椭圆曲线知识点与讲义

圆锥曲线

一、知识点讲解

一、椭圆：（1）椭圆的定义：平面内与两个定点21,F F 的距离的和等于常数（大于||21F F ）的点的轨迹。

其中：两个定点叫做椭圆的焦点，焦点间的距离叫做焦距。

注意：||221F F a >表示椭圆；||221F F a =表示线段21F F ；||221F F a <没有轨迹； （2）椭圆的标准方程、图象及几何性质：

中心在原点，焦点在x 轴上

中心在原点，焦点在

y 轴上

标准方程

)0(122

22>>=+b a b

y a x )0(12

2

22>>=+b a b x a y 图 形

顶 点

),0(),,0()0,(),0,(2121b B b B a A a A -- ),0(),,0()0,(),0,(2121a B a B b A b A --

对称轴

x 轴，y 轴；短轴为b 2，长轴为a 2

焦 点

)0,(),0,(21c F c F -

),0(),,0(21c F c F -

焦 距

)0(2||21>=c c F F 222b a c -=

离心率

)10(<<=

e a

c

e （离心率越大，椭圆越扁） 通 径

22b a

（过焦点且垂直于对称轴的直线夹在椭圆内的线段）

3．常用结论：（1）椭圆)0(12

222>>=+b a b y a x 的两个焦点为21,F F ，过1F 的直线交椭圆于B A ,两点，则2ABF ∆的周长= （2）设椭圆

)0(122

2

2>>=+b a b

y a x 左、右两个焦点为21,F F ，过1F 且垂直于对称轴的直线交椭圆于Q P ,两点，则Q P ,的坐标分别是 =||PQ

二、例题讲解。

例1、 已知椭圆的中心在原点，且经过点()03，P ，b a 3=，求椭圆的标准方程．

分析：因椭圆的中心在原点，故其标准方程有两种情况．根据题设条件，运用待定系数法，

求出参数a 和b （或2

a 和2

b ）的值，即可求得椭圆的标准方程．

x

O F 1 F 2 P y A 2 B 2 B 1

x

O F 1

F 2 P

y

A 2

A 1

B 1

B 2 A 1

解：当焦点在x 轴上时，设其方程为()0122

22>>=+b a b

y a x ．

由椭圆过点()03，P ，

知10922=+b a ．又b a 3=，代入得12=b ，92

=a ，故椭圆的方程为19

22=+y x ． 当焦点在y 轴上时，设其方程为()0122

22>>=+b a b

x a y ．

由椭圆过点()03，P ，

知10922=+b a ．又b a 3=，联立解得812=a ，92

=b ，故椭圆的方程为19

8122=+x y ． 例2、 ABC ∆的底边16=BC ，AC 和AB 两边上中线长之和为30，求此三角形重心G 的轨迹和顶点A

的轨迹．

分析：（1）由已知可得20=+GB GC ，再利用椭圆定义求解．

（2）由G 的轨迹方程G 、A 坐标的关系，利用代入法求A 的轨迹方程．

解： （1）以BC 所在的直线为x 轴，BC 中点为原点建立直角坐标系．设G 点坐标为()y x ，，由20=+GB GC ，

知G 点的轨迹是以B 、C 为焦点的椭圆，且除去轴上两点．因10=a ，8=c ，有6=b ， 故其方程为

()0136

1002

2≠=+y y x ． （2）设()y x A ，，()y x G ''，，则

()0136

1002

2≠'='+'y y x ． ① 由题意有⎪⎪⎩

⎪⎪⎨⎧='='33

y

y x x ，代入①，得A 的轨迹方程为

()0132490022≠=+y y x ，其轨迹是椭圆（除去x 轴上两点）．

例3、 已知P 点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P 到两焦点的距离分别为354和3

5

2，过P 点作焦点所在轴的垂线，它恰好过椭圆的一个焦点，求椭圆方程． 解：设两焦点为1F 、2F ，且3541=

PF ，3

5

22=PF ．从椭圆定义知52221=+=PF PF a ．即5=a ．

从21PF PF >知2PF 垂直焦点所在的对称轴，所以在12F PF

Rt ∆中，2

1

sin 12

21==∠PF PF F PF ，

可求出6

21π

=

∠F PF ，3

526

cos

21=

⋅=π

PF c ，从而3102

22=-=c a b ．

∴所求椭圆方程为

1103522=+y x 或15

1032

2=+y x ． 例4、已知椭圆方程()0122

22>>=+b a b

y a x ，长轴端点为1A ，2A ，焦点为1F ，2F ，P 是椭圆上一点，

θ=∠21PA A ，α=∠21PF F ．求：21PF F ∆的面积（用a 、b 、α表示）． 分析：求面积要结合余弦定理及定义求角α的两邻边，从而利用C ab S sin 2

1

=

∆求面积． 解：如图，设()y x P ，，由椭圆的对称性，不妨设()y x P ，，由椭圆的对称性，不妨设P 在第一象限．由余弦定理知： 2

2

1F F 2

221PF PF +=12PF -·2

24cos c PF =α．①

由椭圆定义知： a PF PF 221=+ ②，则－①②2

得 α

cos 122

21+=⋅b PF PF

． 故αsin 21212

1PF PF S PF F ⋅=∆ αα

sin cos 12212+=b 2tan 2αb =． 三、习题讲解。

一、选择题。

1.圆6x 2

+ y 2

=6的长轴的端点坐标是

A.(-1,0)､(1,0)

B.(-6,0)､(6,0)

C.(-6,0)､(6,0)

D.(0,-6)､(0,6)

2.椭圆x 2

+ 8y 2

=1的短轴的端点坐标是

A.(0,-42)、(0,42

) B.(-1,0)、(1,0) C.(22,0)、(-2,0) D.(0,22)、(0,－22)

3.椭圆3x 2

+2y 2

=1的焦点坐标是

A.(0,－66)、(0,66)

B.(0,-1)、(0,1)

C.(-1,0)、(1,0)

D.(-66,0)、(66

,0)

4.椭圆122

2

2=+a y b x (a >b >0)的准线方程是

A.

2

2

2

b a a y +±

= B.

2

2

2

b a a y -±

= C.

2

2

2

b a b y -±

= D.

222b a a y +±

=

5.椭圆14922=+y x 的焦点到准线的距离是