）截y 轴所得弦长为2；（2）被x 轴分成两段圆弧，其弧长的比为3∶1．在满足条件（1）、（2）的所有圆中，求圆心到直线l ：x －2y =0的距离最小的圆的方程. 47.（1997全国文，24）已知过原点O 的一条直线与函数y =lo g 8x 的图象交于A 、B 两点，分别过点A 、B 作y 轴的平行线与函数y ＝lo g 2x 的图象交于C 、D 两点.（1）证明点C、D和原点O在同一条直线上.（2）当BC平行于x轴时，求点A的坐标.48.（1994上海，25）在直角坐标系中，设矩形OPQR的顶点按逆时针顺序依次为O（0，0），P（1，t），Q（1－2t，2+t），R（－2t，2），其中t∈（0，＋∞）.（1）求矩形OPQR在第一象限部分的面积S（t）.（2）确定函数S（t）的单调区间，并加以证明.49.（1994全国文，24）已知直角坐标平面上点Q（2，0）和圆C：x2+y2=1，动点M到圆C的切线长与|MQ|的比等于常数λ（λ>0）.求动点M的轨迹方程，说明它表示什么曲线.答案解析1.答案：B解析：圆心坐标为（0，0），半径为1.因为直线和圆相切.利用点到直线距离公式得：d =22||b a c +=1，即a 2+b 2=c 2.所以，以|a |，|b |，|c |为边的三角形是直角三角形.评述：要求利用直线与圆的基本知识，迅速找到a 、b 、c 之间的关系，以确定三角形形状.2.答案：B解析一：由y =10－32x （0≤x ≤15，x ∈N ）转化为求满足不等式y ≤10－32x （0≤x ≤15，x ∈N ）所有整数y 的值.然后再求其总数.令x =0，y 有11个整数，x =1，y 有10个，x =2或x =3时，y 分别有9个，x =4时，y 有8个，x =5或6时，y 分别有7个，类推：x =13时y 有2个，x =14或15时，y 分别有1个，共91个整点.故选B.解析二：将x =0，y =0和2x +3y =30所围成的三角形补成一个矩形.如图7—2所示.对角线上共有6个整点，矩形中（包括边界）共有16×11=176.因此所求△AOB 内部和边上的整点共有26176+=91（个）评述：本题较好地考查了考生的数学素质，尤其是考查了思维的敏捷性与清晰的头脑，通过不等式解等知识探索解题途径.3.答案：D解析：设到坐标轴距离相等的点为（x ，y ） ∴|x |＝|y | ∴|x |－|y |＝0 4.答案：C解析：圆2x 2＋2y 2＝1的圆心为原点（0，0）半径r 为22，圆心到直线x sin θ＋y －1＝0的距离为：1sin 11sin |1|22+=+=θθd∵θ∈R ，θ≠2π＋k π，k ∈Z∴0≤sin 2θ＜1 ∴d ＞22∴d ＞r 图7—2∴圆2x 2＋2y 2＝1与直线x sin θ＋y －1＝0（θ∈R ，θ≠2π＋k π，k ∈Z ）的位置关系是相离．5.答案： D解析：将圆x 2＋y 2－2x ＝0的方程化为标准式：（x －1）2＋y 2＝1∴其圆心为（1，0），半径为1，若直线（1＋a ）x ＋y ＋1＝0与该圆相切，则圆心到直线的距离d 等于圆的半径r∴11)1(|11|2=++++a a ∴a ＝－16.答案：A解析：先解得圆心的坐标（1，0），再依据点到直线距离的公式求得A 答案．7.答案：D解析：如图7—3所示，∠AOB ＝60°，又|OA |＝|OB |＝1 ∴|AB |＝1 8.答案：B方法一：求出交点坐标，再由交点在第一象限求得倾斜角的范围⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=++=⇒⎩⎨⎧=-+-=k k y kx y x kx y 3232632)32(306323 ∵交点在第一象限，∴⎩⎨⎧>>0y x∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+->++032326032)32(3kk k∴k ∈（33，＋∞）∴倾斜角范围为（2,6ππ）方法二：如图7—4，直线2x +3y －6=0过点A （3，0），B （0，2），直线l 必过点（0，－3），当直线过A 点时，两直线的交点在x 轴，当直线l 绕C 点逆时针旋转时，交点进入第一象限，从而得出结果.图7—3图7—4评述：解法一利用曲线与方程的思想，利用点在象限的特征求得，而解法二利用数形结合的思想，结合平面几何中角的求法，可迅速、准确求得结果.9.答案：D解析：联立方程组，依次考查判别式，确定D. 10.答案：C解析一：由圆心在直线x ＋y －2＝0上可以得到A 、C 满足条件,再把A 点坐标（1，－1）代入圆方程.A 不满足条件.∴选C.解析二:设圆心C 的坐标为(a ，b )，半径为r ,因为圆心C 在直线x +y －2=0上,∴b =2－a . 由|CA |=|CB |，得（a －1）2+（b +1）2=（a +1）2+（b －1）2，解得a =1，b =1因此所求圆的方程为（x －1）2+（y －1）2=4评述：本题考查圆的方程的概念，解法一在解选择题中有广泛的应用，应引起重视. 11.答案：C解析：直线x =1垂直于x 轴，其倾斜角为90°. 12.答案：A解析：由已知得点A （－1，0）、P （2，3）、B （5，0），可得直线PB 的方程是x +y －5=0. 评述：本题考查直线方程的概念及直线的几何特征. 13.答案：B解析一：设P =1+bi ，则Q =P （±i ）， ∴Q =（1+bi ）（±i ）=±b i ，∴y =±1解析二：设P 、Q 点坐标分别为（1，t ），（x ，y ）， ∵OP ⊥OQ ，∴1t·xy=－1，得x +ty =0 ①∵|OP |=|OQ |，∴2221y x t +=+，得x 2+y 2=t 2+1②由①得t =－yx ，将其代入②，得x 2+y 2=22y x +1，（x 2+y 2）（1－21y ）=0.∵x 2+y 2≠0，∴1－21y=0，得y =±1. ∴动点Q 的轨迹为y =±1，为两条平行线.评述：本题考查动点轨迹的基本求法. 14.答案：B解析：∵点（x ，y ）关于x =y 对称的点为(y ，x ),可知x 2y ＋xy 2＝1的曲线关于x =y 对称．15.答案：B 解析：直线（23-）x +y =3的斜率k 1＝32-，直线x +（32-）y =2的斜率k 2＝23+，∴k 1·k 2＝)23)(32(+-＝－1．16.答案：C解析一：圆x 2＋y 2＋4x ＋3＝0化为标准式（x +2）2＋y 2＝1，圆心C （－2，0）．设过原点的直线方程为y =kx ，即kx －y =0.由1|2|2+-k k ＝1，解得k =±33，∵切点在第三象限， ∴k ＞0，所求直线方程为y =33x ． 解析二：设T 为切点，因为圆心C （－2，0），因此CT =1，OC =2，△OCT 为Rt △.如图7—5，∴∠CO T=30°，∴直线OT 的方程为y =33x . 评述：本题考查直线与圆的位置关系，解法二利用数与形的完美结合，可迅速、准确得到结果.17.答案：C解析：直线l 1的倾斜角为4π，依题意l 2的倾斜角的取值范围为（4π－12π，4π）∪（4π，4π+12π）即:（6π，4π）∪（4π，3π）,从而l 2的斜率k 2的取值范围为:（33，1）∪（1,3）. 评述：本题考查直线的斜率和倾斜角，两直线的夹角的概念，以及分析问题、解决问题的能力.18.答案：B 解析：由方程（x +2）2+（y －2）2=4如图7—6所示，故圆关于y =－x 对称图7—5图7—6故选B.评述：本题考查了圆方程，以及数形结合思想.应注意任何一条直径都是圆的对称轴. 19.答案：C 解析：直线y =33x 绕原点逆时针旋转30°所得的直线方程为：y =3x .已知圆的圆心（2，0）到y =3x 的距离d =3，又因圆的半径r =3，故直线y =3x 与已知圆相切.评述：本题考查直线的斜率和倾斜角以及直线与圆的位置关系. 20.答案：C解析：如图7—7所示， 由⎪⎩⎪⎨⎧=+=-+432322y x y x消y 得：x 2－3x +2=0 ∴x 1=2，x 2=1 ∴A （2，0），B （1，3）∴|AB |=22)30()12(-+-=2又|OB |＝|OA |=2∴△AOB 是等边三角形，∴∠AOB =3π，故选C.评述：本题考查直线与圆相交的基本知识，及正三角形的性质以及逻辑思维能力和数形结合思想，同时也体现了数形结合思想的简捷性.如果注意到直线AB 的倾斜角为120°.则等腰△OAB 的底角为60°.因此∠AOB =60°.更加体现出平面几何的意义.21.答案：A解法一：当两直线的斜率都存在时，－11B A ·（22B A-）＝－1，A 1A 2＋B 1B 2＝0. 当一直线的斜率不存在，一直线的斜率为0时，⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==00001221B A B A 或，同样适合A 1A 2＋B 1B 2＝0，故选A. 解法二：取特例验证排除.图7—7如直线x +y =0与x －y =0垂直，A 1A 2＝1，B 1B 2＝－1，可排除B 、D. 直线x =1与y =1垂直，A 1A 2＝0，B 1B 2＝0，可排除C ，故选A.评述：本题重点考查两直线垂直的判定、直线方程的一般式等基本知识点，重点考查分类讨论的思想及逻辑思维能力.22.答案：C解析：由题意知a ≠0，s i n B ≠0，两直线的斜率分别是k 1=－a A sin ，k 2=Bbsin .由正弦定理知k 1·k 2=－a A sin ·Bbsin =－1，故两直线垂直. 评述：本题考查两直线垂直的条件及正弦定理. 23.答案：C解析:方程（x －1）2+y 2=4表示以点（1，0）为圆心，2为半径的圆，x =a 表示与x 轴垂直且与圆相切的直线，而此时的切线方程分别为x =－1和x =3，由于a >0，取a =3.故选C.评述：本题考查圆的方程、圆的切线方程及图象.利用数形结合较快完成此题. 24.答案：B解析一：若两直线平行，则22123-≠-=a ， 解得a ＝－6，故选B.解析二：利用代入法检验，也可判断B 正确.评述：本题重点考查两条直线平行的条件，考查计算能力. 25.答案：A解析：圆的标准方程为：（x －1）2+（y －2）2=5.圆过坐标原点.直线l 将圆平分，也就是直线l 过圆心C （1，2），从图7—8看到：当直线过圆心与x 轴平行时，或者直线同时过圆心与坐标原点时都不通过第四象限，并且当直线l 在这两条直线之间变化时都不通过第四象限.当直线l 过圆心与x 轴平行时，k =0， 当直线l 过圆心与原点时，k =2. ∴当k ∈［0，2］时，满足题意.图7—8评述：本题考查圆的方程，直线的斜率以及逻辑推理能力，数形结合的思想方法. 26.答案：B解析：A 中过点P 0（x 0，y 0）与x 轴垂直的直线x =x 0不能用y －y 0=k （x －x 0）表示，因为其斜率k 不存在；C 中不过原点但在x 轴或y 轴无截距的直线y =b （b ≠0）或x =a （a ≠0）不能用方程bya x +=1表示；D 中过A （0，b ）的直线x =0不能用方程y =kx +b 表示. 评述：本题考查直线方程的知识，应熟练掌握直线方程的各种形式的适用范围. 27.答案：C解析：将两圆方程分别配方得（x －1）2＋y 2＝1和x 2＋（y －2）2＝4，两圆圆心分别为O 1（1，0），O 2（0，2），r 1＝1，r 2＝2，|O 1O 2|＝52122=+，又1＝r 2－r 1＜5＜r 1＋r 2＝3，故两圆相交，所以应选C.评述：本题考查了圆的一般方程、标准方程及圆的关系以及配方法. 28.答案：D解析：直线l 1的倾斜角α1是钝角，故k 1＜0，直线l 2与l 3的倾斜角α2、α3均为锐角，且α2＞α3，所以k 2＞k 3＞0，因此k 2＞k 3＞k 1，故应选D.评述：本题重点考查直线的倾斜角、斜率的关系，考查数形结合的能力. 29.答案：B解析：直线方程可化为2x －y =0，d =55|5|=-. 评述：本题重点考查直线方程的一般式及点到直线的距离公式等基本知识点，考查运算能力.30.答案：60° 解析：因为直线y =3x +3的倾斜角为60°，而y =1与x 轴平行，所以y =1与y =3x +3的夹角为60°.评述：考查直线方程的基本知识及几何知识，考查数形结合的数学思想. 31.答案：a =4±5解析：因过A （－1，0）、B （0，2）的直线方程为：2x －y +2=0.圆的圆心坐标为C （1，a ），半径r =1.又圆和直线相切，因此，有：d =5|22|+-a =1，解得a =4±5.评述：本题考查直线方程、直线和圆的位置关系及点到直线的距离公式等知识. 32.答案：2解析：圆心到直线的距离d ＝5|843|++＝3 ∴动点Q 到直线距离的最小值为d －r ＝3－1＝2 33.答案：22解法一：∵点P 在直线3x +4y +8=0上.如图7—9. ∴设P （x ，432-- x ），C 点坐标为（1，1）， S 四边形PACB ＝2S △PAC＝2·21·|AP |·|AC |＝|AP |·|AC |＝|AP | ∵|AP |2＝|PC |2－|AC |2＝|PC |2－1∴当|PC |最小时，|AP |最小，四边形PACB 的面积最小． ∴|PC |2＝（1－x ）2＋（1＋2＋43x ）2＝9)145(1025162522++=++x x x ∴|PC |min ＝3 ∴四边形PACB 面积的最小值为22．