最新1空间解析几何
大一空间解析几何知识点总结
大一空间解析几何知识点总结大一空间解析几何是大一数学课程中的一部分，涵盖了三维空间中的点、直线和平面的相关知识。
以下是一些大一空间解析几何的知识点总结。
1. 空间直角坐标系：空间直角坐标系由三条相互垂直的坐标轴组成，通常用x、y和z表示。
在该坐标系中，每个点都可以表示为一个有序三元组(x, y, z)，称为点的坐标。
2. 点和向量：点表示空间中的位置，而向量表示从一个点到另一个点的方向和长度。
向量可以表示为两点之间的位移。
3. 向量的加法和减法：向量的加法是将两个向量的对应分量相加，而向量的减法是将两个向量的对应分量相减。
4. 向量的数量积和向量积：向量的数量积（点积）是两个向量的对应分量相乘再求和，而向量的向量积（叉积）是两个向量的乘积向量的模长等于原来两个向量的模长乘积与这两个向量夹角的正弦积。
5. 直线的方程：直线可以由点和方向向量来表示。
给定一点P和平行于向量v 的直线L，直线L可以表示为L：r = P + tv，其中r是直线上的任意一点，t 是实数。
6. 平面的方程：平面可以由一个点和一个法向量来表示。
给定一点P和法向量n，平面可以表示为n·(r - P) = 0，其中r是平面上的任意一点。
7. 平面与直线的位置关系：平面和直线有三种可能的位置关系：平行、相交和重合。
平面和直线平行意味着它们没有公共点；平面和直线相交意味着它们有一个公共点；平面和直线重合意味着它们有无数个公共点。
8. 平面与平面的位置关系：平面和平面也有三种可能的位置关系：平行、相交和重合。
平面和平面平行意味着它们没有公共点；平面和平面相交意味着它们有一条公共直线；平面和平面重合意味着它们完全重合。
这些知识点是大一空间解析几何的基础，掌握了这些知识点可以帮助理解和解决三维空间中的几何问题。
在学习过程中，还可以进一步学习曲面、二次曲线、空间几何体等更高级的知识。
高等数学Ⅰ第一章课件：空间解析几何
练习题答案
一、1、Ⅳ,Ⅴ,Ⅷ,Ⅲ；
2、(-3,2,1),(3,2,-1),(-3,-2,-1),
(-3,-2,1),(3,2,1),(3,-2,-1)；
3、(-4,3,0),(0,3,5),(-4,0,5),
(-4,0,0),(0,3,0),(0,0,5)；
4、(a, a,a), (a, a, a),(a,a, a),(a,a, a) ；
(2) 空间直角坐标系 （轴、面、卦限）
（注意它与平面直角坐标系的区别）
空间两点间距离公式
M1M2 x2 x1 2 y2 y1 2 z2 z1 2
思考题
1. 在空间直角坐标系中，指出下列 各点在哪个卦限？
A(1,2,3), B(2,3,4), C(2,3,4), D(2,3,1) .
b
3a
2
5
解
a
b
5
1
b
b
3a
2
5
(1
3)a
1
5 2
1 5
5
b
2a
5
b.
2
例2 试用向量方法证明：对角线互相平分的
四边形必是平行四边形.
证 AM MC BM MD
D b
A
a
C
M
B
AD AM MD MC BM BC
AD 与 BC 平行且相等, 结论得证.
1.2 空间直角坐标系
3、点 A ( 4 , 3 , 5 )在xoy 平面上的射影点为_____ ______,在 yoz 面上的射影点为__________，在 zox轴上的射影点为_________，在x 轴上 的射影 点为________，在x 轴上 的射影点为______，在 z 轴上 的射影点为_______ ;
考研数学一大纲空间解析几何
考研数学一大纲空间解析几何空间解析几何是考研数学一科目的重要内容之一。
在考研数学一大纲中，空间解析几何包括平面方程与空间直线、平面及空间中的曲面方程、立体几何与相关计算方法等内容。
下面将对这些内容进行详细讨论。
一、平面方程与空间直线平面方程是空间解析几何的基础，在考研数学一大纲中要求掌握平面的一般方程、点法式方程、截距式方程以及向量法方程。
对于一般方程Ax+By+Cz+D=0，其中A、B、C为方程的系数，D为常数项，可以通过法向量的系数A、B、C来确定该平面的法向量。
点法式方程是通过平面上的一点和法向量来表示平面方程的形式，截距式方程是通过平面与坐标轴的截距来表示平面方程的形式。
向量法方程是通过平面上的一点和与平面垂直的一个向量来表示平面方程的形式。
空间直线也是空间解析几何的重点内容之一。
在考研数学一大纲中要求掌握空间直线的点向式方程、对称式方程以及向量式方程。
