第五章空间解析几何和失量代数1-2016详解
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自由矢量： 不考虑起点位置的矢量.
相等矢量： 大小相等且方向相同的矢量.
a
反矢量：
b 大小相等但方向相反的矢量.
a
a
a
二、矢量的线性运算
1. 加法
(1) 定义
ab c
（平行四边形法则）
b
c
a
b
（平行四边形法则有时也称为三角形法则）
a1
a2
a1
a2
an
an
(2) 性质
①
定 分
理 必
设矢量a 要条件是：
0， 那 么
矢
量b
平
行
于a
存 在 唯一 的 实 数， 使 b
的充
a.
两个矢量的平行关系
定理 分必
要设条矢件量是a： 存0，在那唯一么的矢实量数 b 平，行使于ba的充a.
a
C
M
B
AD AM MD MC BM BC
AD 与 BC 平行且相等, 结论得证.
2. 数乘
(1) 定义 设 是一个实数，矢量a与 的乘积是一个新
规定
矢量，记作a
(1) 0,
a 与a
同向，|
a
|
|
a
|
(2) 0,
a
0
(3) 0,
a
与a
反向，|
a
||
|
|
a
|
a 2a
1
a
2
角度转向正向 y 轴
时，大拇指的指向
就是 z 轴的正向.
定点 o •
y 纵轴
横轴 x 空间直角坐标系
三个坐标平面将整个空间分成八个部分空间
Ⅲ
yoz 面
Ⅳ
xoy面
Ⅶ
x
Ⅷ
z zox 面
Ⅱ
o
yⅠ
Ⅵ Ⅴ
空间直角坐标系共有八个卦限
设M是空间的一点, 过点M做垂直于坐标轴的三个平面, 该三个平面与坐标轴的三个截距值x,y,z就是点M的坐标.
二、空间两点间的距离
设M1 ( x1 , y1 , z1 )、M 2 ( x2 , y2 , z2 )为空间两点
过点M1 , M2 分别作平行于坐标面的平面, 形成一个
六面体. z d M1M2 ?
R2
R
R1
M1•
P
P1 o
Q1
P2
• M2
Q N Q2
在直角M1 NM 2 及 直 角 M1 PN
中，使用勾股定
理知
y
x
d 2 M1P 2 PN 2 NM 2 2 ,
M1P x2 x1 , PN y2 y1 , NM 2 z2 z1 ,
zR
M1•
P
o
• M2
Q Ny
x
d M1P 2 PN 2 NM2 2
M1M2 x2 x1 2 y2 y1 2 z2 z1 2 .
数量关系 — 坐标,方程（组）
笛卡儿(1596 – 1650)
法国哲学家, 数学家, 物理学家, 他 是解析几何奠基人之一 . 1637年他发 表的《几何学》论文分析了几何学与 代数学的优缺点, 进而提出了 “ 另外 一种包含这两门科学的优点而避免其缺点的方法”, 把几何问题化成代数问题 , 给出了几何问题的统一 作图法, 从而提出了解析几何学的主要思想和方法, 恩格斯把它称为数学中的转折点.
§5.1 空间直角坐标系
平面解析几何是从平面直角坐标系的建立开始， 空间解析几何是从空间直角坐标系的建立开始。
§5.1 空间直角坐标系
一、空间直角坐标系与点的坐标 二、空间两点间的距离
一、空间直角坐标系与点的坐标
三个坐标轴的正方向 符合右手系.
z 竖轴
即以右手握住 z
轴，当右手的四个
手指从正向 x轴以
一、矢量的概念
M2
矢量：既有大小又有方向的量.
矢量表示：a 或 M1M2
• M1
矢量的以模M：1矢为量起点 的，大M小.2 为| a终| 或点|的M有1M向2线| 段.
单位矢量：模长为1的矢量. a0
或
M1 M 20
零矢量：模长为0的矢量. 0 方向任意
特殊矢量
矢径： 空间直角坐标系中任一点 M与原点 构成的矢量.OM
多元微积分学 空间解析几何与矢量代数
桥梁 工具
一元函数微积分学
恩格斯：数学是现实世界中研究数量关系和空间形式的一门科学。
第五章 空间解析几何和矢量代数
本章的地位: 学习多元函数微积分的基础. 研究特点: 通过代数运算解决几何问题. 采用的方法: 坐标法和矢量法.
在三维空间中: 空间形式 — 点, 线, 面，体
PP2 x2 12 12 x2 2,
PP1 2 PP2 , x2 11 2 x2 2
x 1, 所求点为 (1,0,0), (1,0,0).