解法二：由法一知需求|PC |最小值，即求C 到直线3x +4y +8=0的距离，∵C （1，1），∴|PC |=5|843|++=3，S PACD =22. 34.答案：34 解法一：圆的圆心为（0，1）设切线的方程为y ＝k （x ＋2）.如图7—10. ∴kx ＋2k －y ＝0 ∴圆心到直线的距离为1|12|2+-k k ＝1∴解得k ＝34或k ＝0， 图7—9图7—10∴两切线交角的正切值为34． 解法二：设两切线的交角为α∵tan212=α，∴tan α＝3441112tan 12tan22=-=-αα． 35.答案：34 解析：圆的圆心为（－1，0），如图7—11. 当斜率存在时，设切线方程为y ＝kx ＋2 ∴kx －y ＋2＝0∴圆心到切线的距离为1|2|2++-k k ＝1 ∴k ＝43，即tan α＝43当斜率不存在时，直线x ＝0是圆的切线 又∵两切线的夹角为∠α的余角 ∴两切线夹角的正切值为34 36.答案：F 1（a ，b ）≠0，或F 2（a ，b ）≠0，或F 1（a ，b ）≠0且F 2（a ，b ）≠0或C 1∩C 2=∅或P ∉C 1等解析：点P （a ，b ）∉C 1∩C 2，则 可能点P 不在曲线C 1上； 可能点P 不在曲线C 2上；可能点P 既不在曲线C 1上也不在曲线C 2上； 可能曲线C 1与曲线C 2不存在交点.37.答案：可得两圆对称轴的方程2（c －a ）x +2（d －b ）y +a 2+b 2－c 2－d 2=0解析：设圆方程（x －a ）2＋（y －b ）2＝r 2①（x －c ）2＋（y －d ）2＝r 2②图7—11（a ≠c 或b ≠d ），则由①－②，得两圆的对称轴方程为： （x －a ）2－（x －c ）2+（y －b ）2－（y －d ）2=0，即2（c －a ）x +2（d －b ）y +a 2+b 2－c 2－d 2=0.评述：本题考查圆的方程、圆的公共弦方程的概念，考查抽象思维能力和推广数学命题的能力.38.答案：（x －1）2+（y －1）2=1解析一：设所求圆心为（a ，b ），半径为r . 由已知，得a =b ，r =|b |=|a |.∴所求方程为（x －a ）2+（y －a ）2=a 2又知点（1，0）在所求圆上，∴有（1－a ）2+a 2=a 2，∴a =b =r =1.故所求圆的方程为：（x －1）2+（y －1）2=1.解析二：因为直线y =x 与x 轴夹角为45°.又圆与x 轴切于（1，0），因此圆心横坐标为1，纵坐标为1，r =1.评述：本题考查圆的方程等基础知识，要注意利用几何图形的性质，迅速得到结果. 39.答案：3或7解析：当两圆外切时，r =3，两圆内切时r =7，所以r 的值是3或7．评述：本题考查集合的知识和两圆的位置关系，要特别注意集合代表元素的意义. 40.答案：x +y －4=0解析一：已知圆的方程为（x －2）2+y 2=9，可知圆心C 的坐标是（2，0），又知AB 弦的中点是P （3，1），所以k CP =2301--=1，而AB 垂直CP ，所以k AB =－1.故直线AB 的方程是x +y －4=0.解析二：设所求直线方程为y －1=k （x －3）.代入圆的方程，得关于x 的二次方程：（1+k 2）x 2－（6k 2－2k +4）x +9k 2－6k －4=0，由韦达定理：x 1+x 2=221426kk k ++-=6，解得k =1.A 、B 两点，其坐标分别为A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2），则有⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+-9)2(9)2(22222121y x y x②－①得（x 2+x 1－4）（x 2－x 1）+（y 2－y 1）（y 2+y 1）=0 又AB 的中点坐标为（3，1），∴x 1+x 2=6，y 1+y 2=2. ∴1212x x y y --=－1，即AB 的斜率为－1，故所求方程为x +y －4=0.评述：本题考查直线的方程与圆的有关知识.要特别注意圆所特有的几何性质. 41.答案：（x +2）2+（y －3）2=4解析：因为圆心为（－2，3），且圆与y 轴相切，所以圆的半径为2.故所求圆的方程为（x +2）2+（y －3）2=4.42.解：设动点P 的坐标为P （x ，y ）由||||PB PA =a （a >0），得2222)()(yc x y c x +-++=a ，化简，得：（1－a 2）x 2+2c （1+a 2）x +c 2（1－a 2）+（1－a 2）y 2=0.当a ≠1时，得x 2+221)1(2aa c -+x +c 2+y 2=0.整理， 得：（x －1122-+a a c ）2+y 2=（122-a ac ）2当a =1时，化简得x =0.所以当a ≠1时，P 点的轨迹是以（1122-+a a c ，0）为圆心，|122-a ac |为半径的圆；当a =1时，P 点的轨迹为y 轴.评述：本题考查直线、圆、曲线和方程等基本知识，考查运用解析几何的方法解决问题的能力.43.（Ⅰ）解法一，依题意，曲线M 是以点P 为焦点，直线l 为准线的抛物线，所以曲线M 的方程为y 2=4x .解法二：设M （x ，y ），依题意有|MP |=|MN |， 所以|x +1|=22)1(y x +-.化简得：y 2=4x .（Ⅱ）（i ）由题意得，直线AB 的方程为y =－3（x －1）.由⎪⎩⎪⎨⎧=--=.4),1(32x y x y 消y 得3x 2－10x +3=0，图7—12解得x 1=31，x 2=3. 所以A 点坐标为（332,31），B 点坐标为（3，－23）， |AB |=x 1+x 2+2=316. 假设存在点C （－1，y ），使△ABC 为正三角形，则|BC |=|AB |且|AC |=|AB |，即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-++=+++.)316()32()131()316()32()13(222222y y 由①－②得42+（y +23）2=（34）2+（y －332）2， 解得y =－9314. 但y =－9314不符合①， 所以由①，②组成的方程组无解.因此，直线l 上不存在点C ，使得△ABC 是正三角形. （ii ）解法一：设C （－1，y ）使△ABC 成钝角三角形，由⎩⎨⎧-=--=.1),1(3x x y 得y =23，即当点C 的坐标为（－1，23）时，A 、B 、C 三点共线，故y ≠23.又|AC |2=（－1－31）2+（y －332）2=334928y -+y 2， |BC |2=（3+1）2+（y +23）2=28+43y +y 2，|AB |2=（316）2=9256.当∠CAB 为钝角时，co sA =||||2||||||222AC AB BC AC AB ⋅-+<0.即|BC |2>|AC |2+|AB |2，即9256334928342822++->++y y y y ，即 y >392时，∠CAB 为钝角. 当|AC |2>|BC |2+|AB |2，即9256342833492822+++>+-y y y y ，即y <－3310时，∠CBA 为钝角. 又|AB |2>|AC |2+|BC |2，即2234283349289256y y y y++++->， 即0)32(,03433422<+<++y y y. 该不等式无解，所以∠ACB 不可能为钝角.因此，当△ABC 为钝角三角形时，点C 的纵坐标y 的取值范围是)32(9323310≠>-<y y y 或. 解法二：以AB 为直径的圆的方程为（x －35）2+（y +332）2=（38）2. 圆心（332,35-）到直线l ：x =－1的距离为38，所以，以AB 为直径的圆与直线l 相切于点G （－1，－332）. 当直线l 上的C 点与G 重合时，∠ACB 为直角，当C 与G 点不重合，且A 、B 、C 三点不共线时，∠ACB 为锐角，即△ABC 中，∠ACB 不可能是钝角.因此，要使△ABC 为钝角三角形，只可能是∠CAB 或∠CBA 为钝角. 过点A 且与AB 垂直的直线方程为)31(33332-=-x y . 令x =－1得y =932.过点B 且与AB 垂直的直线方程为y +2333=（x －3）. 令x =－1得y =－3310. 又由⎩⎨⎧-=--=.1),1(3x x y 解得y =23，所以，当点C 的坐标为（－1，23）时，A 、B 、C 三点共线，不构成三角形.因此，当△ABC 为钝角三角形时，点C 的纵坐标y 的取值范围是y <－3310或y >932（y ≠23）.评述：该题全面综合了解析几何、平面几何、代数的相关知识，充分体现了“注重学科知识的内在联系”.题目的设计新颖脱俗，能较好地考查考生综合运用数学知识解决问题的能力.比较深刻地考查了解析法的原理和应用，以及分类讨论的思想、方程的思想.该题对思维的目的性、逻辑性、周密性、灵活性都进行了不同程度的考查.对运算、化简能力要求也较高，有较好的区分度.44.解：设点P 的坐标为（x ，y ），由题设有2||||=PN PM ，即2222)1(2)1(y x y x +-⋅=++．整理得 x 2+y 2－6x +1=0． ①因为点N 到PM 的距离为1，|M Ｎ|＝2， 所以∠PMN ＝30°，直线PM 的斜率为±33， 直线PM 的方程为y =±33（x ＋1）．② 将②式代入①式整理得x 2－4x ＋1＝0． 解得x ＝2＋3，x ＝2－3．代入②式得点P 的坐标为（2＋3，1＋3）或（2－3，－1＋3）；（2＋3，－1－3）或（2－3，1－3）．直线PN 的方程为y =x －1或y =－x +1． 45.解：设圆的方程为（x －a ）2+（y －b ）2=r 2.令x =0，得y 2－2by +b 2+a 2－r 2=0.|y 1－y 2|=222122124)(a r y y y y -=-+=2，得r 2=a 2+1 ①令y =0，得x 2－2ax +a 2+b 2－r 2=0， |x 1－x 2|=r b r x x x x 224)(2221221=-=-+，得r 2=2b 2②由①、②，得2b 2－a 2=1又因为P （a ，b ）到直线x －2y =0的距离为55， 得d =555|2|=-b a ，即a －2b =±1. 综上可得⎩⎨⎧=-=-;12,1222b a a b 或⎩⎨⎧-=-=-121222b a a b 解得⎩⎨⎧-=-=11b a 或⎩⎨⎧==11b a于是r 2=2b 2=2.所求圆的方程为（x +1）2+（y +1）2=2或（x －1）2+（y －1）2=2.46.解：设所求圆的圆心为P （a ，b ），半径为r ，则P 到x 轴、y 轴的距离分别为|b |、|a |. 由题设圆P 截x 轴所得劣弧所对圆心角为90°，圆P 截x 轴所得弦长为2r ，故r 2＝2b 2，又圆P 截y 轴所得弦长为2，所以有r 2＝a 2＋1，从而有2b 2－a 2＝1又点P （a ，b ）到直线x －2y =0距离为d ＝5|2|b a -， 所以5d 2＝|a －2b |2＝a 2＋4b 2－4ab ≥a 2＋4b 2－2（a 2＋b 2）＝2b 2－a 2＝1 当且仅当a =b 时上式等号成立，此时5d 2＝1，从而d 取得最小值，由此有⎩⎨⎧=-=1222a b b a 解方程得⎩⎨⎧==11b a 或⎩⎨⎧-=-=11b a 由于r 2＝2b 2，知r ＝2，于是所求圆的方程为（x －1）2＋（y －1）2＝2或（x ＋1）2＋（y ＋1）2＝2评述：本题考查了圆的方程，函数与方程，求最小值问题，进一步考查了待定系数法、函数与方程思想.题中求圆的方程给出的三个条件比较新颖脱俗，灵活运用几何知识和代数知识将条件恰当转化，推演，即合乎逻辑、说理充分、陈述严谨.47.（1）证明：设A 、B 的横坐标分别为x 1，x 2，由题设知x 1＞1，x 2＞1，点A （x 1，lo g 8x 1），B （x 2，lo g 8x 2）.因为A 、B 在过点O 的直线上，所以228118log log x x x x =， 又点C 、D 的坐标分别为（x 1，lo g 2x 1），（x 2，lo g 2x 2） 由于lo g 2x 1＝2log log 818x ＝3lo g 8x 1，lo g 2x 2＝2log log 828x ＝3lo g 8x 2，所以OC 的斜率和OD 的斜率分别为228222118112log 3log ,log 3log x x x x k x x x x k OD OC ====. 由此得k OC ＝k OD ，即O 、C 、D 在同一条直线上.（2）解：由BC 平行于x 轴，有lo g 2x 1＝lo g 8x 2，解得 x 2＝x 13将其代入228118log log x x x x =，得x 13lo g 8x 1＝3x 1lo g 8x 1. 由于x 1＞1，知lo g 8x 1≠0，故x 13＝3x 1，x 1＝3，于是点A 的坐标为（3，lo g 83）.