点向式方程是通过直线上的一点和方向向量来表示直线方程的形式，对称式方程是通过直线与坐标轴的截距来表示直线方程的形式。
向量式方程是通过直线上一点和与该直线平行的一个向量来表示直线方程的形式。
二、平面及空间中的曲面方程在考研数学一的大纲中，平面与空间中的曲面方程也是重要的内容。
常见的曲面方程包括二次曲面方程、柱面方程、圆锥曲线方程等。
二次曲面方程的一般形式为Ax^2+By^2+Cz^2+Dxy+Exz+Fyz+Gx+Hy+Kz+L=0，其中A、B、C、D、E、F、G、H、K、L为方程的系数。
不同的二次曲面有不同的特点和性质，例如椭球、单叶双曲面、双叶双曲面、椭圆抛物面等。
柱面方程是通过直线沿着某一方向无限延伸而形成的表面。
柱面方程的一般形式为Ax+By+C=0，其中A、B、C为方程的系数。
圆锥曲线方程是由一个点（焦点）和一个直线（准线）确定的曲线。
圆锥曲线方程的一般形式为(x-a)^2+(y-b)^2-(z-c)^2=0，其中(a, b, c)为焦点的坐标。
空间解析几何
空间解析几何空间解析几何是三维空间中研究点、线、面等几何对象的数学分支。
通过坐标系和向量等数学工具，可以描述和分析三维空间中的几何形状、位置关系和运动方式。
本文将介绍空间解析几何的基本概念、坐标系、向量运算和几何性质，并应用于实际问题。
一、空间解析几何的基本概念在空间解析几何中，我们首先需要了解点、直线、平面和空间的基本概念。
1. 点：点是空间中最基本的几何对象，用坐标表示。
在三维空间中，一个点可以由三个坐标确定，分别表示其在x轴、y轴和z轴上的位置。
2. 直线：直线是由无数个点组成的，在空间中没有宽度和厚度。
直线可以由一个点和一个方向向量确定，或者由两个不重合的点确定。
3. 平面：平面是由无数个点组成的，在空间中有宽度但没有厚度。
平面可以由一个点和两个不共线的方向向量确定，或者由三个不共线的点确定。
4. 空间：空间是由所有的点组成的，是点的集合。
在空间中，我们可以研究点、直线、平面和它们之间的相互关系。
二、空间解析几何的坐标系为了方便描述和计算，在空间解析几何中常常使用坐标系来表示点、向量和几何对象。
常用的坐标系有直角坐标系和柱面坐标系。
1. 直角坐标系：直角坐标系由三个相互垂直的坐标轴构成，分别是x轴、y轴和z轴。
在直角坐标系中，点的坐标表示为(x, y, z)，它们分别表示点在x轴、y轴和z轴上的投影长度。
2. 柱面坐标系：柱面坐标系由极径、极角和高度构成。
极径表示点到z轴的距离，极角表示点在xy平面上的投影与x轴正半轴之间的夹角，高度表示点在z轴上的投影长度。
三、空间解析几何的向量运算在空间解析几何中，向量是一个有大小和方向的量。
向量可以表示位移、速度、力等物理量，也可以用来表示线段、直线、平面等几何对象。
1. 向量的表示：在空间解析几何中，向量通常用有序数组表示，如a = (a₁, a₂, a₃)。
其中，a₁、a₂和a₃分别表示向量在x轴、y轴和z轴上的分量。
2. 向量的运算：空间解析几何中的向量运算包括加法、减法、数乘和点乘等。
高等数学-01空间解析几何(课件
表示两个向量的夹角。
向量的向量积与向量的混合积
向量的向量积
表示两个向量的垂直程度。
向量的混合积
表示三个向量的空间关系。
向量在空间几何中的应用
力的合成与分解
在物理中，力可以表示为向量，力的 合成与分解可以通过向量的加法、数 乘和向量积进行计算。
速度和加速度的分析
在运动学中，速度和加速度可以表示 为向量，通过向量的加法、数乘、向 量积和混合积进行计算和分析。
空间解析几何在计算机图形学中 用于三维建模、动画制作和虚拟 现实技术。
空间解析几何的基本概念
空间向量
表示空间中具有大小和方向的 量。
向量积
表示两个向量的外积，是一个 向量运算，结果是一个向量。
空间点
表示空间中一个位置的点。
向量运算
包括加法、数乘、向量的模等 基本运算。
混合积
表示三个向量的内积，结果是 一个标量。
习题三
总结词
向量的数量积、向量积和混合积
详细描述
习题三主要涉及向量的数量积、向量积和混合积的计算和性质。通过这些练习题，学生 可以深入理解向量的数量积、向量积和混合积的概念和计算方法，掌握其性质和应用，
提高解题能力。
THANKS
感谢观看
曲线方程
通过给定的方程，可以描 述曲线的形状和路径。
常见曲线
圆、椭圆、抛物线、双曲 线等。
曲面与曲线的应用
工程设计
在机械工程、航空航天、船舶制造等领域，曲面与曲线被广泛应 用于产品设计和优化。
数学建模
在物理、化学、生物等学科中，曲面与曲线可以用来描述自然现 象和规律，建立数学模型。
