高考数学 考点24 随机事件的概率、互斥事件有一个发生的概率、相互独立事件同时发生的概率练习

考点24 随机事件的概率、互斥事件有一个发生的概率、

相互独立事件同时发生的概率

1.（2010·江西高考文科·Ｔ９）有n 位同学参加某项选拔测试，每位同学能通过测试的概率都 是p (01)p <<，假设每位同学能否通过测试是相互独立的，则至少有一位同学通过测试的概率 为( )

（A ）(1)n

p -

（B ）1n

p -

（C ）n

p

（D ）1(1)n

p --

【命题立意】本题主要考查对立事件的概率、相互独立事件同时发生的概率．

【思路点拨】直接解决问题较困难时，可考虑逆向思维，从对立面去着手.

【规范解答】选D.所有同学都不通过的概率为,)1(n p - 故至少有一位同学通过的概率为

.)1(1n

p -- 2.（2010·湖北高考理科·Ｔ4）投掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次，记“硬币正面向上”为事件A ，“骰子向上的点数是3”为事件B ，则事件,A B 中至少有一件发生的概率是( )

（A ）512 （B ）12 （C ）712 （D ）3

4

【命题立意】本题主要考查等可能事件、对立事件、相互独立事件，以及相互独立事件有一个发生的概率的求法，考查公式应用能力和运算求解能力．

【思路点拨】由()()()P A B P A P B P AB +=+-（）以及P AB P A P B =（）（）（），算出()P A ,()P B 代入即

可.或由对立事件的概率公式用1减去,A B 都不发生的概率即可.

【规范解答】选C.方法一：用间接法考虑.事件A ，B 一个都不发生的概率为

451615()()()212C P AB P A P B C =⋅=⨯=1

5

16

C 5C 12=

. 则事件,A B 中至少有一件发生的概率

7

1()12P AB =-=

， 故C 正确.

方法二：

11117()()()()()()()()262612P A B P A P B P AB P A P B P A P B +=+-=+-=

+-⨯=

.,

或

117

()1()1(1)(1)2612P A B P A B +=-+=---=

.

【方法技巧】相互独立事件至少有一个发生的概率有两种求解的方法:

（1）()()()P A B P A P B P AB +=+-（）()()P A P B =+-P A P B （）（）.

（2） ()1()1()1()()P A B P A B P A B P A P B +=-+=-⋅=-.

3.（2010·江西高考理科·Ｔ11）一位国王的铸币大臣在每箱100枚的硬币中各掺入了一枚劣币，国王怀疑大臣作弊，他用两种方法来检测．方法一：在10箱中各任意抽查一枚；方法二：在5箱中各任意抽查两枚．国王用方法一、二能发现至少一枚劣币的概率分别记为1

p 和

2

p ，则（ ）

（A ）

12

p p = （B ）

12

p p < （C ）

12

p p > （D ）以上三种情况都有可能

【命题立意】本题主要考查互斥事件有一个发生的概率、对立事件的概率、相互独立事件同时发生的概率．

【思路点拨】先求

1

p 和

2

p ，然后再比较大小.

【规范解答】选Ｂ．101)10099(1-=p ，10

522)10098(1])991009899[(1-=⨯⨯-=p ，可见12

p p <.

4.（2010·湖北高考理科·Ｔ6）将参加夏令营的600名学生编号为：001，002，… ，600.采用系统抽样

方法抽取一个容量为50的样本，且随机抽得的号码为003.这600名学生分住在三个营区，从001 到300在第1营区，从301到495在第Ⅱ营区，从496到600在第Ⅲ营区.三个营区被抽中的人数依次为（ ） （A ）26,16,8 （B ）25,17,8 （C ）25,16,9 （D ）24,17, 9

【命题立意】本题主要考查考生对系统抽样的理解，考查等差数列的概念以及考生的运算求解能力． 【思路点拨】由系统抽样的特点先算出被抽取出来的相邻两个号码的间隔，然后将被抽取出来的号码按从小到大的顺序排成一列构成一个等差数列，最后借用等差数列的通项公式计算出各个营区被抽取出来的人数。

【规范解答】选B ，由系统抽样的特点知从号码003开始每间隔600

50=12人抽出1个，设被抽出的第n 个

号码为

n

a ，则

n

a =003+12（n-1）.由

n a 300≤知25n ≤；由n a

495≤知n ≤42，42-25=17，50-42=8，所

以第一营区被抽出的人数为25，第二营区被抽出的人数为17，第三营区被抽出的人数为8.

【方法技巧】系统抽样被抽取出来的相邻两个号码的间隔相同，若将被抽取出来的号码按从小到大的顺序排成一列，则构成一个首项为第一个号码编号，公差为所得间隔的等差数列.由所得等差数列的通项公式就很容易求出所抽取的各个号码.

5.（2010·上海高考文科·Ｔ１0）从一副混合后的扑克牌（52张）中随机抽取2张，则“抽出的2张均为红桃”的概率为 （结果用最简分数表示）． 【命题立意】本题考查古典概型的概率公式的应用． 【思路点拨】按求古典概型概率的步骤进行．

【规范解答】记“抽出的2张均为红桃”为事件A ，则

171

)(252213=

=C C A P .

【答案】171

【方法技巧】求古典概型的概率的步骤： （1）确定概率类型. （2）求基本事件总数.