评述：本小题主要考查对数函数图象、对数换底公式、对数方程、指数方程等基础知识，考查运算能力和分析问题的能力.48.解：（1）当1－2t ＞0即0＜t ＜21时，如图7—13，点Q 在第一象限时，此时S （t ）为四边形OPQK 的面积，直线QR 的方程为y －2=t （x +2t ）.令x =0，得y =2t 2＋2，点K 的坐标为（P ，2t 2＋2）.t t t S S S OKR OPQR OPQK 2)22(21)1(2222⋅+-+=-=)1(232t t t -+-=当－2t +1≤0，即t ≥21时，如图7—14，点Q 在y 轴上或第二象图7—13限，S （t ）为△OP Ｌ的面积，直线PQ 的方程为y －t =－t 1（x －1），令x =0得y =t +t1，点L的坐标为（0，t +t 1），S △OPL ＝1)1(21⋅+tt )1(21tt +=所以S （t ）＝⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥+<<-+-21 )1(21210 )1(232t t t t t t t（2）当0＜t ＜21时，对于任何0＜t 1＜t 2＜21，有S （t 1）－S （t 2）＝2（t 2－t 1）［1－（t 1＋t 2）＋（t 12＋t 1t 2＋t 22）］＞0，即S （t 1）＞S （t 2），所以S （t ）在区间（0，21）内是减函数. 当t ≥21时，对于任何21≤t 1≤t 2，有S （t 1）－S （t 2）＝21（t 1－t 2）（1－211t t ）， 所以若21≤t 1≤t 2≤1时，S （t 1）＞S （t 2）；若1≤t 1≤t 2时，S （t 1）＜S （t 2），所以S （t ）在区间［21，1］上是减函数，在区间［1，＋∞)内是增函数，由2［121＋（21）2－(21)3］＝45＝S （21）以及上面的证明过程可得，对于任何0＜t 1＜21≤t 2＜1，S （t 2）＜45≤S （t 1），于是S （t ）的单调区间分别为（0，1］及［1，＋∞)，且S （t ）在（0，1]内是减函数，在［1，＋∞)内是增函数.49.解：如图7—15，设直线MN 切圆于N ，则动点M 组成的集合是：P ={M ||MN |=λ|MQ |}，（λ>0为常数）因为圆的半径|ON |=1，所以|MN |2=|MO |2－|ON |2=|MO |2－1.设点M 的坐标为（x ，y ），则2222)2(1y x y x +-=-+λ图7—15整理得（λ2－1）（x 2+y 2）－4λ2x +（1+4λ2）=0当λ=1时，方程化为x =45，它表示一条直线，该直线与x 轴垂直，交x 轴于点（45，0）；当λ≠1时，方程化为（x －1222-λλ）2+y 2=)1(3122-+λλ它表示圆心在（1222-λλ，0），半径为|1|3122-+λλ的圆.评述：本题考查曲线与方程的关系、轨迹的概念等解析几何的基本思想以及综合运用知识的能力. 制作：ＳＤ。
2023年高考数学试题分类解析【第十章 直线与圆】附答案解析
2023年高考数学试题分类解析【第十章直线与圆】第三节直线与圆的位置关系1.（2023全国甲卷理科8，文科9）已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>，其中一条渐近线与圆()()22231x y -+-=交于,A B 两点，则AB =（）A.15【解析】由e =，则222222215c a b b a a a +==+=，解得2b a =.所以双曲线的一条渐近线为2y x =，则圆心()2,3到渐近线的距离d ==，所以弦长5AB ===.故选D.2.（2023全国乙卷理科22，文科22）在直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的极坐标方程为2sin 42ρθθππ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ，曲线22cos :2sin x C y αα=⎧⎨=⎩（α为参数，2απ<<π）.（1）写出1C 的直角坐标方程；（2）若直线y x m =+既与1C 没有公共点，也与2C 没有公共点，求m 的取值范围.【分析】(1)根据极坐标与直角坐标之间的转化运算求解，注意,x y 的取值范围；(2)根据曲线12,C C 的方程，结合图形通过平移直线y x m =+分析相应的临界位置，结合点到直线的距离公式运算求解即可.【解析】(1)因为2sin ρθ=，即22sin ρρθ=，可得222x y y +=，整理得()2211x y +-=，表示以()0,1为圆心，半径为1的圆，又因为cos 2sin cos sin 2x ρθθθθ===，2sin 2sin 1cos 2y ρθθθ===-，且42θππ ，则2θππ2 ，则[]sin 20,1x θ=∈，[]1cos 21,2y θ=-∈，故()[][]221:11,0,1,1,2C x y x y +-=∈∈.(2)因为22cos :2sin x C y αα=⎧⎨=⎩（α为参数，2απ<<π），整理得224x y +=，表示圆心为()0,0O ，半径为2，且位于第二象限的圆弧，如图所示，若直线y x m =+过()1,1，则11m =+，解得0m =；若直线y x m =+，即0x y m -+=与2C相切，则20m =>⎩，解得m =若直线y x m =+与12,C C均没有公共点，则m >0m <，即实数m 的取值范围为()(),0-∞+∞.4.（2023新高考I 卷6）过点()0,2-与圆22410x y x +--=相切的两条直线的夹角为α，则sin α=（）A.1B.154C.104 D.64【解析】()222241025x y x x y +--=⇒-+=，所以圆心为()2,0B ，记()0,2A -，设切点为,M N ，如图所示.因为AB =BM =，故AM =cos cos2AM MAB AB α=∠==，sin 2α=，sin 2sin cos 2224ααα==⨯.故选B.5.（2023新高考II 卷15）已知直线10x my -+=与圆()22:14C x y -+=交于,A B 两点，写出满足“85ABC S =△”的m 的一个值______.【解析】由题意可知，直线恒过点()1,0A -，此点同时为圆C 与x 轴负半轴的交点.又圆心()1,0C ，则2AC =，所以1825ABC B B S AC y y =⨯⨯==△，解得85B y =±，115B x =或15B x =-.所以满足条件的点B 可以为12341181181818,,,,,,,55555555B B B B ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫---- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，代入直线方程得2m =或2m =-或12m =或12m =-.。
平面解析几何(选择题、填空题)(解析版)-三年(2022–2024)高考数学真题分类汇编(全国通用)
专题05平面解析几何（选择题、填空题）考点三年考情（2022-2024）命题趋势考点1：直线方程与圆的方程2022年全国II卷、2022年全国甲卷（文）2022年全国乙卷（理）近三年高考对解析几何小题的考查比较稳定，考查内容、频率、题型难度均变化不大，备考时应熟练以下方向：（1）要重视直线方程的求法、两条直线的位置关系以及点到直线的距离公式这三个考点．（2）要重视直线与圆相交所得弦长及相切所得切线的问题．（3）要重视椭圆、双曲线、抛物线定义的运用、标准方程的求法以及简单几何性质，尤其是对离心率的求解，更是高考的热点问题，因方法多，试题灵活，在各种题型中均有体现．考点2：直线与圆的位置关系2024年北京卷、2022年全国甲卷（理）2022年天津卷、2022年北京卷2023年全国Ⅰ卷、2024年北京卷考点3：圆与圆的位置关系2022年全国I卷考点4：轨迹方程及标准方程2023年北京卷、2023年天津卷2024年全国Ⅱ卷、2022年天津卷2022年全国甲卷（文）考点5：椭圆的几何性质2022年全国I卷2023年全国甲卷（理）2023年全国甲卷（文）考点6：双曲线的几何性质2022年北京卷2023年全国乙卷（理）考点7：抛物线的几何性质2024年北京卷、2024年天津卷2023年全国乙卷（理）2023年天津卷、2023年全国Ⅱ卷2024年全国Ⅱ卷、2022年全国I卷考点8：弦长问题2022年全国乙卷（理）2023年全国甲卷（理）考点9：离心率问题2024年全国Ⅰ卷、2022年全国甲卷（文）2023年全国Ⅰ卷、2022年浙江卷2022年全国乙卷（理）2024年全国甲卷（理）2023年全国Ⅰ卷、2022年全国甲卷（理）考点10：焦半径、焦点弦问题2022年全国II卷、2023年北京卷考点11：范围与最值问题2022年全国II卷2024年全国甲卷（文）2023年全国乙卷（文）考点12：面积问题2024年天津卷、2023年全国Ⅱ卷2023年全国Ⅱ卷考点13：新定义问题2024年全国Ⅰ卷考点1：直线方程与圆的方程1．（2022年新高考全国II 卷数学真题）已知直线l 与椭圆22163x y +=在第一象限交于A ，B 两点，l 与x 轴，y 轴分别交于M ，N 两点，且||||,||23MA NB MN ==l 的方程为．【答案】2220x -=【解析】[方法一]：弦中点问题：点差法令AB 的中点为E ，设()11,A x y ，()22,B x y ，利用点差法得到12OE AB k k ⋅=-，设直线:AB y kx m =+，0k <，0m >，求出M 、N 的坐标，再根据MN 求出k 、m ，即可得解；令AB 的中点为E ，因为MA NB =，所以ME NE =，设()11,A x y ，()22,B x y ，则2211163x y +=，2222631x y +=，所以2222121206633x x y y -+-=，即()()()()12121212063x x x x y y y y -++-+=所以()()()()1212121212y y y y x x x x +-=--+，即12OE AB k k ⋅=-，设直线:AB y kx m =+，0k <，0m >，令0x =得y m =，令0y =得m x k =-，即,0m M k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，()0,N m ，所以,22m m E k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，即1222mk m k⨯=--，解得22k =或22k =（舍去），又23MN =，即()22223MN m m=+=2m =或2m =-（舍去），所以直线2:22AB y x =-+，即2220x -=；故答案为：2220x -=[方法二]：直线与圆锥曲线相交的常规方法由题意知，点E 既为线段AB 的中点又是线段MN 的中点，设()11,A x y ，()22,B x y ，设直线:AB y kx m =+，0k <，0m >，则,0m M k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，()0,N m ，,22m m E k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，因为3MN =3OE =联立直线AB 与椭圆方程得22163y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消掉y 得222(12)4260k x mkx m +++-=其中2221224=4-4(12)260,12mkmk k m x x k ∆+-+=-+（）（）>，∴AB 中点E 的横坐标2212E mk x k =-+,又,22m m E k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，∴22=122E mk x k m k =-+-∵0k <，0m >，∴22k 又22+322O m m k E -=（）（），解得m=2所以直线2:22AB y x =-+，即2220x -=2．（2022年高考全国甲卷数学（文）真题）设点M 在直线210x y +-=上，点(3,0)和(0,1)均在M 上，则M 的方程为．【答案】22(1)(1)5x y -++=【解析】[方法一]：三点共圆∵点M 在直线210x y +-=上，∴设点M 为(,12)-a a ，又因为点(3,0)和(0,1)均在M 上，点M 到两点的距离相等且为半径，2222(3)(12)(2)-+-+-a a a a R ，222694415-++-+=a a a a a ，解得1a =，∴(1,1)M -，5R =M 的方程为22(1)(1)5x y -++=.故答案为：22(1)(1)5x y -++=[方法二]：圆的几何性质由题可知，M 是以（3，0）和（0，1）为端点的线段垂直平分线y=3x-4与直线210x y +-=的交点(1,-1).5R =M 的方程为22(1)(1)5x y -++=.