数据分析
在统计学和数据分析领域，曲面与曲线可以用来可视化数据和探 索数据之间的关系。
空间解析几何习题答案解析(最新整理)
一、计算题与证明题1．已知, , , 并且． 计算．1||=a 4||=b 5||=c 0=++c b a a c c b b a ⨯+⨯+⨯解：因为, , , 并且1||=a 4||=b 5||=c 0=++c b a 所以与同向，且与反向a b b a +c 因此，，0=⨯b a 0=⨯c b 0=⨯a c 所以0=⨯+⨯+⨯a c c b b a 2．已知, , 求．3||=⋅b a 4||=⨯b a ||||b a ⋅解：（1）3cos ||=⋅=⋅θb a b a（2）4sin ||=⋅=⨯θb a b a 得()222)1(+()252=⋅b a 所以5=⋅b a 4．已知向量与共线, 且满足, 求向量的坐标．x )2,5,1(,-a 3=⋅x ax 解：设的坐标为，又x ()z y x ,,()2,5,1-=a 则 （1）325=-+=⋅z y x x a 又与共线，则x a 0=⨯a x 即()()()05252512125251=-+++--=+---=-k y x j x z i z y kyx j y x i z y z y x kj i 所以()()()05252222=-+++--y x x z z y 即 （2）010*********22=-++++xy xz yz z y x 又与共线，与夹角为或x a x a 0π()30325110cos 222222222⋅++=-++⋅++⋅==z y x z y x ax 整理得（3）103222=++z y x 联立解出向量的坐标为()()()321、、x ⎪⎭⎫⎝⎛-51,21,1016．已知点, 求线段的中垂面的方程．)7,8,3(A )3,2,1(--B AB 解：因为,()7,8,3A )3,2,1(--B 中垂面上的点到的距离相等，设动点坐标为，则由得AB B A 、()z y x M ,,MB MA =()()()()()()222222321783++-++=-+-+-z y x z y x 化简得027532=-++z y x 这就是线段的中垂面的方程。
空间解析几何知识点总结
空间解析几何知识点总结
空间解析几何是解析几何的一个重要分支，它研究的是三维空间中点、直线、平面等几何对象的性质和相互关系。
以下是空间解析几何的一些重要知识点总结：
1. 空间直角坐标系，空间解析几何的基础是空间直角坐标系，通常用三个相互垂直的坐标轴来表示三维空间中的点的位置。
2. 点的坐标，在空间直角坐标系中，点的位置可以用三个坐标（x, y, z）来表示，其中x、y、z分别代表点在x轴、y轴、z轴上的投影长度。
3. 点的距离公式，两点在空间中的距离可以通过三维空间中的距离公式来计算，即d = √((x2-x1)² + (y2-y1)² + (z2-
z1)²)。
4. 向量的运算，空间解析几何中，向量是一个重要的概念，它可以表示空间中的位移和方向。
向量的加法、减法、数量积和向量积是空间解析几何中常见的运算。
5. 空间直线的方程，空间直线可以用参数方程、对称方程和一般方程来表示，这些方程形式各有特点，可以根据具体问题的需要选择合适的表示形式。
6. 空间平面的方程，空间平面可以用点法式方程、一般方程等形式来表示，点法式方程可以直观地表示平面的法向量和过某一点的特点。
7. 空间几何体的性质，空间解析几何还涉及到一些空间几何体的性质，如球、圆柱、圆锥等的方程和性质。
8. 空间解析几何与其它学科的应用，空间解析几何在物理学、工程学、计算机图形学等领域有着广泛的应用，例如在三维建模、空间定位、运动轨迹分析等方面发挥着重要作用。
以上是空间解析几何的一些重要知识点总结，希望对你有所帮助。
如果你还有其他问题，可以继续问我。
空间解析几何
z
R2 R1 P O
R M1 M2 N Q1 Q2 y Q
x
上一张 下一张
z
R2 R1 P
由勾股定理
R M1 M2 N Q1 Q2 y Q
ρ 2 =|| M 1 M 2 ||2
=|| M 1 N || + || M 1 R ||
2
2
P1 P2
O
=|| M1 P ||2 + || M1Q ||2 + || M1 R ||2
主要名称与记号: 主要名称与记号 坐标平面: 坐标平面 三个坐标轴中任意两条坐标轴 所确定的平面. 所确定的平面 xoy 平面 yoz 平面 zox 平面 平面, 平面, 平面.