§5.2 矢量代数
✓矢量代数为以后各章节的学习提供必要的代数工具。 ✓矢量是把代数和几何结合起来的桥梁。
§5.2 矢量代数
一、矢量的概念 二、矢量的线性运算 三、矢量的坐标表示
空间两点间距离公式
特殊地：若两点分别为 M( x, y, z) , O(0,0,0)
d OM x2 y2 z2
例 1 设 P 在 x轴上，它到 P1(0, 2,3)的距离为 到点 P2(0,1,1)的距离的两倍，求点 P 的坐标. 解 因为P 在x 轴上，设P点坐标为 ( x,0,0),
PP1 x2Байду номын сангаас 2 2 32 x2 11,
函数与极限
研究对象：函数 研究方法：极限
高
等
微分学
➢以极限的方法研究变化率问题 产生了微分学。
数
学 系
积分学
➢以极限的方法研究微小量积累 产生了积分学。
列
课
线性代数
程
内
容
概率论
统计
本学期内容
第五章 空间解析几何与矢量代数 第六章 多元函数微分学 第七、八章 多元函数积分学 第九章 级数 第十一章 微分方程初步
交换律：
a
b
b a.
②
结合律：
abc
(a b) c a (b c ).
(3) 逆运算减法
a
b
a
(b)
c
a a
b(b b)
b
c
a
b
b
a
a
b
a
b
例2 试用矢量方法证明：对角线互相平分的
四边形必是平行四边形.
证 AM MC BM MD
D b
A
空间的点M 11 有序数组( x, y, z)
特殊点的表示: 坐标面上的点 A, B, C,
坐标轴上的点 P, Q, R, O(0,0,0) z
R （0,0,z）
B（0, y ,z）
（x ,0,z）C
•M（x , y,z）
o（0,0,0）
Q（0y, y ,0）
x P（x ,0,0） A（x , y ,0）
2
设a0表示与非零矢量
a
同方向的单位矢量，
按照数乘的规定，
重要结论一
a
|
a
|
a
0
a
a0 .
|a|
上式表明：一个非零矢量除以它的模的结果是 一个与原矢量同方向的单位矢量.
(2) 性质
①
结合律：
(
a)
(
a)
(
)a
②
分配律：(
)a
a
a
(a
b)
a
b
(3) 几何应用 两个矢量的平行关系 重要结论二
相等矢量： 大小相等且方向相同的矢量.
a
反矢量：
b 大小相等但方向相反的矢量.
a
a
a
二、矢量的线性运算
1. 加法
(1) 定义
ab c
（平行四边形法则）
b
c
a
b
（平行四边形法则有时也称为三角形法则）
a1
a2
a1
a2
an
an
(2) 性质
①
定 分
理 必
设矢量a 要条件是：
0， 那 么
矢
量b
平
行
于a
存 在 唯一 的 实 数， 使 b
的充
a.
两个矢量的平行关系
定理 分必
要设条矢件量是a： 存0，在那唯一么的矢实量数 b 平，行使于ba的充a.
a
C
M
B
AD AM MD MC BM BC
AD 与 BC 平行且相等, 结论得证.
2. 数乘
(1) 定义 设 是一个实数，矢量a与 的乘积是一个新
规定
矢量，记作a
(1) 0,
a 与a
同向，|
a
|
|
a
|
(2) 0,
a
0
(3) 0,
a
与a
反向，|
a
||
|
|
a
|
a 2a
1
a
2
角度转向正向 y 轴
时，大拇指的指向
就是 z 轴的正向.
定点 o •
y 纵轴
横轴 x 空间直角坐标系
三个坐标平面将整个空间分成八个部分空间
Ⅲ
yoz 面
Ⅳ
xoy面
Ⅶ
x
Ⅷ
z zox 面
Ⅱ
o
yⅠ
Ⅵ Ⅴ
空间直角坐标系共有八个卦限
设M是空间的一点, 过点M做垂直于坐标轴的三个平面, 该三个平面与坐标轴的三个截距值x,y,z就是点M的坐标.
二、空间两点间的距离
设M1 ( x1 , y1 , z1 )、M 2 ( x2 , y2 , z2 )为空间两点
过点M1 , M2 分别作平行于坐标面的平面, 形成一个
六面体. z d M1M2 ?
R2
R
R1
M1•
P
P1 o
Q1
P2
• M2
Q N Q2
在直角M1 NM 2 及 直 角 M1 PN
中，使用勾股定
理知
y
x
d 2 M1P 2 PN 2 NM 2 2 ,
M1P x2 x1 , PN y2 y1 , NM 2 z2 z1 ,
zR
M1•
P
o
• M2
Q Ny
x
d M1P 2 PN 2 NM2 2
M1M2 x2 x1 2 y2 y1 2 z2 z1 2 .