故答案为：22(1)(1)5x y -++=3．（2022年高考全国乙卷数学（理）真题）过四点(0,0),(4,0),(1,1),(4,2)-中的三点的一个圆的方程为．【答案】()()222313x y -+-=或()()22215x y -+-=或224765339x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭或()2281691525x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭．【解析】[方法一]：圆的一般方程依题意设圆的方程为220x y Dx Ey F ++++=，（1）若过()0,0，()4,0，()1,1-，则01640110F D F D E F =⎧⎪++=⎨⎪+-++=⎩，解得046F D E =⎧⎪=-⎨⎪=-⎩，所以圆的方程为22460x y x y +--=，即()()222313x y -+-=；（2）若过()0,0，()4,0，()4,2，则01640164420F D F D E F =⎧⎪++=⎨⎪++++=⎩，解得042F D E =⎧⎪=-⎨⎪=-⎩，所以圆的方程为22420x y x y +--=，即()()22215x y -+-=；（3）若过()0,0，()4,2，()1,1-，则0110164420F D E F D E F =⎧⎪+-++=⎨⎪++++=⎩，解得083143F D E ⎧⎪=⎪⎪=-⎨⎪⎪=-⎪⎩，所以圆的方程为22814033x y x y +--=，即224765339x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（4）若过()1,1-，()4,0，()4,2，则1101640164420D E F D F D E F +-++=⎧⎪++=⎨⎪++++=⎩，解得1651652F D E ⎧=-⎪⎪⎪=-⎨⎪=-⎪⎪⎩，所以圆的方程为2216162055x y x y +---=，即()2281691525x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭；故答案为：()()222313x y -+-=或()()22215x y -+-=或224765339x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭或()2281691525x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭．[方法二]：【最优解】圆的标准方程（三点中的两条中垂线的交点为圆心）设()()()()0,04,01,14,2A B C D -点，，，（1）若圆过、、A B C 三点，圆心在直线2x =，设圆心坐标为(2,)a ，则()2224913,413a a a r a +=+-⇒=+=22(2)(3)13x y -+-=；（2）若圆过A B D 、、三点，设圆心坐标为(2,)a ，则22244(2)1,45a a a r a +=+-⇒==+=的方程为22(2)(1)5x y -+-=；（3）若圆过A C D 、、三点，则线段AC 的中垂线方程为1y x =+，线段AD 的中垂线方程为25y x =-+，联立得4765,333x y r ==⇒=，所以圆的方程为224765()()339x y -+-=；（4）若圆过B C D 、、三点，则线段BD 的中垂线方程为1y =，线段BC 中垂线方程为57y x =-，联立得813,155x y r ==⇒=，所以圆的方程为()228169()1525x -y +-=．故答案为：()()222313x y -+-=或()()22215x y -+-=或224765339x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭或()2281691525x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭．【整体点评】方法一；利用圆过三个点，设圆的一般方程，解三元一次方程组，思想简单，运算稍繁；方法二；利用圆的几何性质，先求出圆心再求半径，运算稍简洁，是该题的最优解．考点2：直线与圆的位置关系4．（2024年北京高考数学真题）若直线()3y k x =-与双曲线2214xy -=只有一个公共点，则k 的一个取值为．【答案】12（或12-，答案不唯一）【解析】联立()22143x y y k x ⎧-=⎪⎨⎪=-⎩，化简并整理得：()222214243640k x k x k -+--=，由题意得2140k -=或()()()2222Δ244364140k k k =++-=，解得12k =±或无解，即12k =±，经检验，符合题意.故答案为：12（或12-，答案不唯一）.5．（2022年高考全国甲卷数学（理）真题）若双曲线2221(0)x y m m-=>的渐近线与圆22430x y y +-+=相切，则m =．33【解析】双曲线()22210x y m m-=>的渐近线为y x m =±，即0x my ±=，不妨取0x my +=，圆22430x y y +-+=，即()2221x y +-=，所以圆心为()0,2，半径1r =，依题意圆心()0,2到渐近线0x my +=的距离2211m d m==+，解得33m =或33m =．336．（2022年新高考天津数学高考真题）若直线()00x y m m -+=>与圆()()22113x y -+-=相交所得的弦长为m ，则m =．【答案】2【解析】圆()()22113x y -+-=的圆心坐标为()1,13圆心到直线()00x y m m -+=>1122m-+由勾股定理可得22322m ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，因为0m >，解得2m =.故答案为：2.7．（2022年新高考北京数学高考真题）若直线210x y +-=是圆22()1x a y -+=的一条对称轴，则=a （）A ．12B ．12-C ．1D ．1-【答案】A【解析】由题可知圆心为(),0a ，因为直线是圆的对称轴，所以圆心在直线上，即2010a +-=，解得12a =．故选：A ．8．（2023年新课标全国Ⅰ卷数学真题）过点()0,2-与圆22410x y x +--=相切的两条直线的夹角为α，则sin α=（）A ．1B ．154C ．104D ．64【答案】B【解析】方法一：因为22410x y x +--=，即()2225x y -+=，可得圆心()2,0C ，半径5r =，过点()0,2P -作圆C 的切线，切点为,A B ，因为()22222PC =+-223PA PC r =-可得51036sin ,cos 442222APC APC ∠=∠==，则10615sin sin 22sin cos 2444APB APC APC APC ∠=∠=∠∠=⨯⨯=，22226101cos cos 2cos sin 0444APB APC APC APC ⎛⎫⎫∠=∠=∠-∠=-=-< ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，即APB ∠为钝角，所以()15sin sin πsin 4APB APB =-∠=∠=α法二：圆22410x y x +--=的圆心()2,0C ，半径5r =，过点()0,2P -作圆C 的切线，切点为,A B ，连接AB ，可得()22222PC =+-223PA PB PC r ==-=，因为22222cos 2cos PA PB PA PB APB CA CB CA CB ACB +-⋅∠=+-⋅∠且πACB APB ∠=-∠，则()336cos 5510cos πAPB APB +-∠=+--∠，即3cos 55cos APB APB -∠=+∠，解得1cos 04APB ∠=-<，即APB ∠为钝角，则()1cos cos πcos 4APB APB =-∠=-∠=α，且α为锐角，所以215sin 1cos 4αα=-=；方法三：圆22410x y x +--=的圆心()2,0C ，半径5r 若切线斜率不存在，则切线方程为0x =，则圆心到切点的距离2d r =>，不合题意；若切线斜率存在，设切线方程为2y kx =-，即20kx y --=，22251k k -=+2810k k ++=，且644600∆=-=>设两切线斜率分别为12,k k ，则12128,1k k k k +=-=，可得()21212124215k k k k k k -+-=所以1212tan 151k k k k -==+αsin 15cos αα=，可得cos 15=α，则2222sin sin cos sin 115+=+=αααα，且()0,πα∈，则sin 0α>，解得15sin 4α=.故选：B.9．（2024年北京高考数学真题）圆22260x y x y +-+=的圆心到直线20x y -+=的距离为（）A 2B ．2C ．3D ．32【答案】D【解析】由题意得22260x y x y +-+=，即()()221310x y -++=，则其圆心坐标为()1,3-，则圆心到直线20x y -+=()()221323211--+=+-故选：D.考点3：圆与圆的位置关系10．（2022年新高考全国I 卷数学真题）写出与圆221x y +=和22(3)(4)16x y -+-=都相切的一条直线的方程．【答案】3544y x =-+或7252424y x =-或=1x -【解析】[方法一]：显然直线的斜率不为0，不妨设直线方程为0x by c ++=，2||11c b =+24.1b=+故221c b =+①，|34||4|.b c c ++=于是344b c c ++=或344b c c ++=-，再结合①解得01b c =⎧⎨=⎩或247257b c ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩或4353b c ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，所以直线方程有三条，分别为10x +=，724250x y --=，3450.x y +-=(填一条即可)[方法二]：设圆221x y +=的圆心(0,0)O ，半径为11r =，圆22(3)(4)16x y -+-=的圆心(3,4)C ，半径24r =，则12||5OC r r ==+，因此两圆外切，由图像可知，共有三条直线符合条件，显然10x +=符合题意；又由方程22(3)(4)16x y -+-=和221x y +=相减可得方程3450x y +-=，即为过两圆公共切点的切线方程，又易知两圆圆心所在直线OC 的方程为430x y -=，直线OC 与直线10x +=的交点为4(1,)3--，设过该点的直线为4(1)3y k x +=+24311k k -=+，解得724k =，从而该切线的方程为724250.(x y --=填一条即可)[方法三]：圆221x y +=的圆心为()0,0O ，半径为1，圆22(3)(4)16x y -+-=的圆心1O 为(3,4)，半径为4，22345+=，等于两圆半径之和，故两圆外切，如图，当切线为l 时，因为143OO k =，所以34l k =-，设方程为3(0)4y x t t =-+>O 到l 的距离19116d ==+，解得54t =，所以l 的方程为3544y x =-+，当切线为m 时，设直线方程为0kx y p ++=，其中0p >，0k <，由题意22113441p k k p k ⎧=⎪+⎪⎨++⎪=⎪+⎩，解得7242524k p ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，7252424y x =-当切线为n 时，易知切线方程为=1x -，故答案为：3544y x =-+或7252424y x =-或=1x -.考点4：轨迹方程及标准方程11．（2023年北京高考数学真题）已知双曲线C 的焦点为(2,0)-和(2,0)2，则C 的方程为．【答案】22122x y -=【解析】令双曲线C 的实半轴、虚半轴长分别为,a b ，显然双曲线C 的中心为原点，焦点在x 轴上，其半焦距2c =，由双曲线C 22ca=2a =222b c a =-=所以双曲线C 的方程为22122x y -=.故答案为：22122x y -=12．（2023年天津高考数学真题）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为12F F 、．过2F 向一条渐近线作垂线，垂足为P ．若22PF =，直线1PF 的斜率为24，则双曲线的方程为（）A ．22184x y -=B ．22148x y -=C ．22142x y -=D ．22124x y -=【答案】D【解析】如图，因为()2,0F c ，不妨设渐近线方程为by x a=，即0bx ay -=，所以222bc bcPF b ca b ==+，所以2b =.设2POF θ∠=,则2tan PF b bOP OP aθ===，所以OP a =，所以2OF c =.