上一张
下一张
空间点在空间直角坐标系中的表示法. 空间点在空间直角坐标系中的表示法
z z R M O x x 点M (x, y, z) P y Q
相应的空间直角坐标系, 即过空间中一定点 相应的空间直角坐标系 即过空间中一定点O, 空间中一定点 作三条互相垂直的数轴, 它们以O为公共原点 作三条互相垂直的数轴 它们以 为公共原点 且具有相同的单位长度, 且具有相同的单位长度 这三条数轴分别称为 x 轴, y 轴, z 轴, 都统称为数轴 都统称为数轴.
上一张
下一张
由上可知，对应于数轴上一点 的实数 也叫做P点的坐 的实数x也叫做 由上可知，对应于数轴上一点P的实数 也叫做 点的坐 这个事实我们用P(x)表示这样，数轴也可以称为坐 表示这样， 标，这个事实我们用 表示这样 数轴也可以称为坐 标轴，用O x表示。换句话说，在直线上，一个原点， 标轴， 表示。换句话说，在直线上，一个原点， 表示 一个正向，一个单位长就确定了它上面的一个坐标系 一个正向，一个单位长就确定了它上面的一个坐标系
大一空间解析几何知识点总结
大一空间解析几何知识点总结大一空间解析几何是大学数学的一门基础课程，主要研究几何对象在空间中的性质和相互关系。
以下是大一空间解析几何的一些主要知识点总结，供参考学习：1. 空间直角坐标系：空间直角坐标系是三维空间中最常用的坐标系，它由三条相互垂直的坐标轴构成，通常用x、y、z表示。
空间中的点可以由它们在三个坐标轴上的坐标表示。
2. 点的坐标计算：在空间直角坐标系中，给定一个点P，可以通过测量与三个坐标轴的距离，计算出点P的坐标。
例如，点P在x轴上的坐标为x，点P在y轴上的坐标为y，点P在z轴上的坐标为z。
3. 点、线、面的方程：通过坐标计算，可以得到点、线、面的方程。
例如，对于点P(x, y, z)，点P的坐标就可以通过方程x = x，y = y，z = z来表示。
对于直线l，可以通过两点的坐标计算直线的方程。
对于平面，可以通过三点的坐标计算平面的方程。
4. 空间中的距离：空间中两点之间的距离可以通过勾股定理计算。
设点P(x1, y1, z1)和点Q(x2, y2, z2)为两点，它们之间的距离为d，表示为d = √[(x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2 + (z2 - z1)^2]。
5. 点、线的位置关系：在空间解析几何中，点和线的位置关系有几种情况：点在直线上、点在直线外、点在直线的延长线上等。
可以通过点和线的坐标来判断它们的位置关系。
6. 直线的方向向量和参数方程：在空间直角坐标系中，直线可以用方程式表示，其中的参数t表示直线上的任意一点P的位置。
直线的方向向量可以用一个行向量表示，例如，直线l可以表示为l：(x, y, z) = (x0, y0, z0) + t(a, b, c)，其中，(x0, y0, z0)表示直线上一点，(a, b, c)表示直线的方向向量。
7. 平面的法向量和一般方程：在空间直角坐标系中，平面可以用方程式表示。
平面的一般方程为Ax + By + Cz + D = 0，其中(A, B, C)为平面的法向量，D为常数。
01 高数——空间解析几何要点速记
一、空间解析几何知识点速记一、空间解析几何1、向量代数●向量的线性运算向量加法：三角形法则或平行四边形法则：1）交换律a +b =b +a ；2）结合律（a +b ）+c =a+（b +c ）实数与向量的运算法则：设λ、μ为实数，则有：c=a+b1）结合律λ（μa ）=μ（λa ）=（λμ）a ；2）分配律（λ+μ）a =λa +μa ；λ（a +b ）=λa +λb 空间直角坐标系r M OM xi yj zk x y z −−→↔==++↔（，，）；设a =（a x ，a y ，a z ），b =（b x ，b y ，b z ）则有1）a +b =（a x +b x ，a y +b y ，a z +b z ）2）a -b =（a x -b x ，a y -b y ，a z -b z ）3）λa =（λa x ，λa y ，λa z ）4）b //a ⇔b =λa⇔（b x ，b y ，b z ）=λ（a x ，a y ，a z ）⇔zzyy xx a b a b a b ==5）向量模：222||z y x ++=r 6）两点间的距离：→212212212)()()(||||z z y y x x AB AB -+-+-==方向角：非零向量r 与三条坐标轴的夹角α、β、γ称为向量r 的方向角方向余弦：cos ||x r α=，cos ||y r β=，cos ||z r γ=●向量的数量积：a ·b =|a ||b |cos θ几何意义：数量积a ·b 等于a 的长度||a 与b 在a 的方向上的投影θcos ||b 的乘积。
1）a·a =|a |22）a ⊥b ⇔a·b =012120x x y y ⇔+=3）交换律：a·b =b·a ；4）分配律：（a +b ）⋅c =a ⋅c +b ⋅c5）（λa ）·b =a·（λb ）=λ（a·b ）,（λa ）·（μb ）=λμ（a·b ）,λ、μ为数高 数6）a·b =a x b x +a y b y +a z bzcos ||||a b a b θ++⋅=●向量的向量积：c =a ⨯b c 的模|c |=|a ||b |sin θ,其中θ为a 与b 间的夹角；c 的方向垂直于a 与b 所决定的平面，c 的指向按右手规则从a 转向b 来确定。
空间解析几何-第2章-空间的平面与直线ppt
例 1 设直线L : x 1 y z 1，平面 2 1 2
: x y 2z 3，求直线与平面的夹角.
