相似之共线线段的比例问题 文档

相似之共线线段的比例问题

20.（1）如图1，点在平行四边形ABCD的对角线BD上，一直线过点P分别交BA，BC的延长线于点Q，S，交于点．求证：

（2）如图2，图3，当点在平行四边形ABCD的对角线或的延长线上时，

是否仍然成立？若成立，试给出证明；若不成立，试说明理由（要求仅以图2为例进行证明或说明）；

21.已知：如图，△ABC中，AB＝AC，AD是中线，P是AD上一点，过C作CF∥AB，延长BP交AC于E，交CF于F．求证：BP2＝PE·PF．

22.如图，已知ΔABC中，AD，BF分别为BC，AC边上的高，过D作AB 的垂线交AB于E，交BF于G，交AC延长线于H。求证：DE2=EG•EH

23.已知如图，P为平行四边形ABCD的对角线AC上一点，过P的直线与AD、BC、CD的延长线、AB的延长线分别相交于点E、F、G、H.

求证：

24.已知，如图，锐角△ABC中，AD⊥BC于D，H为垂心（三角形三条高线的交点）；在AD上有一点P，且∠BPC为直角．求证：PD2＝AD·D H。

20.答案：（1）证明：在平行四边形ABCD中，AD∥BC， ∴∠DRP=∠S，∠RDB=∠DBS

∴△DRP∽△BSP

∴

同理由AB∥CD可证△PTD∽△PQB

∴

∴

∴

（2）证明：成立，理由如下：

在平行四边形ABCD中，AD∥BC，

∴∠PRD=∠S，∠RDP=∠DBS

∴△DRP∽△BSP

∴

同理由AB∥CD可证△PTD∽△PQB

∴

∴

∴

21.答案：证明:

∵AB＝AC，AD是中线，

∴AD⊥BC,BP=CP

∴∠1=∠2

又∵∠ABC=∠ACB

∴∠3=∠4

∵CF∥AB

∴∠3=∠F,∠4=∠F

又∵∠EPC=∠CPF

∴△EPC∽△CPF

∴ ∴BP2＝PE·PF 即证所求22.答案：证明：∵DE⊥AB

∴＝90°

∵＝90°

∴

∵

∴△ADE∽△DBE

∴

∴DE2=

∵BF⊥AC

∴＝90°

∵＝90°且

∴

∵

∴△BEG∽△HEA

∴

∴＝ ∴DE2=EG•EH 23.答案：证明：

∵四边形ABCD为平行四边形

∴AB∥CD，AD∥BC

∴∠1=∠2，∠G=∠H，∠5=∠6

∴△PAH∽△PCG

∴

又∵∠3=∠4

∴△APE∽△CPF

∴

∴

24.答案：证明：如图，连接BH交AC于点E，

∵H为垂心

∴BE⊥AC

∴∠EBC+∠BCA=90°

∵AD⊥BC于D

∴∠DAC+∠BCA=90°

∴∠EBC=∠DAC

又∠BDH=∠ADC=90°

∴△BDH∽△ADC

∴，即 ∵∠BPC为直角，AD⊥BC ∴PD2＝BD·DC ∴PD2＝AD·DH