因为1122P ab c y =⋅,所以P ab y c =，所以tan P P P aby b c x x a θ===，所以2P a x c =，所以2,a ab P c c ⎛⎫ ⎪⎝⎭，因为()1,0F c -，所以122222222424PF ab ab a a ck a a c a a a c c=====+++++，)2224a a +=，解得2a =所以双曲线的方程为22124x y -=故选：D13．（2022年新高考天津数学高考真题）已知抛物线21245,,y F F =分别是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，抛物线的准线过双曲线的左焦点1F ，与双曲线的渐近线交于点A ，若124F F A π∠=，则双曲线的标准方程为（）A ．22110x y -=B ．22116y x -=C ．2214y x -=D ．2214x y -=【答案】C【解析】抛物线245y =的准线方程为5x =-5c =，则()15,0F 、)25,0F ，不妨设点A 为第二象限内的点，联立b y x a x c⎧=-⎪⎨⎪=-⎩，可得x c bc y a =-⎧⎪⎨=⎪⎩，即点,bc A c a ⎫⎛- ⎪⎝⎭，因为112AF F F ⊥且124F F A π∠=，则12F F A △为等腰直角三角形，且112AF F F =，即2=bc c a，可得2ba =，所以，22225ba c c ab ⎧=⎪⎪⎪⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得125a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，因此，双曲线的标准方程为2214y x -=.故选：C.14．（2022年高考全国甲卷数学（文）真题）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为13，12,A A 分别为C 的左、右顶点，B 为C 的上顶点．若121BA BA ⋅=-，则C 的方程为（）A ．2211816x y +=B ．22198x y +=C ．22132x y +=D ．2212x y +=【答案】B【解析】因为离心率22113c b e a a ==-，解得2289b a =，2289=b a ，12,A A 分别为C 的左右顶点，则()()12,0,,0A a A a -，B 为上顶点，所以(0,)B b .所以12(,),(,)=--=- BA a b BA a b ，因为121BA BA ⋅=-所以221-+=-a b ，将2289=b a 代入，解得229,8a b ==，故椭圆的方程为22198x y +=.故选：B.15．（2024年新课标全国Ⅱ卷数学真题）已知曲线C ：2216x y +=（0y >），从C 上任意一点P 向x 轴作垂线段PP '，P '为垂足，则线段PP '的中点M 的轨迹方程为（）A ．221164x y +=（0y >）B ．221168x y +=（0y >）C ．221164y x +=（0y >）D ．221168y x +=（0y >）【答案】A【解析】设点(,)M x y ，则0(,),(,0)P x y P x '，因为M 为PP '的中点，所以02y y =，即(,2)P x y ，又P 在圆2216(0)x y y +=>上，所以22416(0)x y y +=>，即221(0)164x y y +=>，即点M 的轨迹方程为221(0)164x y y +=>.故选：A考点5：椭圆的几何性质16．（2022年新高考全国I 卷数学真题）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，C 的上顶点为A ，两个焦点为1F ，2F ，离心率为12．过1F 且垂直于2AF 的直线与C 交于D ，E 两点，||6DE =，则ADE V 的周长是．【答案】13【解析】∵椭圆的离心率为12c e a ==，∴2a c =，∴22223b a c c =-=，∴椭圆的方程为222222213412043x y x y c c c+=+-=，即，不妨设左焦点为1F ，右焦点为2F ，如图所示，∵222AF a OF c a c ===，，，∴23AF O π∠=，∴12AF F △为正三角形，∵过1F 且垂直于2AF 的直线与C 交于D ，E 两点，DE 为线段2AF 的垂直平分线，∴直线DE 的斜率为333直线DE 的方程：3x c =-，代入椭圆方程22234120x y c +-=，整理化简得到：22136390y cy c --=，判别式()2222634139616c c c ∆=+⨯⨯=⨯⨯，∴()212Δ13226461313cDE y =+-==⨯⨯⨯=，∴138c =，得1324a c ==，∵DE 为线段2AF 的垂直平分线，根据对称性，22AD DF AE EF ==，，∴ADE V 的周长等于2F DE △的周长，利用椭圆的定义得到2F DE △周长为222211*********DF EF DE DF EF DF EF DF DF EF EF a a a ++=+++=+++=+==.故答案为：13.17．（2023年高考全国甲卷数学（理）真题）设O 为坐标原点，12,F F 为椭圆22:196x y C +=的两个焦点，点P 在C 上，123cos 5F PF ∠=，则||OP =（）A ．135B ．302C ．145D ．352【答案】B【解析】方法一：设12π2,02F PF θθ∠=<<，所以122212tan tan 2PF F F PF S b b θ∠== ，由22212222cos sin 1tan 3cos cos 2cos +sin 1tan 5F PF θθθθθθθ--∠====+，解得：1tan 2θ=，由椭圆方程可知，222229,6,3a b c a b ===-=，所以，1212111236222PF F p p S F F y y =⨯⨯=⨯=⨯ ，解得：23p y =，即2399162p x ⎛⎫=⨯-= ⎪⎝⎭，因此22930322p p OP x y =++故选：B ．方法二：因为1226PF PF a +==①，222121212122PF PF PF PF F PF F F +-∠=，即2212126125PF PF PF PF +-=②，联立①②，解得：22121215,212PF PF PF PF =+=，而()1212PO PF PF =+ ，所以1212OP PO PF PF ==+ ，即22121122111315302212222522PO PF PF PF PF PF PF =++⋅+=+⨯⨯= ．故选：B ．方法三：因为1226PF PF a +==①，222121212122cos PF PF PF PF F PF F F +-∠=，即2212126125PF PF PF PF +-=②，联立①②，解得：221221PF PF +=，由中线定理可知，()()222212122242OP F F PF PF +=+=，易知1223F F=302OP =．故选：B ．18．（2023年高考全国甲卷数学（文）真题）设12,F F 为椭圆22:15x C y +=的两个焦点，点P 在C 上，若120PF PF ⋅=，则12PF PF ⋅=（）A ．1B ．2C ．4D ．5【答案】B【解析】方法一：因为120PF PF ⋅= ，所以1290FPF ∠=，从而122121tan 4512FP F S b PF PF ===⨯⋅，所以122PF PF ⋅=．故选：B.方法二：因为120PF PF ⋅= ，所以1290FPF ∠= ，由椭圆方程可知，25142c c =-=⇒=，所以22221212416PF PF F F +===，又1225PF PF a +==22121212216220PF PF PF PF PF PF ++=+=，所以122PF PF ⋅=．故选：B.考点6：双曲线的几何性质19．（2022年新高考北京数学高考真题）已知双曲线221x y m +=的渐近线方程为33y x =±，则m =．【答案】3-【解析】对于双曲线221x y m+=，所以0m <，即双曲线的标准方程为221x y m -=-，则1a =，b m =-221x y m +=的渐近线方程为33y =±，所以33a b =33m =-，解得3m =-；故答案为：3-20．（2023年高考全国乙卷数学（理）真题）设A ，B 为双曲线2219y x -=上两点，下列四个点中，可为线段AB 中点的是（）A ．()1,1B ．()1,2-C ．()1,3D ．()1,4--【答案】D【解析】设()()1122,,,A x y B x y ，则AB 的中点1212,22x x y y M ++⎛⎫⎪⎝⎭，可得1212121212122,2ABy y y y y y k k x x x x x x +-+===+-+，因为,A B 在双曲线上，则221122221919y x y x ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，两式相减得()2222121209y y x x ---=，所以221222129AB y y k k x x -⋅==-.对于选项A ：可得1,9AB k k ==，则:98AB y x =-，联立方程229819y x y x =-⎧⎪⎨-=⎪⎩，消去y 得272272730x x -⨯+=，此时()2272472732880∆=-⨯-⨯⨯=-<，所以直线AB 与双曲线没有交点，故A 错误；对于选项B ：可得92,2AB k k =-=-，则95:22AB y x =--，联立方程22952219y x y x ⎧=--⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，消去y 得245245610x x +⨯+=，此时()224544561445160∆=⨯-⨯⨯=-⨯⨯<，所以直线AB 与双曲线没有交点，故B 错误；对于选项C ：可得3,3AB k k ==，则:3AB y x=由双曲线方程可得1,3a b ==，则:3AB y x =为双曲线的渐近线，所以直线AB 与双曲线没有交点，故C 错误；对于选项D ：94,4AB k k ==，则97:44AB y x =-，联立方程22974419y x y x ⎧=-⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，消去y 得2631261930x x +-=，此时21264631930∆=+⨯⨯>，故直线AB 与双曲线有交两个交点，故D 正确；故选：D.考点7：抛物线的几何性质21．（2024年北京高考数学真题）抛物线216y x =的焦点坐标为．【答案】()4,0【解析】由题意抛物线的标准方程为216y x =，所以其焦点坐标为()4,0.故答案为：()4,0.22．（2024年天津高考数学真题）圆22(1)25-+=x y 的圆心与抛物线22(0)y px p =>的焦点F 重合，A 为两曲线的交点，则原点到直线AF 的距离为．【答案】45/0.8【解析】圆22(1)25-+=x y 的圆心为()1,0F ，故12p=即2p =，由()2221254x y y x ⎧-+=⎪⎨=⎪⎩可得22240x x +-=，故4x =或6x =-（舍），故()4,4A ±，故直线()4:13AF y x =±-即4340x y --=或4340x y +-=，故原点到直线AF 的距离为4455d ==，故答案为：4523．（2023年高考全国乙卷数学（理）真题）已知点(5A 在抛物线C ：22y px =上，则A 到C 的准线的距离为.【答案】94【解析】由题意可得：2521p =⨯，则25p =，抛物线的方程为25y x =，准线方程为54x =-，点A 到C 的准线的距离为59144⎛⎫--= ⎪⎝⎭.故答案为：94.24．（2023年天津高考数学真题）已知过原点O 的一条直线l 与圆22:(2)3C x y ++=相切，且l 与抛物线22(0)y px p =>交于点,O P 两点，若8OP =，则p =．【答案】6【解析】易知圆()2223x y ++=和曲线22y px =关于x 轴对称，不妨设切线方程为y kx =，0k >，2231k k =+3k =232y y px ⎧=⎪⎨=⎪⎩解得：00x y =⎧⎨=⎩或23233p x p y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以2222348333p p p OP ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得：6p =．当3k =-故答案为：6．25．（多选题）（2024年新课标全国Ⅱ卷数学真题）抛物线C ：24y x =的准线为l ，P 为C 上的动点，过P 作22:(4)1A x y +-=⊙的一条切线，Q 为切点，过P 作l 的垂线，垂足为B ，则（）A ．l 与A 相切B ．