解
n (1,1, 2), s (2,1, 2),
sin
| Am Bn Cp |
A2 B2 C 2 m2 n2 p2
M0M { x x0 , y y0 , z z0 }
A( x x0 ) B( y y0 ) C(z z0 ) 0
平面的点法式方程
其中法向量
n
{ A, B,C},
已知点
( x0 ,
y0 ,
z0 ).
平面上的点都满足上方程，不在平面上的 点都不满足上方程，上方程称为平面的方程， 平面称为方程的图形．
化简得 2x 3 y z 6 0.
例3 已知两点M(1,-2,3)与N(3,0,-1)，求线段 MN的垂直平分面方程。
二、平面的一般式方程
由平面的点法式方程
A( x x0 ) B( y y0 ) C(z z0 ) 0
Ax By Cz ( Ax0 By0 Cz0 ) 0
z
s
L
M
M0
M0 ( x0 , y0 , z0 ), M ( x, y, z), o
y
M L,
M0M // s
x
s (m, n, p), M0M { x x0 , y y0 , z z0 }
x x0 m
y y0 z z0
n
p
直线的对称式方程 （标准方程、点向式
方程）
注: 当方向向量的某个坐标 为零时，比如
解析几何
第2章 空间的平面与直线
10/26/2024
§2.1.1 平面的方程
高等数学-01空间解析几何
添加标题
添加标题
空间直线的方程应用：用于表示 空间中的直线，以及进行空间几 何计算和图形绘制。
平面与直线的位置关系
平行：两条直线在同一平面 内，没有公共点
添加标题
异面：两条直线不在同一平 面内，没有公共点
添加标题
垂直于平面：直线与平面有 两个公共点
平行于平面：直线与平面没 有公共点
添加标题
添加标题
解析：向量法是 解析几何中常用 的方法，可以解 决许多几何问题
结论：两个平面 的交线是直线， 这是解析几何中 的基本定理
THANK YOU
汇报人：
汇报时间：20XX/XX/XX
YOUR LOGO
空间解析几何是理解空间结构的基础，对于理解物理现象、解决工程问题等具有重要意义。
空间解析几何是现代数学的一个重要组成部分，对于培养数学思维和逻辑思维能力具有重 要作用。
空间解析几何的基本概念
空间解析几何是研究空间中点、线、面、体的位置关系和度量关系的数学 学科。
空间解析几何的基本概念包括向量、标量、矩阵、线性变换等。
向量的模和向量的数量积
添加标题
向量的模：表示向量的长度或大小，是向量的绝对值
添加标题
向量的数量积：表示两个向量的夹角，是向量的相对值
添加标题
向量的模和向量的数量积的关系：向量的模和向量的数量积是向量的两个基本属性，它们之间 的关系是向量的模的平方等于向量的数量积的平方加上向量的数量积的平方
添加标题
向量的向量积和混合积的应用：在空间解析几何中，向量的向量积和混合积可以用来求 解向量的夹角、向量的长度等。
向量的向量积和混合积的性质：向量的向量积和混合积具有交换律、结合律和分配律等性质。
空间解析几何,李养成(新版),第一章_第二节
这是关于 , , 的齐次线性方程组.该方程组有非零解 的充要条件是系数行列式等于0，即得证.
推论1.2.2 四个点 Ai ( xi , yi , zi ), (i 1,2,3,4)共面
x2 x1 x3 x1 x4 x1
x1 或 x2 x2 x4
y2 y1 y3 y1 y4 y1
AC ( x3 x1 , y3 y1 , z3 z1 ),
由于 AB, AC 两向量共线， 根据命题1.2.3可得，
x2 x1 y2 y1 z2 z1 . x3 x1 y3 y1 z3 z1
命题1.2.4 在仿射坐标系 O; e1 , e2 , e3 中，三个非零向 量 vi (X i ,Yi , Zi ) i 共面的充要条件是
所以命题得证.