数量关系 — 坐标,方程（组）
笛卡儿(1596 – 1650)
法国哲学家, 数学家, 物理学家, 他 是解析几何奠基人之一 . 1637年他发 表的《几何学》论文分析了几何学与 代数学的优缺点, 进而提出了 “ 另外 一种包含这两门科学的优点而避免其缺点的方法”, 把几何问题化成代数问题 , 给出了几何问题的统一 作图法, 从而提出了解析几何学的主要思想和方法, 恩格斯把它称为数学中的转折点.
§5.1 空间直角坐标系
平面解析几何是从平面直角坐标系的建立开始， 空间解析几何是从空间直角坐标系的建立开始。
§5.1 空间直角坐标系
一、空间直角坐标系与点的坐标 二、空间两点间的距离
一、空间直角坐标系与点的坐标
三个坐标轴的正方向 符合右手系.
z 竖轴
即以右手握住 z
轴，当右手的四个
手指从正向 x轴以
一、矢量的概念
M2
矢量：既有大小又有方向的量.
矢量表示：a 或 M1M2
• M1
矢量的以模M：1矢为量起点 的，大M小.2 为| a终| 或点|的M有1M向2线| 段.
单位矢量：模长为1的矢量. a0
或
M1 M 20
零矢量：模长为0的矢量. 0 方向任意
特殊矢量
矢径： 空间直角坐标系中任一点 M与原点 构成的矢量.OM
多元微积分学 空间解析几何与矢量代数
桥梁 工具
一元函数微积分学
恩格斯：数学是现实世界中研究数量关系和空间形式的一门科学。
第五章 空间解析几何和矢量代数
本章的地位: 学习多元函数微积分的基础. 研究特点: 通过代数运算解决几何问题. 采用的方法: 坐标法和矢量法.
在三维空间中: 空间形式 — 点, 线, 面，体
PP2 x2 12 12 x2 2,
PP1 2 PP2 , x2 11 2 x2 2
x 1, 所求点为 (1,0,0), (1,0,0).
§5.2 矢量代数
✓矢量代数为以后各章节的学习提供必要的代数工具。 ✓矢量是把代数和几何结合起来的桥梁。
§5.2 矢量代数
一、矢量的概念 二、矢量的线性运算 三、矢量的坐标表示
空间两点间距离公式
特殊地：若两点分别为 M( x, y, z) , O(0,0,0)
d OM x2 y2 z2
例 1 设 P 在 x轴上，它到 P1(0, 2,3)的距离为 到点 P2(0,1,1)的距离的两倍，求点 P 的坐标. 解 因为P 在x 轴上，设P点坐标为 ( x,0,0),
PP1 x2Байду номын сангаас 2 2 32 x2 11,
函数与极限
研究对象：函数 研究方法：极限
高
等
微分学
➢以极限的方法研究变化率问题 产生了微分学。
数
学 系
积分学
➢以极限的方法研究微小量积累 产生了积分学。
列
课
线性代数
程
内
容
概率论
统计
本学期内容
第五章 空间解析几何与矢量代数 第六章 多元函数微分学 第七、八章 多元函数积分学 第九章 级数 第十一章 微分方程初步
交换律：
a
b
b a.
②
结合律：
abc
(a b) c a (b c ).
(3) 逆运算减法
a
b
a
(b)
c
a a
b(b b)
b
c
a
b
b
a
a
b
a
b
例2 试用矢量方法证明：对角线互相平分的
四边形必是平行四边形.
证 AM MC BM MD
D b
A
空间的点M 11 有序数组( x, y, z)
特殊点的表示: 坐标面上的点 A, B, C,
坐标轴上的点 P, Q, R, O(0,0,0) z
R （0,0,z）
B（0, y ,z）
（x ,0,z）C
•M（x , y,z）
o（0,0,0）
Q（0y, y ,0）
x P（x ,0,0） A（x , y ,0）
2
设a0表示与非零矢量
a
同方向的单位矢量，
按照数乘的规定，
重要结论一
a
|
a
|
a
0
a
a0 .
|a|
上式表明：一个非零矢量除以它的模的结果是 一个与原矢量同方向的单位矢量.
(2) 性质
①
结合律：
(
a)
(
a)
(
)a
②
分配律：(
)a
a
a
(a
b)
a
b
(3) 几何应用 两个矢量的平行关系 重要结论二