当P ，A ，B 三点共线时，||15PQ =C ．当||2PB =时，PA AB⊥D ．满足||||PA PB =的点P 有且仅有2个【答案】ABD【解析】A 选项，抛物线24y x =的准线为=1x -，A 的圆心(0,4)到直线=1x -的距离显然是1，等于圆的半径，故准线l 和A 相切，A 选项正确；B 选项，,,P A B 三点共线时，即PA l ⊥，则P 的纵坐标4P y =，由24P P y x =，得到4P x =，故(4,4)P ，此时切线长22224115PQ PA r =-=-=，B 选项正确；C 选项，当2PB =时，1P x =，此时244P P y x ==，故(1,2)P 或(1,2)P -，当(1,2)P 时，(0,4),(1,2)A B -，42201PA k -==--，4220(1)AB k -==--，不满足1PA AB k k =-；当(1,2)P -时，(0,4),(1,2)A B -，4(2)601PA k --==--，4(2)60(1)AB k --==--，不满足1PA AB k k =-；于是PA AB ⊥不成立，C 选项错误；D 选项，方法一：利用抛物线定义转化根据抛物线的定义，PB PF =，这里(1,0)F ，于是PA PB =时P 点的存在性问题转化成PA PF =时P 点的存在性问题，(0,4),(1,0)A F ，AF 中点1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭，AF 中垂线的斜率为114AF k -=，于是AF 的中垂线方程为：2158x y +=，与抛物线24y x =联立可得216300y y -+=，2164301360∆=-⨯=>，即AF 的中垂线和抛物线有两个交点，即存在两个P 点，使得PA PF =，D 选项正确.方法二：（设点直接求解）设2,4t P t ⎛⎫⎪⎝⎭，由PB l ⊥可得()1,B t -，又(0,4)A ，又PA PB =，422(4)1164t t t +-=+，整理得216300t t -+=，2164301360∆=-⨯=>，则关于t 的方程有两个解，即存在两个这样的P 点，D 选项正确.故选：ABD26．（多选题）（2022年新高考全国I 卷数学真题）已知O 为坐标原点，点(1,1)A 在抛物线2:2(0)C x py p =>上，过点(0,1)B -的直线交C 于P ，Q 两点，则（）A ．C 的准线为1y =-B ．直线AB 与C 相切C ．2|OP OQ OA ⋅>D ．2||||||BP BQ BA ⋅>【答案】BCD【解析】将点A 的代入抛物线方程得12p =，所以抛物线方程为2x y =，故准线方程为14y =-，A 错误；1(1)210AB k --==-，所以直线AB 的方程为21y x =-，联立221y x x y=-⎧⎨=⎩，可得2210x x -+=，解得1x =，故B 正确；设过B 的直线为l ，若直线l 与y 轴重合，则直线l 与抛物线C 只有一个交点，所以，直线l 的斜率存在，设其方程为1y kx =-，1122(,),(,)P x y Q x y ，联立21y kx x y=-⎧⎨=⎩，得210x kx -+=，所以21212Δ401k x x k x x ⎧=->⎪+=⎨⎪=⎩，所以2k >或2k <-，21212()1y y x x ==，又2221111||OP x y y y =+=+，2222222||OQ x y y y =+=+所以2121212||||(1)(1)||2||OP OQ y y y y kx kx k OA ⋅=++=⨯=>=，故C 正确；因为21||1||BP k x =+，22||1|BQ k x =+，所以2212||||(1)||15BP BQ k x x k ⋅=+=+>，而2||5BA =，故D 正确.故选：BCD27．（多选题）（2023年新课标全国Ⅱ卷数学真题）设O 为坐标原点，直线)31y x =--过抛物线()2:20C y px p =>的焦点，且与C 交于M ，N 两点，l 为C 的准线，则（）．A ．2p =B ．83MN =C ．以MN 为直径的圆与l 相切D ．OMN 为等腰三角形【答案】AC【解析】A 选项：直线)31y x =-过点()1,0，所以抛物线()2:20C y px p =>的焦点()1,0F ，所以1,2,242pp p ===，则A 选项正确，且抛物线C 的方程为24y x =.B 选项：设()()1122,,,M x y N x y ，由)2314y x y x⎧=--⎪⎨=⎪⎩消去y 并化简得()()231033310x x x x -+=--=，解得1213,3x x ==，所以121163233MN x x p =++=++=，B 选项错误.C 选项：设MN 的中点为A ，,,M N A 到直线l 的距离分别为12,,d d d ，因为()()12111222d d d MF NF MN =+=+=，即A 到直线l 的距离等于MN 的一半，所以以MN 为直径的圆与直线l 相切，C 选项正确.D 选项：直线)31y x =-330x y +=，O 330y +的距离为3d =所以三角形OMN 的面积为1163432323⨯=由上述分析可知)1212333123,3133y y ⎫=--=-=--=⎪⎭所以()22221231332321,333OM ON ⎛⎫⎛⎫=+-==+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以三角形OMN 不是等腰三角形，D 选项错误.故选：AC.考点8：弦长问题28．（2022年高考全国乙卷数学（理）真题）设F 为抛物线2:4C y x =的焦点，点A 在C 上，点(3,0)B ，若AF BF =，则AB =（）A ．2B ．22C ．3D ．32【答案】B【解析】由题意得，()1,0F ，则2AF BF ==，即点A 到准线=1x -的距离为2，所以点A 的横坐标为121-+=，不妨设点A 在x 轴上方，代入得，()1,2A ，所以()()22310222AB =-+-=.故选：B29．（2023年高考全国甲卷数学（理）真题）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>5C 的一条渐近线与圆22(2)(3)1x y -+-=交于A ，B 两点，则||AB =（）A ．55B ．255C ．355D ．455【答案】D【解析】由5e =222222215c a b b a a a+==+=，解得2ba=，所以双曲线的一条渐近线为2y x =，则圆心(2,3)到渐近线的距离25521d ==+，所以弦长22145||22155AB r d =-=-=.故选：D考点9：离心率问题30．（2024年新课标全国Ⅰ卷数学真题）设双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左右焦点分别为12F F 、，过2F 作平行于y 轴的直线交C 于A ，B 两点，若1||13,||10F A AB ==，则C 的离心率为．【答案】32【解析】由题可知2,,A B F 三点横坐标相等，设A 在第一象限，将x c =代入22221x ya b -=得2b y a =±，即22,,,b b A c B c a a ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故2210b AB a ==，225bAF a ==，又122AF AF a -=，得1222513AF AF a a =+=+=，解得4a =，代入25b a=得220b =，故22236,c a b =+=，即6c =，所以6342c e a ===.故答案为：3231．（2022年高考全国甲卷数学（文）真题）记双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的离心率为e ，写出满足条件“直线2y x =与C 无公共点”的e 的一个值．【答案】2（满足15e <皆可）【解析】2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>，所以C 的渐近线方程为b y x a =±,结合渐近线的特点，只需02b a <≤，即224b a≤，可满足条件“直线2y x =与C 无公共点”所以221145=++c b e a a又因为1e >，所以15e <≤故答案为：2（满足15e <皆可）32．（2023年新课标全国Ⅰ卷数学真题）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左、右焦点分别为12,F F ．点A 在C 上，点B 在y 轴上，11222,3F A F B F A F B ⊥=- ，则C 的离心率为．355/355【解析】方法一：依题意，设22AF m =，则2113,22BF m BF AF a m ===+，在1Rt ABF 中，2229(22)25m a m m ++=，则(3)()0a m a m +-=，故a m =或3a m =-（舍去），所以124,2AF a AF a ==，213BF BF a ==，则5AB a =，故11244cos 55AF a F AF ABa ∠===，所以在12AF F △中，2221216444cos 2425a a c F AF a a +-∠==⨯⨯，整理得2259c a =，故355c e a =方法二:依题意，得12(,0),(,0)F c F c -，令()00),,(0,A x y B t ，因为2223F A F B =-，所以()()002,,3x c y c t -=--，则00235,3x c y t ==-，又11F A F B ⊥ ，所以()1182,,33F A F B c t c t ⎛⎫⋅=-⋅ ⎪⎝⎭ 2282033c t =-=，则224t c =，又点A 在C 上，则2222254991c t a b-=，整理得2222254199c t a b -=，则22222516199c c a b -=，所以22222225169c b c a a b -=，即()()2222222225169c c a a c a c a --=-，整理得4224255090c a c a -+=，则()()22225950c a c a --=，解得2259c a =或225c a =，又1e >，所以355e =或55e =（舍去），故355e =故答案为：355.33．（2022年新高考浙江数学高考真题）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的左焦点为F ，过F 且斜率为4b a的直线交双曲线于点()11,A x y ，交双曲线的渐近线于点()22,B x y 且120x x <<．若||3||FB FA =，则双曲线的离心率是．【答案】364【解析】过F 且斜率为4b a 的直线:()4b AB y x c a=+，渐近线2:b l y x a =，联立()4b y x c a b y xa ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，得,33c bc B a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，由||3||FB FA =，得5,,99c bc A a ⎛⎫- ⎪⎝⎭而点A 在双曲线上，于是2222222518181c b c a a b -=，解得：228124c a =，所以离心率36e 4=.36434．（多选题）（2022年高考全国乙卷数学（理）真题）双曲线C 的两个焦点为12,F F ，以C 的实轴为直径的圆记为D ，过1F 作D 的切线与C 交于M ，N 两点，且123cos 5F NF ∠=，则C 的离心率为（）A 52B ．32C 132D ．