推论1.2.1 三个点A( x1 , y1 , z1 )，B( x2 , y2 , z2 )，C ( x3 , y3 , z3 )共线
x2 x1 y2 y1 z2 z1 的充要条件是 . x3 x1 y3 y1 z3 z1
证明：AB ( x2 x1 , y2 y1 , z2 z1 ),
z2 z1 z3 z1 0 z4 z1
的充要条件是
y1 y2 yБайду номын сангаас y4
z1 1 z2 1 0 z3 1 z4 1
行列式的加边法和 拉普拉斯展开式
四个点Ai (i 1,2,3,4)共面的充要条件是三个向量 证明：
A1 A2 , A1 A3 , A1 A4 共面，然后根据命题 1.2.4得证.
Ⅳ. 线段的定比分点坐标.
空间解析几何的基础概念
几何计算在计算机图形学中 的应用
空间数据的可视化和分析
几何优化和算法设计在机器 人和自动驾驶中的应用
空间解析几何的未来展望
空间解析几何与人工智能 的结合
空间数据的处理和分析
空间感知和定位技术的应 用
空间解析几何在虚拟现实 和增强现实中的应用
感谢您的观看
汇报人：XX
添加标题
添加标题
添加标题
添加标题
空间解析几何有助于理解三维空间 中点、线、面等几何元素的关系， 以及空间变换和运动等方面的知识。
空间解析几何对于培养学生的逻辑 思维和创造性思维具有重要意义， 有助于提高学生的数学素养和解决 问题的能力。
空间解析几何的基本概念
第二章
点、直线和平面的定义
点：空间中的零维对象，表示一个位置。 直线：空间中的一维对象，由无数个点组成，表示一个方向或路径。 平面：空间中的二维对象，由无数个点组成，表示一个平面区域。
坐标系：笛卡尔坐标系、极坐标系、 球面坐标系等
空间解析几何的研究对象
向量、向量的模和向量的数 量积
向量的向量积和向量的混合 积
点、直线和平面的几何性质
平面和直线之间的位置关系
空间解析几何的重要性
空间解析几何是数学的重要分支， 为几何学、物理学和工程学等领域 提供了基础。
空间解析几何在计算机图形学、机 器人学、航天技术等领域有广泛应 用，为这些领域的发展提供了理论 基础。
经济学：空间解析几何在经济学中也有着重要的应用，如在计量经济学、区域经济和城 市规划等领域中，可以利用空间解析几何的方法来分析和解释各种经济现象和数据。
生物学：在生物学中，空间解析几何可以帮助科学家更好地理解和描述生物体的形态和 结构，如解剖学、细胞生物学和生态学等领域中都可以看到空间解析几何的应用。
空间解析几何演示
4
2
.
x
0
z
y
6
6
6
平面y=0 , z=0，3x+y =6, 3x+2y =12 和x+y+z =6所围成的立体图
27. 作图练习
a
a
x
z
y
0
28. 作图练习
z = 0
y = 0
x = 0
a
a
x
z
y
0
28. 作图练习
.
a
a
x
z
y
0
学画草图
28. 作图练习
.
a
b
c
y
x
z
o
16. 椭球面
x
z
y
0
截痕法
用z = a截曲面
用y = b截曲面
用x = c截曲面
17. 椭圆抛物面
x
z
y
0
截痕法
用z = a截曲面
用y = b截曲面
用x = c截曲面
17. 椭圆抛物面
.
用z = a截曲面
用y = 0截曲面
用x = b截曲面
x
z
y
0
截痕法
（马鞍面）
18. 双曲抛物面
截痕法
.
18. 双曲抛物面
（马鞍面）
x
z
y
0
用z = a截曲面
用y = 0截曲面
用x = b截曲面
截痕法
.
18. 双曲抛物面
（马鞍面）
x
z
y
0
用z = a截曲面
用y = 0截曲面
最新文档-1空间解析几何15814-PPT精品文档
a
b
2
数量积的坐标表达式
a aa
a b a x b x a y b y a z b z
两向量夹角余弦的坐标表示式
co s
axbxaybyazb z
ax2ay2az2 bx2by2b z2
ห้องสมุดไป่ตู้
ab
ab 0
a x b x a yb y a zb z 0
求|ab|.
4
解： ab 2(a b )(a b )
a a2abbb
a2 2 abco b s2
(2 )2223co 3 s3 2
4 17
ab 17
例4. 已知三点 A ( 1 , 2 , 3 ) ,B ( 3 , 4 , 5 ) C ( 2 ,, 4 , 7 ) ,求三
向量 c 模 : c a b sin
称 c为向a与 量 b的 向量积 , 记作 cab (叉积)
b a
几何意义：右图三角形面积
cab
S＝
1 2
ab
a b
性质
(1) aa0 (2) a, b为非零向量, 则 ab0 a∥ b
ax ay az bx by bz
运算律
直的单位向量.
解
c
ab
i ax
j ay
ki az 3
j 2
k
4 1j0 5k,
bx by bz 1 1 2
|c |120 5255
c0
|
c c |
2
j
5
15k.
