华东理工大学线性代数2009.1期末试卷(含答案)

B A B;
C A * B*;
D AB.
二、填空题（每空 4 分，共 20 分）
a11 a12 1. 设 A a21 a22 a31 a32 P2 _________. a13 1 0 0 a11 a13 a23 , P1 0 0 1 , B a21 a23 a33 0 1 0 a31 a33 a13 a23 a33 a12 ，则 a22 , AP1P2 B a32
A 的对应特征值 1, 2,3 的特征向量。
（1）求向量组 1 , 2 , 3 , 的秩； （2）将向量 用 1 , 2 , 3 线性表示； （3）求 An ，其中 n 为自然数.
2 4x1 x2 4x2 x3 。 七、 （12 分）已知二次型 f x12 x3
AT x b 的解为________
4. 设 A 为 n 阶实对称矩阵，且 A2 2 A 3I O, 1 是 A 的一个单特征值，则行 列式 | A 2 I | ______. 5.设三阶方阵 A 有特征值 1, 1,3 ,则与矩阵 (3I A*) 2 相似的对角阵为_________.
（1）写出 f 的矩阵 A ； （2）求一个正交矩阵 Q ，用正交变换 x Qy 将 f 化为标准形，写出此标准形。
1 1 4. 设 1 2 ,1 2 1 ,其中 1 , 2 是非齐次线性方程组 Ax b 的解，A 是 1 1 2 3 矩阵，且 r ( A) 2 ，则线性方程组 Ax b 的通解为 ( A ). 1 1 A 2 k 5 ; 1 1 1 0 B 2 k 3 ; 1 0 1 1 C 1 k 5 ; 1 1 1 0 D 5 k 3 . 1 0
3. 设 A 是 m n 矩阵, B 是 n m 矩阵,则 ( B ). (A)当 m n 时，必有行列式 | AB | 0 ; (B)当 m n 时，必有行列式 | AB | 0 ; (C)当 n m 时，必有行列式 | AB | 0 ; (D)当 n m 时，必有行列式 | AB | 0 .
1 0 1 三、 （11 分）设 A 0 2 0 ，且有 A2 B A B I ，试求矩阵 B ，并把表示为 2 0 1
有限个初等矩阵的乘积.
b b b b b x
x b
四、 （11 分）计算 n 阶行列式 Dn b x b b 的值. x b b b
《线性代数》课程期末考试试卷 一、选择题（3 分一题，共 24 分）
2009.1
1. 设 A 为 n 阶可逆矩阵，A 的第二行乘以 2 为矩阵 B，则 A1 与 B 1 有关系( D ). (A) A1 的第二行乘以 2 等于 B 1 ; (C) A1 的第二行乘以
1 等于 B 1 ; 2
x1 3x2 x3 0 五、 （11 分）设线性方程组为 x1 4 x2 ax3 b ，问 a, b 为何值时，方程组无解、 2 x x 3x 5 3 1 2
有唯一解、有无穷多解？并在有解时求出其解。 六、 （11 分）设 (1,1,3)T ，又 1 (1,1,1)T , 2 (1, 2, 4)T , 3 (1,3,9)T 为 3 阶方阵
2. 已知 A, B 为四阶方阵， | A | 2,| B | 2 ，则 | A *(2 B) 1 | ____.
1 3. 设 A a1 2 a1 1 a2 a2 2 1 1 其 中 a 互 不 相 同 ， i 1, 2,3 ， 则 线 性 方 程 组 a3 , b i 1 , 2 a3 1
7. 设 A ,B 均为 n 阶方阵，且 A 与 B 有相同的特征值，则( D ).
( A) A 与 B 相似; (C ) A 与 B 等价; ( B) A 与 B 有相同的秩; ( D ) A 与 B 有相同的迹.
8. 设 A ,B 是正定矩阵，则以下矩阵中一定是正定矩阵的为 ( A ).
A A * B*;
5. 已知 A * 、B 均为 n 阶非零方阵，且 AB O ，则有 r ( B ) ( B ). (A) r ( B ) 0 ; (B) r ( B ) 1 ;(C)
r ( B) Fra Baidu bibliotek 2 ;
(D) r ( B ) n .
6. 对 n 维向量 1 , 2 , , s (3 s n) ，它们线性无关的充要条件是 ( C ).
A 存在不全为零的数 k1 , k2 , , k s ，使 k11 k2 2 k s s 0 ; B 1 , 2 , , s 中任意两个向量都线性无关; C 1 , 2 , , s 中任意一个向量都不能用其余向量线性表示;
D 1 , 2 , , s 中存在一个向量.它不能用其余向量线性表示.
(B) A1 的第二列乘以 2 等于 B 1 ; (D) A1 的第二列乘以
1 等于 B 1 . 2
2. 设 A * 为 n 阶矩阵 A 的伴随矩阵，则 | A | A * ( D ). (A) | A |2 ; (B) | A |n ; （C） 1; (D) | A |2 n 1 .