172【答案】AC【解析】[方法一]：几何法，双曲线定义的应用情况一M 、N 在双曲线的同一支，依题意不妨设双曲线焦点在x 轴，设过1F 作圆D 的切线切点为B ，所以1OB F N ⊥，因为123cos 05F NF ∠=>，所以N 在双曲线的左支，OB a =，1OF c =，1FB b =，设12F NF α∠=，由即3cos 5α=，则4sin 5α=，235NA NF 22a a ==，21NF NF 2a-=532222a a b a ⎛⎫--= ⎪⎝⎭，52b e 2a =∴=，选A 情况二若M 、N 在双曲线的两支，因为123cos 05F NF ∠=>，所以N 在双曲线的右支，所以OB a =，1OF c =，1FB b =，设12F NF α∠=，由123cos 5F NF ∠=，即3cos 5α=，则4sin 5α=，235NA NF 22a a ==，12NF NF 2a -=352222a b a a +-=，所以23b a =，即32b a =，所以双曲线的离心率221312c b e a a =+=选C[方法二]：答案回代法5A e 2=选项特值双曲线())22121,F 5,0,F 5,04x y -=∴，过1F 且与圆相切的一条直线为(y 2x 5=+，两交点都在左支,62N 5,555⎛∴ ⎝，2112NF 5,NF 1,FF 5∴===，则123cos 5F NF ∠=，13C e 2=选项特值双曲线())2212x y 1,F 13,0,F 13,049-=∴-，过1F 且与圆相切的一条直线为(2y x 133=+， 两交点在左右两支，N 在右支，1418N 13,131313∴，2112NF 5,NF 9,FF 213∴===，则123cos 5F NF ∠=，[方法三]：依题意不妨设双曲线焦点在x 轴，设过1F 作圆D 的切线切点为G ，若,M N 分别在左右支，因为1OG NF ⊥，且123cos 05F NF ∠=>，所以N 在双曲线的右支，又OG a =，1OF c =，1GF b =，设12F NF α∠=，21F F N β∠=，在12F NF △中，有()212sin sin sin NF NF cβαβα==+，故()122sin sin sin NF NF cαββα-=+-即()sin sin sin a c αββα=+-，所以sin cos cos sin sin sin a cαβαββα=+-，而3cos 5α=，sin a c β=，cos bcβ=，故4sin 5α=，代入整理得到23b a =，即32b a =，所以双曲线的离心率221312c b e a a =+=若,M N 均在左支上，同理有()212sin NF NF c βαβα==+，其中β为钝角，故cos bcβ=-，故()212sin sin sin NF NF cβαβα-=-+即sin sin cos cos sin sin a c βαβαβα=--，代入3cos 5α=，sin a c β=，4sin 5α=，整理得到：1424a b a =+，故2a b =，故2512b e a ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，故选：AC.35．（2024年高考全国甲卷数学（理）真题）已知双曲线的两个焦点分别为()()0,4,0,4-，点()6,4-在该双曲线上，则该双曲线的离心率为（）A ．4B ．3C ．2D 2【答案】C【解析】由题意，设()10,4F -、()20,4F 、()6,4P -，则1228F F c ==，()22164410PF =++=，()2226446PF +-=，则1221064a PF PF =-=-=，则28224c e a ===.故选：C.36．（2023年新课标全国Ⅰ卷数学真题）设椭圆2222122:1(1),:14x x C y a C y a +=>+=的离心率分别为12,e e ．若213e e =，则=a （）A 233B 2C 3D 6【答案】A【解析】由213e e =，得22213e e =，因此2241134a a --=⨯，而1a >，所以233a =.故选：A37．（2022年高考全国甲卷数学（理）真题）椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左顶点为A ，点P ，Q 均在C上，且关于y 轴对称．若直线,AP AQ 的斜率之积为14，则C 的离心率为（）A ．32B ．22C ．12D ．13【答案】A【解析】[方法一]：设而不求设()11,P x y ，则()11,Q x y -则由14AP AQk k ⋅=得：21112211114AP AQ y y y k k x a x a x a ⋅=⋅==+-+-+，由2211221x y a b +=，得()2221212b a x y a-=，所以()2221222114b a x ax a -=-+，即2214b a =，所以椭圆C 的离心率22312c b e a a ==- A.[方法二]：第三定义设右端点为B ，连接PB ，由椭圆的对称性知：PB AQ k k =-故()14AP AQ PA PB k k k k ⋅=⋅-=-，由椭圆第三定义得：22PA PBb k k a⋅=-，故2214b a =所以椭圆C 的离心率22312c b e a a ==- A.考点10：焦半径、焦点弦问题38．（多选题）（2022年新高考全国II 卷数学真题）已知O 为坐标原点，过抛物线2:2(0)C y px p =>焦点F 的直线与C 交于A ，B 两点，其中A 在第一象限，点(,0)M p ，若||||AF AM =，则（）A ．直线AB 的斜率为26B ．||||OB OF =C ．||4||AB OF >D ．180OAM OBM ∠+∠<︒【答案】ACD【解析】对于A ，易得(,0)2p F ，由AF AM =可得点A 在FM 的垂直平分线上，则A 点横坐标为3224ppp +=，代入抛物线可得2233242p y p p =⋅=，则36()42p A ，则直线AB 的斜率为6226342p p =-，A 正确；对于B ，由斜率为26可得直线AB 的方程为226p x y =+，联立抛物线方程得2206y py p -=，设11(,)B x y ，则16626p y p +=，则163y =-，代入抛物线得2162p p x ⎛=⋅ ⎝⎭，解得13p x =，则6(,)33p pB ，则22673332p p p p OB OF ⎛⎫⎛⎫=+-≠= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，B 错误；对于C ，由抛物线定义知：325244312p p pAB p p OF =++=>=，C 正确；对于D ，23663663()(,)0423343234p p p p p p p p OA OB ⎛⎫⋅=⋅-=⋅+⋅-=-< ⎪ ⎪⎝⎭，则AOB ∠为钝角，又26262665()(,)0423343236p p p p p MA MB ⎛⎫⎛⎫⋅=-⋅--=-⋅-+⋅-=-< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则AMB ∠为钝角，又360AOB AMB OAM OBM ∠+∠+∠+∠= ，则180OAM OBM ∠+∠< ，D 正确.故选：ACD.39．（2023年北京高考数学真题）已知抛物线2:8C y x =的焦点为F ，点M 在C 上．若M 到直线3x =-的距离为5，则||MF =（）A ．7B ．6C ．5D ．4【答案】D【解析】因为抛物线2:8C y x =的焦点()2,0F ，准线方程为2x =-，点M 在C 上，所以M 到准线2x =-的距离为MF ，又M 到直线3x =-的距离为5，所以15MF +=，故4MF =.故选：D.考点11：范围与最值问题40．（2022年新高考全国II 卷数学真题）设点(2,3),(0,)A B a -，若直线AB 关于y a =对称的直线与圆22(3)(2)1x y +++=有公共点，则a 的取值范围是．【答案】13,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】()2,3A -关于y a =对称的点的坐标为()2,23A a '--，()0,B a 在直线y a =上，所以A B '所在直线即为直线l ，所以直线l 为32a y x a -=+-，即()3220a x y a -+-=；圆()()22:321C x y +++=，圆心()3,2C --，半径1r =，依题意圆心到直线l 的距离()()223342132a ad a ----=≤-+，即()()2225532a a -≤-+，解得1332a ≤≤，即13,32a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦；故答案为：13,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦41．（2024年高考全国甲卷数学（文）真题）已知直线20ax y a ++-=与圆2241=0C x y y ++-：交于,A B 两点，则AB 的最小值为（）A ．2B ．3C ．4D ．6【答案】C 【解析】因为直线20ax y a ++-=，即()120a x y -++=，令10x -=，则x 1,y 2==-，所以直线过定点()1,2-，设()1,2P -，将圆2241=0C x y y ++-：化为标准式为()2225x y ++=，所以圆心()0,2C -，半径5r =，1PC =当PC AB ⊥时，AB 的最小，此时222514AB r PC =-⨯-.故选：C42．（2023年高考全国乙卷数学（文）真题）已知实数,x y 满足224240x y x y +---=，则x y -的最大值是（）A ．3212B ．4C ．132+D ．7【答案】C【解析】法一：令x y k -=，则x k y =+，代入原式化简得()22226440y k y k k +-+--=，因为存在实数y ，则0∆≥，即()()222642440k k k --⨯--≥，化简得22170k k --≤，解得132132k -≤≤+故x y -的最大值是321，法二：224240x y x y +---=，整理得()()22219x y -+-=，令3cos 2x θ=+，3sin 1y θ=+，其中[]0,2πθ∈，则π3cos 3sin 132cos 14x y θθθ⎛⎫-=-+=++ ⎪⎝⎭，[]0,2θπ∈ ，所以ππ9π,444θ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，则π2π4θ+=，即74πθ=时，x y -取得最大值321，法三：由224240x y x y +---=可得22(2)(1)9x y -+-=，设x y k -=，则圆心到直线x y k -=的距离|21|32k d =≤，解得132132k -≤≤+故选：C.考点12：面积问题43．（2024年天津高考数学真题）双曲线22221()00a x y a bb >-=>，的左、右焦点分别为12.F F P 、是双曲线右支上一点，且直线2PF 的斜率为2．12PF F △是面积为8的直角三角形，则双曲线的方程为（）A ．22182y x -=B ．22184x y -=C ．22128x y -=D ．22148x y -=【答案】C【解析】如下图：由题可知，点P 必落在第四象限，1290F PF ∠=︒，设2PF m =，211122,PF F PF F θθ∠=∠=，由21tan 2PF k θ==，求得1sin 5θ=因为1290F PF ∠=︒，所以121PF PF k k ⋅=-，求得112PF k =-，即21tan 2θ=，2sin 5θ=121212::sin :sin :sin 902:1:5PF PF F F θθ=︒=则由2PF m =得1122,25PF m F F c m ===，由1212112822PF F S PF PF m m =⋅=⋅= 得22m =则211222,42,2210,10PF PF F F c c =====由双曲线第一定义可得：1222PF PF a -==222,8a b c a ==-所以双曲线的方程为22128x y -=.故选：C44．（2023年新课标全国Ⅱ卷数学真题）已知直线:10l x my -+=与()22:14C x y -+= 交于A ，B 两点，写出满足“ABC 面积为85”的m 的一个值．【答案】2（112,2,,22--中任意一个皆可以）【解析】设点C 到直线AB 的距离为d ，由弦长公式得224AB d =-，。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2008年全国高考数学试题汇编——直线与圆的方程一、选择题：1．（全国Ⅱ卷文科3）原点到直线052=-+y x 的距离为（ D ）A ．1B ．3C ．2D ．52．（福建文科2）“a ＝1”是“直线x ＋y ＝0和直线x －ay ＝0互相垂直”的（ C ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．（四川理科4文科6）将直线3y x =绕原点逆时针旋转90︒，再向右平移1个单位，所得到的直线为（ A ）A ．1133y x =-+ B ．113y x =-+ C ．33y x =-D ．113y x =+ 解析：本题有新意，审题是关键．旋转90︒则与原直线垂直，故旋转后斜率为13-．再右移1得1(1)3y x =--．选A ．本题一考两直线垂直的充要条件，二考平移法则．辅以平几背景之旋转变换．4．（全国I 卷理科10）若直线1x ya b+=通过点(cos sin )M αα，，则 （ B ）A ．221a b +≤B ．221a b +≥ C ．22111a b+≤D ．22111a b+≥ 5．（重庆理科7）若过两点P 1(-1,2),P 2(5,6)的直线与x 轴相交于点P ，则点P 分有向线段12PP u u u u r所成的比λ的值为（ A ）A ．－13B ．－15 C ．15 D ．13 （重庆文科4）若点P 分有向线段AB u u u r 所成的比为－13，则点B 分有向线段PA u u u r 所成的比是（ A ）A ．－32B ．－12C ．12D ．