动态法测量杨氏模量讲解

实验四 动态法测定材料杨氏模量

杨氏模量是工程材料的一个重要物理参数，它标志着材料抵抗弹性形变的能力。 杨氏模量测量方法有多种，最常用的有拉伸法测量金属材料的杨氏模量，这属于静态法测量，这种方法一般仅适用于测量形变较大、延展性较好的材料，对如玻璃及陶瓷之类的脆性材料就无法用此方法测量。动态法由于其在测量上的优越性，在实际应用中已经被广泛采用，也是国家标准指定的一种杨氏模量的测量方法。本实验用悬挂、支撑二种“动态法”测出试样振动时的固有基频，并根据试样的几何参数测得材料的杨氏模量。

一、实验目的

1．理解动态法测量杨氏模量的基本原理。

2．掌握动态法测量杨氏模量的基本方法，学会用动态法测量杨氏模量。 3．培养综合运用知识和使用常用实验仪器的能力。 4．进一步了解信号发生器和示波器的使用方法。

二、实验原理

长度L 远远大于直径d （L>>d ）的一细长棒，作微小横振动（弯曲振动）时满足的动

解以上方程的具体过程如下（不要求掌握）： 用分离变量法：令)()(),(t T x X t x y =

代入方程（1）得： 2

24

4d d 1d d 1t T

T YJ s x X X ρ-= 等式两边分别是x 和t 的函数，这只有都等于一个常数才有可能，设该常数为4

K ，于是得：

0d d 44

4=-X K x

X

0d d 42

2=+T s YJ

K t

T ρ 这两个线形常微分方程的通解分别为：

Kx B Kx B shKx B chKx B x X sin cos )(4321+++=

) cos()(ϕω+=t A t T

于是解振动方程式得通解为：

) cos()sin cos (),(4321ϕω++++=t A Kx B Kx B shKx B chKx B t x y

其中式（2）称为频率公式：

2

14

⎥⎦

⎤

⎢

⎣⎡=s YJ K ρω (2）

该公式对任意形状的截面，不同边界条件的试样都是成立的。我们只要用特定的边界条件定出常数K ，并将其代入特定截面的转动惯量J ，就可以得到具体条件下的计算公式了。 如果悬线悬挂(支撑点)在试样的节点附近，则其边界条件为自由端横向作用力：

033=∂∂-=∂∂-=x

y YJ x M F

弯矩 ： 02

2=∂∂=x y

YJ M 即

0x d X

d 0

x 3

3==

0x d X

d l

x 3

3==

0x d X

d 0

x 2

2==

0x d X

d l

x 2

2==

将通解代入边界条件，得到1cos =KLchKL ，用数值解法求得本征值K 和棒长L 应满足：

420.20 ,279.17 ,137.14 ,9956.10 ,8532.7 ,7300.4 ,0=KL ,

由于其中第一个根“0”对应于静态情况，故将其舍去。将第二个根作为第一个根，

记作L K 1。一般将7300.4 1=L K 所对应的共振频率称为基频（或称作固有频率）。在上述L K n 值中，1，3，5…个数值对应着“对称形振动”, 第2、4、6…个数值对应着“反对称形振动”。图1给出了当4 ,3 ,2 ,1n =时的振动波形。由1n =图可以看出，试样在作基频振动时，存在两个节点，它们的位置距离端面分别为L 224.0和L 776.0处。理论上悬

挂点(支撑点)应取在节点处，但由于悬挂(支撑点)在节点处试样棒难于被激振和拾振，为此，可以在节点两旁选不同点对称悬挂(支撑)，用外推法找出节点处的共振频率。将第一本征值L

7300

.4K =

代入（2）式，得到自由振动的固有频率（即基频）： ()2

1

4

4

7300.4⎥⎦

⎤

⎢

⎣⎡=s l YJ ρω 解出杨氏模量：

243

10

9978.1ωρJ

s

L Y -⨯=

232

10

8870.7f J

m L ⨯⨯=-

对于圆棒： ⎰==

2

2

)4

d (

s s d y J 式中d 为圆棒的直径。 得到杨氏模量的表达式为： 2

436067.1f d

m L Y ⨯= （3）

上式即为（1）式的解。式中L 为棒长，d 为棒的直径，m 为棒的质量。如果在实验中测定出试样（棒）在不同温度时的固有频率f ，即可计算出被测试样在不同温度条件下的杨氏模量Y 。在国际单位制中杨氏模量的单位为（2

-Nm

）。

本实验的基本问题是测量试样在一定温度时的共振频率。为了测出该频率，实验时可采用如图2所示装置。

由信号发生器输出的等幅正弦波信号，加在传感器I（激振）上。通过传感器I把电信号转变成机械振动，再由悬线(支撑刀)把机械振动传给试样，使试样受迫作横向振动。试样另一端的悬线(支撑刀)把试样的振动传给传感器II（拾振），这时机械振动又转变成电信号。该信号经放大后送到示波器中显示。当信号发生器的频率不等于试样的共振频率时，试样不发生共振，示波器上几乎没有信号波形或波形很小。当信号发生器的频率等于试样的共振频率时，试样发生共振。这时示波器上的波形突然增大，这时读出的频率就是试样在该温度下的共振频率。根据（3）式，即可计算出该温度下的杨氏模量。

图3动态杨氏模量测试台