例3. 已知向量 a , b 的夹角 3 ,且 |a| 2,|b|3,
空间解析几何简介课件
一点 M 的线速度 的表示式 .
解: 在轴 l 上引进一个角速度向量 , 使 , 其
方向与旋转方向符合右手法则 , 在 l 上任取一点 O, 作
向径
它与 的夹角为 , 则
点 M离开转轴的距离
a r sin
a M
且
符合右手法则
l
v r
O
*三、向量的混合积
1. 定义 已知三向量 a , b , c , 称数量
设 P是 中3一个平面， VP 定义如上，则 中3 与二维子
空间VP 正交的非零向量称为平面P的法向量；平面 P的
所有法向量添上零向量组成 的3 一个一维子空间， 中3
以平面 的P法向量为方向向量的直线称为平面 的法P 线 。
a b c c Pr jc a b c Prjc a Prjc b
c Pr jc a c Pr jc b a c b c
4. 数量积的坐标表示
设 a ax e1 ay e2 az e3 , b bx e1 by e2 bz e3 ,则
( ax e1 ay e2 az e3 ) (bx e1 by e2 bz e3 )
内容小结
设 a (ax , ay , az ) , b (bx ,by ,bz ), c (cx , cy , cz )
1. 向量运算
加减: 数乘: 点积:
a b (ax bx , ay by , az bz )
a (ax ,ay ,az )
a b axbx ayby azbz
叉积:
i jk ab ax ay az
bx by bz
ax ay az
混合积: a b c ( a b ) c bx by bz
2. 向量关系:
大一空间解析几何知识点
大一空间解析几何知识点解析几何是数学中的一个重要分支，主要研究点、直线、平面等几何对象在坐标系中的表示和性质。
在大一阶段，我们通常学习的是平面解析几何，涉及到的知识点有平面上的点的坐标表示、距离公式、斜率公式等。
本文将重点介绍大一空间解析几何中的一些基本知识点，帮助大家理解和掌握相关概念和计算方法。
1. 空间直角坐标系空间直角坐标系是我们描述三维空间的标准方法。
它由三个坐标轴组成：x轴、y轴和z轴，它们两两垂直，形成一个三维坐标系。
在空间直角坐标系下，空间中的任意一点都可以由它在x轴、y轴和z轴上的坐标唯一确定。
2. 空间点的坐标表示与平面解析几何类似，空间中的点也可以用坐标表示。
设某点P在空间直角坐标系中的坐标为(x, y, z)，那么x、y、z分别表示P在x轴、y轴和z轴上的投影长度。
通过坐标表示，我们可以方便地讨论和计算空间中点的性质和关系。
3. 空间点之间的距离在空间解析几何中，我们经常需要计算两点之间的距离。
假设两点A(x₁, y₁, z₁)和B(x₂, y₂, z₂)，它们之间的距离可以使用三维空间中的勾股定理进行计算：AB = √[(x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)² + (z₂ - z₁)²]这个公式可以理解为将空间中的两个点投影到各个坐标轴上，然后计算各个坐标轴上的距离，最后求平方和再开方。
4. 空间直线的表示与平面解析几何类似，空间中的直线也可以用解析式表示。
对于一条通过点A(x₁, y₁, z₁)且方向向量为u = (a, b, c)的直线，可以表示为：{x = x₁ + at{y = y₁ + bt{z = z₁ + ct其中t为参数，通过改变参数t的值可以得到直线上的任意一点。
此外，我们还可以利用两点表示直线的方程：{(x - x₁)/a = (y - y₁)/b = (z - z₁)/c这个方程可以通过两点的坐标和斜率来推导得到。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
s n 1,s n 2 sn1n2
i jk
sn1n2 1 1 1 (4,1,3) 2 1 3
故所给直线的对称式方程为 x 1 y
t
4 1
参数式方程为
解题思路: 先找直线上一点; 再找直线的方向向量.
例7. 求直线
的交点 . 提示: 化直线方程为参数方程
与平面 t
代入平面方程得 t 1
F(x, y,z) 0 G(x, y,z) 0
（2） 空间曲线的参数方程
x x(t)
y
y(t)
z z ( t )
4. 空间直线与平面的方程
空间平面
一般式 点法式 截距式
三点式
xyz 1 abc
点 :(x0,y0,z0) 法向 :n(A 量 ,B ,C )
xx1 yy1 zz1 x2x1 y2y1 z2z1 0 x3x1 y3y1 z3z1
（2） 柱面 定义： 平行于定直线并沿定曲线C移动的直线L
所形成的曲面. 这条定曲线叫柱面 的准线，动直线叫 柱面的母线.
从柱面方程看柱面的特征：
只含 x, y而缺z的方程F(x, y) 0，在 空间直角坐标系中表示母线平行于 z 轴的柱 面，其准线为 xoy面上曲线C .