36．（安徽理科8文科10）若过点(4,0)A 的直线l 与曲线22(2)1x y -+=有公共点，则直线l 的斜率的取值范围为 （ C ）A ．[B ．(C ．[D ．( 7．（辽宁文、理科3）圆221x y +=与直线2y kx =+没有．．公共点的充要条件是 （ C ）A ．(2,2)k ∈-B ．(,2)(2,)k ∈-∞-⋃+∞ C ．(3,3)k ∈-D ．(,3)(3,)k ∈-∞-⋃+∞8．（陕西文、理科5）直线30x y m -+=与圆22220x y x +--=相切，则实数m 等于（ C ） A ．3或3-B ．3-或33C ．33-或3D ．33-或339．（安徽文科11）若A 为不等式组 0,0,2x y y x ⎧⎪⎨⎪-⎩≤≥≤ 表示的平面区域，则当a 从－2连续变化到1时，动直线x ＋y ＝a 扫过A 中的那部分区域的面积为（ C ）A ．34B ．1C ．74D ．210．（湖北文科5）在平面直角坐标系xOy 中，满足不等式组,1x y x ⎧⎪⎨<⎪⎩≤的点(,)x y 的集合用阴影表示为下列图中的（ C ）11．（辽宁文科9）已知变量x 、y 满足约束条件10,310,10,y x y x y x +-⎧⎪--⎨⎪-+⎩≤≤≥则z ＝2x+y 的最大值为（ B ）A ．4B ．2C ．1D ．－412．（北京理科5）若实数x ,y 满足1000x y x y x -+⎧⎪+⎨⎪⎩≥≥≤，则z =3x +y 的最小值是 （ B ）A ．0B ．1C ．3D ．9（北京文科6）若实数x ，y 满足1000x y x y x -+⎧⎪+⎨⎪⎩≥≥≤，则z =x +2y 的最小值是（ A ）A ．0B ．21 C ．1 D ．2 13．（福建理科8）若实数x 、y 满足⎩⎨⎧x －y+1≤0x >0，则yx 的取值范围是（ C ） A ．(0，1) B ．(0，1] C ．(1，+∞)D ．[1，+∞)（福建文科10）若实数x 、y 满足20,0,2,x y x x -+⎧⎪>⎨⎪⎩≤≤则y x 的取值范围是（ D ）A ．（0，2）B ．（0，2）C ．(2,+∞)D ．[2，+∞)14．（天津理科2文科3）设变量y x ,满足约束条件0121x y x y x y -⎧⎪+⎨⎪+⎩≥≤≥，则目标函数y x z +=5的最大值为A ．2B ．3C ．4D ．5（ D ）15．（广东理科4）若变量x 、y 满足24025000x y x y x y +⎧⎪+⎪⎨⎪⎪⎩≤≤≥≥，则32z x y =+的最大值是（ C ）A ．90B ．80C ．70D ．4016．（湖南理科3）已知变量x 、y 满足条件1,0,290,x x y x y ⎧⎪-⎨⎪+-⎩≥≤≤则x+y 的最大值是（ C ）A ．2B ．5C ．6D ．8 （湖南文科3）已知变量x 、y 满足条件120x y x y ⎧⎪⎨⎪-⎩≥≤≤，，，则x +y 是最小值是（ C ）A ．4B ．3C ．2D ．117．（全国Ⅱ卷理科5文科6）设变量x ，y 满足约束条件：,22,2y x x y x ⎧⎪+⎨⎪-⎩≥≤≥则y x z 3-=的最小值为（ D ）A ．－2B .－4C . －6D .－818．（陕西理科10）已知实数x y ，满足121y y x x y m ⎧⎪-⎨⎪+⎩≥≤≤，，．如果目标函数z x y =-的最小值为1-，则实数m 等于（ B ）A ．7B ．5C ．4D ．319．（浙江文科10）若0,0a b ≥≥，且当0,0,1x y x y ⎧⎪⎨⎪+⎩≥≥≤时，恒有1ax by +≤，则以a ,b 为坐标点(,)P a b 所形成的平面区域的面积等于（ C ）A ．12B ．4π C ．1 D ．2π 20．（山东理科12）设二元一次不等式组219080,2140x y x y x y +-⎧⎪-+⎨⎪+-⎩≥≥≤，所表示的平面区域为M ，使函数y ＝a x (a ＞0，a ≠1)的图象过区域M 的a 的取值范围是（ C ） A ．[1,3]B ．[2,10]C ．[2,9]D ．[10,9]21．（山东文科11）若圆C 的半径为1，圆心在第一象限，且与直线430x y -=和x 轴相切，则该圆的标准方程是（ B ）A ．227(3)13x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭B ．22(2)(1)1x y -+-=C ．22(1)(3)1x y -+-=D ．223(1)12x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭22．（重庆文科3）曲线C :cos 1.sin 1x y θθ=-⎧⎨=+⎩(θ为参数)的普通方程为（ C ）A ．(x －1)2＋(y ＋1)2＝1B ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝1C ．(x ＋1)2＋(y －1)2＝1D ．(x －1)2＋(y －1)2＝123．（北京理科7）过直线y ＝x 上的一点作圆22(5)(1)2x y -+-=的两条切线l 1，l 2，当直线l 1，l 2关于y ＝x 对称时，它们之间的夹角为（ C ）A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°24．（广东文科6）经过圆2220x x y ++=的圆心C ，且与直线0x y +=垂直的直线方程是（ C ）A ．x ＋y ＋1＝0B ．x ＋y －1＝0C ．x －y ＋1＝0D ．x －y －1＝025．（湖北理科9）过点A （11，2）作圆22241640x y x y ++--=的弦，其中弦长为整数的共有A ．16条B ．17条C ．32条D ．34条（ C ）26．（山东理科11）已知圆的方程为x 2＋y 2－6x －8y ＝0.设该圆过点（3，5）的最长弦和最短弦分别为AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为 （ B ）A ．106B ．206C ．306D ．40627．（重庆理科3）圆O 1：x 2＋y 2－2x ＝0和圆O 2：x 2＋y 2－4y ＝0的位置关系是 （ B ）A ．相离B ．相交C ．外切D ．内切28．（上海理科15）如图，在平面直角坐标系中，Ω是一个与x 轴的正半轴、y 轴的正半轴分别相切于点C 、D 的定圆所围成区域（含边界），A 、B 、C 、D 是该圆的 四等分点，若点P (x ,y )、P ’(x ’,y ’)满足x ≤x ’ 且y ≥y ’， 则称P 优于P ’，如果Ω中的点Q 满足：不存在Ω中的其 它点优于Q ，那么所有这样的点Q 组成的集合是劣弧（ D ） A ．AB ︵B ．BC ︵C ．CD ︵D ．DA ︵二、填空题29．（广东文科12）若变量x 、y 满足24025000x y x y x y +⎧⎪+⎪⎨⎪⎪⎩≤≤≥≥，则32z x y =+的最大值是 ．答案：7030．（全国I 卷理科13）若x y ，满足约束条件03003x y x y x ⎧+⎪-+⎨⎪⎩，，，≥≥≤≤则2z x y =-的最大值为 ．答案：931．（山东文科16）设x y ，满足约束条件20510000x y x y x y ⎧-+⎪--⎪⎨⎪⎪⎩，，，，≥≤≥≥则2z x y =+的最大值为 ．答案：1132．（安徽理科15）若A 为不等式组002x y y x ⎧⎪⎨⎪-⎩≤≥≤表示的平面区域，则当a 从－2连续变化到1时，动直线x y a +=扫过A 中的那部分区域的面积为 ． 答案：7433.（浙江理科17）若a ≥0,b ≥0,且当0,0,1x y x y ⎧⎪⎨⎪+⎩≥≥≤时，恒有ax ＋by ≤1，则以a 、b 为坐标的点P （a ，b ）所形成的平面区域的面积等于_________. 答案：134．（福建理科14）若直线3x +4y +m =0与圆⎩⎨⎧x =1+cos θy =－2+sin θ（θ为参数）没有公共点，则实数m的取值范围是 ．答案：(,0)(10,)-∞⋃+∞（福建文科14）若直线3x+4y +m =0与圆x 2+y 2-2x +4y +4=0没有公共点，则实数m 的取值范围是 ． 答案：(,0)(10,)-∞⋃+∞35．（山东文科13）已知圆22:6480C x y x y +--+=．以圆C 与坐标轴的交点分别作为双曲线的一个焦点和顶点，则适合上述条件的双曲线的标准方程为 ．答案：221412x y -=36．（江苏9）如图，在平面直角坐标系xOy 中，设△ABC 的顶点分别为(0)(0)(0)A a B b C c ，，，，，，点(0)P p ，是线段OA 上一点（异于端点），a b c p ，，，均为非零实数．直线BP 、CP 分别交AC 、AB 于点E ，F ．一同学已正确地求出直线OE 的方程为11110x y b c p a ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，请你 完成直线OF 的方程：（ ▲ ）110x y p a ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭． 答案：11c b- 37．（广东理科11）经过圆2220x x y ++=的圆心C ，且与直线0x y +=垂直的直线方程是________________．【解析】易知点C 为(1,0)-，而直线与0x y +=垂直，我们设待求的直线的方程为y x b =+，将点C 的坐标代入马上就能求出参数b 的值为1b =，故待求的直线的方程为10x y -+=．38．（重庆理科15）直线l 与圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋a ＝0(a ＜3)相交于两点A ，B ，弦AB 的中点为（0，1），则直线l 的方程为 ． 答案：x －y ＋1＝0（重庆文科15）已知圆C ：22230xy x ay +++-=（a 为实数）上任意一点关于直线l ：x －y ＋2＝0的对称点都在圆C 上，则a = ． 答案：－239．（天津理科13）已知圆C 的圆心与抛物线x y 42=的焦点关于直线x y =对称.直线0234=--y x与圆C 相交于B A ,两点，且6=AB ,则圆C 的方程为 .． 答案：22(1)10x y +-=40．（天津文科15）已知圆C 的圆心与点(21)P -，关于直线1y x =+对称．直线34110x y +-=与圆C 相交于A B ，两点，且6AB =，则圆C 的方程为 ． 答案：22(1)18x y ++=41．（湖南文科14）将圆x 2+y 2=1沿x 轴正向平移1个单位后得到圆C ，则圆C 的方程是 ；若过点(3，0)的直线l 和圆C 相切，则直线l 的斜率是 ．答案：(x －1)2+y 2＝13342．（四川文、理科14）已知直线:40l x y -+=与圆22:(1)(1)2C x y -+-=，则C 上各点到l 距离的最小值为 ．解析：由数想形，所求最小值＝圆心到到直线的距离－圆的半径．圆心(1,1)到直线60x y -+=的距离d =三、解答题 43．（宁夏海南文科第20题）已知,m ∈R 直线m y m mx l 4)1(:2=+-和圆01648:22=++-+y x y x C . （Ⅰ）求直线l 斜率的取值范围；（Ⅱ）直线l 能否将圆C 分割成弧长的比值为21的两段圆弧？为什么？ 解：（Ⅰ）22,0()1mk km m k m =∴-+=*+Q ， ,m ∈R Q ∴当k ≠0时0∆≥，解得1122k -≤≤且k ≠0又当k ＝0时，m ＝0，方程()*有解，所以，综上所述1122k -≤≤（Ⅱ）假设直线l 能否将圆C 分割成弧长的比值为21的两段圆弧．设直线l 与圆C 交于A ，B 两点则∠ACB ＝120°．∵圆22:(4)(2)4C x y -++=，∴圆心C （4，-2）到l 的距离为1．1=，整理得423530m m ++=．∵254330∆=-⨯⨯<，∴423530m m ++=无实数解． 因此直线l 不可能将圆C 分割成弧长的比值为21的两段圆弧．44．（江苏18）在平面直角坐标系xOy 中，二次函数2()2f x x x b =++（x ∈R ）与两坐标轴有三个交点．记过三个交点的圆为圆C ． （Ⅰ）求实数b 的取值范围； （Ⅱ）求圆C 的方程；（Ⅲ）圆C 是否经过定点（与b 的取值无关）？证明你的结论． 解：（Ⅰ）令x =0，得抛物线于y 轴的交点是（0，b ）令f (x )=0，得x 2+2x +b =0，由题意b ≠0且△>0，解得b <1且b ≠0 （Ⅱ）设所求圆的一般方程为x 2+ y 2+D x +E y +F=0令y =0，得x 2+D x +F=0，这与x 2+2x +b =0是同一个方程，故D=2，F=b 令x =0，得y 2+ E y +b =0，此方程有一个根为b ，代入得E=-b -1 所以圆C 的方程为x 2+ y 2+2x -(b +1）y +b =0 （Ⅲ）圆C 必过定点（0，1），（-2，1）证明如下：将（0，1）代入圆C 的方程，得左边= 02+ 12+2×0-(b +1）×1+b =0，右边=0 所以圆C 必过定点（0，1）； 同理可证圆C 必过定点（-2，1）．。