3、空间曲线 （1） 空间曲线的一般方程
A x B y C z D 0(A2B2C20)
特殊情形 • 当 D = 0 时, A x + B y + C z = 0 表示通过原点的平面; • 当 A = 0 时, B y + C z + D = 0 的法向量
n (0 ,B ,C ) i,平面平行于 x 轴; • A x+C z+D = 0 表示 平行于 y 轴的平面; • A x+B y+D = 0 表示 平行于 z 轴的平面; • C z + D = 0 表示平行于 xoy 面 的平面; • A x + D =0 表示平行于 yoz 面 的平面； • B y + D =0 表示平行于 zox 面 的平面.
xy
x0 y0
mt nt
z z0 pt
(x0,y0,z0)为直线上一点;
s(m ,n,p)为直线的方向向量.
例6.用对称式及参数式表示直线
解:先在直线上找一点.
令 x = 1, 解方程组
y z 2 ,得 y 3z 6
y0,z2
是直线上一点 .
再求直线的方向向量 s .
交已知直线的两平面的法向量为
1 ,
3 .
( 3 )a b |b |P 2 j b a r Prjba 4a|bb| 3.
例2
求与a
3i
2
j
4k单位向量.
解
i j k i j c ab ax ay az 3 2
k
4 1j0 5k,
bx by bz 1 1 2
|c |120 5255
角形 ABC 的面积
B
解: 如图所示,
S A B C 1 A BAC
2
A
C
i jk
1 2
22 12
2 4
12(4 , 6, 2)
1 42(6)222 14 2
1.1.2 空间解析几何
1、空间直角坐标系 z竖轴
空间的点
定点 o•
横轴 x
y纵轴
(x,y,z)
有序数组
两点间距离公式:
设 M1( x1 , y1 , z1 )、 M2 ( x2 , y2 , z2 )为空间两点
i j k a b ax ay az
bx by bz
例 a
1 b
；已（知2）aa与{1b,1的,夹4}角，；b （ {31）,a2,在2}b， 上求的（投1）影.
解 (1) ab 1 1 1 ( 2 ) ( 4 ) 2 9.
(2 )cos a x b x a yb y a zb z
a x 2 a y2 a z2 b x 2 b y2 b z2
b a
几何意义：右图三角形面积
cab
a
S＝
b
性质
(1) aa0 (2) a, b为非零向量, 则 ab0 a∥ b
ax ay az bx by bz
运算律
(1) ab ba (2) 分配律 (ab)cacbc
(3) 结合律 (a)ba(b)(ab)
向量积的坐标表达式
ab ( a y b z a z b y ) i ( a z b x a x b z ) j ( a x b y a y b x ) k
定义：以一条平面曲线绕 其平面上的一条直线旋转 一周所成的曲面.
这条定直线叫旋转曲面的轴.
方程特点:
设有平面曲线L:
f
(x, y) z 0
0
(1) 曲线L绕 x 轴旋转所成的旋转曲方面程为
f (x, y2 z2 ) 0 (2) 曲线L绕 y 轴旋转所成的旋转曲方面程为
f ( x2 z2 , y) 0
c0
|
cc
|
2
j
5
15k.
例3. 已知向量 a , b 的夹角 3 ,且 |a| 2,|b|3,
4
解：
(a b )(a b )
a a bb
a2 2 abco b s2
(2 )2223co 3 s3 2
4 17
ab 17
例4. 已知三点 A ( 1 , 2 , 3 ) ,B ( 3 , 4 , 5 ) C ( 2 ,, 4 , 7 ) ,求三
1空间解析几何
1.1.1 向量代数
1.向量的概念 定义:既有大小又有方向的量称为向量.
向量的模
2.几种特殊向量 单位向量、 零向量、 相等向量、 负向量、
向径.
6. 向量积
定义： 设a,b的夹角 ， 为
方向 : c a,c b 且符合右手规则
向量 c 模 : c a b sin
称 c为向a与 量 b的 向量积 , 记作 cab (叉积)
它们距离为
M 1 M 2 x 2 x 1 2 y 2 y 1 2 z 2 z 1 2
点到平面的距离公式：
点 M 0(x 0,y 0,z0)到A 平 B x 面 C y D z 0 的距
dA0xB0yC0zD A2B2C2
2、曲面
空间 S与 曲三 面 F 元 (x,y,方 z)0对 程 . 应 （1）旋转曲面
例5. 求通过 x 轴和点( 4, – 3, – 1) 的平面方程.
解: 因平面通过 x 轴 , 故 AD0 设所求平面方程为 ByCz0
代入已知点 (4,3,1)得
化简,得所求平面方程
空间直线
一般式 A A 21xx B B 2 1y y C C 1 2zz D D 12 00 对称式
参数式